# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37685/text
# Catalogue record: 37685 — Quadratura Circuli Arithmeticae pars prima
# Incipit: Quadraturae Circuli Arithmeticae Propositio prima
# Date: 1676-04
# Akademie-Ausgabe: AA VII,6 N. 020
# Other printings: -Scholtz, Grundlegung, 1934, S.41-65.67-69 (tlw.) -Knobloch, Progrès; in: Les études phil. 2 (1989) S.161-170 (167-168, tlw.).
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37685&katnr=Cc2+1233%2FC+%28tlw.%29
# AA VII,6: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-6
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,6, p. 215 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII6.pdf#page=215
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 144–159 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 144-159): 32 pages, canvases 289–320, page ids 00067993:0289 to 00067993:0320
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=289
# Lines: 2,733 recognised on 32 of 32 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 144r — 00067993:0289
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 159v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 4 lines, status machine
ecut
liberi Z - H.
ate (Mathem) Vol H, 1
1

## Folio 144v — 00067993:0290
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 159r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 4 lines, status machine
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
EDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
ee ee
BOTTFKIED WILHELM LEIBNIL SIBLIOTHE

## Folio 145r — 00067993:0291
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 146v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 97 lines, status machine
Quadraturae Circcili Arithr
Paposid e gurraa. 
PAOSOSINVO ARIM A..
si per trianguli tres angulos tetidem transeant
rectae parallelae indefinitae, Triangulum erit dimidium
ectanguli sub intervallo duarum paralletarum et sub
portione tertiae, inter angulum per quem transit, et latus
angalo oppositum, si opds est, productum,
intercepta, comprehensi
sit triangulum ABC. figura 1. et 2. per cujus tres angulos transea
rectae paralletae, quantum satis est productae, AD, BE, CF. Duarum
BE, EF intervallum est CE. tertia parallela AD cujus angulo A.
oppositum trianguli latus CB, productum, si opus est, occurrat
ipsi AD in G. ajo triangulum ABC rectangulim sub AG et CE
dimidium esse.
Ad ipsam CB productam quantum satis
est, ex angulo opposito A. perpendicularis ducatur AH. A
 duo triangula
rectangula AHG, CEB, similia sunt, praeter rectum enim, unum
ad huc angulum, qui  in triangulo rectiongula necessario acutus
est.) aequalem habent, quo cum ipsium HGA, ipsi CBE, quia
duo anguli acuti ab eadem recta CBH vel CHB ad duas paralletas
AG, BE effecti utique aequales sunt. Ergo eoit CE ad AH, ut
C. B ad AGr, id est rectangulum CE in AG aequabitur rectangulo
AH in CB. At rectangulum AH in cB duplum est trianguli ABC
factum scilicet ex basi  ejus din altitudinem. Ergo et rectangulum
CE in AG triangulo ABC duplum i sive triangulum ABC rectanguli
sub AG et CE dimidium erit.
nescholium 
Cum infinitis modis ii eodem triangulo et parallelae duci, et puntolu
intervalla eligi possint, patet omnia rectangula
hujus modi etiam fore aequalia inter se, cum uni eidemque triangulo
duplo aequentur.  Porro Lemma quod demonstravimus, facile utique
et in proclivi pesitum, usus tamen habet late patentes, quoniam
enim rectanguli et trranguli naturas in unum conjungit, utique foecundius
esse debet, quam si non nisi alterutram contineret. qEjus enim
auxitio figurae retiam in triangula utiliter resolvuntur cum Cavalerius
aliique doctissimi viri, eas nonpisi in parallelogramma
partioe soleant;
generalem certe in triangula resolutionem, quod sciam non adhibuerint ema
sed hac vuius ex prop. . ... patebunt.
Phb fesitio esecunda
Unum hoc loco adjicium, idem (ad alia quaedam prnctura thcoremata eometrica
ar condenda esse utile, aut etiam ad solvenda problemata pan d putta quale
RRoPoSITIO SEcuNDA
hoc est: certro A B deccribant
jectas inerminat as quolcantu per sentiar.
seie diteenfiarem qantatumdiao isitatum
series differentiarum , quantitate ordine perturbato
dispositas, major est serie differentiarum,
inter quantitates easdem ordine naturali  ut minus, perturbato collocatas
Ordinem naturalem voco, cum proceditur a majori ad minus vel a
minori ad majus, perturbatum cum modo ascenditur modo descenditur
sint  ordne natorali dispositae
smum AM mi aeA +. B, n A + B + C
C. t viso
summa differentiarum seu tota dsserentiarum series, B + C
iidem termini ordine perturbatos disposoti
ilem
 A+ B + C
summa seu series harum diffetentiarum, 2 B + C. major utique
 quam B+ C, series pior, idemque in srie hagiore saepius perturbata
saepius fiet. Ergo generaliter summa differentiarum in ordine
perturbato major quam in naturali,  aut minusrarus
pertuibnto, qua ut sropessum aperct
quibus circuli cina
e
se positora vertices, habenta
quibus circulus conamla
tro concergenres conoran
ut nivenir e sumum
niupgutorum, ABC ChC, 2
Triangula Icd, 2 CD. 3edetc
ACd, vgus sunto aeqodi
Inveniae summam fliangulo vum
quolcunque iltermi pulnm
in s pi
Rectangulat infrum anstati
ut CD in LB  cumerm
CE in AtG, sint. C∞ in A)
aequalia sunt et etinG
Ce in AV esi quae sunt
utrobique sumto triangulo ABC,
callatae inte conjuncta intelliganti
quarante linenum putusinis
ii oncenti poce
3, moju circuli circ
o  seut i s. 
en to hicut berticibus, recte et
Q par alsela coustituntur Pringuli
t cilio quot vetat cern c
Quaeritur torum
her 4 triangula aqu
nigetdalite de d  et
mdderuum maltiplicato. Culius decana
Arationea invenie exeraitim
estimu i ilsotatus cesui

## Folio 145v — 00067993:0292
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 146r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 95 lines, status machine
suqvantatum
matur a in serie quan ti ta
utarali collocatarum differentia
erenarum est summa diffronturum )
seriri differentiarum
quantit es ordiie naturale.
collocatae continuo ab infima crescunt
exprimi
uns) His Eist  Atos
issrae f  G
patet A _ esse f+9+h+ l.
Corollarium 1)
Si series decressat in in finitum,
terminus maximus aequatur summae Artic L.
S2080S1710 TERT1 A
In serie quotunque quantitatum differentia
extremarum non potest esse majori summa
differentiarum intermediarum
snt quantitates
differentiae
4 B at B
nempe differentia inter A et B sit . f. inter B et C sit g. ere.
et ita in caeteris. Aa Denique differentia inter Aet E extremas
sit m. Ajo m non posse esse majorem quam f+ g + h + l.
Nam termini ABCDE vel ordine naturali collocantur, vel
do utum terminus minimus A est pEesto perturbato, si naturali, tunc conspat M esse idem quod fngehal.
efferentiarum
ergo A E A est E. A. E est A
si natiruli tume constat m esse idem quod
f+g+ h+ l. iam S
rdine naturm
gqalist est enim Bidem quod A~f. et
C. D. E quod A
. E idem t
A+f Atfitus Arfiget Arsfhag ascendendo
_ As aisiu Artsa atea licilicet a minori et majus; vel idem
iit m, sidemuud. E. dot srgmat quod A A af A. f.g A. fug. h af. g. H. l descendendo
idem quod A Af asy atot 4te majori ad minus priom utroque casu differentia inter A et E erit
f+g + h + 1. Nam um E) sit major quam A tunc differentia
cut m iden eod A. 5, d ee  n srgabalt.) erit E- A, id esse A+ A. g a hab fA, vel f4 9 + hal
osteriore cum A sit major quam E, erit _differentia, A - E, est autem
si naturali tanc constat in cesse loualo
++ 9+ h+1. Nam alterutra
positatim enima, altera ut E mavima, erit series
311
emisti, A A+f
t differentia inter A et C prt Brgthel. idimesset
AtcYI.
E posteriore casu  - f -  - s -  et = E erit - A+ f +g+ h+ l.
utroque ergo cat a ordine naturali in differentia iiter A et E
ferentiarum intermediarum
At si ordo quantitatum A. B. C. D. E sit perturbatus; nee quam
tunc vel major est qu series differentiarum. f+g+h + l
quam si esset naturalis, major ergo quam differentia termini
maximietminimi, quia , ut ostendimus ea differentia aequatur
Quoniam autem
m
 ss ritu b
naturatis.
e
ust feradt;
qude exgue auciece
+l major os erentiaeminorum
 major differentia terminorum duorum
minus distantium ergo generalites quam quorum cunque c ergo et majore quam differentia inter A et E,
seu major quam M. non ergo m mes e minor erit quam
f+g + h + l. cum ergo in casu ordinis naturalis m sit
huic summae aequali in casu ordinis pertur bieti minoru neutracus
major erit Quod ostendendum sum feratmus n rei inirsi u
scholiumi
Potenam propositione 2 et 3 carere, neque enim oi ad propo-
sitiones sequentes opus, habebam nisi case trium quantitatum
Mihi euim magni momenti videnturpropositiones, vae usque adeo
generales sicit, ut nullam omnino quantitatum varietatem
morentur in Caetenum non injucundum erit udica saltem
exemplo dui numeris expenirie si sinti
Quantitatis
Differentiae
 +  1 2 nba 9 10000g mii
11+ 1 4B cesp
Certum est quantus cunq assuma tua terminus hatimus, et quantulicunqe
assumantur prima
 tamen differentiam inter primum et
ultemum majorem tore quam ter summas intermediarum; ut
SdP05171O V A RT A emia
Differentia duarum quanttatum non potest esse
major summa differenttarum tertiae a singulis
Nempe disserentia intem A et E sit  sit tertia quantitas
Disserensia inter A et sitb, inter E et DC sit 
A. B. 6. matui tamen generaliter, potius pnuntiare et demonstrare
soitim cum ha
per prop. 2.
diffecentiam quam saxinus eus
 id est 10
sive 199991

## Folio 146r — 00067993:0293
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 145v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
PROROSITIO QVARYA
ead c2A 2A
a Differentia aducarum quantitatum non potest cesse 
major summa differentiarum tertiae a singulis o du
Nempe sint duam quantitates A: E. quarum differentia f.
sit alia C, et disferentia inten A et. C sit b. inter E et Csit d
ajo f non posse excedere b +d. Reducantur in unam seriem
quantitate
differehitiae
A, u d 1. 115
ergo res reducta est ad casum propositionis praecedentis; quippe
quae omnibus sine discrimine seriebus quomodocunque perturbatis, brevibus aut productis, quatis st qua
conveniti u per prop. praeced. f non potest esse major quam
b+ d quod ostendendum erat.
an RO 80SIFIO 9VINXA.
Differentia duarum quantitatum iminon est sumpa.
aducarum aliarum quantitatum; quarum una unius, altera
alterius priorum differentiam a tertia excedit.
iisdem quae in propositione praecede positis, f est minot quam
b+. d. etrgo et or quam summ Auarum grantitatum, quarum
una sit majorquem bu altera ma per prop. praeced. Ergo
a exemplo posou
majore quam b + maj. quam di cutique . est , una major quam b, altera major quam a
et minor quam quantis
summa a quantit
utiqem ajor quam b +d Ergo f ipso hac ipsa conpsito minus erit,
1 2ct A
aatque hoc ipsum est, quod propositio asserit. Nempenf differentiam
duarum quantitatum A. E. minorem esse, quam conetue
exqu quantitatibus quaem xosesuna aciera quae s bnars.
dis b inquam esd, affenentias tertiae nC a ser gulis A. E. .schena iba stabi.
Scholion.
Has propositiones am et quintam et si vatde claras
attente consideranti, et prope per se notas, adjiciendas duxi tamen) disemtanera
tum quod servient ad facilem admodum per sola polygona
inscripta sine circum scriptis demonstrationem apogogicam, qua
seqenti propositione satar, tum quod operae pretium videatur
ipsius per se differentiae proprietates considerare, quatenus
ab excessu vel defectu animo abstrahitur. cum scilicet non
exprimitur, quaenam ex differentibus altera major minorve sit. u
2a 2sROPOSITIO C SEX TA
Hujus propositionis lectio  omitti potedt, si quis methodo
indivisibilium contentus in demonstrauda prop. 7. summum
rigorem non desideret)
fig. ...  et (aeter D C)ba d. at fnon est major quam bt
Si a quolibet, curva cujusdam propositae (+C E puncto C
ad unum anguli cujusdam recti, JAB, Matus, vel ut ad arem A.B. B et rB. S
ducantur ardinatae normales CB ad alterum  egerues latus
A,2T4T atangentes  CT, et ex punctis occursus tangentium
T. aegantur perpendiculares T D ad ordinatas respondentes, et
curva nova 1D, DD per intersectiones barum persendicularium
et ordinatarum transeat: Rursus si quaelibet in curva
friore designata puncta sil proxima, ut1C et 2653 CeAC, .
rectis inscriptis sive chordis. C. C etc, 2 CqC jungantur, quae
productae peidem, cui tangentes, Anguli illius recti, lateri, AT
occurrant in punctis anet  hisc occursuum punatism
1 similiter perpendiculares, M, N, P. etc 3 M2, N3P et .
ad duorum punctorum 1C et 2C, vel. 3 C et AC ier quae transierant
chordae inscriptae; ordinatas, nemper ad C. NiB 2C12B)
read 3C, N3B, 4C SP+B ademittantur, quae ab ipsis inde ab axe,
Portiones quasdam, 1B, N,3B3 N et esecent
His ita praescriptisu
ajo in  curva iC. Cet puncta C  tam sibi vicina, tantoque
nunero de assumta intelligi posse, ut spatium rechilineum
ut haec quae hos tantumi teminostabet
quae quinque trmingis habet constat
qualis est illa quam in exemplo
propositionis praecedentis
adduxituus quae quinque.
termitios habet.
ipsamb,s altera ipsam d
altera
icra B
Ergo ipsam A
Nimirum f differentiae quantitatum duarmm
A. E. minom esse quam summam duarum
aliarum quantitatum, D. St seu minore
quam g+ d, si d excedats difseren,
tiam ipsius A a tertia C, et A
an excedat difserentiam ipstus C, ab
eadem tertia C.
fminor quatu
est enim
b4 d per prop
ergo et morq. Nav semontedimajor
quam b+d per prop. 4. ergo f minor
est et quod est majus perquam b+ d, jac
Num  est major quam b, et n major quam
ex hypothesi, ergo ga tistucoran
per prop. 4. Ergo  est minor quam
in eodem cum ipsa
plano positi
aliadhes interjecta quotcmque
. H quae cadant puncta quidem
intea puncta eT, ut 1M
3 ns inter 17 et 2F,c 3M inter puncto
3 37a4F ex.
H inter 1C et QC. adecque
et puncta D inter 1D et 4D

