# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37233/text
# Catalogue record: 37233 — De progressionibus intervallorum tangentiu a vertice: Schedula tertia
# Incipit: Ostendi supra si in parabola, a assumas altitudinem ex vertice parabol
# Date: 1673-04
# Akademie-Ausgabe: AA VII,3 N. 017
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37233&katnr=Cc2+640
# AA VII,3: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-3
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,3, p. 242 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII3A.pdf#page=242
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 210–211 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 210-211): 4 pages, canvases 419–422, page ids 00068195:0419 to 00068195:0422
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=419
# Lines: 312 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.78
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 210r — 00068195:0419
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 211v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
  =  s aab  acb ab a b
62
Ergo a. = b Ergo ab- ac = b + bc. Ergo
btC b- c.
dc a au
btc
ac
dc ac ex.
b 6it b7
64
Nab acb2 a b- c
btc. b. 6 467 b en
Ergo  1- (4 C C et - 7 b - b + b - b Eogo
 b+C F b
-
 b + c.
1
1-c4c=- C3.
C ac. B eto b -c hesiretu fet L  b  5. b.
bac - Cb dividat
pilier E. 2 
e
 Xbe
c 
64
6. c. B
b=c
rgo L = b C supposito b esse majus quam c. Eogo
b +c b C b -c
sed ut fiat mins,
ed ut fiat minus possemus ita dicere: .fieret
16
- cf.
= c+ 9b f 6 cb
c. + 3b -
bC + 9b, 6bc - b
416 14
4
Hinc apparet omnem istum calculurm
etsi verissimum esse inutilerm..
b + C + 1b
b+c.
c +
b=C
c b. c
C+ 8b+ 6bc
162 4 84
et
 Ergo xa = ea
= Erqua = 8a
e t
b + c
54G +bbC- bc (7 e + cb_
nec unquam hac ratione divisor binomio aequalem uninomium
reperiri, nisi soilicet vel differentia lvel summa. ve (quibus casibus binomia
ssecessant, vel ratio nominum nota sit. Si ratio nominum nota sit,
cimus v. g ponamus fractionem  = b - C Esto ratu nobis nota a. = =
b +c
b c
ago X X= .
Ent b+ C = b + ab. et b - c = 2b = a b = b 1. a. Xoa - X 6q xa
2b + ab
b5 1+ a
u cum supra fuerit X-
= 8a
84
Ergo X = 67 +678a
Ergo X = C
FrC
2+ 4 1+ b
foit = 674 6y0
rugo X= 62 =
oa
8a + 8a
Ergo X-
e
ved
12 67
67~1 + a 67 + 67 a
8a
6y
1 X
62 Ex
ea
= 1o a. Ego n = 6Z = 63 L. Erpo X  62 = 2- 0. lqu X -62 
C 1
prax
+4
2b9s
btc.

## Folio 210v — 00068195:0420
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 211r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
ergo
q
= 1
Ergo 6Z8a = X 84- x6Z
(Z = X - _X67
Ergo 694974
Ergo R4 6774974
572
8a
= X = X6)
64a
644
Ergo RqB + 92 +3
In
64a va
ia sit maju quam X. fiet
R96Z + 9
Ergo ta 16a +67. est 4a+
ba 8a
da ota
X - 372
37
fabemus eryso methodum faciendi ex divisore binomio uninomium
v.g ex
1
aCX
C
Nihil est
X8a-
v
X vel O X.
posito x essemaius quam
 a
LX.
9
offac
id
aa
aa-a
aa
a- 1.
a  (a)+ = (1) + = (L) + L a a - a
a a b a-1 b
a -1 as
a-1
X a + 1. + 1 + 1 et. Ex hoc calculo nullus alius usue
ducitur quam quod apparet, nova methodus demonstrandi modum quo
summantur seres decrescentes proportionis geometricae, perpetua scilicet
divisione per aliquam apotomam a = a - a
quadratum ra quotiens ex cubo per differentiam quadrati et radicis diviso
aequatur quadrato diviso per differentiam radicis et mnitatis
3- 1
2 (42 36 36(7: 49 49 f8 49- 7+1 +=
6-1
7- 1
6
eb
7- 1.
ergo a - a + 1 +  contra a +9 f 49(6 = - a - 1 +
a +1, 7+1
a   aquati fandmo reliqua seriei adsusso a + 1. ditta X
a- 1
7+1.
aira do
a fa
ap
a - 1.

