# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/36333/text
# Catalogue record: 36333 — De la méthode de l'universalité II
# Incipit: La Methode de l'Universalité, nous enseigne de trouuer par une seule o
# Date: 1674-06
# Akademie-Ausgabe: AA VII,7 N. 011
# Other printings: Couturat, Opuscules, 1903, 1903, S.122-143.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36333&katnr=Cc2+863%2FC
# AA VII,7: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-7
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,7, p. 166 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII7.pdf#page=166
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00069349
# Title: Leibniz-Handschriften zur Philosophie LH 4, 5, 10
# Folios: Bl. 25–38 (from the shelfmark LH 4, 5, 10 Bl. 25-38): 28 pages, canvases 49–76, page ids 00069349:0049 to 00069349:0076
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00069349&page=49
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## Folio 25r — 00069349:0049
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
De la METHODE vu
LUNIVERSALITE
Lae Methode de l’Universalité nous
enseigne de trouuer par une seule operation
des formules Analytiques et des constructions
Geometriques generales pour des sujets ou
Cas differents dont chacun sans cela
auroit besoin d’une analyse ou synthese
particuliere, pnele parenem
Par Exemple soit un Probleme
proposé sçavoirs d’un point donné D.
mener une perpendiculaire DB, à une
section conique donnée ABC. On voit
bien que ce probleme est susceptible
d’une grande variation, tant à l’égard
de la ligne ou section donnée ABC
qu
peut estre d qu’ad l’aegard des differents
endroits du poinct D. Car Quant à l’egard
de la section ou ligne AB C donnee, elle
peut estre, droite, ou circulaires ou Parabolique,
ou Elliptique, ou Hyperbolique, et à l’egard
des points lieux du point donne D, il est
manifeste, que ce lieu peut tomber ou
en +D au dessus du sommet de la ligne
sçavoir au dessus du poinct A, ou en 2D
vis a vis du dit sommet, ou en 3D entre
le sommet et le poinct B, ou la perpendiculaire
doit rencontrer la courbe; on en 4D, dans
la courbe même, de sorte que les points D
et B alors n sutq reviennent a un seul,
ou en 5D entret la courbe et l’Axe AF
ou en en 6D dans l’axe même, ou enfin
en 7 D. de l’autre coste de l’axe.
DE

## Folio 25v — 00069349:0050
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
H Mais a fin qu’on ne prenne pas sujet de
chicaner sur ces 35 cas ou calculs
differents; j’avoue qu’on les peut
reduire a 20. en prenant tous les
cas de la ligne droité pour un seur
et de même tous les cas du Cercle pour un
autre: car on peut tousjours conceuvoir
que le point donné tombe dans l’axe de la
dt section, si elle est un cercle, ou
une droite En voila donc 2. cas. or
il y restent trois, figures, la Parabole,
l’Hyperbole, et l’Ellixse, (: quoyque’on auroit
peut estre raison de separer l’Hyperbole
dont les latus rectum et transversum sont
egaux, de l’autre, aussi bien que le Cercle
est considere séparé de l’Ellipse:) et
il y a 6 endroits despoints à considerer
(1) le 1. (2) le 2. (3)le 3me ou 5me (: car je montreray
plus bas que le muleie laum que ces deux
cas n’ont qu’un seul calcul, selon même la
maniere ordinaire de calculer:) (4) le 4 me-
(5) le 6me (6) le yme. Or trois fois six
Je croy pourtant
Simportant
qu’il est assez de reduire 20, ou si vous voulez
1d calculs a un seul.
Toutes ces lignes, et tou les endroits
du point D
pilles de chaque ligne, ont besoin
par exemple
d’un calculapart, car par exemple la
ligne estant droite ou circulaire le
item le point D tombant dans l’axe, ou
dans la courbe, le probleme est plan,
quoyque il soit solide estant pris Generalement
Or il y a s lignes differentes, et 7 endroit
6
 Pat consequent
differente du poinct d il y a 37. calculs
differents a faire, pour donner une solution
parfaite du probleme propose. Et neantmonis
Je pretends de les comprendre tous dans
un seul calcul qui ne sera pas plus
different difficil que celuy du plus difficil
de ces 35 cas H
On peut juger par la que l’usage
aussi toin que l’Algebre ou l’Analyse, et
qu’elle se depand par toutes les parties
des mathematiques pures ou mixtes. Car
depe
embarasse beaucoup et nous oblige à des
Mangements nutils et à des repetition
garantira à l’avenir. Or comme toutes
mixtes, peuvent estre purgées de la matiere
par une reduction a pure glometrie il
poincts, comme lexemple susdit le fait
juger, sçavoir premierement à la reduction
de plusieurs cas differentse a une seule
ib arrivé tous les jours, qu’uun même probleme
est de plusieurs cas, dont la multitude
les propositions des sciences Mathematiques
suffit d’en monstrer l’usage dans
la Geométrie qui revient à deux
di fadene
red 
ennuyeuses dont cette methode nous
la

## Folio 26r — 00069349:0051
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
formule, regle, equation ou construction
et en second lieu a la reduction des figures
differentes à une harmonie, ou conformite, à fin
qu’on les puisse traiter comme une seule
figure. Car pour les sections loniques je soutiens
e qu’on les peut considerer comme
s’il y avoit une seule figure dans le
monde dont le nom soit Section Conique,
Et je pretends de reduire de même en harmonie
quelques autres figures qu’on me donnes quoyque
de differens degrez, et  quoyque la nature
de l’une soit bien éloignée de la nature de
l’autre; pour trouver une cerlaine notion
commune, et comme genre subalterne, qui 
comprenne toutes, et pour decouvrir par ce
paroistre
les fera delucurion à la premiere veue
nc Le premier de ces deux poincts
diminue la peine, l’autre outre cela augmente
la science. Car si avec le temps la
Geometrie des infinis pouvoit estre rendue
un peu plus susceptible de l’analyse en
sorte que les Problemes des quadratures des centres
conveniences ou differences dont la clef sera
tousjours dans le calcul general, et se de qui
 ces lignes données
moyen en elles des proprietez communes, des constructons
de iostre la Methode de l’universalité s’etend generales, et des ha belles harmonies,
de gravité, et des dimensions des lignes ou
surfaces courbes se peussent resoudre par le moyen
des Equations comme il y a lieu d’esperer, quoyque
Mons, des Cartes n’ait pas osé d’y aspirer,
on tireroit un grand avantage de l’harmonie
des figures, pour trouver les dimensions
des unes aussi bien que des autres.
Ces

## Folio 26v — 00069349:0052
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Il est vray que Messieurs des Argues et
Pascal ont cru de pouvoir reduire les
sections Coniques en harmonie,: mais outre que
leur methode est bornée, et ne depend,
que des proprietez particulieres des Coniques
elle est aussi extremement embarassante par
ce qu’il faut tousjours demeurer dans le solide,
et Bander l’esprit par une forte imagination
du cone, Je croy même qu’on cauroit
bien de la peine a resoudre universellement
par ce moyen des problemes difficiles, a moins qu’on
ne les trouve comme par hazard, à priori, par
le moyen d’un theoreme demonstre ailleurs.
Au lieu qu’il ny a rien qui puisse échapper a nostre
methode, qui à cela de commun avec les autres
Parties de l’analyse, qu’elle épargne l’esprit
et l’imagination dont il faut sur tout ménager l’usage.
C’est le but principal de cette grande science
que j’ay accoustumé d’appeller Caracteristique dont
ce que nous appellons l’Algebre n’est qu’une branche
fort petite. Car c’est la Caracteristique qui donne
les paroles aux langues les lettres aux paroles, les chiffres
à l’Arithmetique, les notes à la Musique,: c’est elle
qui nous apprend le secret de fixer le raisonnement,
et de l’obliger à laisser comme des traces visibles
sur le papier en petit volume, pour estre examine
à loisit: c’est enfin elle, qui nous fait raisonner
à peu de frais, en mettant des caracteres à la
place des choses, pour des embarasser l’imagination
Mais quoyque Il semble que les caracteres
soient arbitraires, il y a pourtant bien de regles
a observer pour rendre les dits caracteres propres
à l’usage; comme par exemple je montreray plus
bas que l ere  qu’il ne faut
point de caractere pour marquer la difference
entre deux grandeurs, et qu’il nuit au lieu
de servir, quoyque Mops. Schoten et d’autres
l’ayent employe
particulier
et aut