## Folio 146v — 00067993:0294
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 145r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 101 lines, status machine
gradiforme 1N, B4B3P. VBNa ex rectangulis .N. B2 Beti3. 5B
sub ordinatarum resectis portionibus 1B1 Na B N et intorvallis 1B7B etc
ZB4B, comprehensis; compositum ab epso spatio, nacloe, D Ba 
Ai BA BADsD sgt B BB) axe 1B AB; ordinatis extremis, B, D4+D et curva nova 1D D ad comprehens
 Requiritur autem ut
differat quantitate minore quavis datae Et eadem demonstratio locht
 ahabet in quovis alio spatio nixtilineo et gradiformi, continua
3 Curvae 1C = Ctq C. et 1D= D,Det 21
n aut saltem earum hae quas dixi,
on partes, caveant punctis reversionum
rectarum ad quendam axem applicatione formatis. Adeoque methodus
indivisitiuium quae per summas lipearum invenit areas spatiorum pro
 CN
demonstrata haberi pot est H
Penantur ita assumi puncta  ut portiones urvaesuiter duo quaelibet puncta
vicina interceptae sint smmiae aut totaerscendentes, aut totae descendentes
non vero partim ascendentes partim decendentes: quod abtineri poterit, si in
punctorum Cassumtorum numera sintomnia puncta reversignum, si qua sunt;
Hoc posito manifectum est curve
ponantur ita assumi puncta C, et  pr consequent et putcta D,
ut portiones curvaerid, D +D, inter duo vicina puncta interceptae, ut
portio 1D2C, vel, 2D3D, sint singulae ayt tota descendentes ab aut
totae dscenuentes, non, vero tales ut una eademqueportio partim descendat
partim vero rursque ascendat. Ascendore eam voco cum versus rectam
AT proedit, discendere cum ad rectam 2. R. 3. C quemadmodum
facit curva BL D quae ascendit ub3 D usq ad AD descendit
ivero rursus eb AD usque ad BD cum contra recta  curva
1D. F2D descendat tantum ab 1 D per F ad 2 D. Hoc autem
ut quaelibet portio curva, ut +D=D
2D3d, etFC: descendat
tantum, obtinabitum, si puncta 1 D. =D. 5 ad eoque ante omnia
C 2 C. 3 Cetcita assumantur ut in numero pumtorum assumtorum
sint dnum puncta reversionum curuae iD, D2D si
qua habet. Vel etiam assumatur ea tantum curvae portio
iD= D3 D, quae careat punctis reversionum; quod obtinebitur si curv
dividatur in portiones per ipsa  puncta reversionum
portiones, enim inter duo puncta reversionum vicri
Haec restituenda. Definitio ut in quibus concidunt ordinata tet rangensi
Puncta reversionum enut voco in quibus curva ascendit e
seneaquidas ordinate adarem tucta corvam tongitlitaia sut, in curva D2 DetcD + D, Deopunita 4D.  D in illis curva
sendum 1M oittum est iter prona 1Y a3. ex contam cum antea tescenderet do A versus 4 B nunc rursus  ascendit versus
A vel contra quae differunt a punctis flexuum contrariorum
quale est R in quo tantum curva ex concava sit convexa et contra
A quae non obstant; puncta autem reversionum; deo mocetit, quia
ita fit ut rdiversa ordinatae ejusdem curvae, ut AS, HCD in t
se exparte coincidantu cadeoque sier sumtiam ordnatar sumi
spatio iniri non possit; hiie malo remedium est, ut tota surva
infra duas paralletas 1B1N, 102D evigetur, adeoque lun tot dvedatur pontiones, quot habet puncta reversionum,
hoc pacto sinngulae portiones ut, D+ D + D
ber nostra propositio
+D D. +D6D
 et de ingulis locum habe
onstratio Propolitionis Sextao
quoniam curva carst punctis revertiorum, ideo a d Ad ZD transire
non potest, quin recta  falicubi secet, ut in iF. alioqui necassario
eari circumibit, adeoque modo des cendet modo ascendet, ut facit
curva1 D.,Q2B descendens ab 1D. ad Q et ascendens a  ad 2D.
vel curvan1 D K2D ascendens ab 1D ad K, et descendens a K ad
contra hypothas in Rectam autem Ddeo necessario secat, quia
ea posista est rita duas paralletas intra 1DE, C
intra puncta +DC. es. D. quoniam et punctum M est inter puncta
17 + ex constructioneam His positis ajo primum ipso rectarqulo
id SD Soaiam A.D dum ordinatae sequenti
neste diterentiam adi inter Quadrilineum DB B, D, P
2B, E nC occurrate in 1E. eodem modo nt F DE E, rd ZT  2dE disserentiae
ordinatae sequenti accumet in p 3 P Z E 3 quod Epat in eate rioplementale
srtic E)is positis ai primum ipsu rectangul
2 Diminor
it rectangulum N, B2B, P Quod ita probo: auferatur
punctis flexuum careant; quod fier
inter quod firrsi ipsa puncta flexium
sint inter puncta divisionum. Cuncte
autem flexuum viro non tantum quibus ex
concam fit convexa, sed et puncta rever
sionum, quibus curva antea descendens
mox incisis rursus ascendre
extendim du figur obus
cunt zur prop. .. 6. hosom aus
uis andis uis ss
cione . Ergo seum recta 2 C, ei M ugo
et recta 1M IXI P cadet inter rectas 1T.D
27aD, ipsi paraltetas, seu inter puncta 1D, 2
seu recta 1NIP onder  tendens de paralle la 11
ad parallelam 2B. D, cadee inter duo puncta
in lus diversis parallelis posita 1B 2D, ita ad ut
a duobus hit a puncto cD ad punctum 2D nulla
possit dluci linea recta vel curva, ut D qud
rectam 1N1B secet alicubi in F, ali aut Bipra rel
labent puncta modo ascendat mdo descendat, u curva
D~2D descendens ab +D ad Q, et rursus ascendens ag
(2D ascendens ab 1D ad K, et
descemens a K ad 20) adeoque labelis puncta rerefbam mrhabebunt, reversio
uu L vel K. Sed ratia puncta reber
abit in 1F Artic. Y
A positaqu inter 1 D et a D uet intit 1A ntD
recta autem N, F. necessario posit a est intra panca, B. 2
ive recta  M. N. D inter rectas LTC, 1 1BE, et 2T.D
quoniam et punctum M cadit inter punta 1. 2
 e se ra re
H quod rectangul quia cum caeteris
ais etemon prasiseme conpun

## Folio 147r — 00067993:0295
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 148v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000295.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 96 lines, status machine
Sent, quadu tineo portiar et d   eniam pr actic. 1. aliquod intergi potest svcta
 ab ut roque quod utrique commune est, scilicet Quinquelineum DB(B + D
1D, B2B, p. F1 DFres residuorum, trilinei 2D, D. F2D ex quadrilineo partiali
et Trilinei 1D, N, F 1D ex rectangula; adem  utique
differentia erit quae ipsorum totorum differentium, Quadrilineic et rectanguli etementaris
Generaliter enim eadem est differentia residuorum, quae totorum ex quibus sublata Artic 1M
distine trctncum sertae
simul sue
est quantitas communis.  suffecerit ergo est differentiam horum duorum
almied patet quia eorum utrumque ses
ccadit, majus est ergo rectangulum diffnale complement le
quam eoxum summa, ergo et majus quam eorum differentia; quare, ent
majus quam differentia inira Quadrilineum et Rectanuum supradictum modidum
quod primum probare susceperam dem modo probabitur quadrilinei partialiss aen W Artic. et IV
2DLB3B3D tonetnguli =M B3B differentiam minorem esse
rectangulo Y2D2E3D. Et ita si aliqu quotcunque sequantur vel interjiciantur.
itaque generaliter differentia summae xho Quadrilineorum 
omnium seu tortias mivtliei mori D B4B4 D, D, a summa omnium
ejus modi restangulorum  (seu sp  ordinatis 1B, D, 2B=D, etc. et eorum
intervallie 1B2B; 2B36 et comprehensorum, 1) seu a spatio lectilineo
complenentalium utque ad
gradiformi, N. B+ B3 P3 N 2P. NilaNminor erit quam summa omnium rectangulorum differentalum d cotensiosin
ratangator D,E  D, . 3 RZEAD etc. Ponamus primum quonum basium Norum rectamlaum nsum, quae conplomentalia
4D3E, 3DZE vel 3E2L  srimma 3 L aequatur ipsi D L,
seu differentiae inter 1B, D vel 4B. L, et 4B 4D primam scilicet et novissimam ordinatarum ad Curvam, D. Dd
ordinatam, quod eodem modo fieret, si quotcunque alia puncta ordinataeque interjicerent alum
itaque si jam ponamus altitudines horum rectangulorum + DEED, EDEESD, ete altitudinas eluge
esse semper esse seu intervalla ordinatarum 1D E (vel B2 B) et 2D2E (vel 2 B2B), usque ad 3 B3E (el B a B)
aequari, utique summa omnium rectangulorum; aequabitur sumia rectangulo oa +B. L
ex summa basium in altitudinem communem, vel si inaquales sint altitudines  
utique summa rectangulorum   minor erit rectangulo i sub summa basium
in maximam altitudinum; ponatur ergo altitudinum harum maxima vel certe omnibus communis
esse ultima ZBaB, utique summe  rectengulorum minor erit suuma velere als s
sonnae pasium AD.L in artitudinem maximam 3B
B veliL, sive rectangulo dL l Artic. Y. 11
i 38,D +BaD
vel W4D, seu rectangulo iIorro hoc altitudo se intervallum novissimarum
ordinatarim
2BB seu intervallum B+ B a+ itudo 3 B4B  tametsi sive 1a tametsi
caeteris majus esit intervallis
tamen  umipo
minus assumi potest: nam ipsum pariter ac caetera intervalla ordinatarum quantumibet assum possit abhuc minor
parva assumere possumus, itaque cetera assumere possumus hioc ipso novissimo,
utcunque parvo, ad huc minora?  Posito ergo rectam 3B4B vel Y 4D quantumtibed Hdumem inte
paro assignata linea minorem sumi posse quoniam in notra est potestate
puncta 3D4 D sumere ut cunque sibi propinqua, et numero quantolibet; sequetur
et rectangulum 24 D altitudinem habens quae quantalibet quantitate sit fieri possit sumi possit
minor, etiam data quanti spato reddi posse minus  majus sautem est rectangulum
14 D quam summa rectangulor
quantuscunque sit eorum numeria
intervalla 1B 2 B et
major est differentia
DELD, 2DEEFD, aq
quoai ex praescripto
adhilsipei.
assumta sunt. Et summa horum rectangulorum
cexdilei  B3D D et spatii rectilinei
gradiformis  B P. N, PI N. Ergo et rectangulum W3DL hac differentia
majus est. Cum ergo numerus puncta D. (adeoque et C.) tam vicina tantoque
numero assumi possint, ut fiat 23D rectangulum, dato spatiominus,
etiam differentia mixtilinet et spatii gradiformis, dato spatio mnq
potest. Quod erat Demonstandum.
per pota spatio gradiformis puncta
F Si curva nipansm
extransiisset, ut in
communi methodo indivisibilium ieri solet; one facilior fuisset demonstratio
differentia enim spatii gradiformis, et mixtilinei N,BZBZNLN. N constaret s
ipsis circum scripta 1N, PZN
atique minoribus quam rectangula
2N2 P3N ergo et differentia dicta minor erit
summa horum rect angulor summa autem horum rectangulorum nunquam
major erit rectangulo ex summa basium, 1PN, 2P2 N, (quae semper
 nunquam major recta 3D3N;)  ducta in altitudinem unius si
omnium altitudo aequalis est (ut in methodo indivi sibilium communi assumi solet)
vel si inaequalis, in maximam. ergo si maxima ponatur novissima, vel
si omnes ponantur aequales dicta differentia menquam erit major rectangulo
2B3B3N, cujus altitudo cum possit fieri quantum libet parva, etiam harc
st.  t
spatuur differentia dato rpatio minor assumi potest i
1B2B, P. 
jam s summa rectangulorum aequatur summae basium duidae
tim graetonres i eis u eigisit mee eitum airer pumelista tum nurat 
quatuor rectis 1D, B, ih. B
ipotonsum  crvario
H adatum enim supens
equalerant ta ptun
superficies; recta
ulum MHA, 
placets assumatur
Dai  super vari adi
+4 Dtqe minus rectam
patio t    
pnam  crro
est rectangulo padit
 ato  spane m oio
 ai

