# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37354/text
# Catalogue record: 37354 — De Methodo Tangentium inversa pars III_tia
# Incipit: Duabus prioribus schedulis rem antea desperatam effeci, ut problemata
# Date: 1675-01
# Akademie-Ausgabe: AA VII,5 N. 027
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37354&katnr=Cc2+904
# AA VII,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,5, p. 256 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII5A.pdf#page=256
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068097
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 2
# Folios: Bl. 3–4 (from the shelfmark LH 35, 8, 2 Bl. 3-4): 4 pages, canvases 5–8, page ids 00068097:0005 to 00068097:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068097&page=5
# Lines: 347 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00068097:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068097/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 74 lines, status machine
Jannar 1675.
de Methodo langentium inversa pars Untra
Duabus prioribus seledulis rem antea desperatum effectie, ut problemata
langentium inversa, seu modus inveniendi figuram, data tangentium proprietate ad
pranda posteniore earum
ultima inprunisnusi istendi regulariter
problemata methodi tangcatium inversae revocari ad d aequattionem quam ingrediantu
 indeterminatae quatuor, ex quibus duae sunt intufultae capitales b duae vero
incdentes. Et duae capitates  sunt ambignae sive duos habent singulae valores aequales.
itaque c mtplicand aequatio primum secundum unam, deinde secundum alteram
ordinanda et semper Auddeniano more ad dulas radices aequales multiplicanda est. Habebuntur
aequationes tres, incii uarum unius ope ex duabus altis
reliquis tolletur una indeterminatarum capitalium restabunt
equationes duae,  quarum cum quaelibet eundem habeat indetermina
Jam capitolem, ope unius ex ipsis eliditur in alterae valor valor ejus quae restat
capitalis habebitur; et in Cha in ipsius capitalis
locum substituetur; atque
ea aequatio in qua substitutus est valor, nullam amplius ex duabus illis incognitis
Copitalibus habebit, sed residua aequatio nullas habebit imeterminatas praetero
incidentes quae tanen eae ipsae sunt quad potissimum quaerebamque. Et ita quidem videtur
emper haberi posse quod desideramus  regulariterus solvi poterunt problemata tangentium
inversa; nisi subsit aliquid quod nos turbet, quod n quale sit nondum satis judico fieri
equidem potest quibusdam casibus, ut una sola aequatio tollat duas incognitas; 
 et ut duae incognitae reapse non nisi pro una haberi possint, et eo casu calculus exitur
treperire sane non potest, ut si sit aequalio
y + 27X  X + bx + by-ap
nam in hac ssequatione duae sunt in speciem incognitae y et X, reapses non nisi una est.
y + X 7 perinde enim est ac si diceres:
72 + bZ - a 0. scape nimorum fiet ut
una quaedam linea recta incognita sive quaesita sumta, fiat aequatio unius incognite
cum alias sit duatum iucogntarum apparentium, ut si di
ft sazep
sit aequatio: +y  2y sax + ax + by + a r1 o. et adhuc tollendo 
ordinando
crrationalem:
...
y + ax + by + a YI
2y sax sive quadrando:
= 1,...
y + 2ay X + 2b) + 2aY) + a X + 2ab VX + 2a X + ab V +2ba) + a
4a...
- 4ba . - b a.
Haec aequatio duarum in speciem incognitarum, non est revera nisi unius.
lugae data
0
sint enim
a AB. quaesitae VH BC et X , AD. CentloeB.
e
radio BA describatur Cirin ABdiametrum describatius
circulus A FB, ita ut FD sit perpendicularis ad AB. Juncta AF
erit H SaX. et producta FAG dum AG aequetur ipsi BC
rit GF⊓ ∞+ sax. quae si appelletur Z, Et ipsa  seu GF
ppo ducea
velut incognita quaeratur, aequatio sita in speciem tam alta
o duorum inc incognitam, ad unam
redibit incognitam valde
simplicem.   +67 + a 0. Unde it apparet saepe fieri, ut aequatio
duarum appareat incognitarum, nec sit tamen, atque itafrat, ut existentibus eo casu duabus
aequationibus problema fiat. impossibile.