## Folio 27r — 00069349:0053
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
Or avant que de venir à l’Exposition de la
Methode même, je me trouve obligé d’admoneter avouer
que les preceptes de cette nature sont plus proprer
à estre expliquées de vive voix que par écritu
et qu’il faut un peu de meditation pour les entendre
par la seule lecture, mais en recompense on
les comprendra bien mieux apres cette petite
peine. Au reste je suppose que mon
lecteur entende la Geonetrie, et l’Algebre
ou Analyse Ordinaire, et a in comme
il y a une grande varieté dans l’usage
des caracteres, je trouve à propos d’expliquer
icy les miennes dont je ma sers, jusque à ce
que la commodité publique, et l’autgrité de
quelques Grands Geometres se declare hautement
pour d’une  li’autre de tant de different
detrequelques autres
signifie a egal a b.
signifiequa est plus grand que b
signifie qua est mindre que b.
signifie amtplus b  l’addition
signifie a moins b on la soubstraction
signifie a multiplié par 
signifien la division dea, par b
item la raison dera, va B dont
a soit l’antecedent b le
consequent.
il signifie
signifie, que a, est divise par C, ou l =vC
il signitie
signifie que a est divisé par 4 ou av 4
signifie que q, est divité par =, ou 4 V3
l’obscurité
à fin d’eviter l’ambiguite
dans la suite,

## Folio 27v — 00069349:0054
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 28r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00069349/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
a. b: c. d.
tab +B
Vab + b
((4) ab
+(5) ab3
a
+a + b
+C ......
a c + b
a, c + b
a + d, c + b
a + d c+ b,
signifie a ( Z, c’est à dire que la raison
n avec
d’a à b est la même que la raison de C à d
signifie bqé, plus la racine quarréé de ab
signifie la raeine quarree de ab + b.
signifie la racine quarre quarrée, de ab3
1. . . --- surdesolide de ab3
signifie a, ou b.
me
signifie a + b c+b, car les poincts signifient
la repetition de ce qui est immediatement
au dessus d’eux.
signifie ac + bc c’est à dire a multiplié par C, et b adjouté au produit
pignitie ac + ab c’est a dire  +b multiplie par
... . . . .... ac + dc + b 10...... a + d multiplié par C et b adjonté
au proanit
ac + de + ab + db ... . . . . .. a + d, multiphe par c + b,
ne signifierort que les ineopnues,
signifie a +b, multiplié par luymeme
signifie ay +by = CY
signifie une puissance de a dont l’exponant, est le
c et si b est egal à 3. ce sera a, c’est
pour quoy il est tousjours bon d’écrire l’exponent
un peu au dessus del la racine, c’est à dire à Phests que a3

## Folio 28r — 00069349:0055
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 27v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00069349/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Maintenant pour expliquer ce que
la Methode de l’unversalité adjoute à l’Analy se
Ordinaire, il ne faut que donner les Instruments
nouveaux dont elle se sert, avec leur usage.
Ces instruments sont les Caracteres Ambigus
qui sont ou signes, ou Lettres,  car
les lettres expriment les grandeurs, et les
signes font connoistre la relation des grandeurs
entre elles. Les Signes Ambigus.
sont qui marquent ou l’Addition ou la soubstraction
il est vray qu’on en pourroit aussi faire utilement
pour marquer la multiplication, la division,
et l extraction des racines, mais jea en
trouve point d’usage pour le present dessein
Or à fin de venir à une parfaite connoissance
de l’origine des dits, signes ambigus,
certaine
il faut supposer une em grandeur xp
dont la valeur soit expliquée par deux ou
plusicurs equations. d mais qui ne soient
differentes entre elles, qu’a legard des
du ambigzeyil y peut quoir tan tost
du ambiguntet. tantos
deux Equations seulement, ou plusieurs, les
signes aussi qui les comprennent, at qui
les expriment dans une seule Equation,
ambique seront ou simples ou composés.
Mais comme ces choses ne sont gueres
intelligibles sans pigures et exemples
soit une ligne droite indefinie dans
la quelle doiuvent tomber trois points
A, B. C. et la ligne AC, soit
considerée comme inconnue et sa valeur
expliguée par le moyen de deux autres 1.
lignes AB, et BC; mais ces trois
points peuvent estre rangez differemment
d et a fin d’avoir un denombrement
plus aisé de ces diversitez considerons deux
par exemple,
A, et B
de ces points comme fixee et immuables
et le troisieme C, comme ambulatorre ou
nebiles. car conne e natian re rmens
 on signification

## Folio 28v — 00069349:0056
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 27r); this page is its left half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
des meme icy
le changement est une chose relatifve
de sor et il nous est permis de prendre pour
fixes ceux que nous voudrons
Or si le point ambulatoire ne peut
avoir que deux endroits seulement
sçavoir l’un entre A et C, l’autre
premier ea
second cas
tre au de la de B de sorte que B tombe
entre A et luy, il y aura aussi deux cas
de particuliers seulement, et il y aura
autant d’ambiguitez ou equations particuliere
pour explimer la valeur d’une de ces trois
lignes AB. BC, AC, par le moyen
des dego autres. Car si AC est consideret
comme inconnue, dont nous cherchons la valeur
nosvil est visible que selon le premier
cas AC est egale a AB, moins BC,
et selon le second Cas AC, est egale
à ABplus BC. et ces deux Equations particulieres
nous Equatia du l. eas AC donneront
une generale ambigue, AC egale a pl ABplus
ou moins BC. par consequent au lieu
de l’Equation du 1. cas AC () ABL BC
ou ............. 2 .. AC ( AB+ BC
nous formeronun generale ambigne, AC ( AB = BC.
Et par consequent le primier signe simple
ambigu sera c’est à dire = ou +.
Juesque à la je crois de n’avrin rieu
dit que de tres clair. Soit maintenant ue
certaine grandeur affectée du signe =, par
exemple = a c’est a dire.  + a. car
puisque + aussi bien que- signific une Relation
1
entre deux, et qu’il n’y a qu’une seule grandeur
a, l’autre sera 0 ou rien: Supposons apresen donc
que la dite grandeur = a, doit estre adjoutée
à une autre B, le produit sera 
b + Fa c’est à dire b a car le signe
Mog Peus
+ ne change point les autres signes: mais a present
supposons que la dite grandeur d 4 a doit estre
soubstraite d’une autre b no nong le Produit
sera. b = +a, ou b moins =a. et
par aeque