## Folio 147v — 00067993:0296
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 148r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000296.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 89 lines, status machine
e summae ordinatarum BN adcurvan NB3A ductae
seu ordinatarum inter vallum aequale
in altitudinem omnibus communem, ergo et spatium gradiforme metiri
possumus summa applicatarum ducta in ipsorum intervallum duarum
proximarum aequat semper aequale. Spatium autem Gradiforme
eonsque produci potest, ut differentia ejus a Mixtilineo fiat minor quavis data
Ergo si quid de summa Linearum, sive area spati gradiformis, ita demonstrari
poterit, ut locum habeat utcunque producatur spatium gradiforme seu
ut tum maxime locum habeat cum spatii gradiformis applicatarum.
intervalla quantum satis est exigua sunt, id etiam de Mixtilineo
verum erit, sive error si quis committi potest, erit minor quovis errore
assignabili. Quare methodo indivisibilium, quae per spatia Gradiformia
sen summas ordinaarum procedit imposterum ut rigorose demonstrata, uti licebit
Scholium.
Hac propositione supersedisem lubenis,  cum nihil sit magis
alienum ab ingenio meo quam scrupulose rs illorum minutiae, qui perpetuam
demonstrandi formam, ad veterum ut ajunt, de morem compositam, a
Geometra uque exigunt, quaeestentationis plus
habet quam fructus: u nam et tempus quibusdam velut caeremoniis
cortrt consumitis et plus laboris quam ingenii habent, et inventorum
originem e caeca nocte involvitu: cum mihi contra plerumque origo
quae mihi plerumque nventorum ipsis inventis videtur praestantior. Quoniam non nego
interesse Geometriae, ut ipsae Methodi ac principia inventorum
tum vero theoremata quaedam praestantiora severe demonstrata
habeantur; receptis opinionibus aliquid dandum esse putavi. De
caetero optarem scribi aliquando librum qui Euclidis continuati loco
sit qessit, et quem possimus imposterum tuto allegare. Ut enim
artificierum
Euclides Elementa ac Principia eorum dedit artium quibus tunc utebantur
Geometrae; ita novorum inveniendi instrumentorum, quae inde ab Archimede
ad nostra usque tempora prodiere, vim ac potestatem in unum collectam,
Euclidi subjici, res scientiarum profectui necessaria, nec autori ingloria erit nam et
ipse gluriar nomen, suum cum Euclideo extendet in posteritatem; et nos
labore multiplici e jiam saepe apud alios demonstrata, et apud Geometras
extra controversiam
elegantiores a ctesso posita denno demonstrandi; quod tamen facere
saepe aut certe alios exseribere cogimur, quorum libri non sunt in
omnium manu:
Quo Hata sam si qualem descripsi, Euclidis
continuatio habeatur, paulo liberius scribere poterunt Geometrae
certitudine salva, et ratiocinationes per calculum et indivisibilia procedentes
unae, 1E, T,  C2T etc. occusum pro demonstrationibus agnoscent. Quemadmodum jam Galilaum, et Cavaleriu
hami et Guldinum, et Cartesium, et Wallisium, et Slusium, sed et aliquando
ad axen cumo explicaaistitia Hugenium fecisse video, quorum certe exempla pro apologia esse poterunt
PRoPosiTIO SEsTMA.
Si a quolibet curvae cujusdam  puncto ad unum anguli
3) recti in eodem plano positi latus ag ducantur ordinatae normales,
3 ad alterum tangentes, et ex punctis occursus tangentium agantur perpendiculires
3 ad earum ordinatas, si opus est, productas; et curva alia per intersationes
3)
3)
harum perpendicularium et ordinatarum transeat, erit spatium inter
axem ad quem ductae sunt ordinatae, duas ordinatas extremas et
curvam secundam comprehensum, spatii inter curvam primam, et
rectas duas ejus extrema cum anguli recti propositi centro jungentes
portiones autem lateris cui occurrunt tangentes, olietise
comprehensi, duplum ne
o iru non esse dmplisu, et d+
alterum simptum c 
sit fig.... curva proposita
C, C3C a cujus punctis C ad anguli recti +AB latus A ducantur
tangentes C T, et ad alterum F AB ordinatae normales CB. ex
T. occursibus tangentium, perpendiculares 7D ad ordinatas CB
retunhic estani
soi
inpro prenit)
pleneque
sed reque demonstratam
B. Haec in profa hone
meciora
definitio: portion rectas A1t, A2T
Resectam voco rectam quaestangutilus
idam recta pro portione
rectae a quadam nla arecta
ecta au A,) 2T ex puncto
A interminite proprorae, inde
mitio A usque ad tangentium cujusda
sumtas
1D1B2B D.D.
Figura resectarum est quoe
in 2.D  LD, et iidaxem quendum
curvae per (A (Cipsam AC in Amniler im posterum scripturis
secantem  applicatione,
Hla
diatis
isdem curvae punctis unde tangentes
Ductae sunt
mod.
figniam Resectarum voco

## Folio 148r — 00067993:0297
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 147v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000297.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 106 lines, status machine
demittantur, et per puncta intersectionum D. transeat curva 1D2D3D. ipsas s es
ajo spatium Quadrilineum 1D, B 3B3D. D, D, parte axis, 1B 3B,
uto res rgo
ordinatis extremis 1B1D, 3B3D, et curva nova .D= D3D comprehensum, esse sectoris sive
esse spati Trilinei CA3C2Ca  duabus rectis ex anguli centro, ad
angali curvae a prioris extrema 1C, 3C ductis, nempe AiC, A3C,
et ipsa curva priore (2C3C, comprehensi,
duplum.
rilineum
Ponatur non esse duplum, et differentia inter num duplum, et quadrilineum
numero finita
simplum fit L. inscribantur ipsi curvae C 2C3C. polygona quotcunque
libuerit, quantumque satis erit, sitque ultimum aejusmodi inscriptu polygonim sit
figura rectilinea A. GZC3CA, rectis ex centro. A ad curvam ductis AIC AZC
et rectis curvae inscriptis sive chordis, 1C2C, 2C3C, comprehensum est
ae inscriptae producantur, ut antea tangentes, donec ipsi AT 
in punctis, M. Moccurrant  rectae productae, 2C, C. M vel 3C2CLM
Ex quibus punctis M demissae per pendiculares 1MiN, P, 2MLN2P
secent 1B.NI C et ZB, PZC; vel 2B2N2C et 3BE P C in punctis ,N et 1D
vel 2 N et  2D. Jam ponamus inscriptionem Solygonorum eousque productam
donec solygoni inscripti, A1C. C3C A differentia a Trilineo, 1CA3C2CIC;
itemque spatii  rectilinei Gradiformis 1BN, P2N = D3B 1B.
differentia dM quadrilineo 1 D1B3B3D2D, D, una
quaeque singulatim, sit minor quam quarta pars ipsius Z. H)Patat
patet ex prop. F. Trianguli AIC2C duplum esse rectangulum
1N, B2B2N, et Trianguli A2C3C duplum esse esse rectangulum 
2NLB3B3N, et ita decaeteris, si qua sint, Ergo et summa rectan gulorum uti
hujusmodi quotcunque seu spatium Gradiforme, duplum erit summa omnium
ejusmodi Triangutorum seu Polygoni inscripti. dam ex constructione
ao
lineum
abo
differentiainterhatr
 spatium gradiforme, id est
ut probavi, duplum polygonum inscriptum, minor est quam quarta pars
paeth ait
ipsius Z et differentia inter duplum polygonum inscriptum, et duplum
quod voca
Trilineum cui inscriptum est, minor est quam duae quartae ipsius Z
(quia inter ipsa simpla, ex constructione differentia minor est quam una quarta:)
ergo per propositionem 5. differentia inter dpa quadrilineum, 2
Cab
et duplum trilineum, minor est quam una quarta ipsius Z
plus duabus, seu minor est quam tres quartae ipsius L. erga multo
minor, quam Z ergo minor seipsa, posita est enim esse _
Quod
est absurdum; nulla ergo differentia assumi potest, cum Z, indefinita,
intelligi possit, de qualibet, adeoque Trilineum duplum et quadriliueum
simplumo aequantur.
L. E. D.
Sc holium
alterum circa propositionem ipsam. Demonstratio illud habet singulare,
quod rem non per inscripta ac circumscripta, sed per sola inscripta, absolvit
quod nescio an hactenus salve rigore fieri posse creditum sit; exemplum
certe videre non memini. Sed et peculiaribus ad eam rem opus fuit propositionibus, ac praeparatonibus
qua
uca
notam esse viam, e tam quadraturare rigorose demonstrandi sine
deductione ad absurdum, imo  rationes habeo cur verear ut id
fieri possit per naturam rerum: ex omnibus tamen ad absurdum deductionibus
nullam se credo simplicem magis et naturalem et directae demonstrationi
quam
on solum
propiorem, quam quaesimpliciter ostendit inter duas quantitates nullam
cum aliqquid
esse differentiam, adeoque eas esse aequales, e, alteram altera neque majorem
neque minorem esse, ratiocinatione duplici, ufi probari
soleat) ceream reoa smuiscripta te crcum scripta chuctenus
abeneinege adhibite sint; sed et quae uno tantum termino medio inscripto
scilicet vel circumscripto, non vero utroque simul utitur, adeoque efficit
ut lee alioquie vade comfeseta fatlise uo mextic ectu (corpeetenentur ut
cleriores de his rebus conuetersiones hateanus.
quod
tioc figniam Refeltarum
polit
situ
Quod fieri posse de
Solygonis constat ex
demonstrationibus
Archimedeis, de
spatio vero Gradiformi
i et  Quadrilineo,
siquis rigorem.
desideret, inveniet
demonstratum prois
praecedenti
nam si stent Qvantitates e. P
J t 2 27
differentia inter Q er F. mino
quam
4Z+ Z Z. per
dictam propo sitionem 5
voniam ergo differentia inter
ritineum et duplum
pilinem
mrinor est quam 3 Z per artic.
erit etm minor quom Z. ergo
minor seipsa, (posita enim est
 Z prop. artic 1.) Quod
est absurdum. Nulla ergo
ifferentia assumi potest
Z indefini
litelligi posset de
adeoque trilineum
vatibet
euadadineun pum aequalio

## Folio 148v — 00067993:0298
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 147r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000298.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 95 lines, status machine
Cb. ros . H ut a cavalerio
ad ipsam attinet propositionem, arbitror nullam facile generaliorem
extare in geometria, usque adeo enim universalis est, ut omnibus curis
curvis etiam sine regula, casu   pro arbitrio ductis conveniat, et
datasi qua libet figura a alia  exhibeat infinitas, quarum
singularum dimensio pendeat expriore vel contra.
Sed et inter foecundissima
Geometriae theoremata haberi potest, nam ex ipse sola hinc statim
demonstrantur Quadraturae omnium Paraboloeidum aut Hyperbolocidum
in infinitum, sive figurarum , im quibus ordinatae vel earum
potentiae sunt in multiplicata aut submultiplicata, directa aut reciproca
infinitas, absolutas vel hypotheticas, circulum certe ejus ope transformati in figuram
arithmetucam, et veram perfectamque tangentis ad arcum relationem generalem
analyticam habemus; quibus hc demonstrandis hic tractatus occupatur.
cupra
recte comprehendant non tantum  Paralletas, ut vulgo fieri sole
ced etiam
tadgentes rectas quae omnes ad unum punctum communes convergunt ( vet ideo quoman
ipsaenet parallelae sine errore pro convengentibus sumi possunt, ita tantum ut punctum concurtus earum
seu centrum commune, infinite absit, quemadmodum alter parabolae focus, aut vertex:)
hinc jam ope theorematis  hujus nostri elegante fit feliciter everit, ut harum quoque
novarum ordinatarum nempe convergentium usus possit esse ad quadratura.
on tansum per ordinatas paralletas in parallelvis
pont
infinitis mosis resolve possum
amma sed et per cono
ltesu orangula
me ingens novorum inventorum campus
mperitur quorum hic fundamenta facimus, quibus certum est,  pauca neque
his quae ctamus inferiora superadificait posse. Superstni posse duci posse.
quid Rresectas erfignnta
Segmentum voco spatium duabus lineis una curva altera recta compreher
eind sum. ut spatium ACA comprehensum duabus lineis. Yu recta AC
altera scurva etiad AC eodem modo quoniam punctis AC, utraque punctis A.Cs
terminata Eodem modo spatium A2C 1C A est segmentum comprehensum
recta A2C, et curva AC2C
si curva, haec esset arcus circulis
foret spatium A2C1CA segmentum circulare, quod nomen cum hinc
spatio audum tribui soleat, ejus exemplo caeteras id genus portiones a figuris
per rectas curvam duobus in punctis secantes, abscissas, segmenta
appellandam putavi.
ut 1CA, C1C
S sector est spatium trilineum duabus rectis AIC
A2C. et una curva 1C. C comprehensum. Si esset. C2C arcu circuli
et punctum A centrum circuli, adeoque 1 C, et A2C, a quales, tunc utique
etiam recepto more spatium 1CA. C18. appellaretur. Sector, cujus exemm
iatera itiam id genus spatia, ubicunque sit punctum A, aut quaecunque sit curva
putavi appellari posse sectores.
iine statan patet, si una ex lineis, ut A, C, evanesceret, et si puncta
A, et 1C coinciderent ex sectore fieri segmentum, adeoque quae de sectoribus
generaliter demonstrantur, sine consideratione magnitudinis rectarum
comprehendentium posse etiam applicari ad segmenta; ut sequenti prou
positione ostendo exquisitius ostendetur.
figum explicui
Figuram sectorum est, qualem propositione 6. et 7.
erom ideo hoc nomine appellari commode posse patet, quono
ejus portiones sunt sectoribus figurae  cujusdam propositae, (ex qua
oroinatiscompretien
scilicet figura sectorum, modo in propositione 6 et 7. descripto generatur:)
aequales vel proportionales. Nam  portiones D. B2BLD, D, 2D2B3B3D2D, et similes,
sunt aequales sectoribus respondentibus, CA+CIC. ZCA3CIC.
si curva _ generans sit arcus Circuli, figra et A ejo centrum esset, figura
sectorum eocasu speciali nomine vocabitur Figura Angulorum, quia
sectores) adesque et portiones figurae generatae, sunt angulis, ea quam explicabo
ratione, proportionales, quod infra peailiari propositione complecti
operae pretium et
si curva pertingat  continuata perveniat in punctum A, adeoque et figcurva
C2CILM
SD. D.DA, hujus curvae figura appellabitur Figura segmentorum, quogiam
ejus portiones quo  A
t
u equales, ud moi Aaitus pateidit
ratione abscissarum, aut potentiarum ab abscissisq ut alias taceam quadraturs
gict aipontionis cujussibet
Clarissimi. Porro cum clarissimi Geometrae, qui Conica univers aliter tractare
Des argues et Pascalia
va
alisque post ipsum fieni solitumg
Roctas quae a sanustat
ltere Anguli recti latere
it iC rescresent
Resectas et figuai
ANT. et figuram
earum ad axem A,B2B in
punctis 1. B, 2B ordinata
applicationes tactam voco
cum scilicet AF a tansfen
tur in BG 1B1D, 2 B2D, cc
voio figpiam resectarum.
resecantur mocalio
Hinc figura esectarum dua, habet
species figuram sectorium si exte
naa siefiguram segmentorum
quas Zonas aliqui vocant
 tiver ctandu

