# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37325/text
# Catalogue record: 37325 — Analysis Tetragonistica
# Incipit: [Fig.] In qualibet curva, in qua TB intervallum tangentis ad AB. const
# Date: 1676-05-26
# Akademie-Ausgabe: AA VII,5 N. 079
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37325&katnr=Cc2+1427
# AA VII,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,5, p. 229 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII5B.pdf#page=229
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 442–443 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 442-443): 4 pages, canvases 879–882, page ids 00068196:0879 to 00068196:0882
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=879
# Lines: 335 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 442r — 00068196:0879
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 443v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000879.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
euit  ad 4  et p aF. didus   in Nan OD1 Y. at B2⊓8 
ecd
Epositi, tamen omnibus assi rmativis.
N D Z. EEgo O= DHZ
B ontervallim tongentis ad AB. constantem habet rationem etiam rectonus ulum 
ngulum (E) ) BCC) D) ad rectangula ED(C) consem (E) (C)d constantem qubebit, Ed (C) constonte
habebeit rationem seu eam quam (3) (C) (D) ad (E) (C) (CD unde non mirum so totum spertium ad totum spatium
constantem habet rationem. Unde habemus has quadraburas sine ulla figurae transmatatione in novaris
BC Cp
Ergo expli-
mprius demonstrabo: BF ZAB. ex Hypothesi; Z existente mimero constante. Jum TB, DC) 
EBC, Cd. ergo rectongulum BC, eB, ad rectam. AB, D(C) ut niti d numerum se
AB, DC
1 ut Z ad v. Ergo et spatium ad spatium eodem erit modor summu horum rectangulorum, seu spatium CBFGC ad
spatium CE HGC eoita erit modo nempe ut Q ad V. Hiac sant nova Analyseos quadintura
Citunque puraboloides et hyperbolvendis uno ex protensio capite quadrantur, quia in illis Rectangula s
via aperitum minim
sob ni abscissiset differentus
H
M erunt vndeiata
ordinateram, habent constantem rationem ad odinatus sen diferentu, obscictnam sint rectangula abse
idinatae  y. abscissae  differentiae ubscissarum B. ordinatum
eris d sini PN ut HB et NR ut Be verit spatum CBF GC ad spatum CEGHC ut
Acabsissint NP. ec sua su
putuim a  R  PV (∞) P adspatiui RA () R)R solohaec cum N P ad NA ut
sinit cu figurae quadrabiles; qualum ommulm pondintura atii
aG(P) ad (YIR. infinite
on sint et
invsuroi pos
N, ultrum procedat ut ordinata panbu
dicam resolvitur in quadraturam prianguli eredibile est ergo adduc infinitus alia
hic predibile est ex totu hac applrcatione, siscili cet sint Xeo ad B YB ut applicatie pvirabblae
an
finitia
rationsy et XCo, sed uno verbigratia pocedente, ut oldinatae 
aD abscissus debere infinitas iterum orcti curvas novas, ut ex relatione ordinatae Trianguliadabscisse inm sempr gradi
Qquadrabiles novoru semper grad
quibus forte continebuntur pudrabile, omnes. Primus gradus quadrabilim fueti parabolocidum e Hypliboloendum icium eadem est rati
srte sunt. Hunc uno easi redia hoc Et infinities infinitar habebuntu cuquae
ximus gradi
Exnfi Hactenus dubitatum fuit an
fin
tarum cora sunt Xcd eryB.