## Folio 211r — 00068195:0421
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 210v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Ostendi supra si in Parabola, d Bassumas altitudinem ex vertice parabolae
ad punctum datum, et. applicatam in dato puncto esse altitudini aequalem
atque inde progrediaris multiplicando altitudinem, cum applicatarum
quadrata sint ut altitudines, progressum intervallorum a tangentibus
puncti dati, a tangentibus, applicatas altitudinum multiplicatarum
hunc fore: (a 2a 3a. Sed quia hoc punctum aequalitatis in
ipso vertice assumi A45 Rg9. RgB3. non potest ieo hac me thodo non com–
pletur figuru. Quarenda ergo progressio intervallorum, si altitudo, continue diminuatur
Esto altitudo parabolae AB. applicata et aequalis BC. = a. Elum DB= 2a. ejus E 4a
YBC = a. Summa quadratorum Sa. Etjus R45a = DC. Griangulum
DBC = 2aa. 2 = a. Dividatur per R95a. Et productum duplicetu
fiet a, Rqsa austatae 44   R9 7a
= Rg +4 2a -B
Intervallum puncti inaxe sumti a tangente ejusdem applicasa
altitudini aequalis. Jam altitudo ab. a parte b. diminu intelligat
per partes aeq continne per partes aequales fB. GF etc. quae videan
+a +405ab an aliqua ratio progressionis tangentium intervaltorum  quibus puncta
a  ab F. G. etc absunt a tangentibus inveniri queat; ne autem multiplicare
44- + ab4+8afius lineas necesse sit semper Fro phuctum B. (et caetera ab eo depen–
-846+4 +446 dentia per consequens pro punctis F. G. ex nominabimus, calculo tantum
mintato. Esto ergo AB = a - b. DB = 2a -2b ejus 1 Cumque AB antea fienit
cedo
4c= 4ab = 12ab +12 ab6 . erit ratio altitudnum a- b. ergo natro applica tabbum quadratum per
prans rationem mltiplicetur peoducri radii erit applicata imphesentiarum a
a b
=A 2 ab. - a- ab. erit ergo applicata BC. nunc R9 a = ab. Ejus E.
addatur _ DB e 4a + 4b = 8 ab + a + ab = 5a + 4b - 9ab. ejus q = DC
cac
V. BN = Rq +a  - Rab = 12a b + 12a 16. vel 2a - 26, Rga - ab - a- b, agarab
dividatur pe hoc Triangulum per A45a + 4b. gab, et prodieum duplicetur
producstum erit, in teroallum. Sed cum res hoc modo sit implicatissima futura loco subtractionis, centandi
uti ratione. Esto AF d. erit intervallum 24. Esto AG a erit intervallum 3a
sedistae rationes A Hc. ita decrescent, ut parum tam numeratores quam nominuto
continue de minuantur unitate ut si a sit 2. seu si AF contineat 14s quartas de AB. Mecesse
AG. continere  tias seu (3 esse = 2. et  porro, idem est si partes BF. FG omnia linea
assignabili minores, numeroque infinita intelligantur. Ino eror mest. Etsi AF
ideo e intervallum ipsuus F. a tangente=
Lg5. Ergo sehedula s alia calculum istum corrigen
Habemus ergo hoc saltem rlilitatis existe calculo, quod sclicet methodo
tali possumus ex Radicibus in aut fractionibus divisorum binomiorum
quod libet ervere terminos absolutos,  et contra per eos, si res ita fert
destruere alios terminos aequationis. resum ergo habet haec analysis.