## Folio 29r — 00069349:0057
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 30v); this page is its right half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
par ce que cela, arrive bien souvent, je trouve
d’employer
à propos de faire un seul signe,  au lieu
de ces deux = et  joints ensemble, et le
produit susdit sera b = a, et = vaudra - +
Et generalement j’observeray cette regle, qu’un
signe ambigu portant un au bas insistant
sur un =, Utlune signification contraire à celle
qu’il auroit sans cela ou que le signe avec
moins, meme
le  signifera a le signe sans .. par
exemple + sequf (que nous expliquerons
cy apres:) signifiera 
 - + +
Par consequent si dans une mem formule
c ou Equation d ces deux signes opposés
se trouvent à la fois comme par exemple
+a + b () c et que cette formule
vienne a estre expliquée ou appliquée à un
certain cas particulier, ou  signi fie par exemple +
alors  s’expliquera aussi et signifiera..
et si 4 signi fic = dans le cas particulier
dont nous avons besoin, signifiera +
et suivant cette explication on peut dire que
si  signifie + ou =,  signifiera = ou +. i et vice versa
pour l’appliquer à l’exemple susdit
considerons les ois Egptions deux Equations
particulieres, et leur generale, ou AC, est supposee comme inconnue, C
ligne
expliqué Equati par le moyen des AB et BC.
apresent servons nous de la transposition selon
les loix de l’Algebre ordinaire, et transferant
BC du costé de AC tachons d’expliquer
AB supposée aprsent maintenant comme inconnue
par le moyen des deux autres, AC, et BC.
Et l’Equation du 1. cas AC B AB - BC nous donnera AC + BC (I AB
  ..... 2...- AC (I AB+ BC... .. ...
Et l’Equation generale. AC ) AB = BC... . . . . .
et il ne faut qu’appliquer ces Equations aux
cydessur
lignes pour en voir clairement la verité.
Et a fin qu’on ne croye pas d’avoir besoin encor
d’un troiscesme qui signifie  C il faut
considerer que - = vaut = = , cep a diue  mplenent = pur ae que  nuris puise t
Hau bas du caractere
 la ligne
AC = BC ( AB
AC = BC  AB.

## Folio 29v — 00069349:0058
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 30r); this page is its left half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
il y a encor diautres exemples des
ambignites simples. Ces signes simples
sont
exprimer
F, et = suffisants pour toutes les ambiguités
simples, ou l’Equation ambigue ne comprend
que deux particulieres, quoyque il y en ait
encor d’autres exemples differents de
ceux que je viens de rapporter; et pou
pour
en faire voir l’application,
soit comme au paravant une ligne droite
dans la fig. 
indefinie, dans la quelle tombent
trois points A. B. C. dans l’exemple
cydessus nous avions pris un certain point
1
pour ambulatoire, icy  nous donnons à
à dexla liberté de se remuer, mais à
quadeu tecnas entre eux une
condition de garder tousjours entre eux une
mee distance el 
même distance et de ne bufrir jamais,
que le point A se mette entre eux. Je trouve
pourtant qu’on le peut expliquer aussi avec
plus de netteté et de rapport à l’eremple
au premier exemple, en ne supposant qu’un
seul point ambula toire A. qui se metle
tanto st a droit, tantost a gauche dela
ligne BC. dont les deux points sont
considere) fixes; sans permission
neantmoins,
pourtet
de se mettre entre ces deux
points B et C, comme la 4 ne figure
le fait voir. Or par la collation de la
3me et de tu 5 me et de la 4me figure.
ont voit bien que l’une revient à l’autre,
car le 1 cas de l’une ailion que de
l’autre, sont semblables entierement, le
2 cas de la quatrieme, est n’est
que le renverse du 2 de la 3me, et il ne
faut que renverser là feuille de papier, ou
la regarder de l’autre coste, pursque
elle est transparente, pour sen apperceuvoir. car
seut
maist’on voit bien que le renversement de la
ligne indefinie donnée tout entiere ne  change
nien aux relations que les trois points A. B. C
y peuvent avoir entre eux.

## Folio 30r — 00069349:0059
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 29v); this page is its right half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Laissons donc la 3me
comprise dans la 4me, et ne comparons que la
zme de l’exemple cy dessus, avec la mese celuy cy:
nous voyons qu’il y a dans la deuxieme aussi
seul
bien que dans la troisieme un point ambulatoire
qui est C dans la 2e et A dans la 4me qui
a la liberté se promener, mais pas toute entiere
car dans la 2de il luy est permis au point
ambulatoire C. de se mettre ou entre. les deux
certam
points fixes A. B. ou d’un costé, par
exemple dans le 2. cas de la 2. fig. du coste
droit. mais s’il a pris le party de se
mettre du costé droit, il ne luy est plus permis
de se mettre du costé gauche et viceversa;
car sil vaul se vouloit placer tantost à droit
tantost a gauche, les cas ce seroit lexemple
cas de la 4me figure, et s’il vou loit placer
tantost à droit, tantost a gauche, tantost
entre deux t ne pe l’Ambiguité
ne seroit plus simple, de deux cas particuliors
mais composée de trois. Ie Pour la même
raison il est permis ay point ambulatoire A
de seplacer
de la 4me figure, stantost a gauche, tantor
a Droit, mais pas de se mettre entre les deux
point fipes B et C.
Or celuy qui consid voudra considerer attentivement
la 4me figure remarquera d’abord quan j
parte des points fixes or luy quand je parte
des points fixes il ne faut pas s’imaginer que
ces points gardent necessairement une même distance
entre eux; mais je les considere comme attactes
ensemble avec une corde, qui se peut allongeter
ou rappetisser; sans changer autrement de situation
mais je considere le point A comme de taché avec
liberté de santer de place en place. Il’est vray
que tout cela est arbitraire et que je puis concevoir
que la ligne BC se renverse, afin d’avoir
le point A tantost du costé de B tantost du costé
de L, ou qu’elle salite elle même (sans se renverser)
poer arau le porit et tantost a dieis tarest aguudhe, q
 dans le 1 cas de la 2. fig.
 de la ligne BC.
A de la 4 me figure

## Folio 30v — 00069349:0060
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mais il est plus simple d’attribuer le changement
au mouvement du point, qu’au mouvement de
la ligne entiere comme l’Hypothese de Copernie
et satisfait mieux
est plus commode quant à l’imagination que
celle de Tycho.
Or celuy qui voudra considerer attentivement
la 4me figure, trouvera d’abord que la ligne
BC, y est la difference entre les deux lignes
AB, et AC. car selon le premier cas
de la 4me figure, l’equation sera ABC (, AC = AB
BC sera egal à AC = AB et selon le sécond
Cas, BC sera egal a AB - AC. Et
(Equation du 1. cas de la 4me fig. estant BC (HAC - AB
... .... 2..... BC (- AC + AB
l’Equation ambigue generale sera BC Y) + AC + AB
Cette maniere de marquer la difference de
deux grandeurs est bien plus utile, et bien
plus naturelle que si nous voulions nous
servir d’un certain caractere, qui signifie
difference comme Mons Scoten, se sert
de celuy cy =, car a = y egal a b
luy signifie que  est la difference entre a et y.
mais comme j’ay d’éja touché cydessus
ce Caractere est contre les regles de la Caracteristiques
par ce qu’il n’est pas assez maniable, car
vous ne sc auriez mettre les connues a. b. d’un
coste, ny separer a, qui est connué, de l’in connue y
sont
parce que ny a, ny y point de caractere
a part: mais se lon ma maniere d’exprimer
la difference, l’Equation seroit + a = V F
qui nous donneroit so enfin selon les regles
Cydessons, y  = b + a. ou y
on  2ya 1 a l . c’est a dire
a de de sorte que l’inconnue se trouvera
toute seule d’un costé de l’equation
sans aucun signe am bigu, l’ambiguité
estant transferée du costé des connues.
ce qui est bien souvent necessaire, comme je le
feray voir plus bas.
Les ig Je croy d’avoir assez expliqué les signes ambigus simples, for ou du premier degrez, pour
pouvoir maintenant passer outre aux composés, c’est à dire qui sont du fecond truidiesme
ou quathieme degrez, et ainsi de suite. Car comme les simples ne sant que de deux cimbiguitez, ceux du second
degrez, en onte trois, et ainsi de suite. Et pour entendre la nature de ceux du second degrez, a faut considerer que
e Poina

