# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/36849/text
# Catalogue record: 36849 — Calculus elasticus et similes
# Incipit: Curva in puncto B habet tres tangentes
# Date: 1674-12
# Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 N. 121
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36849&katnr=Cc2+847
# AA VIII,4: its series at Leibniz-Edition Potsdam II (CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/de/leibniz-online
# In the Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 (PDF, Leibniz-Edition Potsdam II, CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/fileadmin/Webdateien/dateien/LSB_VIII_4.pdf#chapter.121
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068124
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 30
# Folios: Bl. 121 (from the shelfmark LH 35, 8, 30 Bl. 121): 2 pages, canvases 243–244, page ids 00068124:0243 to 00068124:0244
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068124&page=243
# Lines: 247 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 121r — 00068124:0243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 197 lines, status machine
iaqua in puncto B habet tres langentes AB, B_ CD, EF. si tantum daretur
Margalita BMNB, quaecitur an hoc ex ipsamet colligi facile possit
V. Margaritas susianas quae sunt parabo caecubicae duae s.
initas lineae potius sumenda ab ninitale causae quam tangeatrum ut duae cuplordes
Sed ita effici potent. ut duae quaevis line osuit una , etiam recta et curin.
sinfectore auferas triangulum fulerens, restat segmentum, hoc patet ex figimae inspectione,
sed non ex aleris, ut vulgo characteres Geometrici habentur
G0) Minima a puncto ad punctum intra figuram, ut ab A ad B.
plures padces aequales X- a +by+cy Ax= 0+ b +2cy43Cy. ddx-020 143 Ry 16fy ex
Cartesiu ulitur in sun Methodo tongentium t contactu Circulicum curva proposita, simplicissimu
est rectam sumere, sed interdum aliae curvae, quam jam langentes dastae sunt assumi possunt
uno compendio constrnctionis et demonstrationis. Hic etm forbe utile pro Methodo inversam
quor Tirgoaometria incirsibilum ope ordinatarum non paralatam
Calcutus Elastreus et similes. vires Ce spatia percursa in daplicata raive temporum vel celeritatum; celeritates
quia curva  esse ambitrari
BEF Embolus E pellatur ex A in B. e et aer AB adigutur intra aerem BF. porro pergento
intra eF, videtur resistentia haec nova esse ad priorem in composita ratione, tum
neciarosa AF BF ad CF (quia spatium nunc minus) tum ratione aerisnunc comprimendi ad priorem. Videntur haec nons 
persotare alibu dictis, quasi tantum servahetur rao spatiorum recipoca itaque res quaecenda concilitatio, autverit
in sobdupereata spatiorum
an gleustrabilis vis Elaestica, ea in qua globus eccentricus in liquore gyrato portus in omedium rejicitur
A et BF jum compressus redigendus
taugentem habeat duas radices aequales
eam comparare per exctata ex formula bX + cu +d quadrato in inde
t+ d
b. seu ut X et b in radice
et y seu ad curvam taljusus
dem diinensionis. Itaque Methodus Cartesii duarum radi cum aequatium longe
Etsi aqualio ad
eta nostrum
quia Methodus ejus applicari non potest urvaequavibus plutium incognitarun
terminatam ducto, quia, non est necesse ut porccaso sit X
non tamen licet  semper
sint et
Crculum differentiatem,
numutaru ducatur in ilenam producta fit plena Omnis aequatio
 non nni aliqui ex illis terminis descit, qui stiantur ex ductu indeter
nuna num in semvicem. B Omnis semiplena, ducta, in plenam uno gradu inferiorem fit plena
Henricephala
in qua potestas summa unius incogactae inferior alia alterius summa potestat) nulla multiplicade plena
siplesaaequatio duam
Ex th. 1.et 2 Sesirtur, omnem aequationem semplenam ductam in aequalem aut supenorem
potest reddit pena
menan Neri plenam am omnis siltua ipsi aequalis aut sallior similit est pecuae ex ductur plena in gradum
non 
no data seimplena inferiorem factae. jam sempilena
uni madu
erioremfacta fit plena ergo
cemce plratat Non pleuu
fians est in qua est gerqua supertor
nec tamen in ferior, ut ubi Xt nec tamen x vel xy non tamen xy unde dico omnnems hiantem posse
per non plenam pleredo plena fieri non pe. Inquirendum ampliu
et in eam, quae ex ipsa ducta in plenam
reddi continuam explicando. Aaequanti propo sitiones pertine.t magis ad forman seu qualitaber quiquantitut
posunt tum ordinatae curvarum quara laugentes 8 alia multipli exl exprimi per schres
Aug. 163 ubi
der quo vide quae rubis
de convengentibus seter iguorabam autem replicatas pertinere
replicatas, quae semper variant in sinfinitum
inversas duti semper istrum possunt, inveniendo unam orinatam
angentes et voenetam
scalaris non valde differens a quaesita Ho,C
Mcethodus in et Mechaninis sufficere pt et _ est Geometricae succedanca. Est antemlinearis sen sine ali
erminos
orvententes sever efrearum
tam invers
Ecujus ea sit natura ut sunto, in ejus tangente BF puncto E, sistantia ipsius E
habetur quaedam figura
piva er langcnrts
ex alia ett
vide proscedas femeas de vecte ducente
mentem eam describi posse artificio  corporistracti; nompe radis mobilis circa D
posemper eadem data
auvenre
a puncto dati
Venit nunc i
extremitati E alligetur fimicul
hoc grave in plano describet lineam quasitam
inctus amuli iculi
sigura scilicet dentis a vecte EF den (circa E moto) ducendi, ut inter
ecum trahens corpus grave, quod pllanu exe
n
amvide
se
qaesilat
ta agat DF in F. fiagamus oculum in Lpositam.