## Folio 149r — 00067993:0299
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 150v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000299.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 81 lines, status machine
ut 1B1C. 2B2 etC
Orclinatarum nomine intelligimus recta parallela a quolibe  curvae ,C. C3C.
puncto, 1C, 2C. erc  to, ad rectam quandam indefinitam, A1B+ B et. quae
Directrix a quibusdam appellatur, ductae; alii simpliciter vocant parallelas, alii
ordinatim applicatas; aliquando ordinatarum nomine intelligi  solet in telliguntur
tantum ordinatae normales ad Directricem, et directrix vocatur axis, quoniam
tunc figura salira rodinatanum Angulis circa directricem velut axem gyrata, solidum generaite, ordinata
petest. Aliquando voce Ordinatarum laxe sumta, ut a Pascatio in Conicis factum est in
impressa. Quadam de Conicis scheda, quae specimen majoris operis, nediti quidem, sed si
es ligni, fuit; per Ordinatas ut dixi intelliguntur
quod aliud Geometricum,
et rectae convergentes  ab eadem curva, ad unum punctum velut centrum
concurtentes, quod suos habet usus sane praeclares, quoniam plurima theoromata
omnibus generalissimo hoc sensu communia haberi possunt. Nos in hoc quidem
argumento ordinatarum nomine parallelas, et potissimum normales intelligemos
Quod semper ex subjecta materia satis apparebit. Porro quando ordinatae
parallelae ad quandam directricem ducuntur, tunc solet assumi in directrice
punctum aliquod fixum, et A, et portiones directricis, inter punctum
fixum A, et occursum ordinatarum, 1B vel 1B, etc. comprehensae, solent vocari Abscissae.
aliqui vocant portiones Axis. Harum autem abscissarum usus esse solet,
ad explcandam curvae naturam per relationem abscissarum et ordinatarum inter se
ut si dicamus ipsas 1B1C, 2B2C, esse interse in subduplicata ratione abscissarum AIB, A2B
ufu pab, vel quod eodem redit, si una tantum abscissa atque ordinata
assumta dicamus semper fore rectangulum sub A1B ab scissa, et certa quadam recta constante,
aequale quadrato ordinatae 1B1D; tunc Curva AIC,C erit Para bola.  Eodem modo
si essent  ab ordinatae 1B 1D, 2B2D inter se in d triplicata
ratione abscissarum AIB, A2B. vel quod idem est una tantum abscissa et ordinata
assumtis, si cubus ab A1B, a quattetur solido ex e ulo eujusdam rectae constantis in
Directrices
ordinatam 1B. C, e parabla Curua, Parabola cubica.
in
antio abscissarum
et contra. l quod fit, si modo ea se se intersecent in puncto fixo
una sit parallela ordinatis ad alteram. Ut si sit curva 1D2 D directrix  A1B2B, et
ordinatae ex curva ad hanc directricem angulo quocunque inter se parallel B, D, 2B- D.  abscissae
ex directrice AIB, A=B,
per initium abscissurum A, transeat AT, ipsis 1B. D vel 2B + D. parallela,
ea erit directrix conjugata, nam s in ipsa A1T aequalis ordinatae ad directricem priorem, 1B, D
poterit sumi pro abscissa, et 1T. D, aequalis abscissae AIB abscissae ex directrice priore, erit
ad conjugatam direcdricem ordinata. Haec consideratio magnos habet usus in omni Geometria,
sed inprimis in materia de Quadraturis
trilineum orthogonium
vel  aliquando simpliciter Trilineum, cum quibus dam voco, spatium axe, ordinata aliqua
normali, et curva comprehensum, ut A2 B2T, TA. comprehensum axis portione seu abscissa AaB
ordinata 2B2B et curra A D A, C+ CA. itaque necesse est ut perveniat urva a usque
ad axem, axis portionem,  quidam vocare solent actitudinem, ordinatam trilineum
terminantem, basin 2BEC, basin. Rectangulum autem circum scriptum, quod
eandem habet altitudinem cum Triliuo, basi verd aequalem maximae Trilinci ordinatae;
quod si maxima ordinata est ultina, tunc Rectangulum circumscriptum eandem
habet basin et altitudinem cum trilineo orthogonio, et a nonnullis vocatur isoparallelum
quod etiam ad trilinea non orthogonia, et parallelogramma ipsis circum scripte
extendi posset; et manifestum est semper hoc isoparallelum ex quatuor rectis, duabus
scilicet ordinatis, et duabus d abscissis, utriusque scilicet Directricium conjugatarum,
constitui, quoniam semper abscissa unius directricis ordinatae ad alteram relatae, aequalis et parallela est
it Trilinei orthogonoi A2B2C1 C A, p Rectangulum Isoparallelum est A2B, C.G A
Complementum Trilinei Orthogonei, seu Trilineum complementale vocant, quod trilineo
orthogonio adscriptum Isoparallelim acomplet; ut si trilineo Orthogonio
A2BEC1CA adscribatur Trilineum complementale A2G 2C1 C A. constituetur rectangulum circumscriptum
isoparallelum A2B2C2G. Unde pt ata ea sibi mutuo complementa esse  esse ad directrices conjugatas,
et eundem curvam habere communem; et ubi unum est concavum alterum esse convexum; et
altitudinem unius aequari basi alterius et contra, aliaque id genus quae cuivis patent manisesta sunt
Intersectio directricium conjugatarum, seu Trilineorum se mutuo complentium initium
commune, vel si uno tantum loquamur, punctum in quo ordinata sit infinite parva uius ex Triliners
sive evanescit, et curva ad axem pervenit, solet appellari vertex trilinei, qui
semper c etiam est punctum fixum seu initium abscissarum, sed qu non solet
appellari vertex curvae, nisi quando alterutra directricium in eo curvam tangit
per Summam rectarum ad quaendam Tirectricem applicatarum, intelligimus figurae
perpetua applicationefactae aream, ut si dicam summam omnium AT ad axem AB
intelligo figuram ex omnibus AT, in respondentibus AB, axi ordine applicatis factam
ut A. T translata in 1B, D et s applicata ad A, D, et ita de caeters, explicandus
autem est angulus applicationis qui solet intelligi rectus., sed nec necesse est ut applicatae
ipsum axem attingu
uit summa differentiarum inter AT et BC, quae aequantur
igura 1DICLC3C3D2Did. Hae autem loquendi formulae permissae
unt supposita indivisibilium methodo, seu dimensione arearum per summas linearum, demonstrata, per ea
ipsis DC, constimet
ditlimuis po p. 6 proisus quenamodum per mistram ent sigeres quiles descr psim
cireutum deatu
(quaelibi soli
A vel cum angulus rectus est
Ades consugatos

## Folio 149v — 00067993:0300
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 150r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000300.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 96 lines, status machine
2aCi CA  D. DA
+B  _ ZB eHA
prop. 6. et T. quoties curva in angulum  pervenit appellare figuras segmentorum
ubi demonstratum esit segmentis envarum generantum esse proportionales; quod
nunc faciemus
Propositio VI1I
PRB PoSiTIO OcTAVA
Iisdem quae in propotitione septima positis
dda . si curva in axium conjugatorum intersectionem
perveniat. Iisdem quae in propositione praecedenti positis si curvae
in ipsum angulum rectum pertingat quae ex ea generabitur modo destripto
in eum etiam peroemiet et g trilineum orthiogonium generatam
etapto cujus vertex, angulus axes conjugati latera angalirecte
alaxes conjugati; latera anguli
altitudo sit portio ae
antis u)six applicantur
ordinatae cumao generantis, basis vero orinae, hus prod
funerit trilineum hoc orthogonium, aequale duplodegmento 
sest, portis
urva generante
et recta ab angulo recto supradicto  ad intersectionem basis et curdae
et
angulum recsum
procedenti, eadem locum habebunt, modo puncta  puncta  +b, 1C 1t
generantis, continetur.
cd interse et cum puncto. A coincidere intelligantur, veadeoque
figre figurae, quam voco segmentorum,  AB portio seu trilireum
norttogonium A. 3 B3D. 2A  aequale erit duplo segmento figurae generantis,
3 A3C2C A.
ex ed quod
Hoc uno verbo confici potes t quod quae demonstravimus prop. 7. generalia
sunt, adeoque locum habent, ut cunque parrae ssint rectae A, C, A1B, 1BD, 1B,C
ac proinde et si coincidant. Quo fucto sint nfinite parvae sive etsi puncta
coincidant, ubi sector. 11 C. A3C = C, CA degenerabit in segmentum A3C2CA,
et _ Quadrilineum sive Zona, hujus sectoris dupla, D+B 3B3D2D, D
digenha it in trilineum orthogonium A3B 3D= D A. ergo hoc seggentum hujus hoc
trilineum hujus segmenti duplum verit. Si quis tamen ainfinite pari
e
lineam insinite parmam ferre non possit huic non ideo minus convurcemus
am desid erC
Neget esse duplum, + t sit differentia Z. assumatr linea A, C tam
Assumatur
AC A.C exigua, ut segmentum A.C A, et trilineum orthogonium A1
recta AIB, at tam parva, ut rectan gulum A, B, C 2F vit minus quam
tegmentum A+ CA, et bilinum orferogogium Arero
erunt minoca quam go segmentum exiguum A, CA, differentia inter seq itum
et quae ntra ipsum sunt
assumtum AXC, CA, e quode quca bimus s. e sectorem CA3C+ Ci CA quem
vocabimus (; itemque trilineum exiguum quod vocabimus, D, A1B. DA,
quod vocabunue B quodque est disserentia inter rilineum assumtum, in suo
ergo et quae intra ipsum sunt, Trilineum exiguum segmentum exiguum
A, C
trilineum exiguum, AIB, DA, erunt minora quam
qhountur pas
fectiptia est inter magnum A quod vembo SL,
differentia est inter segmentris magnims S, A3C2CA, quod voubo SM
jam segmentum exiguum judi
istrenti A, quem vocabo SC;, item trilineum exiguum
differentia est inter Trilinerm magnim A3 B_3D2DA et quod vacabo 
Quadriliner, D1B3BZD2D, quod vocalio e.
quod vocabo FE
Deterimipeta ine Est S ector me seu  Er mimus, uin Z) et Ait S M
Ergo erit
per proxime dicta
SC sen 1 62, num guim 1
Deteruuam seqe et M et gudnli. seu Tureius minorqum Z sien F M  SM Ex determinatione prina sequia
jam ex determinatione primo
po determinatione prima sequitur 4
Differentia inted trem et 2 scguinum  minqu. quam 2L. Ex Et quoniam per prop. 7. Quadilineum equule
sequitur. eterma 3
e
prico delge
reter iatiom Mag
duplo seguto magno hinc ex determ. A. sequetur quarta:
Quantitates:... Trilin. Magn
differentiqe:..
Ex determinatione 3 et 4. orietur schema squer.
2sestu
2 Segm Magn.
ninqoinit
Ergo per prop. 5.
ei differentia minor est, quam
Tnlinei magni cr mltuitior quam
quam e  + seu quam  Z EErgo muor seipsa, posita est enim esse Z
quod est absurdum, nulla ergo supponi potest differentia Z. adeoque Trilineum
magnum nempe A3 p, D2 A aequale erit luplo segmento sginae generantis A3CabA
Quod erat Demonstrandum.
Scholium
Haec ideo minutim exposui, ut viri docti agnoscant quam nullo negotio severe
demonstrari possint, quae illis suspecta videntur, quo possint imposterum Geometrae
his minuti tuto supersedere, cum similis ratiocinatio inciderit
nomnia sccibenda mapuscnbis
H interimum duplum,
allerum simplum sit
quana pars issius =
Equarta pars ipsiusqu

