# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/36336/text
# Catalogue record: 36336 — De la méthode de l'universalité
# Incipit: 1. La Methode de l'Universalité, nous enseigne de trouuer par une seu
# Date: 1674-05
# Akademie-Ausgabe: AA VII,7 N. 010
# Other printings: Couturat, Opuscules, 1903, S.97-122.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36336&katnr=41585
# AA VII,7: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-7
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,7, p. 128 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII7.pdf#page=128
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00069349
# Title: Leibniz-Handschriften zur Philosophie LH 4, 5, 10
# Folios: Bl. 11–23 (from the shelfmark LH 4, 5, 10 Bl. 11-23): 26 pages, canvases 21–46, page ids 00069349:0021 to 00069349:0046
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00069349&page=21
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## Folio 11r — 00069349:0021
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De la Methode de l’Universalité.
el La Methode de l’universalite, nous enseigne de trouver-
par une seule operation, des formules analytiques et des
constructions Geometriques generales pour des sujets ou cas
differens dont chacun sans cela auroit besoin d’une analyse
ou synthese particuliere. Ou peut juger par là que son
usage s’étend aussi loin que l’Algebre ou Analyse, d
qu’elle se repand par toutes les parties des mathermatiques
pures ou mixtes. Caz il arrive tous les jours, qu’un mesme
probleme sot de plusjeurs cas dont la multitude
embarrasse beaucoup,  nous oblige à des changemens
inutiles  à des repetitions ennuyeuses dont cette
methode nous garantira à l’auenir
. Or comme toutes les propositions des Sciences Mathematiques
mixtes peuvent estre purgées de la matiere par une reduction
àla pure Geometrie; il suffira d’en monstrer l’usage dans la
Geometrie: ce qui revient à deux points; sçavoir: Premieremtent
à la Reduction de plusjeurs Cas differens à une seule formule,
regle, equation ou construction:  en se condlieu à la
unesertaine
Reduction des figures differentes en charmonie; pour en
demonstrer ou resoudre universellement quantité de
problemes, ou theoremes. Le premier point diminue
la peine, l’autre augmente la science, et donne des
lumieres considerables. Car si avec le temps la Geometrie
des infinis pouvroit estre rendue un peu plus susceptible
de l’onalyse, en sorte que les problemes des quadratures
peussent
des centres, & des Dimensions des courbes, se puassent,
resoudre par des equations: comme il ya lieu d’esperer
quoyqe Mr Des Cartes n’ait pas osé y aspirer on
tireroit un grand auantage del’Harmonie desfigures
pour trouver la quadrature des unes aussy bien que
des autres.
3. Il est vray que Mssieurs des Argues  Bascalant
ont cru de pouvoir reduire les sections Coniques en
Harmonie: mais outre que leur methode est boinée
& ne dependque des proprietez particulieres des Coniques
elle est aussy extremement embarassante, par ce qu’il faut
Ceque c’est que la
methode de
l’universalité, d son
utage.
Deduction des ligures
differentesenHlain
lone
11
Parune methode
analytique, au lieude
la synthetique

## Folio 11v — 00069349:0022
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tousjours demeurer dans le solide, e bander l’esprit par une forte
imagination du Cone. Je croy mesme qu’on auroit bien, de la peine
à resoudre universellement par ce moyen des problemes difsi ciles
à moins qu’on ne les ait desia trouvés par hazard à priori, par le
moyen d’untheoreme demonstre ailleurs.
Au lieu qa il n’y
a rien qui puisse échapper à nostre methode, qui a cela de commun
avec les autres parties de l’analyse qu’elle espargne l’esprit & l
imagination, dont il faut sur tout menager l’ubage.
. C’est le but principat de cette grande saence, que j’ay accoustume
c
d’appeller Caracteristique, dont ce que nous appellons l’Algebre, ou
Analyse, n’est qu’une branche fort petite: puisqu c’est elle qui donne
les paroles aux langues, les lett res aux paroles, les chiffres à l’Arithmetique
les notes à la Musique: c’est elle qui nous apprend le secret de fixer.
le caisonnement, e de l’obliger à laisser comme des traces visiblessur
le papier en petit volume, pour estre examine à loisir: C’est
ensinelle qui nous fait raisonner à peu de frais en mettant des
Caracteres à la place des choses, pour desembarasser l’imagination
5.7
Mais quoyqu il semble que les caracteres soient arbitraires, il y a pourtent
bien des regles à obserier pour rendre les caracteres popres à l’asage
qu
Par exemple M: Scholen, d autres se servent d’un certain
aractere, pour marquer la difference entre deux grandeurs, comme
a = b c’est à dire a = b, ou b - a. mais il est aisé defaire voir
que ce Caractere est contre les regles de la Caracteristique. Car
soit une equation entre b, et entre a = y, ou la difference da
& V, Sçavoir: a = y ∞ b, ou = y ∞ b = a, ou y +bta
Aareste j’avoue que M
caracteres dont j’expli-   , equivalens aux miens = & =, mais c’est peut estre
suite vous aurez +a +y trois ou quatre fois,  d’une telle maniere, qu’on voit bien qu’il n’en
avoit pas assez reconnu l’application, ny les regles: aussy faut il
bien d’autres observations pour en tirer quelque advantage considerable
Caualieri, Mr Termat, M Wallis e autres supposent des
o
certaines lettres, ou lignes infinement petites ou egales a rien
J’ay mis la mesme chose en usage, d j’ay adjousté des lett res qui
representent une grandeur infinie, ou des lignes egales à des
rectangles, comme sont les asymptotes de l’Hyperbole
advantage d la mestrode Mais la methode mesme fera voir plus claire ment par ses
preceptes e
L’Algebre n’est qu’une
branche de la
Caracteristique
Exemple des fautes qui
sefont contre la
Caracteristique.
vous ne sçauriez mettre
les Aconnues a. b. d’un
costé ny separera de y
mais en vous servant des
querayue l’usage dans la
Conionction de la 6.
Caracteristique avec
la methode des infinis.
NII.
de l’universalité pour
abreger

## Folio 12r — 00069349:0023
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preceptes,  exemples, ce qu’il y a de nouveau,  d’avantageux
egata
d’à fin qu’on ne croye pas, que la perne recompente l’auantage
j’asseure par avance que le calcut universet detous les cas
entemble n’estjamais plus difficit que le calcul particulier
du eas plus difficit.
8 Lesgnstrumens de la methode de l’unversalité sont les Carciteres
Ambigus, qui sont ou signes, ou lettres.
Les signes ambigus sont qui marquent ou l’addition, ou la
Soccostraction. Iest vray qu’on en pourroit ausses faire
utilement, pour marquer la multiplication, la duuiscon, &
l’extraction des racines: mais je n’en trou point durage
pour le present dessein
Orles dits signes sont ou simples pour marquer seulement
deux cas possibles, ou ils sont compotes, pour en marquer
plasieurs.
qu
C
Par exemple. Si la ligne AC sedoit determiner par le moyen
de la ligne AB, & BC,  si le point C, peut avoir
seulement deux lieux, l’un entre A, V D, l’autre au
dela de B, desorte que B Lombeentre luy,  A le-
signe sera simple, car on voit que selon le premiere
position AC est egat à AB = BC.  selon la seconde
a AB + BC.
Donc DC a seulement deux signes
possibles ou = e par consequent nous dirons que
AC est egat a AB = BC.
et si a preseste nous
regardez la ficure
uliions ex primer AB par BC, e
AC, l’equation AC  AB- DC nous donneroit) AC + BC =
IAC AB + BC... . . - - AC- BC A
ou AC ∞ ABF BC
ban
ea AC= AB.
a qu’il y adeux signes simples  C’est à dire
+ ou )  (c’est à dire - +) car le signe qui porte un au
bas du caractere signifie tousjours sa prapre negation
Mais il y a une infinité de signes composer, e comme son
ne sçauroit enfaire le denombrement, il suffira de
donner quelques exemples, afin que chacun s’en puisse
faire à leur imitation: par exemple
C A sC
e
SC
Si les points A. P. demeurant immobiles, le point  peut avoir
abreger lapeine du
calcul.
VII)
signes Ambigus
simples de deux
significations
out
XI.
Composez de trois
significations
camme 1 ou 1

