# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
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# Catalogue record: 36859 — Leibniz an [Gallois ?]: Lemma und Fundamentaltheorem
# Incipit: Lemme: Si par les trois angles d'un triangle (ABC) passent trois paral
# Date: 1675
# Sender: Leibniz — Addressee: Gallois
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 073
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36859&katnr=Cc2+1230
# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 118r–119 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 118r°-119 (=39000;39001)): 4 pages, canvases 235–238, page ids 00067993:0235 to 00067993:0238
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=235
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# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
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## Folio 118r — 00067993:0235
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 89 lines, status machine
Lem
Lem
sittoit padulteles passent par les trois angles d’un triangle (ABG passent tros puralleles ( EB, FC)
ce triangle sera la moitié d’un rectangle (EFG) compris soube  l’intervalle de deux de ces
paralliles et soubs (fiG egule à AD) l’intervalle de l’anste de latroisiemé, en d point ou le coste
opposé à cet angle, (BC) prolongé en cas de besoni rencontre cette frvisienis parallele.
soit AH. perpendiculaire a CD. (prolongner en cas debesom) et CL à EB. dul’angle LBC ag
ole
Ad m AD in    sont ADCe CL (on EF) est egal an recta agle fens AH et BC,
c’est à dire au double Triangle ABC)
Therrene sut fondamentat: Un sectem insistant sum une combe est la moit
dela figmre faite des intemalles de la pointe du secteur, et des ponsls sses
des itesondantes, susme duite qui  droites cordonnées a
e qui passe par la poiee du sectenr, egales aux intervalles entre cette pouite
mence dra comtis sur
est les a d’autres droites prses dans uneantie indefinie qui ervise la premiere à
anglr
eate
lameme ponnt
de la pointe n secteur et des touchnet rencoutres des toucrantes
ventre
des inter
de la copte avec une e doite qui passe par la pointe; pourven que les it
rcpte
soient cordonnées à une autre intefinie menata qui croise la premiers dans la poricte
si un sestem
ur unc tambe qualionqe denmi ao 
indefimes se adusent a anuleue divits dans si ponte ei de to
 hointe inte
Eioii des in cercepsle outre la por je et les
le actem sem la movitié M . d te s ae nvesipre intercgilées entrs ln pointe etes
(E
et tansportées sur les nonales  l’autre ln definie quo reponder aux à l’autre indefinie en prenant
londa prri poetiud
hantes chacune surus diunee i tr indesime, qui repond e satunctante
sonchantes.
etion
uac drgit e9 percepte dur cette ordonnée, qui repond a sa touchante (DB, NZ.)concer
soii crcumsent, i de sectem un polygone AB soit an lieu du sectent curviligne, un polygone
il est manifeste qiore le lemme que le rcctainle
vctiliguue dour les coste B5. SN, (M.
SEX SRCY ~S est dille ol compose de rectangles est
sita (7() KPX)
doable ou potiggons ABAAM compose de tinngles: Le même est vray, quelqtre grand que
des costes le nomtre d potiigones paisse estre, et quelques petits que pmissent este ces costez, aussi
bien que les interralles er distanie des oedone ET, TP, PX. don le nombre des coster est aut
inficiment petit et infini, et la grandeur infiniment, petite. c’est adire le potiysgone degererunt
en coute Bite, scavoir eM sequre curiiligne et  l’essure scalaire vegenerant l’un e
en comte tan espares cpbilignes, le juotggone sensur le secreu L ABNM, et Lepar
scaturce, faisint le quadriligne EPRS ce quadriligne sem le doubledu sectem I suppose
icus qu’unt auibe n’est qu’un polygone  curbilione n’est qu’unparcesse cuicement
suivant la maniere a raisonner tccene augouidhuy; poue qued pour 
ex en pen per de mots, puisue tant d’autres out fait voir, qu’il est aisé de champ la chaen redune
celle anciens par les inscis et circousan et on peut diré que celley est aussi repourense
que l’autres puisque cette reduction a este demonstree generalement à fin qu’on n’as pa besoni
 est un de plus sendumr et des plus fertiles
tontus e quadrature, comnues
de la repeber dans, haque demouspotion N’articulier re neni de
de tonte la Greomehie et lesue enci nitu  antre comme seferau se voir tuntost A partre inconoleles
par les ordonnets paralleles. J’ouvre
parti
que pumenction
Le tereoreme que j que d’ay troime eomet
jer un chemin tont novean, ex deten et je de esti i qu’on cerpent resondre utilement en
Cavalieri et autres resolvent les figures en ordu rectanals
homehre desindivis e de ltons vallis n’ avoir est abli .
