# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
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# Catalogue record: 36976 — Summa fractionum a figuratis, per aequationes
# Incipit: Definitions. Nombre Triangulaire est, qvi exprime l'aire d'un Triangle
# Date: 1674-09
# Akademie-Ausgabe: AA VII,3 N. 036
# Other printings: Gerhardt, BriefwMath 2 S.50-52.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36976&katnr=41639%2F%2B41640%3D35160
# AA VII,3: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-3
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,3, p. 398 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII3A.pdf#page=398
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068021
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 3
# Folios: Bl. 5 (from the shelfmark LH 35, 5, 3 Bl. 5): 2 pages, canvases 9–10, page ids 00068021:0009 to 00068021:0010
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068021&page=9
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# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
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## Folio 5r — 00068021:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068021/jpgs/default/00000009.jpg
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Dudum ista inveneram, bicumo abhime, sed sarsi, ut amicis darem 1674. sept.
 Definitions.
Jam ante bienuium Hntugenio dixeram
Nombre Triangulaire est
summa Trangulotum ja factionum
a figuratis, per aequationes
qui exprime l aire d’un
is oscele
Trimnyle Rectangle c’est a dire le nombre des quelques
comme
petite quarrez des unités quae por ex emple si le
costé du Triangle est exprimé par le nombre dess
par ex emple
pieds; veg. 4,
a le nombre Triangulaire exprimera
le nombre des pieds quariez, 10. dont ce Triangle
est compess. Ces nombres sont: 1 3, 6. 10, 15. 21.
Et leur costes
5 6 et
On peut juger par la, en joignant la en
considerant la figure cy-joincte, que le nomtre
du coste estant, nomme
ee
le nombre Triangularie
la cettre a representant l’unice
sera y + yace qui est son charactere analytique
à fin de le faire entrer dans le calcul en cas
de besoin.
fraction trianus ulariess est dont le Numerateur
ou autre antre unifor
unite, et a
le nominateur un nombre Triangulaire. pur exemple o
fraction naturelle est dont le numerateur est l’unité et le nminater
est la racine ou le costé de quelque figure nombre figure, comme
Triangulaire ou quarié. Mt. qui luy repond
Triangbe prochainenes Fradions Triangulaires:
plus grand est dont le costé
n’est augmenté que de l’unité
Naturelles
comme pt le coste du Triangle proposé est y.
celuy du prochainement plus grax sera, yta
Lemme:
3
prxson camorere seca 
6 10
2, etc
3 La moitié d’une fraction Triangulaire estant ostée de la
31
fraction naturelle qui luy repond il reste la fraction
naturelle qui repond au Triangle prochainement plus. grand H
Hou la progres. Par exemple
sion C. estant
la moitie de L. (c’est à dire ), estant ostée
ostée de pro- de il reste
egale à la
3
demonstration
puisque
Puisque un nombre tieu Un nombre t pris à discretion le costé
ou nombre, naturet, qui répond a un triangle estant nom me. y, org. 3.
le Toile nombre Triangnlaire sera
V+ jang par ce que nous
venons de remarquer dans la definition. il s’ensuit que
la fraction naturelle estant la frnction Triangulaire.
sera 
2a
es  sa moitie 2 ou L et sa moitie
+ ya
9+3
L ou L  de 2 ostez
9+3
12
ya + ya nu a
y3 +yra
ou
va ou
yrya
a
le reste sera:
yya
a O qua n est ou 1
y +a 3+1
2
Or y estant le costé du f. d’un Triangle Rectangle, y + 1. sera
le coste du Triangle prrchainement plus grand, se avoir en nombres entiers
reste des la soubstraction susdité
ya oest la
Donc a
fraction naturelle qui repond au
Triangle prochainement plus grand
Ce quil fallort demonstrer
sanus des
glession B. il
restera la pro-
gression D,
ou à la
progression
progression E,
lem

## Folio 5v — 00068021:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068021/jpgs/default/00000010.jpg
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Merreme de l’Arithinetique des Infinis
e Binaire est la somme d’une progression in finie de
fractions dont le numerateur est l’unité, et les denominateurs
sont tous les nombres Transulaires, dépuis l’unite inclusivenent,
jusque à l’nfini
A. 61 + L + 15 + 1 + + + =, et egale a 2.
Demonstration.
soit exposée la progression infinie de fractions naturelles
2 22 3
4 4 f et
item la progression des moitiez des fractions riangulaires ou la
moitie de la progression A
 2 6. 2 20 30 L
ostez, la progression C. de la progression B. chaque terme
de chaque terme qui luy repond, il en proviendra
16 25 36 n ex
21 12 = 36 80 150 252
Et deprimant les nombres des fractions de la progression V
vous aurez, la progression E.
2.
3
4
1
 1
51
ek à l’infini.
6.
par le temme demonstre cydessus
De la même progression B ostez l’unité et vous aurez
aussi la progression E.
Donc B. C estant egale a E
Et B -1 estant aussi égale à E
Il s’ensnit que C. est égale à 
Or C. est égale a A
donc A est egale à 1
et enfin A est egale a 2.
tiue
Apres ce que je viens de dire, il es cusee
trouver la demonstration de mon theoreme General,
sçavoir
La somme des fractions Triangulaines infinies est egale
-
pyramidales
triangulo trinngnt
un corcas capere praedante 
1
Ce qu’il falloit demonstrer