quoties in reliqua aequatione sunt aliquor termini tales, quales ex perpetua
divisione sunt oritari. Ita enim nonnunquam ad aequationeri pervera
in meducibiem ut si
ee
b-x   4 +  X + aX X Certum est
b3
2
hac methodo  + apa bG(
facile destrui posse. Que facto aequatio ita quodsi dhmensiones
non differant unitate inflexine quadam Edfacile obtincum posse puti
Ergo. hiscasitus sope qu aerere ejusmod dhorisires binomios utile eria, quos alias
fugimus

## Folio 211v — 00068195:0422
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 210r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 101 lines, status machine
16
(+ Rg9.
saaze
reba
e
+a
2096
576
ca -v
24- b, B + a- b a- b
2ab - b + a
20-b2b + a +b a - b
2ab - b + a + 6 - 2 ab
ac b. pacaa
v2
686
686. nF quse
44
164
18
190
12s
49686
9-225
2468b
86
12 64 512 51
inqus
5940g
4096(072
1+ 4 si
15
1 2 lep210    
at192
propositum esto extrahere radicem ex binomio ut R4 16Z est R916a +67 = 44 + X.
sed X = Z seu 6Z = 8ax + X quae aequatio si non plana est at per solida pratis est soluli
ipsi X. aequate possit inveniri hoc enim facto a perfecta solutio est. Dividamus ergo 672
643 et
ea +X ea 64a 5124: 409d
X. Rypono audem _ esse minus quam Baita em alioqui invertenda forent ommnia) eta ehimo
ogossio est continue decresca et proende summabitis. Tota autem series aequalis ipsi X.
quae ut summetur primum et Termini colligendi sunt qui  praefixum habent, demde qui
et summa horum a summma illorum defrahenda. Sed exemplo in numeris rem declaremus
pro CZ est. 1. pro X ratione esto L. erit senes hac 5I. - = + + -  qa
 etc. dende L. 8 = et et hacae
mma s illa subtiahenda. Parro uti summa integra senes est geometricas ita et duae
Quagenda ergo summanda primum: +L + 1. B
sertis excerptae alternantes. Ratio nimicum harum serierum excerplarum, est quadraturavis
ea
terminusergndus omilsitur alternus quisque terminus omiltitur, si
serus secinddus lentiusque quique omitterent ratio excerplae seriei, foret cubus integrae etc.
seriei integrae. quoniam nimid
uim autem un dixi series istae sunt Geometrice dscendentes earum rationem invenore summm
facile est. ummata autem ata mitur, si multiplicetur terminus primus in rationem suam
ad differentiaro a sequende. Ut ergo summentur 
est, ea est:
3072487- 4847
64 4096aY
64a) 
fiet   igrae  M= a.
ex ba
1),
ua
et. differentia investigenda
193a
ga ba
6a
ta per
64a = X
644 = 670 38a7
(32) (43 per hoc productum mttiplicetur tennidu primus, fiet 64a- 3a 51a = BaX
summa. Nunc et summa detrchendorum 67X Syx etc. investigetur,
304204
A 48aZ.
64a 40964
afferentia iorum duorum pricoum teminorum est : 24576X - 3 2 384ZX -53
64 a -X
adividat Htum Termini primifiet:
2674XY. 2847 X - 9∞ 6,x
40ge 44
40964
-48a7 -
64096a4  409b a+
4090
1842 - 62+ - X
=6a q quae summa si subtialatu a prim for. 6 ta -x
64a - X  8aZ ZX  jam Ba + X 8a -x
X Ergo 8a +X
e+
Seu 87
faciunt 644 - X.
2g0 aequatio orietur nutilis 64a - x = 64a- p Signum est hoc, operationem
Ea +X
64a - x
fuisse praeclaram et rectam, sed aliis auxiliis opus esse ad aequationtilis oriatur. Ergo
rectius: ex _ aequatione sa 6nC= ceaX _X ili extrahemus radice. 16 a +67 = 16a + X + GaX
ergo A9 16a +6Z=a + X. Sed ita res ruchus redit in orbem, et ad prisca
in sit ax et ea delead mntijlicai prX cort ea iuisu erit =  
ab
67
da