## Folio 150r — 00067993:0301
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 149v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000301.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 96 lines, status machine
PRONOSIT1O NONA
iffExcessus figurae genetatricis super figuram, segmentorum,
sive quat quod idem est summa excessuum ordinatarum figurae generatricis super
ordinatas Aigurae segmentorum, aequatur complemento Trilinei figurae geueratricis
In eadem semper figura, ajo spatium 2 A BC)D2BA .: C3C tribs duabus curvis
A+DD A et A+C3C, unaque
si si  ordinnta figure generatricis sint majores ordinatis figuae seu
Trilineum orthogonium figurae
Trilineum fig u orthogene
si figura cae figura segmentorum cadat intra gencratria, differentia eorum,
seu figura duabus curvis et ordinatarum con disferentia) in vertice concurrentibus
et differentia ordinatarum comprehensa, aequalis est  complemento Trilinei
Sgeneratricis, seu  differentia a rectangulo circumser ipto
In eadem semper figura, quoniam tilincum A3B3D. DA, cadit intra trilineum A3B3C
ajo differentiam eorum, seu figuram A2D3D3C2C A, comprehensam duabus curvis A2D3D
A2C3C, et  3D3C, differentia ordinatarum 3B3C, et 3B3D aequari  ipsi
A.3G3C2C A tritineo complemente trilinei A3B3CLCA, seu differentiae ejus a rectangulo
super. segmenti A3CrCA
isoparalleto vel circum scripto 13B7 C2G.
chorda A+C sive subtensa A3C, simile in alteram partem constituatur segmentum,
aliud in alteram partem constituatur segmentum, A3C VA, priori per omnia excesse
simile e simile similiter positum, et aequale. Ostensum est prop. 8. spatio ex his 05B
V3C2EA aequari trilineum figurae segmentorum A3B) DDA
duobus segmentis composito vutices A 3B.3C =A2C A, auferatur, hinc aequalia, hinc
Ergo si ab eadem figura,
duplum segmentum, ut restet AV3C2CA, ut restet Trili comp Trilineum com
A3B3 CV A illinc qfigura segmentorum, A3B 3D+D A, necesse
est resitua ut restet figura bicurvilinca bi curvilinea A2D, D3 CLCA, sequetur
xilineum A3B3CVA,
haec duo residua trilineum figuram scilicet bicurvilinea, et
id est Tritiacum A3GZileo omnia simile et aequale TrilineumA3G3C2CA
aequari. Quod ostendere propositum erat.
SROPOSITIO NONA.
H ut restet BEGB
abscindere 
cat A figura curvilinea utcunque exigua portionem ccisexhibentur
aequalisfigura longitudinis infinitae, infinitis modisi
Quantulacunque sit igma curvilinea, utique in ea duci potest recta secaus curvam
in duobus a punctis, idque infinitis moeligatur earum una, quae cum curvem secet.
in duobus punctis abscindet ab ea segmentum, recta secante, et curva portione
absecta, comprehensum, Hoc segmentum in figura eadem semper figura
repraesentetur, per A spatium AM 3C A recta secante An, et
a rectae An puncto A, ad easdem cum
Ecciva A3Cn compiiehensum;
segmento partes ut ad angulos rectos educatur,. A. T. ad
curvilinea 3Ca CC comprehensabta
curvae  bC+CC
quantulacunque sit figura restitinea,  utique   aliquod in ea punctum,  n eligi gotest, ut 
et
d
cit
n4C14
( +B +C,
figuram; B e absciud   ffigura trilineum ottogonium
segmentum AC e D +C CD∞ EC ajo tujus segmento aequalem posse
exhiberi figuram infinitam, et ostendi modum exhibendi. per aliquod rectae qs,
productae si ita libuerit, punctum A ducatur perpendicularis, AT, parallela scilicet
tangenti. M : et ex curvae DC n punctis ducantur tangentes quae ipsi AY
occurrant in punctis 4T, et similibus, et ex punctis occurspum . t demissis per pendicularibus AT4D
ad 4 B + D opdinata tangenti nA perallelas, si opus est productas, ut in proprs.
idque perpetuo fitot ut in prop. 7. a puncto AC usque ad punctum M. habebimus spatium
spatium  infinitum 4DZB n A B 4 D, duabus suieis finitis ADZB, atBe,
duabusque lineis infinitis una curva, in infinitum procedente, A = DB, d alterai recta,
infinitam esse pateo quid
 , ipsi curvae asymptoton esse, sive nuspiam occurrere, patet, qui
quanto propius aberit punctum  a puncto n, hoc longior erit recta A4),
et pun si qua detur linea recta finita, poterit semper
punctumC tale tamque propinquam curva  puncto n, mente designari;
ita ut recta
ut ipsa AaT, sit data linea recta in finita major, adeoque curva +D
procedet in infinitum versus A, semperque magis magisque ddescendet ad rectam nA,
nunquam tamen ei prout punctum in curva 4Cn ipsi n propius assumitur.
gnunquam tamen ad rectam na penveniet nam si ad eam perveniret
in puncto aliquo ut A, ipsa Md, foret ordinata ad curvam, adeoque aequalis
ipsi A.  inter A, et punctum quo ipsa imagmarium quo tangens ex M ducta
usi s  ocurtit, quod practum ompospitaile est, quia cam sn  su psi
Tusincum D+ B0D
ferentia sec excest
seu pittuguli DCB, tatis
ape C D, axe occursu
seu conjugato BC, et
choda DB com
prehensi cort
complementi trilluc
se i dimidium c
trilinei BFGB.
quod Agurae segmenti
lemento est.
Nam triangulum DCB
dt 
aus
su semerem Doo
silinem DCBO
quod ut ut
BEGF tota tigum
 suthatla.

## Folio 150v — 00067993:0302
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 149r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000302.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 116 lines, status machine
ic fonctua st ste  parallela, ex constructionem nuspiam soccurret, adeoque nec occur
4Dβ nec curae recta n A uspiami occurret curvae 2D3D 4DB
Quoniam ergo curva semper in infinitum per artic. 1. accedit rectae (nA per antiec
 erit asgmptotos. Super
s xe D3D4
Superest ut ostendam spatium in longitudine infinitum inter sumam 2D2 Bp A etc B et D)
aequar duplo Tuilineo orthogonioC 2C+ B en 3C2 C, porro ut hoc exacte ostenderem
nulla mihi occurrit ratio commodior, quam per motua quae absolotitur per motum alique
possibilem suppositum,. Cogitemus ergo esse in puncto A defixam regulam quandam rigida
vel si placet alligatum funem, qui initio protensus sit usque ab A in 2C, ibique occurmt
regulae rigidae 2B2CV, quae secundum rectum AB, desemto descendere sive fluere potest
servalo sem in 3B2C de, servato semper parallelismo. Ponamus funem manu reque
semperque extendi et prolongari posse, manu per curvam 2C3CaC descendente, funtmque
emper tensum et prolongatum su per traheate ducente atque regulam sibi obstantem
depellente ita, ut man cum furce protenso A3 veniente in 3C, cum fune protenso
. come t3C, regula A+C) deflugierit in 3B3C3N., et func veniente in situm
A+C, regula veniat in 4B3P, et ita porro donec funis parlter et regula devenian
usque ad . His ita constructi ita ratiocinor: pars spatii in asympsoli longitudine
infra rectam ZB2D
infiniti inter DB durante motu, pars portio figurae nt curvam  2D3DE et
axem 2B3B eCAB etc. compreheusa, quam regula  supra se relinquit semper
dupla est, sectoris quem funis a rclineo orthogonio 2C B4C, C. C abscidit
nempe cum funis pervenit in A3C, et regula in 3B3C, sectoris portio abscissa, secter
scilicet 2C A3C2C tunc figura 2 D3B3D + D quam regula supra se reliquit
est dupla potitionis a sectore totali abscissae, seu sectoris 1C A3C2C, idemque perpetuo
Eoum fit durante motu, per prop. 7. idemque perpetuo firt durante motu; donec
motus cesset, quod non ante fit, quam cum funis et regula pervenere in . cum
ergo perpetuo neque punctum ullum inter 2B et n assignari potest, quo haec aequalio
cesset; cesset; cum ergo usque ad momentum quo cessat motus duplae semper rationis
spatia post se relingo ex quo dixi ratione supra se relinquant regula et
funis, ipso cessationis momento duplae supra quoque rationis spatia supra se reti
ullam varietatem afferari quisse deprehendentur, alioqui aliquando ante cessationem motus id facere cessassent
nec spatum mesi t
num motus momentumsum quod impossibile esse contendimus At vero ipsrosit sationis momento, Deprelum
imo et punctum M,
ditur autem regula, supra se reliquisse spatium inferitum csemptitum
2D. B(n A B etc B403D2d, et funis, sectorem totum 2C AM 4C3C= C spatium
aliud semper ali atque aliud sumi possit, ut glia faceam, idem iufinitis modis praestari posse patet
longitudine
erioe longitudine infinitum hujus sectoris, di
Scholium
Admiranda est contemplatio de spatiis magnitudine infinitis, magnitudine
tamen finitis. Oeteribus, quod sciam nihil tale innotuit, natu satis ipsis mirum
videbatur, esse quasdam rectas asyimpitotos, quae magis, magisque ad curvam accederent
nunquam tamen ad eam pervenirent.
Primus quod sciam Torricellia solidum
Hyperbolicum acutum infinitum dimensus estet ad cubum quendam reduxit: in
plano P. Gregorius a S. Vincentio spatium infinitum inter duas Hyperbolas certa
quadam ratione comprehensum dimentus est et celeberrimus Vir suo merito celeber
rimus Chistianus Hugenius Cisse spatium Cissoidale infinitum ad circulum
rednt. Et Geometra eximjus Joh Wallisius ostendit quomodo infint sunt
Hyperbolocides, quarum parea longitudine infinita, possit inveniri, et quomo
eae possint ab clus quae id non patiuntur, probabili ratione, discerni. Nobis
luidam vel sectori, utcunque parvo, infinitat infinitis modis figuras longitudine
propositivnseptima viam dedit, cuilic
infinitas aequales, vel dustas extribendi exhibendi. Quod aliis etiam rationibus
in hoc negotio allutas esse non satis cogentes; contenti enim solemus hac
fieri posse, non ignoramus. +
ratiocinatione, quae ab omnibus partibus finitis, ad infinitum ipsum prosilit, cum
tamen veritates usque adeo paradoxae exquisitaal pauto ex quisitius
comprobari mereantur; circumspexi quanam eas ratione satis munirem possem
contra scepticismum. nam tet frustra tentavi rationibus apagocicis uti quod
 non arbitror fieri posse rectius, quam motu continuo assumto, is enim
interruptionem atque cessationem ad ultimum usque molis momentum, in quo solo
varietas nulla produci potest, patitur nullam. Ultimam autem motus
momentum nihil mutat, adjicitre aut adimitve. A. Tato Pati Pardies e S.
scriptis elegantibus eruditis notus e et vita longiore dignus tantum his meditationibus
tribuebat, ut crederet efficax satis argumentum praebere ad evincendam animet
immaterialitatem, nec abuverim sabesseali quid solidi, cum omnes mentis actiones idemevincant
tanta matis, quanto sun ad mdrabiliores    un est adiud eai adtie iti
ne non aliter faeri potest (hae rois
i a occunieus, alicubi ut
bsit ab infinito abhinc in
id est recta
erit quidem inter infini
de signabili major
n aterminala. Ho positu
utique ex prop. 7 t a D. B e s
Ssi) ts t
Est s C latis subtilis.
idque apparebit ae in forme
palia e issuide
fini te paroa
desinat,
In autem hujusmodi quantitates
A natura rerulum
Metaphysici est disquirere
Geometrae sufficit, quid ex
iptas ipsis suppositis sequa
demonstrare. Multa hic
dicere possem, exemplis elegantibus
atque exquisitis allustrata
si locus iste, aut otium menu
feriet patererur
theoreum
A verum hic notandum est
demonstratum esse putat, eum mea
sententia falli. Alterque
naturae est quantita
quantitas anteru
iesse
et quemadmodum d
uo generis sunt indivisibit
infinite parvum. quae
Ctum a Geometris
metus hificis scepe confu
paratogituronum et erroruum
tausae fuere. Inte
et voco quod in
ullum est punctum
timum: infinitum autem volo
quod ajus est
libet intelligibili
 numits
fisi terminatu
in sin applicatum

## Folio 151r — 00067993:0303
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 152v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000303.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 46 lines, status machine
interminatae
Si ped trianguli tres angulos rotidem transeant rectae parallelastriangulum
erit diminium rectanguli sub intervallo duarum paralletarum et portione Fert inter puncta
3
quibus angula trianguli et opposito  lateri, si opus est productqu occurrit, intercepta. 
sit triangulum ABC fig. 1. et 2. per cujus tres angulos transeant rectae parallelae intexriaatae
(quantum satis est productae:) AD, BE, CF. Duarum ex his, spro orbitrio assumtarum:) BE, CF
intervallum (seu istantia minima:) est CE. tertia parallela  AD) quae occurrit triangulo
in angulo A Tutus huic angulo oppositum est CB, quod profuctum, si opus est
ouurrit ipsi AD (. Ntiam productae quantum opus) in puncto G, Occurrit, inquam, quod
sic probo, si AD ipdi BC producta productae, non occurrit erunt paralletae; ipsi autem
AD paralterae sunt EB. FC, ergo et hae ipsi BC paraltelae erupt, Ergo eam non secabunt
in punctis B vel C. contra hypothesin. Occurrunt ergo sibi AD et BC in puncto G.. 
triamgnlun  
Aeieiceve sequil ta apir sub AC eKCE
dinibtiem ee C. Ad cipsam CB prodductam quantum fatis est, ducatur  perpendicularis
AH. Triangula AHG, CCB, rectangula sunt, ex construstione (: per X et H X) ergo anguti
in ipsis, praeter rectum, ut H G A, CBC acuti. Porro si duo anguli efficiuntur ab eadem recta,
(latere scilicet BC, propucto) ad duas paraltetas AG, EP; duo autem anguli  acuti ab
eadem recta ad duas parallelas facti, aequalis sunt Ergo anguli HGA, EBC aequates sunt.
Ergo triangula rectangula AHG, CEB simili sunt, seritque CE ad AH ut CB ad AG, id est
rectangulum GE in AG aequale erit rectangulo AH in EB. At rectangulum AH in CB duxtum
est Trianguli ABC, factum scilicet ex basi cDm altitudinam AH. ergo et CE in AG hujus
trianguli duplum eaa. ete es seu, sive triang ulum sBe rectanguti
sut AG et CE dimidium erit
Ajo triangulum ABC rectanguli sub AG, et CE dimidium esse, x
e puncto A ad rectam BC productam Mopus est ducatur perpendicularis AG
manifestum est triangulum ABC rectnguli sub AH altitudine et BC basi, dimidium
esse, quare et rectanguli sub AG et CE dimidium erit, si ostendamus rectangulo
sub AH et BC, aequari rectangulum sub AG N CE. Id vero ita constabit:
tres paralletae A∞, BE, CF ad ipsam BC angulum faciunt vel rectum, vel obliquum
si rectum, erit angulus CBE, isem AGH rectus, et coincident puncta B et E, H et G
ergo coincident etiam recta AG cum recta AH, ad recta  CC cum recta
CB, ergo et rectangulum sub AG et CE rectangulo sub AH et CB.
sin angulus quem
Paraltelae faciunt ad ipsamBC, sit obliquus habebimus duo triangula rectangula
AHG, et CEB, ergo anguli in ipsis praeter rectum, ut AGH, CBE, acuti sunt;
Porro hi duo anguli efficiuntur ab eadem recta (latere ncilicet BCAprodu ), ad
duas paralletas AG, B. duo autem anguli acurti ab eadem recta ad duas
parallelas facti, aequales sunt. Ergo anguli HGA, EBC aequales sunt. Ergo
triangula rectangula AHG, CEB sunt similia, eritque CE ad AH, ut CB ad AG,
id est rectangulum CE in AG, rectangulo AH in CB aequale erit.
Hoc ergo cum
semper eveniat, et rectanguli AH in CB dimidium sit a triangulum ABC, m
ut diximus, etiam rectanguli CE in AG dimidium erit. Quod ostendore propositum
erat.