t
des parabo loci des et Vi
triangles par des convelgentes, ce qui angmenta
pere
Je porte int
 ne
an commencement que spa induction
echoses pous avant, et on peut
omet st vet v promotion de la
on peut fred
un corvllaire de
cette proposition
que lors quo
qu’une jun
bes
estB
du secten est ufini
petite le sectem
deviendia
iyme ut A
Aa N
moiti
As sas

## Folio 118v — 00067993:0236
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 119r); this page is its left half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 108 lines, status machine
egnt
Probleme Trouver la quadrature de toutes le les signre
sont (dire ctement,
appesle
par une equatio
ex
c’est a dire
ceo cette formule generale
B (de la sarabol cubique 9 euc
A, on AB, sera
quand la relation ides cordonnées aux abscisses se peut explique
composition des raisonsis Commo om pent juger par
tordonnée
egale à BC on (B) (C et X. l’abscisse AB ont A(B). a le parametre AR.
  inru  unee
ineru, celuy de la puissance des abscises. Et on dira
et (B) ((), dont l’exposant est Z sont comme les
la on dira que les ordonnées
y sont en raison YI BPde, (c’est adre aplec, oplec des abslisses X
 est 1. non dira
que les ordonnées, sont en raison sont pice sous doublét, soubstriplée et) des abscisses. Mais
si l’equatim est p.
sont en raison reciproque de
ilu  degros des ascisses
quassi lien qu’ V. soens égules a qu’on fent trouver la quabrature de toutes les pgures aualytiques si
H puisque _ Be AE est
i BC, comme TA a TB
compriles
ab1, C)
Analys tques simple dont les ordonnée (BC
AB sera egal an quar
equation
les pristints sen vaison auproquedes sums du vine degier des abscisses AB et A(B) qba
car ilest
terstm
aud cette equation n’a que deuxtermes, elle est simple et la
relation se peut exprimen
y. le nombre de
e
reja connn (par ce que d’cutres ont demonstre) que dans touses, les signies Analytiques simples
les portimue de l’aye entre lex truchantes et l’ordoynée  comme TB, sont proportionnelles aux
abscisses ABC _
1
Ldont las portions de la Iare conjugé, seur AL(D)
raison de nomme de toutes les s l, lunsferee et, ou dprsgue a
toutes les
AB)F
la somme de
gure AB CA seba connuei donc pussi celle de la mostie de la figins
Trouver la quadrature de toutes les figures sont et ralson multisolte ou
soysmultipliee direcle ou reciproque quelconq
c’està dire dont les equation
des
abscistes ou on A29
sont los equatione si
ne
V. quand elle est
 egut à N su quand la mison est directe ou
recistrae. e e
des ordonnées comme  aoscisses 13C, (B)
atique, quand
absasses AB. A() (
peut exprimer par une equation,  et je l’eppelle de certaines puissames des 
 dec autres. Et je l’appelle simple qnd cette Equation n’a que deux termes. Par exemple
NX piby. X (Equation dutrians e)  e f Y e sela parabole. i quand les
ordonnées sont mences sur l’axe
courbe 
 aXY
sole et AB(B) axe. A le sommet
est à dire le rectangle sonbs le core
vonnec 
sie
on dira que les puissume du Zne degrez des ordonnbes
ulxi Lens 
sun exemples
ar il est
on
sentre des le sommet et la toncanlete seront proportiones ux roonntes 8C. Donc la
et la derniere on
plus quandit des absuissu, 
a
es c’est adiis par le theoreme precedent, celle du segment
AC
Ot la raison du segment  à toute la figure ABC A estant comnnes la quadrature dela figure
peut estre troune. Car sois la figure ABCA est égule aut figne A au segment
Aet + le Kl ABC. Or AL
VCA e comme la ruison de
Ae à AB eA est connne, elle pourra estre ’exprimée par celle de deux lignes
on didisant de deux costez par 1
ACA in Y sera egale a ABCA in s.