## Folio 12v — 00069349:0024
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trois situations differentes, on aura aussy trois equations diferentes
pour exprimer la valeur de la ligne AC par les lignes AB, BC.
Car TC donnera AC = AB + BC
2C..
3C=--
+....-
--
D. sorte que et C est ou la difference, ou la somme de AD, BC. d pour
pour exprimer ces equcations differentes par une seule, on pourra faire
AC +F AD + + BC,
pour  marquer que le signe de la ligné A L est oppose au signe
DeBC, à moins que toutes deux n’ayent pour signe 1
12. Onpeut aussy avoir besoin de trois lignes dont les signes soyent
variables pour ex primer la valeur d’uneseule. Par exemple
C ATE B3E F 4C
AEdonnera EF d + AC + AB + BY
es
2 C4...
3C
4 E...
..
+
Et l’equation generale sera. EF ∞ 1+ AC + F AB + 8F.
on voit par la qu’en ce cas les lignes AB. B  peuvent
estre prises pour une seule AF, & que par consequent ce cas
n’est point different du precedent. J’ay pourtant voulu
le rapporter pour faire voir comment il est il est son de
comprendue plusieurs lignes d’un mesne signe, sous un
Vinculum, à l’imitation des racines sourdes; dont on
verra l’usage dans le strite, quand il s’agira de punger
l’equation des signes amtigus. Cependant ce Vinculum
a cela de commode qu’on le peur dissoudre, et qu’on en peut exime
cequi bon nous semble, au lieu que le vinculum d’une racine
sourde est indissoluble. Au ceste il n’est pas permis de faire
calculani
de ces deur lignes AB. BF une seule AF, en enendan, si
toutes deux sont inconnues.
segnes compotel 15) s’aya plus detrois variation on pourra faire des signes
de plus que trois variationgemblabies à ceuxcy par et emple on fera
pouc representerX)
+
+
-
+ AB (F = BC
SAC
l’est à dire ouil yaura (F) AD FBC, sçavoir le mesma
XII.
Vincalum.
XIII.
gre.

## Folio 13r — 00069349:0025
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indetermine,
signe, quoyque Telon le 3 me  quatries ne cap. ipdetermine
t
ou il y aura = AB = BC, des signes opposez, selan le 1. 8 2.
icas,  a san que deux signes semblables  D mais
differents ne se confondent pas, l’un deur est renfermé
dans une parenthese. Et afix de discerner un seui sins
 F AD. dedeux (F) + AD, qui se maltiphent, d’ya
une ligne traversale qui les unit
12) Il pourra arruer que les variations comprennent en elles
mesmes des signes ombigus, comme par exemple:
et neam gt
ne
in
+ a + b, ou = a + 6, ou + a +b, ou 1 a- b. & il se mais on doit pas
 l’exprimer par les signes surdits +4 a + = b ∞ C.
est
amoins que ce + soit une position derja faite, caralors donc
ou le rapport
pour n’en troubler pas la connexion, il faudroit ne faire
point de nouveau signe, mais plustort l’exprimerainsi.
=+ a + +bdC
ar ceste maroue
uisiu l’unou l’autre; ou si nous voulons faire
elainsi.
on pourroit passe ausses tFa  +b, voyer aussys
l’artic. iv.
 Mais pour comprendre mieux la racson de tout cecy it
faut considerer, que dans la suite d’un mesme calcul,
ily peut avoir plusi eurs ambiquiter dont l’une soit
independante de l’autre, ou tout à fait, ou en partie.
8 par consequent les signes ambigus sont ou homogene
ou heteragenes. Les signes ambigus Homogenes sont.
dont l’un estant explique, detenmine j’autre aussis
enfierement, et tousjours, et cela n’arrive qu’en
deux cas,  remierement quand l’un est le mesthe
avec l’autre comme  a, & b, ou
e (d. d
et ensecond lieu quand l’un estapposé à l’autre, camme la
=6, ou (FDC d, c’est à dire quand s’un
. Zeromoins
signifie s’autre, e porte le signe- au bas.
b Les signes amtigus Acterogenes le sont ou entierement
dou en partie. En partie seulement, quand ils sont
au moins correspondants, & ont quelque rappont l’una
l’autre, ce qui arrive quand ils ont leur origine
 ote petum aatgne cer atastat
arce
pot
Souordistinctions
de l’ambiguité.
V.
Signes Homogenes
u
c
F)d.
XVI.
Correspondants.

## Folio 13v — 00069349:0026
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explique quoyque il ne determine pas l’autre entierement tousjours
il ne laisse pas pourtant d’en diminuer l’ambiguite ou le
determiner quelques fois: par exemple soit AC ∞ + + AB + DC
posons le cas que 14 signifie, alors on pourra changer
+= BC, en un simple  e voila l’ambiguité diminuée
Mais davantage posons que + F ou + =, un de deux signifie
, alors toute l’ambiquité cessera, u l’autre sera +.
Mais les signes Heterogenes sans correspondance: sont qui
naissent des equations tout à fait diffrentes en sonte que
l’explication de l’un des signes ne contribue ren du tout à la
determination de l’autre: dont on verrades exemples
dans la resolution du probleme cy joint, e dans la regle
generate de la construction detous les problemes solides
par quelque section concos qu’on voudra.
discernerles signes 18 Or comme tout roule sur ce point de faire ensonte que
dans la suite du calcul on puisse discernerles signes
differentes ambigine ed les expliquer, pour faire l’application de la formule
generale à quely3 cas particulier qu’on voudra. il est
necessaire d’avoir des marques pour sc avoir de
quelqs’ ambiguite chaqs signe fire tire son orcgine, 
lesquels d’eux soyent correspondant Bourcet effet je
trouve qu’il est commode de se seruir des parentheses simples
ou doubles, et de rentermer en des parent heses semblables
d’une mesme ambiquité par exemple (F) a
F
eat
C (F) d. et il sensuit que ceux qui ne sont epotat
renfermet sont tous d’une mesme origine
s
Mais s’il falloit redoubler tros souvent la parentlese, on
pourroit se servir des nombres, par erempr aulieu de
CCCC4)))) a on pourroit faire (4F) a etome Et comme
j’ay marque que bien souvent d’une ambiguité pent
naistre une autre par une espece de soubs distinction (: par
exemple l’equation surdite (+))) a +6, 0a + a ((F)) 6, DC
on se pourra scuvr d’une telle façon (3 (6+) pour marquer
que la 6me ambijarte n’est qu’une soubs dirinctin de la
3mo; it est
XVI).
socta fau
Hetereg ene
XVIII
Barentheses pour
heterogenes quindent
leurorigine de