## Folio 151v — 00067993:0304
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 152r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000304.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 88 lines, status machine
ut ACBCDA
1B2B +CIC
ut Ad
uc
Retortam Cycloedis voco bicurvilineum vo arcu cycloidis, arcu circuli
generatoris in + ACB in primo situ collocati, ut ABD, et ordinatae cyclocidis ad axem
AF, portioneBC, comprehensum,
eROpoS
TIC
DECCMA.
Quaelibet Retorta Cycloidis, Segmenti arcu eodem cycloidis arcu, et
recta a vertice subtensa comprehensi, duplum est.
a0 in eadem figura, ajo segmentum Cycloidale ACDA, quod retorou quarcunue
ABCDA ogginenti respondentis A.C, CA, cum a Cyclvidis portione AD, et subtensa
a vertice, AC, comprohensi esse duplam. ex puncto C ad rectam AT per
verticem A, transeuntem plano GH parallelam ducatur tangens CT. idque in
quolibet aliocurvae puncto  intelligatur; constat ext iis quae apud doctissimos de
cycloide scriptores habentur AT esse ipsi BC  semper aequalem, Jam summa
omnium A,T, ad axem Aitat applicatorum, aequatur dupro segmento AC.CA, per prop.
8. nihil enim refert nihil  refert, an axem ipsum affingant appli ca 1e,
an vero aliter utcunque in ordinatis etC suman 2F2C si ete. sumantur ut si
A1T tranfferatur in 1B, C, et A2T. in 2BZC, semper enim eadem manet summi
ver
linearum sive aret fiturae quemadmodum toties ostensum est ab aliis, et tgorose
demonstrari potest, ex illis quae prop. 6. diximus spatium ergo ex omnibus
AAT in _ respondentes BC transsatis conflatum, aequatur duplo seu
retorta AIB2B2 C.CA aequatur)
Corollar. 1. Segluentum cycloidi
gpento A2CiCH.
issit
dimidium est portionis respondentis figurae
sinnum versorum a enim figura simum versorum  conflatur ex summa arcuum
ad diametrum quae aequalis ret perpetuo retortae circularius De quo videri potest
R. P. Honoratus Fabri eleganti opusculo de linea sinuum et ycloide. quiope
Corellur 2. quae etiam ex arcubus EB 1B1C, 2BLC 4 quae arcubus AIB, A1B2B
aequantur aequalibus conflatur.
Malta abia quemadmodum apud R. P.
Honoratum Fabri tractatu eloganti de Linea sinuum et cycloide, videri potesti
Multa hinc ause Alice quae hinc duti possent, omitto excepta  propositione
quadam memorabili, quae jam sequetur.
PRopoSi T10 UNDECIMA
3) Si recta per centrum circuli generatoris ducta, plano provolutionis parallela
3) Cycloidi occurrat  t et recta punctum occurtus cum vertice jungeris segmentum
 abscindet a Cycloide, quod erit, absolute quadrabile, sine supposita circuli
3 quadratura, et quidem  se aequale semiquadrato radii circuli generatores.
sirrecta per centrum circuli generaloris ALG, in eadem figura, ducta recta
DE, plano provolutionis GH parallela cycloidi occurrat, i E, jungatur AE, ajo
vertex A puncto occursus E ajo segmentum AE.C A quadrari posse, et aequari
semiquadrato radii, seu triangulo ADL. Hoc ita breviter probatur: 
hoc segmentum duplicatum, aequatur retortae ABLE1C A pap prop. 10. Iat
haec retorta aequatur quadrato radii, quemadmodum apud eos qui de cycloide
scripsere, doctissimos viros, p diserte ossensum est, ut Biasione
e
si bene memini Walli Clmum Walcisium, partim, ex eorum ctrad
negosio sequitur, ut quod de Dettonvillaeo, pendetue ex nota hemisphaerii superficie
ab Archimede extribita, ut illis manifestum est, qui in hoc argumento sunt versati.
anutile
videatur. Quomam ergo segmentiur
eruditos motam, hit probare vel syns s huit q ud erat demonstumdnb
ut rem apudasor
duten
bit
drato sed choliun
b
aliquod
proum omnium aliquam bycloidis q sot spatium solis rectis et curva cycloidis
comprehensum, absolute dimensus est Hugenius  meum recta portionem
mediu
ret recta basi paraleta e semi cyclonde abscissum AIF ,CA. posito AIF
esse dimidiam radii AD quod ille invenit aequari, dimidia haxugomo reguluri inscripto
quemadmodum memorat pascalius in Historia insignium de Cycloide inventorum,
Ab eo tempore, nemo quod sciam aliam
quam exigua scheda complexus est.
pottionem solis rectis et curva cycloidis  contentam absolu absolute quadravit
mihi vero idem quod tot alia praebuit, theorema, prop. 7.  et 8. expressum,
dimen absolutam
osten su
segmenti cujusdam Cycloidalis transversi quadraturam utique simplicissimam exlibuit.
Qu hoc loco memoratu non indignu videbatur.
A232CAAC
Exo sutha locox. Airea
quae circulo est
icoque figura sinuum versorum est
cycloidi figure pgmentorum
(uanquam id in hoc quidem
casu aliter quoque indeper
denter a prop. 10. proberi
postit.)

## Folio 152r — 00067993:0305
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 151v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000305.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 79 lines, status machine
PROSOSITIO DDECIMA
Figuram angulorum extibere, sive curvam designare,
(ex earum numero quae analyticae , sive ut alii macurt
Geometricae, vocantur,) cujus ad quam figura constituatur, cujus portiones trinnele dtga
ordinatis abscissae sint ut anguli ordinatis sint ut anguli, modo
abscissae portione conteu mabscissae sive altitudines sint ut
complementi. Sit quadrans circuli ABCB in cujus arcu sumantur puncta
quollibet quollibet 1D m unde tangentes o applicatis ad dinmetrum demissis ac
complene
s in sinubus carcuum circuli productis sumatur recta, quae
sit inde a diametro, rectae, quae sint sinubus et radio
tertiae proportionales, curvaque per earum extrema transeat
 factum erited
circuli ABCD A
ad Eonit n fig... .. sit quaedians
a
nonunt
ingantur
comxecndiametrum AB,  DE
ratais BDC sumtis demittantu
radii AD; et ( in sinubus con
CE productis sumantur rectae EF, ipsis ED, AD tertiae pro portionale
er curva 1F2F, 3F transgat per puncta F, ajo portiones quadili
quadrilineas parallelas C AEFC esse proportionales angulis DAC
DAC, quorum scilicet sinus sunt rectae EA. id est quadu portire
quadrilinea +D AC C A . E. F, erit ad aliam C CA. 2EBF, ut
angulis 1DAC, (cujus scilicet sinus est 1ER,) est ad angulum 2A D escujus
sinus est 2EA.)
Demonstratio
Ex punctis D cnntur tangentes circuli DT, DF basi AC quadrantis
estC productae occurrentes in punctis T. Ajo primum ipsas AT fore
issis AF respondentibus aequales, nam ob triangula DEA, AD K, similia
erii ED ad DA, utq D A ad A T. id est ipsae AT erunt simibus ED et
radio DA, tertiae. proportionales, quales esse diximus et EF. nerrgo
perinde, est ac si dicmus dixissemus curvam CiF2F3F generandam
perpetua applicatione isarum AF ad _ altitudinem sive axem _AE, in ordinatis ED
trantlatione ipsarum AT in EF. Hoc autem posito manifestum est
ex prop. 7. tium LA,EFC, esse duplum sectoris iD AC. D et similiter spatrum
productis,
quadrilineum C A2F2FC esse duplum sectoris 2DAC+ D. sunt autem sectorem vel dupli soctores
2
ut anguli, +DC, 1DAC, D, 2DAC  D, ut arcus 1dCV, 2DAC i est ut anguli
2
IDAC, 2DAC, ergo quadrilinea secttrum duplas etiatu C AEFC, etiam exumt
anguli DAC,
un ura
Corollarium
esse ad portionem finitam CRCFC, ut angulus rectus BAC; ad obliquum DAC
quod per se manisestum ad imitationem tamen prop. g severen demonstiari posset
Ocholium
Duo sunt in Geometria difficulter tractubilia ratio et argulya difficilia tractatu,
ratio et angulus; et sectio anguli puriter ac rationis sive logaritimi. Angulir
Et quin sectio anguliin quinque partes adt eti supsolidum est, et ultra
enim tpari trisecarevel
locum conicum excurrit sectioniim autem rationis sive logarithmi idem esse
constat, quod extra inventionem mediarum proportionalium, est enim trisectio
rationis idem quod inventio duarum mediarum, et sectio  in quinque partes aequales,
est inventio mediarum quatuor At sectio anguli aut rationis in data
ratione linea ad lineam, problema est,  e transcendens, ad nullam enim aequationem.
reduci potest, quales Vieta et Cartesius  do concinnare docuere docuit, usc
per curvas construi potest, quale in geometriam Cartesius in troduxit. At
non ideo est supra vires humanas, nniminum natura sua propria media, cuilibet
quad quam Cartesius eosdem Geometriae suae et ingenio humano limites, ut migni homines solent,
pauto audacius praescripserit. Nimirum natura cuilibe rei peculiaria quaestionum
generi peculiaria solvendi media constituit, simplicissima, naturalissima, nec
minus Geometricae, quam quae a Cartesio feruntur sunt enim constrinctiones
quadam usque adeo simplices  non nisi per calculum vndiscerni possint a Cartesiatiis,
Geongetrica
quibus tamen, magna illa et a Cartesio habita pro. derelictis problemata
perficiuntur. Quod si ergo inventionem duarum mediarum proportonalium
Geometricam habemus, uti certe habemus; ego sectionem anguli et rationis
in data ratione, liner aut rectae ad rectam, audacter spondeo.
Ubi vero, nequis erret, nec quadratricem nec logarithnicam admitto, cum
enim earum puncta omnia in veniantur; nec proinde continuo tractum c
gedmetrice describantum, nullius ad Geometricas constructiones usus esse
possunt, quoniam nemo asserere potest problema punctum, quod quaeritur
felri sure in acatus un ergeae monteiu at  sum e tis
parallelis comprehensce
sinus complemensi