## Folio 31r — 00069349:0061
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Si le point ambulatoire a la liberté de
de se remuer toute entiere, et s’il peut se
placer tantost à gauche, tautost ca droit, de la ligne fire BC. Noyez la 5. ne figure:)
tantost an milion de la ligne entre les deux
points fixes BCalors nous aurons trois
cas particuliers, ces quels deuvant estre
compris dans une seule Equation Generaleumbigue,
les signes ambigusy employés deien seront
du serond degre Z
Composez, dont voicy la representation,
l’Equation du 1. cas de la 5. fig. AC FI+ AB + BC
.... . . . ... 2. AC (1- AB + BC
......... 3... AC + AB - BC
Et l’Equation ambigue generale sera, AC (I+ + AB + L BC
’et
Clad la valeur des Signes composes
+ + et
as
est manifeste, sçavoir que la grandeur ou ligne
selon le l. c)as,
AC est ou la somme, ou la difference deL
lignes AB et BC et si elle en est la difference,
elle sera ou Agale à  BC - AC, selon
le 2. cas, ou égale a AC - BC selon
le 3me. Et  fin qu’on entende aussi la
raison de la forme du caractere pour en
faire d’autres en cas de besoin il faut
seulement considerer, que l’un d’eux est
composé de + et  l’autre, de + et L
par ce que AC, est tantost ((AB + BC selon le 1. cas c’est à dire la somme
... . ...) = AB + BC....... 1. et 2. Ca5... .. . . . .... difference
second sequoir t +L ne deuuroit
pas estre composé de de + et = mais de
+ et 4, en quel cas il donnersoit +
la raison pourtant du contraire est manifeste,
par ce qu’a lors on ne df le discerneroit pas
du contraire du signe opposé  au premier +
ou de = + F que j’exprime par  selon
la maxime generale susdite; et par consequent
quand un signe oppose a un autre, comme
opposé à = doit entrer dans la
composition d’un autre signe, il est
a propos de mettre un peu plus haut le trait
qui estoit embas, et de faire
,
t te on plos test le
s de AB et bC.
AC

## Folio 31v — 00069349:0062
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prolonguer d’avantage versembas la ligne
perpendiculaire du caractere, et de faire
+ L au lieu de 1=; et  + = au lieu de +=
Et à fin aussi qu’on voye la raison de la
distance que je laisse, et pour quoy je fais 
 au lieu de +, et 4 au lier de  ou
l découvre
par le moyen à la premiere veue l’origine et composition
de tous ces signes,  mais qu’ontre cette commodité
il y a même quelque necessité de faire de la sorte
pour eviter l’equivocation, ou confusion de deux
signes de differente signification, car posons
que le signe  doiuue, entrer dans la composition
alors
d’un autre, si on en faisoit L en haussant simplement
quand s entie ndi austi spusse composition
du signe  par ce que en le haussant simplement
aussi.
dqrions eu +F au lieu de + L
donc, voila deux  l’un faite + F, c’est à dire d + ou =: l’autre de  f,cest a dire
derente significatian fait, de
l’ant de L ou = c’est à dire du + et du
contraire à =: ce qui n’est pas le même
par exemple
C voit prule a Quand je dis que +
vant + ou f, et que l f.1 + F vaut 4 ou 
cela se doit entendre avec une relation entre de
ces deux signes ambigus compesez;, de sorte que
si dans l’enplicalio l’application de l’ambiguité ou
generalité a un cas particulier,  est explique
par = alors +F sera explique par = et
viceversa. Mais si + est explique par
, il n’est pas necessaire que  soit explique
Par -. par ce que dans une de ces equations
particulieres AB, aussi bien que BC sont
affectées par +. Par consequent si l’un
de ces deux signes composes est expliqué par +
l’autre sera explique par  et viceversa
(avec la caution pourtant, que nous y apporterons plus bas:)
de sorte que l’ambiguité de composée qu’elle
est, de viendra simple. Et par ce que
H entre le trait haussé, et les premiers
contraire a
c’est à dire
+
fait
e car entre ces trois equations susdites
il n’y a pas une ou AB aussi
bien BC, tout a la fors soient
affectes par-
de la sme figure

## Folio 32r — 00069349:0063
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la liste des Equations particulieres
AC () + AB + BC
+
 AB+ 1+BC qui peuvent estre
 tAB- BC Lestre entendes=
Tasta Genernle +  AB. + = BC.
fait voir
que ces deux signes ambigur + F et + +
signifient outous deux , ou que l’un signifiant
, l’autre signifie  unay jealles exprime en metant + au devant, en tous deux
+ v et  F, au lieu de 4 et + + dont
nous aurons besoin dans une autre rencontre
On voit en fin par la, la grande difference qu’il y a eutre l signe +, et tus les autres
qu’il n eutre les sign cles et composes pour
terpretatione et l’uvage. Car le signe
simple  peut subsister tout seul
par cequ
sans changement, aril ne dit point de relation
a aucun autre; mais taus les autres estant
contiennent quelque relation à un autre signe provenant
qui provient d’une même equation ambigue, et paonsequent je les appelle correspondants
pour cela
Car si dans lonation nostre calcul
Par exemple si nous avons deux signes ambigus
simples, et  provenans de l’equation
 a + y
I b, et si dans la suite du
calcul Je signe  evanouit, comme il arrive
en cet exemple, ou nous trouvons en fin cette
equation,
y YI = b + a. alors nous
si nous nous determinons à abandonner entierement
la premiere equation, avec tout ce qui en d est
provenu, hormis cette cette nouvelle trouvée
dont nous pretendons nous seroir à l’avenir
dans le calcul qui reste à faire; nous pourrons
sans scrupule changer le signe  en =, et
nous servir de cette equation, y ( + b + a.
Mais pour donner une regle generale
 je dis si quelqes signe que c puisse estre
si plusieurs signes ambigus proviennent d’une
même equation ambigue, et si dans la suite
du calcul tous les autres evanouissent horsmis
in vet qu rctes ale celus poterte
ou sont correspondents
 par exemple f et
F