## Folio 14r — 00069349:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
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Sme. Iest vray que dans l’exemple de la dite equation l’on n’en
ait pas besoin; car elle se peut exprimer ainsy.
)+ a + (3+
6  C mais il est vray aussy qu’on
en auroit besoin pour l’exprimor ainsy.
+=)) a (3 (44 +) b DC cequi revient au mesme,
comme je viens dedire, art. 1t.
a
Mais pour applanir toutes les rudesses de ce chemin qui nefat
pas enioce battu jusqu’à la puisque l’esprit peut estre
ste
embarassé par cette fabrique de tant de signes nouveaux
j’y apporteray un remede, afin qu’on n’ait besoin absolument parentheses redoibes
que de deus signes 8F. pour cet effet posons le cas
qu’il y ait trois equations ambigues dans nostre calcul,
ad
item d  (- e +f
+... +.
.
Leur expression pourra estre telle
eb 16(+)C
par ex emple (3=2) K. veut dire que son signe est le 2 me de
la 3ne equation ambique  l, est fousjours marqué du signe
apposé à celuy de K., Car le nombre devant le signe signifie
lequation, le nombie apres le signe signifie le nombre du
signe ambigu de cette equation, mais un signe opposé
à un autre n’entre point dans la ligne du conte, 
n’est pas considere comme nouveau. Cependant pour
retrancher tout ce qui est superflu, il sera bon defaire
en sorte que tousjours l’equation simple, (qui n’est que de
deux cas possibles) occupe la premiere place, afin
de ne donner point de parenthese à un signe simple
de la premiere equation: item quand le nombre est.
une unite, il pourra estre omis, comme (3+)i au lieu
de (3=1)i. (nfin posons qu’il y ait encore une +me
equation
para estre
∞I (3 +2) p
q. dont l’ambiquile estune
soubs distinction dela 3 me.
(3F2) 4) alors son expression  estre
oet gdecerosu poamirante
∞
ga
t
 L
Gavoit
equat. 3.
Moyen d’exprimertous
les signes en cas de
besoin par les deux
simples, en adjoutant
des nombres au

## Folio 14v — 00069349:0028
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
CX
Lettres ambigues
Pour exprimer les
lignes
rr subuistinain de la  y alors fores
 pourmarquer que le signe de p. ou q Mremier
ou second de la 4me equation depend en quelque façon du signe de
R, ou, qui est le deuxresme de la 3me equation
Et
erfin je trouve bon de fermer les parentheses par en haut pour
les discerner de quelques autres parenthuses dont onpeut avoir
besoin. On voit par la l’advantage asser considerable
de cette façon des signes sur la premiere qui est de n’estre pas
obligé d’en faire des nouveaux qui sont quelques fois fort
composés, et ennuyeux: mais en re compense A faut bien
souvent recourir à la liste generale, ou table des Ambiquites
pour avoir leur explication au bout du conte, et pour essayer
mesme pendant l’operation si plutieurs signes correspondants,
ensemble ne se destruisent peut estre, ou s’expliquente
jointe
mutuellement comme cela arrive quelques fois au lieu
que les autres se déchiffrent eux mesmes, a la premiere veue
Le meilleur est, pour ceux qui compre nnent asse l’interieur
de cette methode, de se servir de l’une ou de l’autre, 1 de les
joindre mesme selon le besoin, e la commodité de l’operation
les autres se garantitent du danger de faultir e de la peine
de rever en se servant tousjours, de la derniere, puis qu’on
y decouvre d’abord, aussy bien que dans le premiere, quels
signes sont correspondents, quoyque elle n’ex plique pas la maniere
de cette correspondence. Outre que la derniere est plus
sit
commode pour les traitez qui doivent estre imprimer, car
l’on n’est pas obligé à faire graver des nouveaux
caracteres.
ed J’ay divise nos caracteres ambigus au commencement en signe
e lettres. C’est asser par lé des signes ce me semble, e les po
de roperation aussy bien, que les exemples adreveront 
cepte
declaircir
les restes de l’obscurité. Les lettees en fait de l’analga s
reuvent signifier tousjours une ligne: si mesme il s’agiroir
de nombres, puisque le nombres se repre sentent par les dicition
du continu en parties egales: et s’il arrue qu’une ligné
est dite egale à un rectangle, ou une lettre au produu
1c
de deux, ou plusieurs, il faut concevoir la partie defectiu
de l’equation est multipliée par autant de dimensions
de Panite

## Folio 15r — 00069349:0029
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00069349/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
J’ay divisé les caracteres ambigus
de l’anite (qui se peut representer aussy parune ligne
ou lettre) qu’il y en a qui luy manquent. Mais on
peut aussy concevoir des lignes infiniment grandes, ou
infiniment petites.
Et pour les infiniment petites soit une ligne courbe ABC
e’unc droite DB (B)E qui coupe la courbe en deux points
8 L (3) donc pour concevoir que la ligne DE est la
touchante, il faut seu lement s’imaginer que la ligne
B (D) ou la distance des deux points ou elle coupe est
infiniment petite; et cela suffit pour trouver les tangentes
d’aileurs on scart bien que la methode des indicisibles qu’on appelle vulgairement
n’a rien de solide, qu’autant qu’elle depend de celles des indivisibles
Infinis, &t il est maniferte que la Geometrie d’Archimede
dont le Guldin, Gregoire de S. Vincent et Caualieri sont
les restaurateurs se sert des grandeurs infiniment petites
Mais a fin qu’on voye l’usage que cette supposition peut
avoir icy; reprenons l’exemple de la ligne AC determince
pardeux autres AB. BC. ony voit bien quele point C
qui est ambulatoire peut tomber dans le point B. puisque
il peut tomber en deca v en delà detoutes les manieres,
& alons la ligne BC sera infiniment petile. Donc
Nequation AC ∞ + AD + BC demeurant tousjours
veritable, il faut en cas de la coincidence des points
B8 C concevoir la ligne DC. infiniment petite, afin
que l’equation ne contra dise pas l’egalité entre AC
8 A8 Cela fait voir aussys qu’il n’importe
point alors si le signe + X signisiet ou -. Buisq3
onpeut placer C, non seu lement directement soll 
pour faire AC A AD VDC egale a rien, mais
on le peut aussy placer en deca entre A, V D en (3C)
ou au dela de D. en (C) pour verifier per l’une
des positions l’Equation AC ∞ + AD DE, 8
par l’autre l’Equation AC  + AB + D C. pourveu
que la ligne (3C) D ou (3C.) 8 soit conceue infiniment
petite. Voila comment cette observation peut servir
à la methode de l’universalité pour appliquer une
formule generale à un cas particulier. Car on ne scauroit
comprendre le Cas de la coincidence des points Det(.
dans l’equation generale AC, ∞AD = BC. qu’en supposen
li leste sec casiamer ptite prarseigurs tors sercvnsde
ut
Lignes infiniment petites
XXII,
Seur usage en fait de la Methode
de l’unversalité
iC
10) 3C692C