lncm
copstm
agatuis
in circulo, circere D
eodem manenles
curvam
vam cujus e
Sry-
vaeritur curvatalis de
ente  uum paulo
fieit exeremo F. Notubile
blemsobverte
C AF sit et AG sit b. AM BH =DL=y
du Y3vv aa: ootaae
daretur
uaeratur curva cujus Elementa sint ipsis. H2t prrportionali
res pqredesi
uam omnes PH (positione quippe datae concurrunt
curvae super AH provolutae punctum sixi
i curvam ce eut punctum fixum in ipsa curva provoluta
imta, detur AHa
ande a pulicto fixo
pio, si
IP2 P ex datum PC
P punctum curvae provolutas inveni
e restre ad unum punctum
ncunu incipiente a puncto fixo C
hundto fixo C,ad
dinatas convergente
tempesrta elementio
tant, ex puncto fixo C ad langentem curvae seu regulam provotuors AP.
vadraturq
Al per quadrituras opertel ex dalis AB ad AB oportet invenite
ex his sequietam rlationem inter
atur ex pepeura
Iier motum describi poterit curva pp hoc modo. si
punctui
ut prodeat uaese
regula
B P prout opartet
absolvi, ita
Hoc nunc siater exterpendus in menteqe venere
Evolutione descripta sunt spcices Trochoidum cum scilicet b.
recta
provolutae
tamen convexilatem et conve
Connva provocula non pt concavitatis. baso
itali odverte 
tamen etur
concacrlata
loendas quau eline
basis et provolnta sint sygnota aliliica
duta relatione inter rectas convegentes AB AC AC, et curva
tam basim quam turvam ineo prolvendit diccutar
provonde composita, ut 
elementa, 1C2C inveniri potest curva sallem perquadraturas
u algegraiea.
potent ex data trocoide
et dx +dy seu inter xtG et
Et  v = C - XX et y = rC- xX et dusXda. rcc xx
Grochoeide invenim generatrie
Sxt
relatia inter
et du =  cdx - xdx: scC -X et dy = cc de - 2c dc dx + x dxC
LxV + y2
s esum M
Dr = 27 6 = v
si detur relatio inter AH et HP haberi potest curva per evolutionem ejus
esticu lse
ep est dunta ex
nonema
negulatur
bitur burva po
plaricas dilicultates poterimu tollere
relatio iiter 
rediendi troblema facilius.
ter AH et AB.
cnctione in
cluras ex dat
itque per
psae 1B2 P sunt datae
trochoides in
fngemustam
evoluoe describatur nempe Bd =arem BC et G1 = FL et BH = dL
H vel FM vel Et =
ndet a quadratuts, seu iP ce 
curvae pro volvend
eliam culi
in E, descubitur
et dv = ZdV sa+ =dv - saa + vr. Ergo 2dx=
siu ipsiu
ducem
aadinala curvor cujus alusunt logarithmis proportionales
hoc artificium per suppositum motulo vel quietem
aveni
 vu
e
ccL X4y.
rede dx +Xxaxt ccdx ( xxa) cujus sidetur
haletona trocide
et fiet vaxdu =e dretatur
TAMGV
angum
qalis haberi semp
scurvam ce
si AH detur exquaunque
akk du
succederet; nam in si
sut
 ad inveniendam ergo ex A+
curiar p

## Folio 121v — 00068124:0244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 50 lines, status machine
Quando initio filum EF s o ut alligatum ad rediuvr dE, E, sic collocatur
rectus intergystrndum manebit rectus, et
EF, motu suourcum aegere veutem curvam quia pellit ipsim versus centrum
u
curvae
finiqs amus punctu
ifferre inveniendae hui
linea quaesita erit circul
urviidum gytatur cd cira E.
itan
2
dupliciter
ut alibi astendi et transcendente
 nelatione inter AP et
ulus
mgdolum
ex c
arlacum alia alto poterit dens
invenire possum algebraice per intersectiones circurorum positivne datorum
data ryvenre curvam problema est qud
inveniendo, caavae CC ut trochoidis generatricem
convergentem ex P puncto generatricis ad C punctum fixum ductarum relatione cum n
o recta
set
et pB in tu
turus hanc etiam s
ex data genertri
merabri
parcubus curvat
lva CI, coincorunt, et ex his dalit
 lideamus
vel ipsis i Est eorum elementis qua data rlatione in
viceversa qurquadia
turas. us A seu
trochoides generkti
d
y
atur perquadraturas 1p2F
osolvendus cule
(40
1de +d
et
osila Cki = et PR-
vel Bq
per quadro
vel
linvirem
ad quadritutas in genetentrice salteracandume delatio inter etementum lurrae h CB vel Bp. aut revocibitis
+ Yat
ydytp.