AC A sea Pgale a ABCA i S. Donc Ae
es egute ABCA est egale au segment ACA on à ABCA in  + le Ble ABC.
donc ABCA = = ABCA egale an
Yle A
Yle
ABC. ,on ABCA egule  an
il suffisoit de tre
autr
quand une partie
d’un tout est connue; et lur la raison dure sidu au tout; le tout est
connu aussi:
Y L+ donc 4 + et.
Corollaire: aspliquant ce theoreme aux cas particulier, ou trouvera que les
ordonnées estant en raison doublée dy tiplee, quadruplée, etc. des abscisses AB.
la figure ABC sera L. ou on L dk Telnde Rectangle circonstrit ABCD.
ou paylant t par s caracteres, si l’abscisse X, et l’ordonnée X, on X
ou XI, la somne de looles les X sera , celle de toutes les X, sea C, et celle de
toutes les X2, sea d’en.

## Folio 119r — 00067993:0237
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 118v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 68 lines, status machine
Ayant mne que le hoarre lianscit M on sieur
estant _ l’inile, le cercle est
6+f
etc.
Je vous jenrre icy ma Quadrature dreceale Arithmetique du Cercle et de
a
ture Arithmetiqu, lors qu’une figure curvilne peut estre exprimée parnu ranu infini denombres
toutes ses partiesi,  ee quaellen est pas Geometrique, par ce  car je ne puts pretends
pas emcor donne
rire
l
parre Egal au cercle; mais elle est plus que mechauique, par ce qu’elle donne, eutre l’approximation
acte
la venitulte raison du Cercle au Quarre circomsent, atont qu vrorh à respoter ou de la Circomference
au Diametre autant qu’on peut esperer de la donner en nombres e
quoyque le nombre de  Nombres
soit Car effectivement il n’y a que les nombres rationaux qui ous soyent parfairement traitables par le calcul
connus et sans le secours des lignes et je ties ou ne sçauroit entendre ce que c’est qu’un Restiluatu deletur
nombre irrationel, qu’en trouvant qu’il est égal à un rang infini de nombres rationaur. Comme
De sorte qu’on pout dire à present, que la raison du Diametre à la circomference est à present
aussi comnue à nostre esprit, que la raison de
Y2. à 2, ou tle. C’est à dire de la
diggonale au costé du quarré s’autant que l’une ou l’autre seuvent estre exprimées par
nomtres rationanx. Car le costé du foarré estant L, la diagonale, on 12. sera:
cogne j’as traone autres fois. Et comme on feus ju comme p’aytronné autres fois
Effectivement il n’ya que les nombres rationaux entiers qui nous soyent par faitement
connus, ton les comtres irrationaux (sans le secours de lignes) ne sont intelligibles qu’a
peu que par un rang infini de nombres rationaur remons faites à l’instition de
J’ad J’ose adjonter même que les nobr rompuss ne sont pas traitables en certanice
rencontres, qu’autant qu’on les peut reduire à un rang infini de nombres eties par entrers
Et cela Paroistra icy, un peu plus qu bas; car on ne sçauroit bien donner es nombres
la dinas dimension d’une figure, dont l’abscisse est X; l’ordonnée normale à l’axe,
est ea
AF
au
qu
s
le parametre estant  et la partie abscisse
X X+a de l’axe entre le sommet et l’ordonnée, X.
qu’en faisant voir, que X est egal à a -  + X - X + X X etc. pourver que x soit meioduequ
traitables
Anisi les seules ex pressions parfaitee sont cettes qui se font par pombres rationaux
entiers, soit finis, soit infinis, pour ver qu’on rencontre les plus ssimples.
que  est egal à 1 = X + X= = X + X - x esc. pour veu, que X soit moindre que 2.