## Folio 15v — 00069349:0030
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seutres, l’equation estant C ∞ a =b. en ce cas b sera
d’unegrandeur infiniment petite,
23 A l’exemple des infiniment petites je ne voy rien qui nous
empeche de concevoir des infenres ou infiniment, grandes
1s
 ordmairement
la Methode de l’univerfalil.  quoyqe je ne voye pas qu’n s’en soit serui dans le calcul
Analytique. Ces lignes pourtant ne sont pas entierement
in connues aux zeometres, Car il y a long temps qu’on
a observé les admirables proprieter des lignes A symptotes
de l’Hypertole de la Couchoecde, de la cissolide, & de
plasieurs autres, & les Geometres n’ignorent pas qu’on peut dire
en quelque facon que l’Asymptote de l’Hyperbole, ou la
touchante menée du centre à la courbe est une ligne infinie
egale à un rertangle fini; Ily a d’autres se symptotes dons
En peut dire par la mesme raison qu’elles sont egales à des
solides, &t mesme à des sursolides. Et pour ne pas prevenir
mal à propos l’esemple dont nous nous servirons pour
donner un essay de ctte methode, on trouvera dans la
suite, ue latus Fransuersum de la parabole doit estre
conceu d’une longueur infince.
stassy a on remarque
dons les Tables des sinus, que la tangente & secante sond
un
longueur infinces quand le simu droit,  le sinus entce
sont egaux: somme la tangente et le sinus droit sonn
infiniment petits quand lesinus entier estegat à la
se cante.
Et Outre cela une lettre ou ligne peut estre posécegale
à une autre & par ce moy en la genera lité du Probleme
ou plustort de l’equation peut estre restreante auncertain
cas plus particulier, et bien souvent plus aisé. Jela sent
quelques fois à faire voir d’abrd l’irreducibilité d’une
equation, comme Monsieur Hudde a remarqué: iem
à examiner la venite du caluul dans un cas, ou elle est
connue d’ailleurs. Onpeut aussy poser qu’une lettre
soit en raison donnée à une autre, ou ex primer sa
valeur par une certaine equation: tout celadiminu
la generalité du probleme, e peut avoir sien souvent de
usages. Meis leur consideration est un peutros éloignée
denostre sujet. Les lettres aussys peuvent servir à signifier
dles Exponents des Degret des puissances pouren faire des
demonstrations universelles; Mais les ex emples dont nous non
seruron
Lignes infinies
Leur Isage en fait de
ANNIV
Ambiguité des lettres
à l’égard même des
lignes finies

## Folio 16r — 00069349:0031
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servirons n’en ont pas besoin.
25) Apres l.’Explication des Caracteres leur Ilsage seraaise
à comprendue. Et consiste dans les operations de la
les quelles
dans
Methode de l’Universalite, aussy bienque  Calcis
seront
Algebracqu en Generet, qu sont simples ou composées.
Les simples sont 
coddition, seabstraction
mutciplication, ducision, e extraction des Racines
Les Composées se rapportent à une Equation, pour la
former pour la potir pour l’interpreter pour la
resoudre par lignes ou nombres; mais nous ne raporterons
que ce que nostre methode a de perticulier entout cecy
L’addition, et soubstraction n’ont que les mesmes preceptes
asser courtes, & asset acset
Il’y a ou les mesmes
grandeuns ou des grandeurs desserentes. Item les signes
sont ou Homogenes, ou it ne les sont bas.
mesme grandeur entre plus d’une fois dans la composition d’une
autre avec le mesme signe on en fait l’additionen
ne l’ecrivant qu’une seulefois, et en la multipliant par
le nombre d’autant d’uniter qu’elle se trouu
defoit. Par exemple = a 16. 1a fait
4 4a + 63
si la mesme grandeur entre dans la composition d’uneautre
avec des signes opposéy, ces deux expressions le destruiront
mutuellement pourveu, que le nombre qui les multiplie
soit egal, par exemple =3a +. b43ca fait + b
mais si les multipliants sont inegaux la grndeor sera multiole par le moindre sera soubstrait
du plus grand, et la grandeur donnée sera multiplié par le Residus marqué du signe du nombre plus grand
a
634 Cd. fait 
le sortequemais F: à + b. + 3c a, feroit + b=ca,  esidu
sere meue du signe du nombre pluus grante
27 Et comme le multipliant peut estre une lettre au lieu
d’un nombre, Il sera bon defaire une regle generale
qui comprendra aussy les signes heterogenes; Sç avoir
si la mesme grandeur entre plus d’une foys dans la composition
de la valeur d’une autre, avec des signes differents, alors
celle peut estre ccrile une fois seclement avec le signe
estant conceue comme multipliće par la somme des
malcipliants particuliers, si elle est affectée plus d’unefois
ve cotre sopeea ser teuu oere dun essers
E.
X V.
Operations simples
ou Algorithme de
la Methode de
l’universalité.
(XVL
Regles d’Addition et
soubstraction, quand
une grandeur a des
Signes differents homogenes
XXVII
ou même heterogenes

## Folio 16v — 00069349:0032
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sont opposeh;  entin par une grandeur composée des maltipliente
affecter des mesmes signes, si les signes sont heterogeras, & quand is
n’yapoint de multipliant il faut concevoir la grandeur
comme multipliée par l’unité par ex emple
+3YC + Y F2)c + d y
fait: + Y, FC + T1F d, de
et +3y + y + 2y + +
ei
FC+ 11= d0oy
fera c e
ay je me sers ordinairement de pour marquer la
maltiplication d’unc grandeur par l’autre  de
pour marquer la division de la precedente pah. la suivante
et quoyque la reglene par leque dela multiplication, ilestarsé
de l’appliquer à la divislon; car par exemple c’est le mesime
de ducser y par d, ou de le multiplier par -
28) Ifaut pourtent remarquer que cette methode de reduire
plusjeurs ex pressions d’une mesme grandeur aune seule; ne
reassit pas quand cette grandeur entre dons le denominateur
d’une fraction, ou dans une rauine sourde par exemple
2 + d, + YF ay
desorte qu’il faut tacher d’en faire une equation, e la
parger par apres des fractions e dxracins: pour voir
ce qui s’en pourroit faire en suite
si deux grndeurs disfereates qui composent une mesme
grandeur ont un mes ne signe
elle se pourront
joindre par un vinculum sous ledit signe
Par
exemple au lieu de = a +b + C ∞d ilera bon
d’escrire = atc 16 ∞a= d sices grandeurs
differentes ont des signes opposet, & nesont pas d’un mesme
costé de lequation, onpeut les mettre toutes d’un costé
pour les joindre sous un vinculum comme dans le
mesme exemple onpourra faire 7 a +C+ d 166,
si deux grandeurs differentes ont des signes opposet, 
sont d’un mesme costé de l’equation, ou qu’il ne sont
dans aucune equation, on peut nentmoins les joindre
sous un mesme vinculum en mellant  devant l’unedons
pouis retenon
XXVII
Exception
quand de ux grandeurs
differentes sont affectées
d’un meme signetalors
le vineulum à lieu
Hou de signes homogenes