## Folio 32v — 00069349:0064
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par exemple   peut estre changé en
un simple +.  Mais si de trois signes
ambigus qui ierent d’une meme Equation
Correspondents deux restent, alors il pourra bien que
aurir la composition du signe sera deminués
e der le signe pourtant ne deuviendra
pas tousjours simple. Ma Il n’est
pas necessaire de’n rapporter des exemples, du dernier
par ce que ces cas sont rares, et embarasseroient
seulement le lecteur, sans autre sans utilité
Il faut seulement remarquer que le 4
provenu de ce changement ne sera pas le
même avec le premier  doy as pous
ser qui entroit dans la composition des signes
ambigus composes evanouis ou changes et
par consequent si ce premier  reste encor
ailleurs dans le calcul, il faut renfermer
le nouveau dans une parenthese, comme
= à fin qu’ils ne se confondent. La
raison de cecy sera  rendue plus bas
quand il s’agerat des differentes positions
xemete
ambigues.
Par consequent si tout le calcul
d’un probleme proposé seroit reduit à une
telle Equation + = a ( = y +  Cy
on en pourroit faire sans scrupule, (+) à = y + Cy
par ce que ++ (c’est à dire + ou ;) et
(: c’est à dire = =) n’ayant point de correlatifs,
(: que je suppose estre evanouis:) pourront
estre changes en des simples , mais independants
l’un de l’autre ou comme je les appelle, heterdgenes
(voyez plus bas =-) et par consequent il en vaut renferMer un dans une Parenthese.
Je n’ay employé jusque à la que trois
points, et deux lignes exlies a servants
à expliquer la troisième: Mais il arrive
aussi, qu’on ait besoin de 4 points et de trois
lignes pour expliquer la quatrieme; et cette multiplication
des points et lignes, peut augmenter à l’infini
la composition des signes, comme il est aisé
a juger toutes fois si de ces 4 points
il n’y a qu’un
A comme nous venons de dire
un peu au dessus. La raison enr 
provient de la réponse à une objection
qu’on m’a fait souvene sur cette
matiere. Carcon m’a dit, si Toss
signes ambigues ne signifient que
+oupourquoy en faut il tant
et
Ma response est que les signes
ambigus ne signifient pas seulement
tousjours plus ou moins, mais aussi
quelque relation entre eux, sçavoir que
qva
lu
l’un  + quand l’autre et =, et
vice versa, ete, comme je viens d
expliquer. Par consequent quand cette
Relation cesse, cest à dire quand des
signes correspondents ou qui ont Relation
entre eux un seul reste, alors celuy
lquelque composé qu’il puisse estre
deviendra simpu.
A cette precaution

## Folio 33r — 00069349:0065
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’il n’ya qu’un seul ambulatoire, il n’y
aura aussi en effect que trois ambiguitez, et
des siy e fimes tels que nous venons d’expliquer
suffirent les signes de l’Equation ambigne
generale ne seront pas plus composez que
ceus que nous venons d’expliquer Par
exemple soient trois points fixes, A. X. P.
c’est à dire qui ne changent point de situation,
quoyque il se puissent approcher ou élogner
l’un de l’autre, et soit un quatrieme poinct
ambulatoire F avec liberte entiere de le placer
ou l’on voudra, je dis que neantmoins il n’y a
aura en effect que trois e cas particuliers, parce que tout arrive comme celuy des poincts fixes
Car si nous voulons expliquer la ligne FP
par le moyen des lignes AF, AX et XD tout arrive, comme si nous voulions expliquer la
et si nous posons que le poinct F est dans la
place marquée de L, ou 2. ou 3, ou 4, alors la 2. et 3me place ne donnera qu’une même Equation
alar (X) F  nous donnera F L  +A.
+ sk  X
si
fig. 6
qui est au milieu des deux autres sç avoir X
n’y estoit pas
ligne FP, par deux autres seulement,
sçavoir par AF et AP.
(2)1
=AF + AX +
et l’Equation generale ambignesera: F P p7 + FAF + L sa
par ce que AP est () a + AX + X P. m
neantmoins si touts les L lignes AX, et XP
sont inconnues toutes deux, ou indeterminées, il
ne sera pas a propos, de les exprimer par
plustost
une seule AP, et il faut mieux les joindre
par un Vinculum et l’Equation generale trouvée
se pourra exprimer ainsi t
FP F + F AF + + AX+ XP +
Puisque ce Vinculum à cela de commode, qu’on le
eximet
peut dissoudre, et qu’on en peut fare ce qui bon
nous semble, au lieu que le vinculum d’une
racine sourde est indissoluble.
+
 à l’imitation des racines sourdes

## Folio 33v — 00069349:0066
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de me suis servi dout expres d’un exemple
don qui arrive effectivement dans le Calcul
du Probleme, dont j’ay fait mention au commencement,
et qui me doit servir d’essay de ma methode,
sçavoir: de mener la perpendiculaire d’un
poinnt donnésà une section conique donnée ABC
car soit A, le sommet de la courbe, le point
donné D. du quel soit menée sur l’axe
la perpendiculaire DF. Manitenant le point
demandé dans la courbe, vers le quel il faut
soit la perpendiculaire DX, on DP, rencontrant
la ligne ou courbe donnée dans le point 2,et
l’axe AF, pralurone lei dulin p
da point Y soit meuee sur l’axe, la perpen.
diculaire X
puisq don nous avons deux Triangles semblables
DFP, et Y X P, Et nous aurons les mêmes
 points, dont nous venons de parler, avoir
trois fixes AX. P. et un ambulatoire F,
Caon o avec liberté entiere de se placer
en quatre endroits differents. Il est vray
qu’on pourra conter aussi les cas, qui font tomber le point , dans les poincts A, u , oul
tomben le punt C, dans le poinnt a tiand
le parit D tombe dans la ligne AE, touctante
du sommet,) ou dans le point 2, (quand le
point D tombe dans la courbe, ou dans le point
3
ou dans le point P, (: quan le point. D. tombe dans
l l’Axé, ou dans le point P, et tous ces trois
points D. CY se trouvent coincidents:) comme
je le agoi conté cy dessu Duno si nouc
Done  si nous faisons X () AX a
p
AF
IXF
nous aurons l’equation generale ambigue
SP (11+f +
X +p
Il reste à demontrer, que les trois poincts A. X. P
sont fixes et qu’il ae changent point de situation, dans toutes les coniques, et que s tomle tousjours entre
ce qui est fort aisé, car dans l’Hyperbole et P’arabole
comme je les avois contés cy dessus, mais
la variete quien arrive, tombe sur les
lettres, ou lignes, qui deviennent quelques
fois infiniment petites, dont nous parlerons
par apres, et point sur les signes.
A et C

## Folio 34r — 00069349:0067
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 33v); this page is its right half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
la
persendiculaire
ligne Zl s’eloigne tousjours de liux
du sommet A, en allant de Y vers S dans
l’Ellipse et dans le Cercle le même axe a
deux sommets: donc on peut tousjours se
servir de celuy dont ces deux sommets, dont
la ligne LL s’éloigne, pour rendre le
calcul de toutese coniques general. On voit
donc bien que si quelques unes des courbes
données  pour mener sur, elles les perpen diculaires
fort
d’un point donné estoient recourbées,
a conhoeidem et autres, qu’alors l’ambiguité
seroit bien plus composée: et que nous aurions
besoin aussi de signes plus composés pour donner
une Equation generale. Car alvus il pourra
tantost
arriver alors quem la perpendiculaire s’approche
du somme t
tautos de lue, et tantost qu’elle s’en éloigne
Il y a encor d’autres signes ambigus du second degre
scnd, ou composez de trois ambiguitez seulement
outre +f et  que je viens d’expliquer  Et pour en faire comprendre la nature,
lur soit une prde equation trouvée
a
a queax
i
Pade, la racine en
pent estre: ta 4 X 2, qad car quoyg
ou ta + X stn
 e a f X, o a- X multiplie
siit ( +a + b
ou  +a + b
1IC
-----
se diqil
je dis qu’il y a e en effect trois ambiguitez
cachées la dedans
A a
car en ql t pubstituant à la place de = sa valeur + ou 
nous aurons à la verité 4 expressions, mas dont la 1. et 3me ne sont qu’une
e
A+ (4) + a
+ b
+ b lC
2
+b
Ambignite
On me dira que cette Eali donc
est la meme, avec l’aute celle que nous venons
d’expliquer + a
a
a
+ b
+ b
=b
es ione tt a 
t
1
même
H opposes l’un à l’autre, et la line
perpendiculaire YP, s’éloigne de
’un et sapproche de l’autre