## Folio 152v — 00067993:0306
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 151r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000306.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 148 lines, status machine
in unum ex infinitis alies intermediis, nondum inventis incidere an
aud mechanicas operationes inservire possunt. Mihi autem bpsum serviet
ad absolvendam honc anguli sectionem seometricam, haec ipsa servie
figura angulorum, ut suo tempore explicabo. erro figurae angulorum
respondet figura rationum, ea autem Hyperbola est, nam ex admirabili
D. Gregorii a S. Vimentio invento constat, res, nullae algebra divinabilis.
nec mea sentertia pro dignitate estisiaptiones Hperbilae astita ad asyarptatoq sint ut numer abscissae ex
2
ves iigitates qua
ita cexcenditur d
e nun
in proctentia
asymutoto sint ut numeri, quod portiones hyperbilae erunt ut loganthmi.
Hic vero opteman im dit annitare  et pevelegantem figurae
rationum et figurae angulorum  ymbolismum, schiruusique
nobilise Lpsatia jnvenis nihi amicus, et in his studiis egregie versatus. Redeundum
siniiantur
ad axem BA faciunt figuram ontronum angulorum, ut ostendi, si vero appi
centur ad axem conjugatum BL, seu si transferantur in LM, facient figuram
rationum, et terminabuntur in curram Hyperbolicam ClM 2 M3. M. cujus
centrum B. vertex C. asqemptoti BT BA BL, BA, latus rectum transoersa
iimirum quemudmodum sumto radio BA, simubus A1E, A2E
aequalia,
quadrilinea TA  CE CA1E1FC, CA2 ExFC sunt aut anguli (.BC, aDAC)
ita sumta unitate BA, seu eodem rudio, numeris A1L, _2L, spatia
quadrilinea spatia Hypervolica, 1 M2, M . L ZL 2M . M, et 2ML L3L3M 2M eruat
curva Analytica
simplex es
eclae
otenti
ut rationum indices sive Logarithmi. Quorum omnium usus ingentes aliquando
seu conici, figura  angulorum tertii seu sursolidi aequa posita enim altius uti
xlarius apparebunt eod
ascendit, cum Hypabola non sit; et nulla es Conicrt praeter Hyperbolum asycuptotos
habea
Definitiones:
Ca datu quadam ecta
omnit in distantia
Curvam Analyticam voco, cdjus punctaut a punctis dat omnibus a datis
stana
uibusdam punctis distantia calculo potest inveniri,
intelligita ita faribola cubica geometrica pariter et malytica est qui supposita
instrumentorum exactitudine sit in potestate)
Calculum autem appello CElculo autem inveniri possett quantitas dicetur, cum ad aequa
inveniri potest, cujus ipsa sit in
tionem quandam revocari potest, in qua ipta
Nam omnia problema, quae ad aequaetiones reducta
sunt, ad simplicissimum reducta sunt statum. Scio Cartisium curvas vocare
cognita tunc enim pro
Geometrices, quas ego Analyticas; Sed quoniam analytice haber est calculo haberis geometice
autem haberi est mot aliquo construi posse, qui scilicet sit in potestate; ideae tametsi
calculo cundam exacto subjicenon possit, modo constructio sit exacta.
NCurvam Analyticam voco, cujus oma puncta determinari possunt per magnitudines
be
quarundam rectarum calculo exacto inventas. Geometricam cujus omnia puncta possunt,
detignari, sive quae potest describi, mot quarundam rectarum, qu super rectis; qui
s suppotita instrumentorum exacritudine assit in potestate. Magnitudines autem
Talculo exacte inventas dicemus icum ad aequatio haberi potest, quaum ipsa su icognita, ita em
problema simplicissimam reductum est statum expossionem rationatem ejusque natura Motum
autem illum demum admittemus, qui ab uno dependeat, salioqui enim non erit in potestate nostra
diversos motus conciliare ) tum qui efficere ut diversi motus certum inter se logem servent:)
quique fiat motu rectarum super rectis, adeoque nullam necessaro requirat elaborationem
ner
curvae materiali quo excluditur Trochoides, aliaeque id genus curvae, quas quom exacte
describi possunt, Demi Geometricas appellare soleo; quemadmodum illas semianalus
licas, quae calculo aliquo exacto, sed tauscendente sive infinito de legminantur, quibus
et nomen analyticarum transscendentium accommodare possit; quod autem sit calculus tonscendens
Seio Cartelium analus Geometricas nontu
hoc loco explicare, prolixius foret.
eas tantum dpellare, quas ego appello Guometricas, sed hoc ex quadam falsa
persuasione factum esse,salis ex ipso est. Pedidit enim non nisi Anglo
crialinm
Ceometrice, id est motu ab uno dependentem dependente, ac sine rectarum curvaramnum
rectum extensione, aut ad rectas applicatione, posse describi: vel putius credidit
quotiescunque talis descriptio fingi potest, curvam esse analyticam sive aequatione
explicabilem. Quod verum non esse comperi, n exiguo Geonetriae profectu; ita
enim ad problemata; Cartesio pro derelictis nabita inrabilis aperta est via
et algetiam trans (cendentia mirabilis aperta est via. De quibus alibi erit dicendi
aequale cuidam rectangulo, at, locus mersi id mirum vidori posset
urvam Ana lyticam
ubi ipsae  sunt y suit ut culi
st ergo curva quaedam, ipsarum v
1x, 20 inter se, ut respondentium ipsis V. quadrata nempe D, vel ZV, quadrata. (Nam p est ad rectangulum sub p et ix, est
b et 2y,ut quad sat e V. sd quadrat a EV. ut aequalia iptis rectanus pin  ad rectanus. P in 2y, sent ut  1g ad Ey.
suplicata. Eodem modo in parmbala cubica, p gradratum interis recti ductum in poter
Fateor intermist
non ex
anis alius
tantum
modis extriberi
demnstrai esse iquillec aliis
s
haxes
vel Pasimeter
atue rectum in curra Anulytica
sampei
e
peisaeves didinato
cut
dignitatibus dic
nin
ad
(idest vel ifso quantitas vel aliqua
utia) in alter aequa
tione corvanaturam
et
scis
relatore
et ordinalat
otentias
conte aequationem comples
Evalia homogene atumc lege
oudinatarum sunt in
ratione simplici vel multi
plicata, directa vel
reciproca, abscissarum
potentiarum ab absci
si ratio sit directa, vocantur
Parabolae aut Parabolocide
si reciproca, dey perbo lveides
sp Helix
Latus rectum in curva
Atnalytica simplice est
possunt
ordinatim a abscissae ve
ordinatim, applica t
id est. cu
potentia
inferiorem
alterntiis ducta, aequa
servata homogeneorum
lege, aequat potentiam
altermtrius alterius superiorem
ut in Parabola cum erclucta
sint t quadrata sint ut
abscissae erit
si ordinata
vel abscissae sint v. et y
sitque  quadratum ab.
sub v. et recta constante
rit p. latus
Num;  et
patet fore duas diversas
e u
ad rectangulam
E ali
ib
in ratione mubislicate ipsat

## Folio 153r — 00067993:0307
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 154v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000307.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 74 lines, status machine
sit curva quaedam
1C2C3C. Axis A. B: B3B, ad quem ex curvae punctis C,
ordinatae normales ducantur BC. ad abscissas AB; jam si relatio inter
curm abscissam AB, et ordinatam ei respondentem, per totam curvam
perpetuo eadem est, aequatione quadam analytica explicabilis, curma vocabitur
Analytica ut si AB. vocetur , Y. et BC
sitque parameter quidam sive recta constans AD et dicatur ea esse natura
curvae, ut  sit rectangulum PA, B aequale quadrato 1B, C. vl
eodemque modo rectang alum PA= B aequale quadrato 2B2C et generaliter
rectangulum PAB aequale quadrato BC  quod contingit, si curva sit
parabola, tunc ne literas lineiscum ieta et cartesii substituendo, erit
Cartesim Cartesiana aequalio naturam curvae explicans: Py aequal. v seu
rectangalum p in y, aequale quadrato ab. v. Si sarabola esse cubica, foret
qrectangulum ex p solidum ex quadcato A p in AB aequale cubo a BC,
unde aequatio. p y aeg. v3. Si Parabola esset Quadrato quadratica, foret
cubus a P, ductus in y, aequalis quadrato- quadrato ab V. seu py aeq. v2
Sed quonium ita ascenditur ad dimensiones imaginarias, ideo ne quis pulet etiamadralum ut .
caervas ejusmodi esse imaginarias, admonendum est, nihil aliud designari, quam si nuneri, ut exemplicausa ternarus
qui Cassumta aliqua unitate sive mensura, ut pede) exprimit longitudinem ipsius
et termariis esi  sit tipedalis.) Quadratum nempe e multiplicettur pier culium
immerum qui ipsius y magmendinem repraesentat, ut ,  si 144, (si ponatur aliqua ee absissis ut
undem t fore numerum provenientem 1296
A1B esse 144 pedum.)
aequalem quad rato- quadrato aV, sive respondentis isA.B adeoque fore BC
1g
V radicem quadrato quadraticam aderm
in quantitatibus irrationalibus habent locumatur
t296,squae est 12. Quae etiam
curva esser arcus circuli, culjus diameter
AB, et ratius p. sit B. font rectangulum PBA aequale
quadiato BC, que (quemodmodum in parabola PAB aequale quadrato BC:) et
aequatio foret p y = y aequ. v. est enim  BA, V. et PB,  y.
et rectangulum PB A est py - y.
Haec illorum causa adjicienda duxi, qui
curvarum exressioni. per aequationes non sunt assveti, ut videant compendii tantum
causa adhiberi, ne magna verborum mole mentes onerentur, de caetero enim autem
a Locis Veterum nihil differve.
Si Aequatio  explicans relationem ordinatarum curvae analiticae
ad abscissas ex axiumit duorum tantum terminorumsaquatio vocatur a
me Curva Analytica simplex. Quemadimodum  si cua si iisdem quae supra
positis, si curva sit Parabola Quadiatica sive communis, aequatio est
Py aeg. V. si Cubica sit pambola, aequatio est pY aq. v imo est
quaedam quodammodo quoddam parabolae genus bi cubicum laci duon excedentis,
senu a pambota cubica passim memorata diversam cujus aequatio est p V aeq. V
inquo quam  Clarissimus Wallisius loocat semi cubicalem., in qua
rectangulum solidum sub p et quadrato ab y abscissa, aequatur cubo ab v
ordinata. Haec curva prima est omnium analyticarum, quae absolutam dimensionem
subiit, cum enim de quo invento inter Anglos Batavosque hodieque certatur: illinc Brounkero
et Wvallisio pro Neilio u, illi Hugenio propopulari Heuratio stantibus
Ubi vero negari non potest Heuratium rem totam simul omnibus numerit absolutam dedisse
at Neilii imperfectum per se inventum a Wallisio fuisse
solutum, ante quam tamen q
Nam Neilius observaverat curvam cujus elementa
procederent ut ordinalae parabolae nfore quadrabilem summabili quadam rationefore
uterque de Heuratio audiisset.
mensurabilem; at curvam ejus modi ssimiparabolam (ubicam, a Wallisio
accepit (rem non adeo facilem inventu) a Wallisio accepit. Porro omnes
Currae analyticae simplices omnes hoc habent, ut sint ordinatae in ratione abscissarum, aut potegliarum
multiplicata, au sub multiplicata,  eaque directa aut reciproca; Ut si curva 1C2C3C
sit sambola cubica, abscissa A,B, sit 1y. A2B sit 2y. Cparameter constans p.
et ordinata ,B,C sit v.  2B. C sit. Erit 1y p aeq 1v et Eyp aeq 2D
et 1y aeq 1V et 2y aeg. 20. Ergo 1y ad 2y, erit ut
ut cubus ab IB ad cubum ad 2V, eruntu erunt ergo absisse ut suarum didinutarum cubis cubi
sive in triplicata ratione a ordina trum, ergo contra ordinatae in subtriplicata
ratione abscissarum. Si tamen in eadem parabola Tubica ordinatae sumantur
A. G,93I. tunc a inversa appellatione absissa A. B e AD HD erunt V
erunt v.  (aequales ordinatis ad axempriorem C B, A. B2B3B) ordinatae Cerunt y.
in axem conjugatum
aequales ord abscissis ex axe priori. 1A) et ita ordinate s erunt instriplicaticibus
ratione seu ut cubi abscissarum _ A) seu V. quae inversio similiter in aliis curvis fieri potest
Eodem modo in Parabola semicubicali, sunt cubi ordina iisdem semper retentis
cujus aequatio pis aeque V. posita semper P aeq. AP. y aequ AB vel DC. vaque B vel A
 pudium ie d s  ede qu asquitea inites en  alp s ue at
Bx seu AB ay v

## Folio 153v — 00067993:0308
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 154r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 115 lines, status machine
sive cubi ab v erunt in duplicata ratione ipsarum y. vel quadrata ab y
in triplicatarae ratione ipsarum V. Eot ipse autem V. erunt in subtriplicata
ratione quadratorum ab y. Quia V aequales V py s radicibus scilices
Cuborum ab
Cubicis a pV. et ipsae V vicissim erunt in subduplicata ratione ipsarum
abipsis B, seu y aeq. Y V aequales scilicet radicibus quadvaticis ex V. Constans enum
quantitas p. seu parlameter, aut ut recta veteres vocabunt  recta secundum
quam possunt ordinatae, nihil in ratione mutat
Hactenus ratione
tantum directa usi sumus, afferenda sunt exempla reciprocae quoque, ut
natura curvarum su Analyticarum simplicium penitus intelligatur
sit cuva in eadem figura curoq  (C) 2CBC) Hyperbola Conica cujus
centrum A, usumptoti AiB, B ArD D constat rectangulum ABF, vel A
AB(C) vel AD (C) aequari  cuidam quadcato constanti, quod sit p
quadialum a constanti recta, p. Ergo eri Y V aeg. pe et V aequ 
et vaeq. p. et 1y aeq P e 2y ag. f. Ergo 17 ad 2y er i
ut L ad P id est recipoce, ut 2D ad 1D. Sive erunt ordinatae in
Ex recpioaatia ratione abscissarum. Si esset Hyperbola
si curva esse, Hyperbola vel Hyperboloeides subica, foret aequatio rectangulum
solidum sub una abscissa in quadratum ordinatae vel contra aequale
cubo a recta constanti; et forent ondinatae  vy aeg p3. et forent
ipsae _V in reni ratione reciproca duplicata ipsarum ipsarum y. et in
quodammodo prima directurum ratione reciproca subduplicata ipsarum v.  His ita explicatis hmnium
Hypertolocides
aspebulas
ps
vocare solent. Nec et male
aliqui Hyprbolas recipricas
Analylicarum simplicium Catalogum subiitiemus:
um potestiores
aequationum pr
Tabula Curvieum Analyticium simplicibus,
ordinatarum quadrata,
quoidato quodata
ordinatarum quadrata
Directisum, quarum
ratione
reciproet
quadrato quodiata
simplici
PRequationes Parabolocidum
duplicata
pr aeqy
qV aeq yt
v aeqpus
vt aque pu
triplicata quoruplicata
pvaeqV exaeque yt
PVaeqy pVaeq yt
V aeq y p 49 yt
v aequy Bt aeqe At
Aequationes Hyperbo locidum
vy aeqp
vyaeqp3 vY aeq p
Nyaq pt ∞3) aeq. p
vyaqplv’y aequ po
eaque pt viy aq. p
vy aeqpe vy aequ
vy aeqpo v aeqp
ryaupt vytaq po
Quae tabula incinfinitum continuari potest, tantum notari debet, redire
in ea easdem saepe curvas alio schemate tectas, duas ob causas, scilicet
s ssenes a ob permutationem et ob destressionem; ob permutationem, fit ut omdes dupli
bos occurrant, nempe pro ordinata sumendo v antea oidinatam, nunc pro abscissa
Exhis autem defintionem et Y antea abscissam, nunc pro ordinata, si scilicet in locum axis sumatur
Geometriam nondemus sequentem axis conjugatus, ut explicui. Nempe ede
ejusdem specit
et cujus aequatio est pes aeq  cum unvanter omnia eiadem cu aspsioc eosdem axes
conjugatos, AE. descripta o.b depressionem o vero quoniam saepe aequalio
ad minores terminos reduci potest, ut v3 aeque p aequalio coincidit cum hac
V aq y. et vt aeq. py cum hac: v aeque py. et aq v yt aeq. po. cum
hac. vy aeq. p3. 
generali
aquatione ita enuntiari posse: Ompes curvas anelutitmo enedu ali
Avelquod idemes V as saequatione directas aut recipiocas una generali aequatione ennutiari posse,
hoc modo:
4v aeq  est abi num literae e er co. significant
exponentes, potestatum, et illud tantum notandum est subtct additionem expo–
at subtractionem significare divisionem
Hiubita C0 3.  et C, 2. fiet:
pv aeq. 1 seu p V aeq y) Sin sit c0, 2. et C, 3. fier
parabolam, posita V at AIB, B Y aeq y seu pv aeq y. estautem PV idem quod p. quia exponens
quae aequatio est
constante recta vec parametosssin negatious significat divisionem, ergo posit per: P aeqV vel p3aequ y v ad
poteso. Formulae autem hujus modi generales, magus
 ad 
opplicari
habent ld generali
senimi adque antlcoremata invenienda usus habent, magnam enim characteristica
Hinc cum parabola sis
vanquari proprie loquendo
ipsi potius triangula compelat, Curvarum
ut ex fabula patebit)
Hyperbola st prima recipiocarumu
ninc illas viri docti Parabolas,
vel paralo locides, has
vocant A A. P. Berthet v
e S. I. in omni studiorum genere,
tum vero in Geometria eximique licatum
Hyperbo loeidem cubicam Antiparabolem
vocabat, cum ejus proprotates
quasdam considerasset, et quod ratur ordiniatae
invemsset, de suo. Quoniam in ea
quadtata ordinatarum sunt.
in ratio  abscissarum recipioce
ut in parabola Conica directe
iepoter sabici Tabulm
Curva Analytica simplex eet
in qua est. vid pop.
numeros
sit vaeq. 2 et e aeq. 1. ex.
seneiti tier v aq. BV seu 
Yaeg. py. quae est aequatio
et V aeg. A.B. si fit et
alica inquari er