## Folio 17r — 00069349:0033
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nous utenons le signe et= de vant celle que nous
pretendons de ranger sous le signe de l’autre.
Par exemple soit une ligne de valeur de
=a = 6 ou la difference entre a v b l’expres
peut estre telle 7 a -6 ou +b - à v il est
a nous a choisir celle qui nous est plus commode.
On peut obtenir la mesime chose d’une autre facon
en cachant le -d en substitaant d la place
d’une de ces deux grandeurs comme b uneautre
egale a rien moinscelle, par exemple en posept
C Da-bonaura Fa tC au lieu de fa +6
mais cette facon pourroit nuire si la mesme
lettre 6. se trouveroit ailleurs dans l’equation
de sorte que la premiere est plus commode catout
Cas
side si deux grandeurs dont les signes sonte
Ex mogenes
ees
l’une est connue, l’autre inconnue, ou sitoutes les
deux sont de differentes lettres inconnues, 
ou de differentes dimensions d’une mesme inconnure
il ne faut pas les joindre sous un mes me vinculum
esi elles y sont il en faut eximer une; quand.
il siagit de former ou d’ordonner l’equation
caralors, il faut mettre les inconnues d’un costé
autant que celase peut. Mais quand il s’agit de
parger uneformule analytique de toute l’amtigni
1b
te, l’on ne fait pas sompule de les joindre comme
on verra plusbas; car c’est la ou le vinculum
fera voir principalement son usage.
20) si les signes sont de deux grandeurs differentes, il
ne sont point homogenes, soit que ces signes soyent
correspondans ou treterogenes entierement, on n’i
peut rien faire, à l’egard de l’addition ou
soubstraction, que de les placet simplement comme
le calcul de mande yen ee avee leurs
signes, par exemple 1 F a, il adjouurte à + e, fait
te ted it a sattat aer t 0 fat. t. at6
XXX.
Eucand les signes
sont heterogenes.

## Folio 17v — 00069349:0034
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sans aucune autre observation quant à cette operation
mais i faut se remettre la dessus à la practique
31) (eque nous verions dedire de deux Grandeurs qui
composent une autre, s’applique aisement à plasieurs
car on en peut tousjours faire deux seulement en
prennant ensemble celles qu’on voudra, et en les
considerant comme une seule  Si plusjeurs
grandeurs au lieu d’entrer dans la composition d’une
scule grandeur, composent une equation, on peut tousjours
faire qu’illes composrent une seule grandeur, en les rangear
d’un mesme costé de l’equation si elles n’y sont desia
Desorte qu’il ne faut que chercher des equations, et reduire
plasieurs m équations en une seule pour faire
que plus, eurs grandeurs d’un mesme calcul entrent en
composition d’uneseule, afin que la practique des
regles que nous venons d’es pliquer puisse avoir lieu
Dien souvent on peut espargner la transposition de
l’equation, parce qu’on voit desja ce qui en arriveroit
par exemple, s’il ya, + a  6= +2Ca, on vortbien
que cela fait. 63+ Ca ∞0.
32. Apresent en passant de l’addition ou soubstraction
à la Multiplication ou Division, il est à propos
de remarquer une difference considerable entre elles suavoir
qu’en fait d’addition ou soubstraction les signes deter mine
 ou doivent estre considere comme heterogenes (quoya
correspondants) à l’egard d’un signe ambigu: mais en fait
de multiplication ou division on les peut considerer
comme homogenes avec quelque autre signe qu’es
ce puisse estre; parce qu’ils lemultiplient ou diuisent
restent tous deux et nous obligent deles écrire ensemble.
par exemple pour adjouster  a 2 +b, ou pour soubstraire
pande l’autre, on ne sçauroit rien faire que de les écrire
pun auprés de l’autre avec les signes convenient. + a 16
ou F a +6. Mais en multipliant:)  a par ta, nous aurons  à
divisant + a par - a . . . . . F AM
en son contraire
ambigu par un determine omme l’affirmation d’une offirmation, et l’oftirmation
d’unc
foutjours avec une coalition en un seul signe, commesont
les homogenes aussy, au lieu que les heterogenes
LXXI.
Des Grandeurs qui
entrent dans la
composition d’uneautre
LXXII.
si les sipmes determineh.
sont homogenes ou
neterogenes à l’égard
des ambigus.
C
Multiplication ou) Laraison de ceus
XXII.

## Folio 18r — 00069349:0035
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negation d’une affirmation, est une negation At
la negation d’une negation est une effirmation, d’ou
vient que dans l’Algebre ou Analyse commune
et  ∞+ D+ par consequent + ou  + () ∞ + (1 +,
dans la nostre
 de mesme
-
(+F)  F (1)
∞.
C.-
+
1 +
(1F) B +
) Mais afin qu’on ne se scandalise pos de cette maniere
(1+)
(I F)
de parter: que les signes multiplient,  duisent; ou tont maltipliez  divisez
je trouvé à propos de la justifier d’autant plas
qu’on en peut tirer quelques observations utiles, je
dis donc, qu’adjouster est mulliplier, ou diviser la
grandeur à adjouster; (:ou si vous vou le. son signe) par
7 1.  Soubstraire est mulliplier ou diuiser la & qu’ils sont multipliet
dite grandeur ou son signe par, = T. or j’unité dlliviset.
se peut obmettre impunement quand il y a quelque
autre chose à la place, puisqu’elle n’apporte point de
changement d la multiplication ou division, donc
P’on peut dire que les signes multiplient ou diaisent
& sont multipliez ou diviset.
Cest pourquoy adjouster = b à +C) est multiplier
1
Voubstraire 4. +C
siet enescrire le produit devart b, auprez
e
+ par 345
de +c, pour faire +C,-5
+ b, Mais parla
regle de Mulsiplication que nous venons d’expliquer.
F∞SF Lonc adjouster
+06)
lestermes susdits fait 1C + b
soubstraire)
.n f.1.
Et l’on voit que la raison de l’addition et soubstraction
aependence cas dela multiplication, et duission
etle obscruation est conforme aussy aux regles de
addition, ou soubstraction données cydissus, caren
vertu de ces regles on pourrachanger = a 4 a; en a,
& a +6, en = 1,= a 1b ou F a 16, Tout cela
est degrand usage pour la translation des signes d’une
lettre ou grandeur à l’autre dont ilsera parlé
plus bas.
F11L
d’une negation est tousjours ure negation: mais la
t
6
aeit
Qu’on aison de dire
que les signes mesmes
multiplient oudunisen
eY+
et ed

## Folio 18v — 00069349:0036
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35) Nous avons remarqué cy dessus que les signes tromogenes
ne se multiplient jamais sans coalition en un seul signe
en comprennant + &= sous le nom des homogenes
mais les signes homogenes ambigus à part, c’est à dire
les mesmes L et L ou f et f ou 14 et 17. ou f et 
AC. 3 les opposer + et 7 ou 17 et 14, ou
F etcront cela de considerable, qu’ils le multiplient
ny duusent jamais entre eux, sans testruition entiere de
l’ambinuité: dont la regle convient avec celle de l’Algebr
commune, sçavoir que deux mesmes signes homogenes
ambigas aussybien quedetermine) multiplie oudiuise
ensemble font +, et decix opposer sont
Par conseplent
= + ∞ +
du
F
+
Des deca signes (5) Deux signes tout a fait Heferogenes affirmatifs
heterogenes entreeux. je multiplient et sediuesent sans crangement et
affirmatifs ounegatifs n’y a poine autreformalité à obscruer que de
Cyescrire J’unauprer de l’autre par ex emple  a
(1+) b fait  (1+) ab. et Y a V (14) 6faco +a
1+6)
Deux signes heterogenes Negatifs c’est à dire qui portent
un aubas du caradere, estant multiplies ou
diviset l’unpar l’autre se changent en affirmatips et
le produit est le mesme que celly de leurdeux affirmatis
par exemple f a (1 +) 6 fait + (+) ab
... . -
... F a
1+)6
si de deux signes heterogenes l’un est affirmatif l’autre
peratis, vous avel le choix de faire ou caisser
affirmatis celuy dedeu qui bon vous semblera
pourveu que l’autre soit fait, ou de meure negatis, um
etanqulam
Bar ex emple
Maltiplication ou
diuis con d’un signe
homogene ambigu par
unautre.
XXXVI.