eae essent currae figurae quam
tit orienata paraboliverdibus. Hyperboloeidibus penderet nir ecce novae proddent. Quae novae rursus alias dabunt
uet itaa in infinitum. praeterer haec methodo redmentur figurae ad quadnaetaram circuli, et Hyperbolae quando ex
leis pendent, ut si PN sit upplicata Trianguli NR Hyperbolae figura in qua hoc contingere penderet ex quadratura
irbolae poterit hoc modo fieriforte, ut figura aliqua pendet ex se iesa, (vel pendente exse iasa.) et habeatur
 possunt aliae frecisolutio resolutiones
si tale quid eveniat in relatione inter criangula ABs
 et rectongula: DB (B) (d) item heriana
ex diversis sumta centris, ut A. et E. iqo possunt
i enim detur ratio sectoris AB()B) ad sectoreu
AB FB B) (BB utique dabitur segmentum B(B) (B) B. potemnt et nusceri siangula
ca etiam esse ab eoidem curvae parte
ectongula ejusdem lateris ut E B(B) et. GB(B) itam rectangula et rectongula eiudem
pteris, ut GB(BsC, et DB(B) (D) servit ingens ita Varietasad intituendam malysin in
Hoc amplius fieri posset, ut divensis modis, ad se invirem reperrentuo rectangula veTriangula
quae tamen non ad eandem cuvae sportionem supiantur; sed inerse, et tunc absolvendo done utrobius in
unum coeant, et unam progressio finiat ubi altra coeperioruntuo, tunc ea via serviet, ad certas determinatas
sigurarum portiones, seu totas figuras, certo modo sumtas inveniendas; ejus enim ope non aliter portiones invenir
et ita porio donea sit coenada
ppossunt, sed tantum tota ut sa in prinia figura sit ECL  certio relationis ad BB, Cy(D
tunc s relatio sta est ut figuiazum
rectangulis aliis quomo docum
vadrabilium habebitu
emper locum habet et
toto, quanum partes certam quadraturam non ferni
constantem, qualis aliioquin darcuu si directe procedi possea. Caeterum nonnihil eximplis haec applicando 
ptrimum experimum iqua generalier consideremus: XlX bxy 1x dy0 inde transionendo
fer. El +X + ∞ bty + et p - bxy = aX + bxy   cX +  5+ dy f
ine axt + bd) FCFF7 2Cy+ dY-b et +p
1 , t ert
12+ bx
2ey + d’y - bxy
Eax+ by+
et fei: b 2 ax B+ ByB+ CBF
+by +C 32c + bxco = 1aXB - eB
G
et
1yco +CF bXC stnem
ax + cx f3 efiet denique
oaX C  fB, +2a XFB, d- bX, B,  d- b X sed hc calculus nur proerius. sumamus
potius particularia, et videamus an me hovus quaedo invenori possit, qua fiat, it posita CB (B) D 
tum
d
tende erit AEesto ABC A ut MNK ad M PN. seu at tulinem parabolicum adriangulio ejusdem artitudin
 et MNR+ D3 ergo posita AB,v eritu
H3B.
GXB XB ABCEpXG SVBad SXd
3P ad ta it Se  23. Era Arte riB. sid Edo C EB u   B C. si det 3 poluisse
malis ses eErns onisrita
bit curra, in qua
2
sa
B erit
(1)
LH XX XH X1I, Y
ita una pota figuia
t oriinntae sambolveidum ad abscistas,
non figura
aequatio
prietum eadus cum um seu cur ut applicatae Triangulio
s
nna bati.
donec fint donec veniatur ad rellationem a D(CE, ad 2 (D) sC
tota figura, non vero portiones. idem de triangulis quoque
hoc quidem modo spes est posse aliqua figrias quadrar
le
eHo ut y habeqe tur pure, et fe
M sit  DECC) (C) H primum catum est cuvam talem non fore parabolvendem nec comperbolond
ut ex F M et sit PN AV. NRV erit MeN A 
n ergo erit AECA ad B BCA ut 2D ad 3a. seu u(2B ad

## Folio 442v — 00068196:0880
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 443r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000880.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
sedper vel pers
sed hic imalysi nostite
anlunue sedpossumus aliquam esrum dotumu neque entim necese est ut altentia eaum ipsarm n vel e. sit ad
F C+) esse aqualia, eorum samma seu figum M Nx pagine
ar ta et
agx xvg
3., aut potius dB Y et dB  + a quig+ ng
Veto
on est satis datorum
om asira
cncanit
pradie certu 
uta ut restotissul solum e exB. aonisseun hinc gnversa meltrodo fia
infrtae sunt fripine satis fcleteres Emnm nnen He
my est C() BB
t. X p
icur pon per so
licare, nu
aequari sciliget constranti e adeoque rianguluae
erit rectangulum et habebitur A absolut
ipsarum X. porimus ipsamm Y differentum esse i:
B vingente figurae, cudius tolis esset aequatio
priore hucutentus, ut nova opussit fiet
Ergo quQra  4∞
(2 Y 4 + ∞ vel aquatio erit 424ag + a v quaentur differentur
19a 7 aqer 3
C cum retatione addifferentias suas, sed non sed non sufficienter expressam, scilitet relatione tanta i ad
differentias suas
dau exprimuntur
ehis datis quaeritur V. sed ea iventa nihil aliudhabebitur pum figura pendens ex cirsculiquadratur + a-4a
ifficile ergo et sape etim in datis figuris facere ejusmodi analuses. Demue sempe i quohescumqin valirem
ipsius X ingredietur utraque tam v. quam e quod si altentra earum ingrediatur tantum, bunc a mane
p en p G. e
venietim relatio intex v. et C. sine alia indeterminata itreque expluribus analussbyspyse
dam
el persolam
bilibus eligendae eae, quibus ivalor ipsius X. habetur suu per solam V.