At 
fione egusmodi  ita res ita apparebit si ex ea
Haec fte agno oblata autem aaequa–
uniqus redicis incognitarum vanore
extrahere Taboremus, quaerendo aaequationis radicem, sita enim eadem opera quaeremus inveniemus
duarum valorem:
Unde 3 7 73
+ 4X
vig.
ut F
a4bX - b8
bv a
+b8
110
i una estiti pesi mus erc. sed jam vider

## Folio 3v — 00068097:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068097/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 73 lines, status machine
hic lapsum me, dum credo pl
duas tantum incognitas locum habere
certis casibus problema esse de inmis deserminatum, quando certo valore novae incognitae
assimto, ex aequatione duatum in cognitarum fieri potest una, jam enim video
ld ad semper fieri posse, emper suicet posse lneam  duci qua pro incognita assumta
ex aequatione ductum incognitarum fiait aequatio incognitae unius nimiruo una
a unius illius incognitae ratione problema est de termnatum. u non vero rade
duarum ex quibus componitur, ejus valbe, nonitaque quemadmodum fieri potest, ut ducoru
si sint aequatio,
Hinc jam sequitur
ita postet etram meto tangentum inversa tractari neodo Fermatinna)
duatum vel etiam plurium incoguitarum, quatum quaelibet duos habeat valores
mearum igndearum summa
aequales. du semper posse  reduci aequationem ad unicam unius tantum vloris
duos tantum valores aequales habentem, quia semper linea aliqua poterit duci, cucus solius
duplex vator sufficiat.
itaque tux demum impossibilis rebdi potest aequatio, cum uujus
a quationis ope tolli possunt incognitae
certum est aliunde
constans
exilum haberi:
duae.
quuaeritur
Caeterum in exempla inquiramus, in quibus
curva, in qua sit
reducta semper
Esto directrix GDTADEHL PR, in qua
punctum frxum A. Tres curvae tung quaesitae
tangentes IC OCB GB. latus unum
indefinite parvum CB determinantes. mngantur
rectae AC AB. Centro C, radio quolibet
CD. describatur arcus cricnli secans chrecticem
in duobus punctis DE. Eodem modo centro B radio
BH descributuo
punctis, H, L.
areus circule secans directricem in duobus
quod si intervallum DE ponatur
infinite parvum, vel etiam HL idem est ac si recta
CD vel CE, item BH et BL esset ad directricem, perpendicularis
ange
seu ordinatim applicata
ipsi TC perpendicularis C]
directrici occurrat in P, et ipsi OCB perpendi alteri
tangenti perpendicularis BR, erdem occunat in R deb
erunt reductae DP, et H P, inter se aequales.
quo posito quaeritur natura hujus cgrvae, seu relatio
ipsius CD, ad ipsam AC. seds aermium
Nimirum ducantur perpendiculares dF, EM, HN
LQ. patet parallelas esse, DF, CP, item
EM, HN, BR. investigetur DC ex AC,
TB DF DF, T F TA (velalitus) habebitur
CD, eodem modo exen, BM, DA
fiet CE CD. unde aequatio trium
incognitarum ambiguarum quarium una
elidi potest) Similiter rursus
ex HN, ON, _A investigetu
BH, et eodem modo ex
28, GZ, GA ivepiistur
13L, ita alia rursus aequatur
sed jam video istaTribus istis Tangen–
tby, duobusque punctis curvae, imo et fluribus
non esse opus nisi quando quaerimus progressiones
illas in se continue reflexas, cum temiinus sequens
derivntur ex anteredente; ubi fieri potest etiam
ut duobus sit opus lateribus et tribus punctis, et
quatumr tangentibusque Hoc loco videntur puncta
G. Z. B. H. L. R. omitti posse. Nempe ipsa DP
vatorem habet determinatum, et efficiendum ut ipsa
calculius cujus ope
es
eut cum laterum progressio pendet
explicatur dependentia unis
ine

## Folio 4r — 00068097:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068097/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 76 lines, status machine
cit per punctum datum A transiens recta indefinita positione datat  c o
duae recta se in punctis T. B. occurcant duae rectae it puncto
C, se serantes c
CD. centro C, radio D,  describatur arcus cirvuli DE secans rectam D + ADE
 directricem, in punctis D. E. Ex puncto D ducatur perpendicularis DF
ad rectam TC et ex puncto Ep perpendiculans EM ad rectam c8.
Datum in telligatur punctum A, et recta  Ac magnitudo, ac proinde
Ex puncto circulus in cujus circumferentiam incidit punctum C.
data etiam
intelligatur AD. rctaque indefinita circa punctum C gystata, secabit alicubi circulio
tumerit punctum C, quia angulo TCD circu centrum P gyrato idem est si alia
pe
quadum ejusmodi linea deturo: denique data recta DF, dabitur. Etiam punctum D.