## Folio 19r — 00069349:0037
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seurd ose a (F) sartstCF)ad
Si deu signes correspondants
)+
 a
=)
a
( F)
F).
se multiplient oudivisent
ils suivent l’exemple des Hcterogenes a moins que leur
nature particuliere ne nous oblige à quelque autre
changement. Et: quogque les esemples en soyent
infinis, il affira neantmoins
pour estre instruit à l’égard detous les autres.
soit une mesmegrandeur, C tantos + a 46, tantost
+ a 6. Et par consequent sa valeur generale
1L a F 1b
DC. à present si la suite du
calcul nous oblige de multiplier, ou de diser
a par b chacun avec son signe, nous aurons
en multipliant = ab, au lieu. de 1+ 4 + ab 
en diuisant, L a
en multipliant conduusant
 Y  a, = +B par Y d
+ b
Item
Trexaerd 
les signes se renuerseront
& nous aurons + + a 1 + b, ou ft à d + = bd, aulieu
de  a ++ b
d
ou Y 17 a d+ 1d.
Tout ce que nous venons dedire de la multiplication
e division des signes, se doit entendre auss, quand nou
trouvons desjia deux signe ensemble l’unaupres
ou au dessous de l’autre, car alors ils se multiplient ou
ducisent. S’ilya plus de deux, les mesmes regles ont
lieu, car onpeut comprendre quelque paire des signes
qu’on voudra, sous le nom d’unsenl; par exemple
 1 L + + a fait 1 a. Car + 1] fait 1t
et +1 +1 fact L ou Y ++ fait 11, et 1) 1+ fait +
ouenfin 1F + 1 fait + V+ + fait 1.
L’Extraction des Racines nesera plus difficile
qu’à l’ordinaire, à celuy qui aura compris ce peu
et ister que aois veror te venre s esinscraet
(30
C
vesim.
XXXVII.
De deux signes
correspondents.
X X X 2S1I.
Quand plusieurs
signes se trouvent
ensemble devant
une mesmegrandeur
en unmesme endroit.
XXX IX.
Extraction des
racines.

## Folio 19v — 00069349:0038
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Operations composées
qui se rapportent
à l’Equation
XL 1.
L’art de formut
des Equations
Universelles.
de quoy se exercer un peu sur les preceptes susdits, pour les
comprendre mieur, je rapporteray un petit exemple tour
fait d’une extraction de raune, avéc sa preuve, et;
laisseray au certeur de le faire selon les dits preceptes.
soit une equation 2a X + a X ∞ y et la question est
communt il faut ex primer la valeur de X conformemeni
à cette equation; Je dis donc que X est egal at
a
donc X + 9V + Naq+y a, & par consequent
a
a
L X2 = 2qX+ 9∞ a9 + y4, ou si vous voulet
2
F
+ aX F 2aGX + ag ∞ a g2 = y 9: ostant ag, de
Deux costet, il vous restera L aX2 = raGX D F y g, ou
+ a
F9
comme
nous l’avions supposé au commencement. La consideration
de cette operation peut servir d’exemple à la plaspart de
nos precestes.
70) Il faut pourtant remarquer qu’il ya des certains cas, ou l’on
ne sçauroit extraire la racine d’une grandeur affectée
d’un signe ambiga; quoyque on la pourroit extraire sile
signe ambigu etoit duange en 1. par exemple L X2
m’a point de racine, car il n’y a point degrandeur
a
multipliee
Produise
qui produseX multiplie par elle mesme, pourveu
qu’on age égard aux signes. La raison en est, parce
qu’il n’y a point de racine de =X2, or - X est compri
dans FX. Mais nous y apporterons remede dans la preparation
del’equation
AI. Et voila les unque operation simples du calcul, les composées
sont la formation, la preparation, et la construction
d’une equation; mais nous adjousterons la quatriesme
qui est particuliere à n’ostre sui et sç avoir l’interpretation
d’une equation ou farmite ambique trouvée.
F2 La formution d’une Equation Unuuralle quidoit
ea5
compreadie quantité de csparticuliens se trouvera en
dressant une lite detous les cas particuliers. Or pour
faire cette liste il faut reduire tout a une ligne, ou
standeur
1
Grandenys sansfacine.
XLL

## Folio 20r — 00069349:0039
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grandeur, dont la valeur est requise,  qui se doit determinez
par le moyen dequelques autres lignes ou grandeurs adjoustées
ou soubstraites, par consequent il faut qu’il y ait certains
points fires, ou pris pour fires, (: car comme le mouvement
V. le repos ne consistent que dans une ralation:) et d’autres
ambulatoires, dont les endroits possibles differente nous
donnent le cataloque de tous les cas possibles. Les lignes
dont nous nous sommes serois au commencement le
fecont comprendre aisement,  on trouvera d’autres
ex emples dans la suite. Cyant trouve cette liste
il faut songer à reduire à une formule generale
tous les cas possibles, par le moyen de signes ambiqus
& des lettres dont la valeur est tantost ordinaire, tanest
infiniment grande ou petite. J’ose dire qu’il n’ya
rien desi brouullé,  different qu’on ne puisse reduire.
caharmonie par ce moyen iusque mesmes aux fgures
courbes de differents degrel, car si l’on medonne une
droite, uni ellipse et une cissocide, je pretends de
trouver le moyen non seulement de faire quantité de theoremes
ou proprieter, dans lesquelles ces lignes s’accordent, mais de
resoudre mesme en elles quelque probleme, que ce puisse
estre, par une construction unuuers elle excepté les
problemes des quadratures des centres de grauité et
autres dont lasolution ne connste pas dans la resolation
d’unecquation
Bouc en donner un ex emple j’ay trouve à propos
de me servir des Concques. soit unesection conique
ABY dont le sommet A, l’axe
AC. V ure ordonnée perpendiculaire opplication uu
à l’are, XV. soient deu lignes, cerce al cipse
droites données a, et q et AXox et à l’Hyperbole.
etd y, jedis que le lieude
cetlecquation + raX Y E X V
sema ou la ligne ABY sera une
C. fection conique, b reciproquement qu’il n’ya poine de
section conique dont l’equation ne soit rax.
yC
Car, a et q’estant postes egales, et estant explique
par nous avons cette equation 2 a X=X d
Equation Commune
atoutes les section
Coniques et son
Dd