## Folio 34v — 00069349:0068
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 33r); this page is its left half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
mais je reponds, qu’il y a de la difference
et qu’en fait de composition des signes ambigus
par le moyen de quelques autres de ja posés il
ne faut pas venir à la resolution de ceuxcy; car
alors nous perdrons le rapport qu’il y a entre
les signes de ja faits et posés, et ceux qu’il y a
à faire, comme nostre exemple le fait voir,
car multipliant + + a + + B protus eme, 5)C
nous aurons +a + + ++ 2 ab + b2
n
1c
tirera jamais universellement + a +2ab + b, 
et neant moins cela deuroit provenir, selon
les deux equations particulieres ou caspossit
u
donnés au commencement, sçavoir:
= a + b, 27 c, car l’imfaussi bien que l’autre de ces equations particulieres
rien
estant auaunee dvera
estant quarrée donnera + a 4 2a b +b (7 C. Done les signes +  et + f ensemble n’y servent de 
ou + a + b
danc et l’Equation ambigue Generale sera:
+ F a. +F b
1IC
pour marquer que l’une de ces deux grandeurs, a, et b
estant affectée effectiment du signe + l’autre
le sera du signe 4, et ersa et viceversa.
Pour donner aussi un exemple des Ambiguitez
de quatre cas particuliers, ou des Signes composez
du troisième dégrez. Soit selon
l’Equation particuliere du 2. cas AC f + AB + BC
1. . . . . .    2. AC 11 - AB + BC
1..... 3. m  . AC 1) + AB - BC
1. . . ..........  4. AC ( - AB - BC.
Et b Equatiqu Ambigne Generale sera AC F(+) = AB (F) = BC
Dont voicy la raison pour comprendre la formation de
ces deux signes. Sçavoir, que ces 4 cas, peuvent
estre reduits a deux ambigus: ACY) (+), AB ()BC
ou AC Fy = AB + BC
c’est à dire AB et B, sont affectées tantost d un
même signe soit ples +, soit - selon le 1, et 4me cas;
tantost de signes opposez, selon le 2. et 3me cas.
Or à fin que deux signes semblables mais heterogenes
+et (Y) ne se confondent pas l’un d’eux est
renfermé dans une parenthese, elose en haut pour
estre discernée d’autres parentheses; et a fin
de discerner un seul signe (=)= de deux qui se
multiplient, (X) = les parties du premier sont
unies par un trait d’en haut. En fin on voit bien que
En fin l’on voit le quatiieme cas
H ou fabrique
par luy même
dont on  ne

## Folio 35r — 00069349:0069
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le quatrieme
Enfin l’on voit bien, que
le quatrieme cas suppose une grandeur fausse, ou negatioe,
ou moindre que rien; c’est à dire prise en sens contraire
à celuy cy dans le quel on la proposoit du demandoit
car soit une ligne droite indefinie DE dans la quelle
tombent trois points: A. B. C de 6 facons
differentes replesentées icu fig. 8.
valeurs reelles
ou positives.
1AC, AB + BC
2 -AB + BC
37
4)
5
b
+ AB- BC
AB+ BC
+ AB- BC
+ AB+ BC
Or si nous ne contons que les varietez des Equations
qui nous donnent la valeur de la ligne reelle ou positive
des points
AC, ou les differences des Voisinages, sans avoir
egard au rang, ou au costé droit ou gauche;
et par consequent si nous prenons celles dont
la
l’une est renversée de l’autre, pour une seule
comme 1, et 6. item 2, et 4 item 3 et 5
nous n’aurons que trois varietez. Cllais
si dans le probleme ou theoreme propose, on demande
que la ligne AC soit prise du poinct A,
vers le costé D. et que sa valeur soit determinée
par les lignes AB et BC. alors cette valeur
peut devenir moindre que lien. Car dans le
quatrieme cas, soit soubstrait, tselon
’equation des fausses valeurs, ou adjanté c’est à dire Aton l’equation des valeurs reelles, ABsoubstraite, et
BC adjoutée risou prisireellement, mais en sens contraire vers E.)
contraire selon l’equation des valeurs reelles; 
vens (
AB. soubsnait, d donc puisquse BC est ( AB
il y aura plus de soubstrait ou de pris en sens
contraire vers E, que d’ay adjouté ou de pres
selon la demande. par consequent la difference, sçavoir AC
AE tombera du costé de E. Le même mais
apres un échange des ligues, arrive au 5 me ca5.
Mais au 6me tout est pris en sens contraire ou vers E,
AB aussi bien que BC, or prendre en seus contraire
cest a die recuter est sproprenents enbestaro
vi
aleurs fau
AAC 5 + Ab - BC
B.
e
C
BC(prb)
AB + BC
ceris
verse
gatives
 signific plus grand
voyez la Table
des Caracteres.
qui est posée
H AB adjontee mais BC p AB (plus granequ AB)

## Folio 35v — 00069349:0070
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or non seulement celuy qui a avancé peut
reculer, plusmeme qu’il n’ait avancé comme dans le
ut me
4.5. cas; mais celuy aussi qui n’a rien avance
du tout; car en reculant, il avance a rebours
et son avancement est moindre que rien
puisque il faut encor qu’il avancé pour pouvoir
dire de n’avoirrien fait; comme celuy qui doit
plus qu’il ne possede. Mais enfin à l’egard
des signes dont il est, question uniguement, il n’y a
differens scavoi le 1. le 2. le 3 et le 6
que 4cas, puisque le 4 me est compris dans le se cond (. 3 m.)
, et le 5me est compris dans le 3me (:second)
selon les vrayes (: fausses:) valeurs. je fus
pourtant obligé de rapporter le 4 me et 5me cas
aussi, pour faire voir comment la valeur d’AC
peut estre fausse, sauf les signes; et comment
il y a lantost 3, tantost 4 lantost 6 varietez
selon les differentes considerations
Voila l’explication de tou des signes
Ambigus dont on peut avoir besoin ordinairement.
Car de monter aux compositions plus hautes,
d’expliquer les varietez qui peuvent arriver,
quand il y a plus de trois points employez
sur tout quand on y mêle les fausses grandeurs;
d’expliquer les cas differents dont on peut
avoir besoin, quand les nous supposons les
points tomber dans une circulaire ou autre
qui recourt en elle même, au lieu d’une droite
indefinie: ce seroit plus curieux qu’utile
et ne serviroit qu’a embarasser inutilemen
l’esprit du lecteur: puisque ce que je viens
de dire, avec que je m’en vay d’y adjonter
estant bien compris luy suffira asseurement.
Car je pretends de donner un moyen de nous
passer de la fabrique de tant de signes nouveaux
sur tout quand ils seroient tro composés; à fin d’applanir toutes les rudesses de chemin, qui ne fut
Je dis donc, qu’absolument ces deux siones
pourroient suffire.
en etlest
cu
 est agei un 
sans c’est adire sgilie 1ais puisque
cu destuo teite eo tt
Il dit pate outre cela une relation à d’autres mais la considetation du ien pubue a empor
marque
veritablement, et qu’il revienne au premrer
endroit
A la plas part 4
H en ens de necessite
et je l’ose dire, facilise possible. d’ay balance si
se le deuvois donner, puis qu’il m’avoit servi de principe
d’invention, qu’on a accoustumé de supprimer, pour
faire paroistre d’avantage les theoremes inventes.