hoc anulysi haberi, quam novam figuram exdotae quadratura pendendem, vel contra. 
ea fructus, ob primi lasus foecunditatem
ota quabdocus oque
 fateor nhilatim
res
ipsae BCd sunt in recigioca ratione iisim
IDC. Hune momentim omnim EBC ex ex AB eri constans quandetas sit. facta posita cd constante; pofactius ex BC in 5
factum quod est semper corstans; + factu ex ED in DI). seu  factum momentum omnium
viter. Illud interimi didic quod non putabum, ne in analyticis quidem figuris omni
nec posse verbigratia semper inveniri figum relationem inter BCder Et (C, idest figuram cuqu oidinata
verbi gratia suut ad abscissas ut E D(C) ad BCD.
Imo corrigo me nunc e artitia ervorem
ortum quod B explicare volni; nec ponere costantem, aliamve, quasi scilicet X non possit sumi aut eti
aliarte promribetrio, uno videtur nisi sissumatur quaestionem esse friodam, et relationem fore aliam
atque aliam. Andacter ergo ponamus Bp 8. fet satim:
e. issis itaque e, seu exignis arcubus positis
aribimetice proportonalibus de verum est acsiid dicas de Triangules eruut rectangula BCD harmonice proportio alia
Itaque ex datio qua
 sR.
ea BCd emul ipsis F C(C) reciproca. Ergo . N B  ut C. et PH ut b erit cnva R hyperte la
et opus erit. sed non quoni ita deaberetur quadratua cume exHyperbilae quadratura
contra, uno et spatium Hyperbolicum in finitum quae omnia absuria videntur, ideo redeundam
superiora, ee negandam, id procedere quia positis B. constantibus seu Xarictucticis ipsae v
sunt anthimeti cae.
aB B et. ergo a
a, 1Blo ea Ca x B u
TaeV. et a. X, P 1 sa et C va p ev. et varacN
et X aC va ubi tantem opusest B
ossit adhnc semel in veniri aliquid, cujus ope habectur aequalio in
a extent non
usi e et v.
nas nec viro licet B proaibitiio assumre, lunc ommi frustra utemur e. et p. quaa non dmur amphiis liberae, sed
devendaitaque resco an sent aliee prober paroboloedes currae, in quibus absolute possit inveniri, quiae tamen ipsa
incindit n ui ito totus res tme redit dx = p ev. et X , Qe C ba opeham duarum aequationam
ifer
Arev pas c x. cujus figurae quabrabura pendet ex quo dratura
ineren melmodus ista al alic ona ad quaestiones tangslatum ib versas, gto enin signa exs voati cent est et extidet relatione
um determinatum; sed forte id ficu non potest e
pronibitia assumere. Non dum 
sn datae figurae hoc modo canto
satis factum, nec exemplu
FGB seu a B. Ergo triangulam F
d n
aXra
 et apa x vg
circulo est
1BCd1, Br
CH  e8. ergo
pes: a. 2a XX  at v8 et axtaev
fficilis objiatur
vieu quod
V. est tumen du nostrapolestate alterntiam dearum
crbituomodo illiue sic hiaber possit summa, ponamus ergo esse
ns quaereum differentiam psarum et quod fit tantam maerendo
esse X fingendoscilicet inter
 et es
+a + _v
remus fignim ex vadratura circulipendentem
ex vertice
ge in potestate
tale inverumus videamus nunc ut in conicis, ut an
+ ax et X
agenbo AB

## Folio 443r — 00068196:0881
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 442v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000881.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
207 Maji 1676
qundam ergo sic ob ipsam B operam laderet analysis videtur, ideo coafo fatendium est isi unus
sifate casus adhuc prodesse possit cum duo triangula conferuntur diversa, ex diversis centris.