## Folio 20v — 00069349:0040
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or il est constant que cette equation convient au cercle
a estant le ragon, D A NDC.b a a. Je mesme
estam ex plique par , mais sans determiner si a, et q
sont egales ou inegales, lequation produite scra 2 a X
D
a  avoir celle de l’Ellipse, a estant son latus rectum
E
qle transversam. Mais le signe  estant e pliqué par
, et le resté posé comme au paravant, l’equation qui en
de l’Hyperbole
2V
 V C’est à dire celle
Pastybien qu’ala 44 Boury comprendre la Barabole & la ligne drorte iautse
seruir des lignes in finces & infinement petites. Vr seosons
que la ligne, q’ou le latus transuersum de la Darabole soit
lune longueur infinie, il est manifesse, que l’Equation
2 a X9. = a X 2  9V2 sera equivalente à celle cy.
∞
D
2a X9+ q y2 ou 2aX  y2 (qui est celle dela Barobole)
parceque le terme de l’Equation a XE, est in finiment petit
à l’égard des autres r à XG, ~ qyr, car puisqu’il y a autanq
de lettres ou dimensions d’unterme, que de l’autre, ceux don
une lettre est infinie, set ont infiniment plus grand, que celuy
dont les lettres nesont qu’ordinaires; qui par consequent
pourra estre neglige, puisque l’erreur qui en proviendra
ne sera qu’infiniment petite, ou moinde qu’aucune
erteurdonnée, c’est à dire nulle. Ontoit par laqu’il
n’importe point à l’égard de la parabole qu’elle valeur
qu’on donne au sie puisque son terme evanouit. Item
que le Barametre de la Parabole icy est ra.
YA) Enfin à l’egard de la ligne droite on peut concevoir a
aussy bien que 9 infinimens petites par consequent dans
equation 2 aX = 4 L2X
 V leterme 2 aF evansuira
comme infiniment petit
ce qui restera sera a
à l’egard de aX
e
C ∞
eur 22 le siq sestant changé
en ter la raison de deux lignes infiniment petites reur
estre la mesme avec celle de deux, lignes ordinaires
 mesme de dleux quarrez ou rectangle, soit donc la raison
e
2
a egale à la raison  et nous aurons  X = YE
e X
ou
n y. dont le lieu tombe dans une droite
car
Parabole.
XL. V
Et au Triangle

## Folio 21r — 00069349:0041
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car. posons d D AD, & eDDC en raison tous douple
de, q et a, et soit decrit le griangle ADE, soit
AD prolongee à lenfini vers C. et soit menee  parallele
à DC, il est manifiste qu’AD d est a DE comme
∞
ec
 et XE
et 1 ou - donc X a Dy q etenfin= X 1V
Buis que donc nous avons trouvé une Equation qui- XLVI.
explique la nature de la section conique en genérat, Qu’une telle Equation
pous pourrons proceder à l’avenir, comme sil y avoit est la cles detoures les
une certaine figure particuliere dans lemonde, qu’on des chores.
appellat Section Concque dont les gangente les
per pendiculaires, les intersection avec quelque autre
ligne, et une infinité d’autres proprictez ou accidens
se pourront determiner par un calcul general qui ne
sera peus difficit que si l’on calciloit pour la seule Ellipse
(ecalcul general montrera mesme à la premiere veue
qrands interpretation vaudra la peine, c’est adire
si par l’application d une fegure particuliere bien
de termes evanouiront, y la formule de viendra font
simple: d’ou vient que l’Hyperbole a des Nymptotes
que les autres n’ontpas; que la Parabole et la droite
n’ont point de Centre, quoyque les autres en ayent
et quantite d’autres diviersité) dont la cles est dans le
calcul generat.
 Pour l reparer une Equation a la XLV
Resolution, il est bon de la purger des fractions et Preparation de
racines, de la mettre en ordre l’enfin de tacher de
l’abbaisser, et pour cet effet on se sert deplusieurs
transpontione outranslations sauf l’egalité. Iais signes.
je n’y trouve reo de particulier à nostre sujet
que la Translation des signes de place en placé
sans le grandeur qui en fut caffectée. (ela est de
grand usage, parce qu’il est bon, ordinairenent, d’avoir
j’inconnue sans signes a moigus autant que cele se peut
et detranferer l’emborras du cossé des grandeurs
1
connuces.
harmonies,  differences
l’Equation parla
Translation des

## Folio 21v — 00069349:0042
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Parexemples soit b ladisserence entre a, et y, l’equation
sera = a = ys ∞  mais nous cherchons la valeur de y. Donc
Je dis que Y ∞ + b + a. Cela sepent jastifier par les
nombres, soit b ∞ + et a ∞10, et y ∞ 565
145 c’estad
tantost egat a 0, tantos? à 12 B ∞ 4 sera tousjours
la difference entre a, et y, ou +10= Y ∞4 carsi
O S+h alors  ∞s-
L donc 5+ 10 -6∞ 4) mais
∞. 7 14 ∞...
nous porons que y est inconnue, et que nous cherhons so
valeur, nous aurons, y D = 4 + 10 et par consequent.
egale à 14 0c6, c’est à dire ou -4 + 10, ∞ b ou + 4+
10 ∞ it
Pais pour faire voir comment l’Equation + a = y 1 b
changé en celle cy y ∞ =  + a il faut considerercette
operation = a = y ∞ + B, donc pour Fa du coste de b
il faut luy donner le signe oppose, et faire Fy ∞, B
a, ou par les regtes cy dessus +1 + y d+=a, donc
cuusant l’equation par Fi nous aurons + y ∞ + b F a
ou +Y∞
T
L
+ F a
F L
Or
fait + f b =
et
fait + + a par une maxime Generate dant nou
La
B
+ B
L
allons donner la demonstration qu’il n’importe point dans
K+
une craction, si le signe est mis devant le numerateur
oudevant le nominateur, oudevant tous deux, c’est à dire
de vant la fraction mesire: Enfin 1+ b
F F
fait + b, et
a fait ta, par les regles de multipli cation données cy
de ssux, donc nous aurons +y ∞= bt a. Prur monstrer
susdite
la verité de cette malime, et pour faire voirt quet a
ou + ta ou  ta n’est, que la mesme chose,  faut faire
b
=b
=1 + a donc =1 ta or = est egal a=, ou a
+C, +b
L1
+ b
+1
a ou + à nesont
=1 donc 2 a, ou 7
que la mesme chose, dont la premiere ex pression fait
la se conde , la trois iesme = 
Necessité de cette 49) (etle obiervation est de grand asage dans tout le calcul
a
de la methode de l’Univuersalité, par ex emple s’il y a
LX∞ a + b, l’on ne sçauroit en extraire la racine
car ce seroit
AL. VI
Demonstration de
fondement de toutes
ces translations.
LL 1X
franslation pour
pextraction des
Racines.