car quoyque  soir necessirement une fraction en nombres, l’expression sen lettres est reduite auxentiers
Ceux qui ont cherché la quadrature du cercle le plus souvent n’ont pas même trouvé des vaes acheminements pour yaler
propres à les avancer tant sait pect. Cellecys promet quelque chose, ex si elle ne donne pas tout, dn
monis nous avance - elle d’un pas. Il est constant que la meilleme voye de rendre les problemes
de Geometre traitables, est celle de les rapporter aux nombres. Ce que Viete et des Cartes ont fais
des nombres. Mais dans les Problemes Curvilignes, lors qu’il s’agit de trouver la dimens
lignes courbes des figmes, des surfaces et des solides; ont on ne peut pas encor reufermer l’inconnne qu’on cherze
dans une équation; et les trop grandes de Mons. des (aites, qui parte dans sa geometrie, comme si tons les
problemes se reduisoient aux equations, se trouvent courtes. Ce qu’il ne pouvoit pas ignorer, mais
il trona croyoit la plus part des problemes curvilignes in-trouvables; dont il servit bien détrompe,
s’il estoir incor en en vie. Cependant la ou les equations manquent, la nature nous a
fourni un autre moyen de rapporter les problemes aux nombres, qui est celuy des progressions
de nombres, dont il faut trouver la somme pour donner la dimension de quelques sigures lurvilignes.
Acchinede s’en servit le prenier pour la quadratue de la Parabole: de nostre temps (avalieri,  et cMessieurs
Fermat et Wallis ont poussé la chose plus avant, sur tant Mons. Wallis. Mais persomne a su encor
trouuer un rans de nombres qui exprimat les ordonnées du cercle, qui sont tousous irrationnelles, c’est
pour queye je me suis mis a pres pour checcher ume figme equivalente au Cercle, qui fut rationelles
et j’ay en le bonheur d’en trouver une seule. l’appelle figne rationelle, dont les ordonnées sont rationelles
loys que les abscisses sont ratiorelles. La raison porquoy ceux qui ont ecrit de la Geometre
des Indivisibles, et de l’Arithmetique des infinis, n’ort pas fait la même remarque, est parce que
qu’on est acconstume de ne resoudre les figures que par les ordonnées edes paralleles, en une
in finite de petits rectangles, au 4 lieu que j’ay Trouvé un moyen general de resoudre utilement
toute figure en une infinité de petits Triangles aboutissans à un point, par le moyen des ordonnées
convergentes. Cai Messieny des Argues et Pascal ont fort bien remorque fait de pendre tes de

## Folio 119v — 00067993:0238
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 118r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 19 lines, status machine
genruluneat
prendre les Ordonnées pour des lignes convergentes on paralleles, d’antant plus que les
paralle les peunent estre prises pour une espece de conrergentes, dout les oint de concours est
eloigne iufiniment un sur Jem je mtas je suis arrivé à cette resolution houvelle
des figures par le moyen de ce Temme: Si par les trois angles d’un triumgle, MM et
Dout je ne donne pas la demonstration icy, par ce que tout Gedmetre la peut trouver de luy même
Juntir Ce demme seit à demonstier un Mcoreme fondamental, que j’ay pouvé, et qui est sans donte
dmil un des plus universels et des plus feconds de la Geometrie
e theoreme a des grandes suites, et il syffit pour luy seul pour demonstrer Geometria
prouner par une seule Geometique deponstration Geometrique toutes les quadratuns de
l’Arithmetique des infinis, qued le celibre Mons. W’allis n’a trouvé que par induction; autre
quantité d’autres, que j’ay trouvées pas onele. Comme par exemple celle d’un certain
segment de la Cycloeide. Je vous en pourra parler une autres fois: maintenant je me
contenteray, de vous expliquer  la quadrature Arichmetique du Cercle, que j’en
oremee quEctent
As (a moities des l’ares ordonnées au diametre du cercle, su est egale n
ay tirée. Par le fe
au double segnent de  compris sons lau. Donc le simus vesus on l’abscisse dela signe
pnt