## Folio 36r — 00069349:0071
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torrespondents, ou qui prosiennent de la même
equation dont  le signe propose  trre
son origme comme a +F; donc pour malquer
aussi cette correspondende je trouve qu’on
se pourroit servir d’un tel moyen expedient
soient trois ambiguitez données dans la valeur
de trois grandeurs, a, d, g. dont neus avons besoin dans un même calcul
2. ambiguité
+ b -c
ou + b +c
2 ambignité
d -d+f
on + e - f
ou+ e
hmeambiguite
 -h + K =l
ou + h = K + l
ou =h = R + l
Leur Equations ambigues generales
pourront estre stelles:
a (+b +C dp (EFise ()f
3
DN (F (F)k (+2) (3+3)n
Par exemple (3 +2) K signidie, que le signe ambigu
dont K. est caffecte et le Aecond signe ambigu,
de la troisiesme ambiguité, et (Q=2) l signific
que celuy de l est le contraire de celuy de K.
Et On peut avoir besoin de ces sortes de nombres
et pareutheses, si mêmes on se senirdit des signes de la fabrique des signes
trois
C
composez. Car posons qu’il y ait eux ambignitez
independantes ’une de l’autre, et qu’on trouve
les signes compose= et  aussi dien dans
l’une que dans lautres, donc pour Les discerner
ces signes differents, quoyque semblables, il sera
a propos de laisser celuy je la premiere sans marque, +  et de marquer
celuys de la seconde, (2 + F), et celuy de la 3me (+ F). Le Usage de ces nombres est manifeste
Mais a fin re ne laisser rien échapper qui
soit de consequence, il faut considerer qu’une
ambiguise peut estre  soubs distinguée
par exemple
par une autre
Cad outre les trois ambiguite,
susdites, qui expriment la valeur de a d, g
pas encor battu, et poutreouire tout à la derniere claré soit incor une autre, selon la quelle
signes
a
s
(3+2)
ou + P
L9 Ic’est à dire si p es affecté du même signe dont K est affecte cydessus
(F)
aus, q sera affecte de =, et si p est afecte de t, alors
qsera affecté du contraire à celuy de R. Donc
pour donner un signe à pil fait marquer, qu’el est le premier, et que q est le second signe de la
semiere soubsdistinction du deuxième signe de la troisième ambiguité ambignite, et nous
Rourions faie.
(. +)u P
ou q
+generale am bigue
2
M
par ce qu’il nous m fait tousjour
voir dans la suite du calculquels
signes sont correspondants sçavoir ceux
qui portent le même nombre

## Folio 36v — 00069349:0072
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Neant moins puisque il scroit fort ennugeux, demployers
tousjours des signes si embarassez Et pours
prevenir une objection qu’on ne manqueroit pas de faire
sçavoir que dans la suite du calcul ne la pepetition
des signes si embarasses seroit fort incommode; je
reponds qu’on n’es est pas obligé, et qu’il sufet
de les employer, quand on remarque que plusieurs  signessdants sont
joints ente eux ensemble, et qu’ils se pourroient peut estre
expliquer mutuellement.   hde alors il est a propos
ce cas en peut d’exprimer leur signes pour voir s’ils
sont correspondants Pors de ce cas, on peut
employer quelque nombre, éspile nombree, ou autre
marque à leur plade, ou meme une lettre;
car par exemple + + est  + +1, a
ou b multiplié par Y = 1., ou par + = a, donc
posons a, à la place de ++ a, et nous aurons
+ ab à la place de = b.
l’ela pia fait auger à un expedient
assez commode, dont on se pourroit servir, en
cas d’un grand embarras d’ambiguitez. Soit
une ambignites d (+ b tC, representons dans cette premiere ambiguité
ou 4b - 
+ par a et - par , et nous purons a ( +b (0)C au lieu de d5 + + c. par consequent
soit dans le même calcul une ausre ambiguite l
= sera (CCN), et nous aurons b (td (∞a) C
C 7 + f - gI  posens ( egal à +, et  égal à =, de la 2de ambiguité, et nous aurons
ou f + q.
C
avions
β()f (4B)g. Soit une 3e ambiguité, se lon
laquelle nous vans h ( +K = l, posons ) egal à + de l 3me ambiguité et
et nons aunons,  P) (a ) X (acy) C
 = K
+1
soit une quatrieme umbiguité, sçavoir
et noys aurons  (V, aco) X (aco)
si + est celuy de la pramiere ambiguite, on o
m  yB + p, et posons d egal i +, et  egal  -, de la quatiiem eam bignite, et
=n + p
L + n  p
nous aupons m  (89n (55) p
Mais en fin pour aeplanir toutes les rudesses
de ce chemin, qui ne fut pas encor battu et
pour redee tout, je lose dire à la derniere
clarte possible
Je dis donc

## Folio 37r — 00069349:0073
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je dis dons, qu’on qu’on peut exprimer les signes
par le moyer des lettres, Et à fin de veniy à une
espece d’Algebre pour trouver les signes; comme
l’on trouve ordinairement les grandeurs inconnues
De choisis pour cet effect les lettres. Grecques, pour
les disti distinguer plus aisement les lettres des
signes, des lettres des grandeurs. O sinque signe
ambis Ces leues De ces lettres Grooques de l’Alphabete Grec
je les premieres signifieront,  comme,
X. 3. 7. d. les ernicres significiont = comme 0. VV. 
Et a et co, par exemple signifieront + ou
de la premiere ambiguité; β et , de la seconde, ec
Cette expression des signes par lettres n’est pas
si forcée, qu’elle le paroist d’abord, car
par exemple ∞y signifie I, y.
or    = L, est une grandeur, et
chaque grandeur peut estre expliquee par une
lettre, donc =2 peut estre explique par c0,
et nous pouvons faire coy au lieu de -y.
nouso
pourveu que nous, souvenons que ces lettres qui
signifient un nombre, ou une raison, n’augmentent
pas les dimensions: et pour cette raison à fin
de les distinguer d’avantage des autres, il sera
bon de les renfermer dans une parenthese
close, comme (∞) y
Si deur de
ces lettres se trouveront ecrites l’une aupres
de l’autre dans une même parenthese
comme (∞G) y ccela signifiera ou l’un de signes comme   on 4)
ou l’autre lite sçavoir = on c0)
Mais il sera à propos de reprendre
les exemples de tous les signes, dont nous
avons parté, et de monstrer comment nous les
lesgere
pourrions exprimer par fies d’une maniere
qui nous fera voir en même temps tous leurs
usages.
Soit une ambignité.
+ b + c
10u + b = c
representons le + de cette premiere ambignite par a,
et le = par Cd, et nous aurons
 +b Cacosc, a liade d pab +C
d(0)
A inconnus
 sçavoir un nombre
 ou dans lasuite.