## Folio 22r — 00069349:0043
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car ceseroit une erreur d’en faire =X ∞ V a F p
parce que +X +X, fait + X et point, + X afin
done qu’on en parsse extraire la racine, il faut changer
FX ∞ a + b; es X ∞F a2 + b,  alors nous
aurons X ∞ Y + a + b=
L’interpretation des formules ambigues se fait à l’egard des
50
lettres ou signes. A l’egard des lettres nous pouvons rejetter les grandeurs
qui sont in finiment petites, auespo
precautions à prendre la dess. Car par exemple la
valeur generale de X ou de l’Abscisse de l’Axe depuis le
sommet, per l’ordonnée de la section concque, est +q= 2y+ 9
ad.
recuc
49 or 9. y2, est infinement petit à l’egard de qu’done
le negligeant, nous aurons x ∞ = Sq= 9 oupR d 0.
ce qui est bien vray à l’ejard du q, qui est in fini, mais
il est denul urage, donc il faut se garder de  rejetter
quelque chose, avant qu’avoir nettoye l’equation des
fractions et racines sourdes si elles comprennent la lettre
infinie ou infinement petite
51)  l’égard des signes, l’in terpretation doit delivrer la formule
de toute l’equivocation. Carit faut considerer que
J’ambiguité qui vient des lettres donne une luruocation
ou Universalité mais celle qui vient des signes produit
une veritable ejuivocation de sorte qu’une formulequi
n’a que des lettre ambiques, donne un therreme veritablenent
generat, mais quand ily a des signes ambigus, il n’est
d
universet qu’en apparence; outhontorperebatiiom
 à l’égard de l’uno formité du calud. Donc l’interpretation
doit deliurer la formule des signes ambigus, ce qu’elle
fait ou en parti cularisant la formule, et en substituamt
la valeur des signes ambiqus d’un cas particalier
donne à leur place ou en faisant evanouir les signes
ambigus sans l’universalite. La premiere sorte
d’interpretation t sans aucune facon ny difficulte,
mais l’autre est aussy subtile qu’importante, carelle
nous donne le moyen de faire des theoremes, et des
constructions absolument universelles e de trouver
res proprieter generales, e mesme des definitiom
ou genus subalternes communs à taule sorte de Chose,
L
Interpretation
de l’Ambiguite
2
L’Ambiguité
est Du Equivocatio
ou bien univocation
c’est à direumi
versalite

## Folio 22v — 00069349:0044
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qui semblent bien éloignées l’une de l’autre  il est vray que
la constraction ou enunciation d’un probleme vu theoreme
devient plus composée parce moyen, au lieu que l’autre
interpretation qui particularise les cas la laisse telle qu’elle est
Mais en recompense, cellecy donne des lumierestonndera
pour l’harmonie des choses.
es
52) Le fondement de l’ant de trouvuer des formules absolument
Moyen detrouuer universelles consis de ence que les signes ambigus homogenes
Je de truisent en se multipliant ou duusant celle observation
absolument universelles me fit nais te la stensée d’essager si une de fu igor
formule ambigue se pourroit netloyer entierement de
toute l’equivocation, en quoy j’ay reussys à la fin:
pour cet effet il faut rémarguer que bien souvent
tans une équation ou formule sans ambiquité, iles peut
naistre une, pand une grandeur poly nome peut.
avoir des raunes exprimable mais, diffaterenx
à pour racire ,las differeux
cepadire ba +6 radicem habet differentiam
exemple à
entres
inter bd a F a f6. Maio quan les racines sont
inex primables commeelequation estoit
b2t qdc
elle de meurera sans amphibolie malgre nous
parce
que nous n’en sçaurions extraire la racine; elle les
Courbes dont nous nous servirons pour la construine
par leur differentes intersection suppleeront
et determineront toutes les racines possibles.
comme dans uncalcul qui n’arien d’amphibole
donné, les extractions des racines quandelles sont
exprimables en peuvent faire naistre: de mesime quand
il y a des equivorations, les multiplications des grandeum
par elles mesmes, en substituant les quavrez à leur
place, peuvent faire evanouir les amphibolies; car
il erd mainfeste, que + a = B estant quarre
donne + a = r a b + b. Mais onvoit aussy
que pour faire et anouir, les equi vocations par ce
moyen il faut hausser les degret des equations
quand l’inconnue ys est comprise donc il est
important dyjoindre d’autres moyens, qui servent
à la mesme
des Theoremes
ou constructions
sans equivocation

## Folio 23r — 00069349:0045
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à la mesme fin. (ar quoyque les amphibolies ne naissent que par
l’extraction des racines; elles evano uissent pourtant bien
souvent sans mulciplication d’une mesme grandeur par elle
mesme (par exemple + a Fb donne - a b:) et mesme
sans aucune multiplication, car +a, donne a Donc
V
il faut tacher de profiter de ces moyens s’it est possitle
avant que devenir à la multiplication de la grandeur
parelle mesme.
53) Pour en donner un exemple, voyons siil est possille
detrouver une notion absolument universelle, de
14
toutes les sections Coniques, sans aucune amphibolie
afin que nous puissions dire d’avoir trouvé unes
definition dela section conique en general, sans
Mention du eone. L’egnation generale ambigue est
2aX = a X - 1 ∞0
donc
et
+
e
CX ∞ VraX
srroe os eritq haec sectionum conicarum definitio
generalis siue proprictas essentialis, ut quadratum ordinatae
dempto quadruplicato rertangulo sub latere recto et absassa
C
sit ad quantitatem quadrati absassa in duplicata ratione
lateris redi ad transuersum multiplam, demto quadrato lateris
recti. Mt quadratum oriinatae est ad quadratum absussae
Dien souvent nous trouvons des theoremes absolumt Universels
Tans faire evanouir les signes ambigus, pas exemple: soit une
sertion conique ADCD dont l’axe AC & les ordonners DC
CF, DG, les perpendiculaires DL, Ck, DL, soient transperées CL
a CMet FK à FN, Gl, à GP, c’est a dise
distances  perpendiculaires, et ordonnées a fares
las
entre les
appliquées à l’axe de sorte qu’elles tombent indireu
chauné avec l’ordonnée qui luy répond, je disque
les lieu des points M. N. P, &c est une ligne droite
Mons. Hugens a observé desja cetheoreme dont
je donne uy une demonstrationuniverselle
par le calcul des tangentes. Car l’equation generale uoyque
ampuities de toutes eo tetien comques

## Folio 23v — 00069349:0046
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2 aX + a
X ∞ y donc par la methode des tangentes
2ar F a X F Vrya rastant pose DER. distance
e1
de la tangente et de l’ordonnée prise dans l’ace,  par consequ
Y 2
XY N2aX + a X, donc Y ∞ 2ax F a.
a +
9
X
a
u
or EB ∞ 2ax +  X est moyenne proportionelle entre Ek ∞ Y
et EI, que nous appellerons p et donc nous cherchous la valeur
ou le lieu donc 2ax = a 7
et p
X
2a X F = X
2aX + X
Y ∞
∞
2aXp + a
a + a X
is ou p ∞ a +
a + a X
ide
s
or il est manifeste que le lieu de toutes les a = a X, est une
ligne droite ce qu’il falloit demonstrer.
55) Avant que de quitter ce poinct, il faut remarquer
l’usage que le vinculum a icy, soit une Equation
+a ∞ S a- X = y, donc faisons 4 14 y ∞ Sa-X
et nous aurons + 2y a - Y ∞ X et par consequent le lieu
de cette Equation est un cercle, non obstant Amphibolie quelcong.
Mais en rangeant les termes autrement nous n’en aurions pas esté
quitte à se bon marche