ut in circulo ex F centro communiter dicto et A vertice issit A(3p X. et
B (B) 1 B. erit CC) F
stangulum
vral
2. quod ductum in  dabic
Filangulum Ct)F (C)CY  a
Ne si ex A tangeati
aE duper Triangulo ACC
producto (C) Coccunat L. erit AL in BIB) 
AB, d est 2ay BCH y. eri. AC 
 cui aB1 et triangulum
e a X 1
v8. fiei xa  saer seu v
aequaronem pro valore 3. et pro incore  redibit difficulhas a
earem ad  (C) AS : AL:: AC BC seu y: FCsed a. ergo A5p, 24y.
d sid
Etum coglans C d g2 ∞ a+  vR. 3 ergo et d a ry siv. sed restat diffecultus prior, screndum est
ne H A e
he aex hi X p 2a ho et a X r rati X t
jam AS: L:: y: a. eut AS  X. p AB. ut constat;
XaBC raX 1 VG. et a B a ( O Ya =   et eit V. e9. et
ut x ad a. et video nostram methodum non omni no usu carere
certum opecentiorum; nimirum si certur est AS in CC) esse ada
esse ad F(C), c(1) ut AS ad F(C) id est ut X. ad a. Jam
si BVB AL erit E () YBB) B v8 et si BEY FG exit
iinE B(B) H FC(C) eritque C. B (B) ad V B (8) seu e ad v.
se eg ad vcs ut FA  FC ad AB. ducta recta AMD.
videndum an quia ordinatae sint ut
a ad X. Sunt summae ut ABIH.
et rectanus ABM ad Tr (seu figurae ABE P ad fius ABM, seu
ut a sa ad sX seu ul figurae A. recunus. ABN, et inus? BM.
nesset haberetur quadratura. Sed id verum non est
Alioqui darentur
a7 ad a0 ∞ X ad a. datur autem (0. ergo
 Ia ad (x daritur etiam quadratura Hyperbolae. Et videndum
tamen adhuc ancerta constante modo componatur an posito e  a. certo
oda prude
summ e ex ratione Sa. ut si ad huc quirius dicalio
2a sum.
Sed quoniam nondum inventus modus derivandi
satis sim, utrum id fieri possit, et utrum constans aliqua sit verivatio.
itaque brestat undus unicus analyseos or nostrae (praeter iversas methodos hinc ducendas)
ut qu sumitis punctis pro arbitrio, et directricibus atque angulis pro arbitrio, quaeratur, posse
vel triangula ta assumta, ut constantem habeant rationem.
quae inguisitio ancaii, in sive ateriminata est sive in nostra potestate, generaliter enim porumus punctum
de exignis ipis
drectrirem eligere quamlibet Nimirum non loquendum
ortiones tangentium infinite parvas Viangulis, sed aefimanda etramres ad
portionus majoris longentium et chordas, ud FCM. ad BC  (B) vel CB ) D. sed videndum
au non quicquod tabe est debeat semper malius in tangentibus etiam
apparere. Tantum videndum an nihil referat, quomodo
Abpie et (3 explicentur. Et vedetur si semel ope
Et primum pocerso videtur  verbigratum CF (B) n ad FAB
constantem habet ratum
videamus
infinité parvis quoque
XB + 4β _ ad _Y ( + Z (B2 Y
vades eodem modo appantum etsi ponas B infinite parvam. Eodem modo credo
appartoit, si constans ratio sit, nicubrefcrre debere. Haec ergo methodus analytic
plane determinata est in qualibet fignra generali anim pro ipsa calculo enumerale licet omnes
possibile Trrangulorum aut rectanguloram collationes; sumlle pro arbitrio punctis, fixis seu
centris; angulis ordinatarum, et directricilbus. Et qu videri quando jam ante constat idfieri
non posse quando constat portiones generalem non posse invenori figurae quadraturam. furic
sentandum superest an non id obtineri possit diversa ase invicem lemota  vel ut ep dicom
pposita Triangula et rectonigula inter se jungendo primum unius seriei, ultino altrius seriei.