dam ex punctus rectis AT AP, DF; AC; datur recta DC. et eodem peane modo, ex datis
AD, A9, EM; AC, datur recta CE⊓ DC. itaque litera una eademque, sed duplicis valoris
repraesentari possunt AT et AD item AP et Ag; ac denique DF, et Eh. Et quomam
on Ex his ambiguae AP,  AQ etidi potest, quia valor ejus hoc loco supponitur esse
datus et constans; restant in cognrtae duae, A. T vel AB, et DF vel EM. aequatio
autem per quam ex datis AT, AE, DF, AC, invenitur DC, ordinetur tum secundum ambignam ot Tvel
AD, tum secundum am bigelam DF vel EM et mnetiplicetur secundum utramque aquatione ordinationem
ad effectum duarum radicum aequalium, et praeter inventam habebuntur duae aliae aequationes
quarum ope etidentur duae illae ambiguae, nec aliae restabunt indeterminatae quam eite
Recte sia quidem  et intelligi potest sumta alia AC, et alio quolibet puncto C. etc
eundem calculum valere; sed una tamen ex difficultas superest quod hac ratione exprimitur
furvae. sed none determinatur rectam C ejus curvae esse tangentem; unde cum
rectae TC, DC ut si fingantur tangentes alterius
cujusdam curvae datae  ipsam curvaru in eo lori secantis; manifestum est problema non
in finitis modis ductae intelligi possint, ta
Et mior tamen, ut dixi curvam fieri determinatam, seu
to restare duas tantum  incognitas Nrsi scilicet dicamus non exprimi
debere determinatum esse.
magnitadinem ipsio DE. Necque enim B datis T, et EM DI irio exprimitur nam
cidem
feren
quod ita videbimus:
pospta infinite parvia seu
redtae autem DF, et EM sunt aequales, sed
puncta T et Q. ergo et rectae C 7 et CM. punctu
potest probari eas coincidere itaque patet
quia prout DE aliaatque alia essuuntur alic
Thinc non
nulli modo exprimi naturam curvae
tac ejusmodi inquisitione nihil agitu aque etsi nondum desperem, indeo tamen alia
atquealia fit curva, et si sumatur infinite parva
Ac
uind
Quod si duabus ad unam eandemque; aequuationem ordinatis vel absasis
opus est, non veniemus profecto ad aequationem, seu semper ad calculos illos nurabiles
ratione opus esse.
reflexos, quos tamen fateor, valde opera pretium est persequi, cum
isi prosundas contineant et miras speculationes, quae apparent, cum duo ieitersissimis
etastis viis quaeruntur. Veut tamen in mentem aliqua observatio, cujus ope fortasse evitari potest
duplcitas incogiizarum earundem inspice figuram O. ibi tres sunt tangentes ACY
an se
OCB et GVB. Sive si mavis polygon regee ordinati intra suvam circumscripti latera
moducta TCV, GVB curvam in punctis C. B. tancentia; catus unum pelygeni inscriptipoduct
BCB. Appello enim polygona ordinata, quaecunque currae alieubi certa regulo constanti, inscribun
tur au circumscribuntur. Centro V. radio Vd vel V2 describatur arcus circuli LD, secans directrice
in punctis D, L.  unde posita recta DL. infinite parva, poterit  D. censeri ordinata curvae
videndum jam est, an ope ipsarum ductarum TC, OCB. eodem
calculo inveniri possit DV, quomodo ope ductarum G, B et et BCB inveniri potest VL. Tira
Adtibitis scilicet perpendic Caribus AT vel AG una ambigua expressis, et perpendicularibus tam ex D quam
quaesitae jungatio AV.
ex L in ipsam ACB. ductis rursus una ambigua expressis. Ita enim si posten ea combigna dicatur
habere duos ialores aequales eo niso dicetur puncta D et L. vincidere. ipsam autem CB. esse infuntee
parvam (quoniam ambigua non est) reapse assumetur. Quod si jam hoc modit, ita eodem modo habebiu
valor ipsius D DV vel LV. exhis ambignis, etiamsi signa varientur forte, modo ulteriori multiplicatine
ad altiorem gradum, signa reddi possint eadem. (. ecce usum methodi meae, quam voco universalium:)
habebitur aequatio in qua ambiguae duos habent valores aequales; et determinando veniri
sed et aliud jam succurit remedium, ponamus duo
ejusdem curire puncta, sed um ut et duas ACB, adhiberi simil in eunde
en
l’eadem
poterit ad solutionem.
celenlum intrare;
videt. stumi ne duae sine antapre ntere eandtes atets

## Folio 4v — 00068097:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068097/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 124 lines, status machine
quoniam Al et AB. pono gon ess ambrguas, nec nitera exprimi duplicis valoris
Hoc posito calculus absolvatur, dovec et ambiguis caeteroquiu, si licet, ope duarum
radicum aequalium exterminatis, restabit deniue aequatio dactutrium indetermi
natarum,
AB, AC et D Csvel DE) ubi in locum alteutrius ex his As AC
substituerdo valorem alterius quantitate infinite parva auctum vel minulum
verbi gratur in locum
AB ponendo. Ac + 0. et qua per 0. multipenantur
abjiciendo sive quod idem est  locum AB. simpiciter substatuendo ubiquse AC. verabrens
incognitae tantum una duae. Sed ut hoc fieri possit, necesse est ut caetere anmbriguae e
ipsa DC ex cembignis quae adhibentur, una cum ipsa Ac et AC. eddem modo orratur
uod tamen difficile.
sin vero plures calenlum necesse sit intrare ejusiet
denomurationis recta,  seu ejusdem progressionis Terminos;. Tunc remedium hot locum non
habert
APH V. DC, S.