## Folio 37v — 00069349:0074
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et si nous cherchons la valeur de b, par
en nous servant
la même equation par le moyen d’une transposition
necessaire, nous aurons:
b 7 d = (4c0) C,
c’est à dire
b F7 d (0∞) C, au lieu de b r d FC
Car il est manifeste qu’un signe estant
comme (ac0) estant affecté de = doit estre
changé en sorte qu’a soit mis à la place
de c. et viceversa, puisque =a,  W, ou = (+) est ()  ou W0
t  sade ()
et   est A∞
et = cd, ou = () est (Y) ou (a)
la seconde
Soit uneme ambiguite, dans le même calcul.
+f - g
ou - f. + g
josonst l cegal à l de la 2 de ambignité, et
lip
nous aurons
-
e ( (C∞)f (4 () g aulicu de
soit une 3me ambiguité, dans le même calcul
+ K
on =K
ou + K
+l
+ l
= l
posons s egal a  de la 3me ambignité
8
et nous aurons: h  (Y9Y)K (Y19) l. au lien de h
si l’Equation avoit esté
h pI
+K +l ) nons osiousxu
on =X
+ l
on + X = 1
ou = X - 1
 s p
nous eussions en h ∞ (Y9)) X (1799)
au lieu de h ()
() F K
Soit une e ambignité sçavoir
 m  + n Ap
Pasons s égal as.
I(aco)Se
on fn + p
1+
si = est celuy de la premiere ambiguité
et nous aurons m  (3. ac) n, (au d) p
au lieu de M Fy + + n =t p. Le grand avantage Je croy que cette façonfs d’exprimer est assen
aisée, j’y adjoute seulement cette raution que l’ordre des lettres aussi bien que des equations (particuliores
est arbitraire en effect; nais estant choisi une fois, il doit estre observe constamment, pendant qu’il y
a’un autre signe de la mêne equation ambigue, aè fin que ses deux signes gardent laur rapport entre eux.
t
puisque il n’y a rien qui les discerne
que 3l’ordre des lettres

## Folio 38r — 00069349:0075
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Legrand avantage de cette expressions par  tout des signes  parotua tlairement dans la puite: cependant
J est furt pisé d’ampliquer icys ce que il est fort aise d appliquer par lettres paroistra
clairement dans la subiste des operations cesendant il est fort aisé d’y appliquer, tout ce
sennions de aux expressions parflettres tous
que je viens de dire de l’expression par signes,
comme tnt par exemple touchant le vinculum.
item touchant le chaugement d’un signe composé
dans un signe simple, en q cas qu’il reste seul
de tous les autres rnespondants. Car si de la
qme
reste, et l’autre (VV G on F evanourt, le premier
pourra estre changé en celuy cy: (Y9). Mais
si des signes de la quatrieme equation le seul
signe F, ou (d, ac) reste, et l’autre. + F ou (aco, d.)
evanouit le dit signe (5, 4c0) ne pourra pas estre changé
en un simple, par ce qu’on ne sçauroit determiner
signe
si  simple doit estre (8co), ou (X Co); et par ce que
cette equa amb quatrieme ambignite est une
soubsdistinction de la premiere, et par consequent
les signes de la quatrieme sont correspondents avec
ceux de la premiere, de sorte qu’on ne peut pas
dire, que de tous les signes correspondants le sent (d, aco) reste
puisque les signes de la premiere ambignité restent
encor, comme je le suppose.
Mpresent je croy qu’il seray temps d’expliquer la di
division generale des Signes, en Homogenes, en Correspondants, et
entierement Heterogenes  S’appelle Homogenes, ceux dont
un estant expliques l’autre s’explique aussi e par consequence,
entierement et tousjours. Il est ailé de juger par cette definition,
que tous les signes il n’y a que ceux qui soient homogenes, qui sont
 les mêmes  comme (4c0) on +, et (aco)  ou + item
comme (W)) ou  F, et (77 8) on 4+ i ou qui sout
epposet, comme L et = ou (4c0) et (100), on 1 + et +
ou (797) et (8)9)
-
J’appelle correpiondants, ceux
qui tirent leur origine d’une même equation ambigue, et alos
quand il ne sont pas homogenesalors Lun quoyque l’un estant
l’autre
expliqué l’autre ne n’explique pass entierement et tousjours
Il ne laisse pas pourtant d d’en deminuer tousjours l’ambignité.
et même de l’expliquer entierement quelque fois. Par
exemple soit AC (7 + + AB + = BC, ou M  ou qui revient
 prmaii
 Aed io crosue
pisons le cas
 comprenant les deux premiers cas, WV, sous
un seul: tout acu si que nous n’avions
pas feint de (comprendre sous un seula
Je ome et le sme endroit, du
point D, dans la 1. ou y me figure
H car lexpression des signes
par lettres sert beaucoup
à l’éclaireir. Cette division
est de grande importance dans
la suite des operations. Car les signes
l’addition et soubstraction de se peut de
deux signes Homogenes se peut
tousjours faire avec coalition de
ces deux signes en un seul, et pour
cette raison je les appelle Homogenes,
cat deux grandeurs sout homogenes
si. on les peut adjoûter ensemble
Si deux signes ambigus homogenes
se multiplient et se divisent
l’ambiguité evanouit, en fin si
deux signes correspondents
se multipsient ou s’ils se
divisent. il ensuit tousjour
leur coalition en
unseul

## Folio 38v — 00069349:0076
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
que ++ signifie +, alors l’autre + + pourra
estre change en un simple . comme les lettres
le font voir. Car puisque de signe (VGY), L (4) c’est adre Y, c’est à dvele ou (+ +)
1.  eas, est choisi; signifie +, ou y, donc le 1, ou 3e cas de l’ambiguité
sera choisi; c or dans l’autre signe F, ou (77 9) le 1. ou 3me cas sera Von 
 donc + f signifiant + + = deviendra (Y9), c’est à dire =.
Mais d’avantage posons que ++, ou , un de deux signifie,
alors toute l’ambignité cessera, et l’autre sera +. comme il est
aisé de demontrer par le moyen des mêmes lettres.
Les signes Correspondants sont d’une même Equation ambignité
media immediatement, ou mediatement. Immediatement, comme dans la 3mez ambiguité
e
cux+f et = dont je viens je parler, ou comme (+ +) et (4 ) dans la gme.
quatriemet
de fatroisieme Equation
mediatement, comme + I e  den la preniece, et  dans la premiere, par ce que
la la 4me est une soubsdistinction de la premiere, et se sert de la premiere
en y adjoutant encor une nouvelle ambiguité. Il est aisé de les reconnoistre
par le moyen des lettres car ces qu leux qui tirent leur origine d’une
même ambiguité immediatement, on’ont que les mêmes, lettres diversement
rangez; comme (+ +)  s’exprime par (V GY), et  par (7Y8).
et 1+
 s’exprimant par (d, ∞c0), = s’exprime par  (aco, 5). Mais
 s’exprimant par (2C0) + + s’exprime par  (5, 4co). Les
s
mêmes lettres font connoistre d’abord, si deux signes sont entierement
Heterogenes ou sans correspondence; c’est à dire  si elles naissent des
equatis en d’ambiguiteq entiorement differentes, t et sans dependance,
en sorte que l’explication de l’un des signes ne contribue hien ou tout à l’explication
de l’autre, car alors ils n’ont point de lettre commune comme par exemple
le signe , et le signe + =, dont l’un signifie (∞C0), et l’autre (V9V)
Et cela arriven dans le calcul du Probleme proposé, des perpendiculaires des Coniques, voyez la fig. (. et 7.
car alors  depent de la nature de la courbe donnée et  ous
C
 l’explication du signe = depend de la nature de la courbe siposée l’explication
n me
du signe  desend de l’endroit du point donnéy D d
’on me demandera à present, si s’il  si j’aimerois mieux d’exprimer
les signes Ambigus par signes, ou par lettres. Je reponds, que j’aimerois mieux d’exprimer
les signes simples par signes, et les signes composez par lettres. Il me reste seulement
d’adjouter: que si l’on veut employer les signes soit simples, soit composez, et qu’on
trouve deux signes heterogenes, mais semblables q’il faut renfer l’un deux dans une
Parenthese, comme 4 et (F), et s’il y en avoit trois, l’on feroit + et (2 +) , (3 +)
de même +f, et(et F), et (3 + f). Mais si l’on sert de lettres on n’a pas
besoin  de marquer ces pare n’theses par nom bres