talis enim methodi ope haberetur figura tota etsi non singulae partes. Itaque pro anulusi
quadraturarum haec videtur via maxime naturalis. Videatur variis modis quomodo in Triangula
et rectangula resolvi possit Parallelogramma resolvi possit uno calculo generali. Et utendo mitio
non infinite parvis sed ordinariis videatur an non nempe polugo Triangulis aut Frapeziis aut
inde cum cellum est non posse generalem inveniri quadraturam
Ut jam factum in Hyperbola  circulo
Ellipsi. Ubi viden examinandi modi quibs id maxime apparet, ut progrsiio Hyperbo iortionum redit
calaribus figuris,
Dud sectionem ngrationis circuli ad sectionem anguli; altiores  ad alias vodendum scitice ad quod probllma
reda at aequaliter secare upertolo a cunae portionem datam, seu porygonum regulare ei inscribere
aeraque ad genu. Inde enim naturalissime incipietur eamque nrem analytica quaedam paranda est via
a cum adeter veri. elaris, ete suatur qendi quandindalatter geneatum pospredersateros est oae
quaeramus As perpendia
et hB ra
ergo fiet:
st C (C) constans eddenda seu
AC et Eiongulum ACC
unde rursus cunge
enim, quomodo ifa ipsa y. progrediatur. equidem
AA sit h. erit AB, 2aB
Chrar
sed n qui
Quadraturae omnes multis modis ut
constanite modo
Unum exaltyo, vec
SX anB X
aliquando reperiri rectangtu
teligere qu
ad longentes

## Folio 443v — 00068196:0882
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 442r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000882.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
sentamento praesundit qua eam dare possent
ebantur. Nec dabibandum videtur rem redi
furam ad totidem proqusiones, quod sunt radicum determinandarum modi sclotet, nunc ponend
X( d pro Hyperbota, nunc X B a+ b pro circulo et ita videndum quae fignea  construant omnes
aequationes, ub i X p, a + b+C. et it revocatur Hyperbola ad Curvam parabolicam circulus ad Circularem
ita non videtero dubitandum et caaeteras ad quasdam ts certa ratione redituras. Quod si nem inventa
eti infigura portionum progressio, seu socutio problematis: datam figurae portionem aequaliber dividere
unc in certum partium numerum, similesque +, vel etram bisecare vel ei polygonum regulare iucumscribere
vel spatium scutare ad scribere, quod sit regulare, aliaque ad genus; tunc superest ut videamus am
non certa ratione duae diversae portiones inter e diversis cocis inter jungi possint ut fiat
progressio aliqua cujus haberi possit summa. su quae sit saltem non transcendens. Notabule eri
Tit saltem non transcendim, sed non sufficiens, quia tunc reducetur totius inventio rursus ad al berius progesio
nis summationem. videndum quomodo dea methodus in polygonorum regulamum et spatioum
scalarium regularium in Ellipsi et Hyperbola ad alias produti possit luivas; tonda tentanda res in
illis figuris quarum habetuur sectio et dimensio facilius artificium naturae intelligatur. Nimin
condenda theorematu quatia quibus cunarum anguli est similia intervedant eA opus et quaeri mari
fa
Triangula inscripta portionum; vel alia i genus. crtvandem veniatur ad aliquid astans
methodus si succedit ostendit vel exhibet quadraturam e  quadraturae generalis impossibitalitem, et
E supericna
aequationem saltem transcendentim exhibet quadrabricis, prior non exhibe quadratur si snccedit
ex hibet quadraturam; nunquam vero probat eou impossibilitatem quadraturae generalis. Habet
tamen hoc praepriore altera, ut enumorari possint omnes modi possibiles; quibus scilicet inveniri possint
eandem habentia rationem triampila vel paralledograruma ut si non sucledat, certum sit non posse
aba assumi vello modoinveni Triamea vel para lelogramme constandem rationem habentia