AB, X.
 V + v + 2VX+ X pone s. esse quantitatem constantem
seu determinatam, sbita, fiet.  y +  + X + 2VX + B
quod cum fiat in circulo, videndum est an hinc derivari possit tate
curvam esse circumferentia  circuli
Nimorum tantum haec aequatio
ad duas utriusque in cognitae radices aequales determinanda
per sensii regulam ita fiet: - 2y H2XL + 20l. sive G
7
1X+ fV
est, quod
Jam
ut constat aliunde. Ergo hinc nullu obteniri potest aequatio:
X- Y
sumamus aliam quaestionem, in qua. S v et
it
quitur
quasr adent
X, neque y. potert semprsotoi problema Methodi Tangentium inversae v.g. quaeritur
aecurva, in qua sit Si a frei:
ordinando ad duas radices aequales:
Verdeo
e  v y a tav +2aX + a x side
-y ) 2vl + 2XI. cende cursus aequatio identipa
seu valar ipsius l. dudum notus. seper enim valor ille destrnetur.
ponamus jam aequationem valore esse alium
substituendo hunc valorem in aequatione
v. g. v - X p a. vel Xa V- x- Bpa
2 y ∞2VX + X, fier: p y + a. et alia:
3 + a +2a ( = β quae duae aequationes sunt aequivalentes, sed nihil hinc duci potest
jam semper videri posse invenori curvam. Data nelatione inter (et  S. et V. nempe explicando non
Sper V, sed V per S. ita ponendo VI Sa, ex aeqratione generali
13
yt
quocquam a
(2⊓ d+ V ∞2VX+ X, fiet:
s - 2F X + X, et ordinando ad duas radices aequales: - Zy ⊓ - ps L + +Xl, sive
Jam lN
hinc duuci
e
potest.
Ergo
s = X p- v - X., unde redit aequatio spposita Sa B v. neque
sit plam rigidum ZY super quo volvitur curva AZ et puncto Adescrili
tur alia curva AB. quam pono dari. directris incipit in ZY ex N.
data erice curvasAB dabitur et relatio inter
seet NY et AY sive inter AZ et ZF. Quaentur an modus habeatur
ducendi rectam AXx in fig. 2. Es vero ex his salis datis non habetur
si detur curva AY. ejusque in vilum exlensio, eo ipso dabitur descriptio Trochoeidis
AB. datur auitem curvae in rectum exsensio si detur inter XZ + curvae AY et inter
AY, ergo ex his datis, datur curvae AB. descriptio
videndum au liceat mulare non nihil calentum, methodi sangentium inversae, utendo una tantum indeter
et nvr ntendo ipsa . sed ejus loco adhibendo ambignas, ut scilicet valore subs
AP. et CPp S. tres:  Z X H. S P ubi patet etiam p esse ambi
cl. a
am seu substituamus, a, fier: 2.
Xs
ar. ordinan
fier. EX V. aequatio ad Hyperbolam, quae
Hypebolae huus- X tangus
entes, nempe ordinando addaas rudice
Y∞2X. substitmantur hisavalores, in aequatione,
20X + X unde expliando 41Z + X. sed ex his nihil habe
2. 1Z
penda scilicet ratio, cujus ope aequatio aliqua ita ad dua radaes aequales
r
patur
nova litera
P2 a, si ita
cempe haec. g a X
eu et et alia litera nova, et in qui
ordinari posset, tut nova haberetur, aquatio, in qua mu
cillatiore duarum tolli posset ( et haberetur aequatio, u qua non nisi Z et N extarent
adices aequales nesi nova adhibita incognita L, credo Hud.
Mira dubia, quonio regula. Huddenii de multiplication
sequationis unas ravices aequales habentis per
mnversliliter este possit cum tamen non habeat locum, quando duae sunt ambrguae v.g. cu quaeritur
ati
carcu
per X 0. an
Tent med
a. demis vidend
uen ipplicunde
CB0
et equatm
a2+b
na + ba p
fu explicatio ) pohitent aliseri
AZ +2c0
u qu iper
sempe
minala simplici
dua
t ABX. ACH
rudices aequalet a
quals. Z
per ambiguas substituatur in ambigunt loru, non vero valor simmplicis in locri ambiguae
solam s. non esse. jam ponatuus ut in parabola p esse
ex seu
radioes oequales ordinabitur inveniendo
GH X 
quae est quesita  Sed aglien sinsigna aeypatio proposita non ordinatur ad du
Denium id aliter posse.
pogessionem Arthmeticam verie
reccm
sgu ludi
ordinetur id nulla tamen inde
eiminsisum hulter