## Folio 154r — 00067993:0309
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 153v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000309.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 78 lines, status machine
vim habet ad jufandam mentem
definitionibus sumtas est
quoties commoda et ex ipsis rerum
Luva Analytica rationialisest, cujus aris ita sumi potest, ut sit ordinata
rationalis ad abscissam et parametros seu recta id est ut abscissa et
parametris in numeris datis, etiam ordinata in numeris haberi possit. Talis,
est _ Varabola A, C + C, C, s cujus vertex A, pro axe vero sumatur,
non AB, qua vulgo dicitur axis parabolae, sed AT, quae parabolam in vertice
tangit, ita ut ordinata AG sint , V er ordinatae DC sint Ny  latus
rectum vero p. ex natura parabolae est p pY aeq ut supra explicuimus
ergo yH  . Eodem modo si in Hy quadratum scil erit scilicet ad
idae
quadratum ordinata y aequalis quadrato ab abscista v, divisa per parametrum p.
Eodem modo si curva ( (1C) 2C (2C) sit Hyperbola et i alterntia ex Asymplotis
pro axe ordinatarum sumatur ordinata semper est rationalis. Nam ut supra diximus,
 est e et v est .. In circulo et Ellipsi impossibile est axem ita
assumi, ut ordinatae fiant rationales. Circulus
itaque et Ellipsis currarum rationalium numero
non sunt.
De caetero quoniam tamen curvae
rationales magnas habent prae caeteris commoditates, ideo tandem circulum
reduxi ad figeram rationalem aequipollentem, quod etsi infinitis praestare possim modis
elegi tamen simpliciorem unde ea mihi nata est quadratura Arichmetica,
quae infra exponetur. De caetero ex aequationis formp stontim agnosci
potest an curva siationatis secundum axem qui assumtus est, sit rationalis
nimirum, si aequatio ad eam formam reduci potest, ut alterutra indeterminatarum,
y vel V. si ad nullam ascendat potestatem; unde valor ejus pure invenori
potest, et sine ulla radicum extractione. Tales sunt omnees aequationes
in Tabula curvarum simplicium, quas lineis inclusas videtis, et vides, et
(aeterum spero Gemetras
item quae ad eas depressione reduti possunt.
hova quaedam nomina a me introducta, non stmprobaturos; neque enim, alia quod sciam,
extabant; et ve notiones novas, aut nova quadam ratione univer salius quam ante conceptas
sumtas, sine a nominibus explicare, paulo morosins definitionibus perpetuo substitutis,
res taediosa nimis taediosum nimiserat futurum. Denique quoniam scio
excellentes quosdam GGeometras dubitare, au Parabolae altiores, sint verae currae reales
ac Gyomcetricae, motu continuo descriptiles, ideor po excogitavi instrumentum quo omnes
unicum, cujus partibus simili tantum ratione multiplicatifis, omnes Parabo locide
rationales omnium graduum, cubica, quadrato quadratica; altioresque describt possint altioresque
in plano uno possint uno tractu describi, in quibus scilicet ordinatie sini. in
triplicata aut quaduplicata, au quintuplicata, ratione abscissarum, quod etiam
possintu in plano uno tractu delineari, quod foret organi Mesolabi genus a
Sed quoniam polerique alii d non dubitant quin curvae omnes generaliter ea rec ab  nomnihil ab hac loco alienum in dem posset
Carstesiano diversi, serviens ad inveniendas medias proportio nales quotcunque
instituso nostro aliera id pauto prolixius est, quam ut hic commode inseri possit; et aliunde generrm constat omne
et perique alii dt non dubiture quii omnes omnium  graduum pambolae verae sunt curvae,
idque ali multis aliis argumentis evinci potest, cum genealiter certum sit, omnes
curvas analyticas esse Geometricus, noichera descriptiles, demonstrationi supersodentum
putavi, quam plerique supervacuam pectarent. Paesertim cum vis quadraturae
Circuli Arictmeticae subsistat quae parabolarum quadratura nititur; subsistat,
esseo nec nisi per puncta non vero
etsi parabolae altiores tantum imaginariae
continuo tractu describi possent. Nam in eatum locum utar polygonis per omnia
puncta numero finita in inventa transeuntelus quod polygoaum, cam qu quae
semperque ostendam methodo prop. 6 et 7. errorem assignato quoris minorem,
adeq errorem quadraturae circuli Arithmeticae, quae a me affertur; quovis errore
Nunc ad Curvarum Analylicarum
erpignabile minorem, adeoque nullum esse
simplicium Tangentes generaliter exhibendas progredior, quanquam enim ut deinde
ad quadaturas mea methodo enitar. Taugentes anter s Targentes jam cujus modi
calculo nullo negotio sequuntur, ive methodum Fermatii de maximis et mminimis,
quanquam nesciam an id satis
fermatius, tunam
sive methodum tangentium Cartesii sequaris; certum est enim tramque esse probam, et generalem
Fermatiana, sed profundior Cartesiana, illa ex indivisibilibus, haet ex aequationibus duo
ere
A sie infunte parvis
si quis eas sciat recte
Ex uteaque aut alterutia multa egregia compendia quaedam compendia 
velit ab hoc loco aliena non exscribo. ex quibus eminent Methodus Hreddii de maximis
et minimis, et Methodus tongentrum Slusii, utqueqvelut ab lve loco aliera non exscriti
 cm pieritare aute tio u 
 cujus aequalio est:
E3. ag. v
mulum graduam curva
analyticas etiam
fice uno tractu descriptit
H vel spatios gradiformil

## Folio 154v — 00067993:0310
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 153r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000310.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 119 lines, status machine
o ubitemate
d Tinsmnte, qod et
postem diversa rutione demonstratum publicavit in Miscellaneis vir in his seudiis exelle
Renatur Francisus sensigs stusius, ideo et vero slusii demonstratio a caetero ejus
a reliquo ejus tractatu facile avelli potest, Ricciana sine rehquis troussii transscribi
non postit, ideo Themrematis quidem praepanatorii dem
nem ex Plusio sumsi,
reliquam tangentium, demonstrationem ex Riccio extribui., quod bona utriusque
venia futurum spero Verba dlali, haec sunt Miscellaneorum cap. 4.
Theorema autem hoc est: Si ieta secetur in duas partes in ratione
numeri ad numerum, productum
ex dignitatibus partium quaum dignitatibus
quaram e dignitatum dignides sunt endem numeri, fore pro hoc productum omniu
maxiarum psliu produdtorum
ex iisdem dignitatibus aliarum ejusdem magnitudinis portiomo
eandem magnisudinem
constituentium. ut si recta AB, secetur in puncto C in duas
me prortes quae fair adrt ut runad. 3.
cum vero meum non sit alicua prolixe trouscribere, aut cum nihil melius habeam,
transferendo corrumpere
satis erit ad eorum scripta remittere loctorem, qui
theorematis sequentis deminstrationem postulabit
Propositio Decima fertia
In Curva Analytica
cucim
eou
relatio inter orinatas et abscissas
rationis abscissanum secundum numerum
est ratio ordinatariem sit ad diqui
ponens digsnitatis secundum quem multiplicatae
si si ralio ordinatarum sit multi plicat
exportio aris inter tan.
et aboidinata tanc portio axpedtangentem et ordinatam erit ad abscissam, seu portionem curvae inter verticem
aus
ad exponenlem dionitatis abpisam
quonium subtrectio exponentis
notas divisionem per quam
titalem exponente affectam
abit si axem ta prious
un au quacirata namipe
t  10 t ad a 9 uit 1ad3
Et ordinatam , ut  ed ad cd Z- co ad Z 
Hujus theorematis demontratio ex tracitis a Riccio  Exercitatione Geometrica de
Maximis et minimis sumi potest. Quoniam vero nemo ita generaliter concapit,
explica no nondum ita ab eo ill non ita generaliter concepta, sed in duos
casus Paraboloeidum scilicet vel directarum, et Hyperbolocidum vel Reciprocarum
distributa ist, explic deiniti
Nimirum diximus omnie Curva an alyticaeoha simplice hac ae naturam
 ie 2B2aq
aeg. y unde posita V ordinata
id est erunt ordinutae ID, 2B inter se, in ratione multiplicata or abscissarum
secundum numerum exponentem ce
jam ergo Tangens ad curvam itque ducetur
sumatio abb in puncto +8. C. ita dicetur, idem enim  aliis omnibus
feri intelligemus:
Ex puncto 1C curvae AC 1CC3C. d in Axem A1B,B3B
demittatur cucatur Ordinata 1B. C, et ex pecucto 1B, versus punctum A sumatur
recta 1B. T. quae sit, ad rectam A1B ut - eo est
propositio recima tertia
seu si aequalio sit v eq y P- poita par
In Curva Analytica simplici, si  exponens dignitatis secundum quem multiplicata
est ratio ordinatarum, sit ad exponentem digniratis secundum quem multiplicata est.
ratio abscissarum Y ut numerus Z ad numerum e et ab ordinata versus vertice m
sumatur recta quae sit
illem  etiam ut _co ad C ab ejus terniu
usque exprenum curvae puncto cujus recta mjus rectae
extremum  ordinatae exticuo  curvat jungens, ibi in eo curvam tanget punctoad ordinatam
ad punctum, quod cura cura punt
Z. er (9) et Z1 e
acorepi e
Endo contia quam
sc g. v.
quod et inbadem figura
epu
iari
hic ex et WLbscissa Y abscissa, (erit (2IX IV aq 1V ~ co, seut 1H BC a
recta isue ocursum tangentis
et ordinatum intercepta, A
erit ad abscissam, A. B ut
Zcop B (∞) e Z+ (8)+C0
et misus c 
hise r3. eit cor aZt, 4
ne
pertmenti jungens, in eo curvam tanget. sumgens rrecta, curvam tanget.
Ades theoremat demen strata ex nota mothodis de cMaxinis et Minimis pendet, et
demonstratio ejus ex, doctissima Riccii exercitatione peti potest. sed quoniam Riccius
in duos casus partitus est ao propositionem, unum Parabolocidum seu directarum alterum
Hyperboloeidum seu reciprocarum, et vero cgo vero una regula comprehendi posse putari
exptided explicatione quadam opus habet enuntiatio. Nimirum aequatio generalis
Curvae naa Analyticae simplicis naturam explicans sit, ut supra jam terigi:
6 e pa aeq.  p porta A odmata B, et Bc ien
posita p. paranctio, y seu AB abscistsa, Y, seu BC, ordnata, ut ante patet exponentem ordina
seu y,  expondem esse C. sitsiam punctum oedinatae
Curvad 1C. Erqia puncto 1B, seu ab ordmata 1B. C. sumatur in axe versus A, recta AB, quae sit ab A. B
larum esse V, esse co, abscissarum
abscissam, ut co ad _C. et juncte D. C curvam tanget. Exemplis opus est. Sit parabola
V3 aeque y p. patet esse co aq3. et C aq 1s con epi
BiT ad A. B, ut 3 ad 1.. si contra fuisset v ag. pp func fuisset Zco aeq t. et Z C aeq3
cubica, ejus aequatio
e vp a V, vel vaeque  vel v’aeque y p Hfuisset c0 aeq. 1. et  e aeq. 3) - ( a9 - 2.
sive co- 2. (ad eoque co masor quam B.) positis e esset
+BAIF ad A. β et  ad d. Si aequatio v aque yrp.
oes er puntoru
Nec in reciprocis ulla est differentia, nisi quod in illis
exponentes dignitatum fient aliquando numeri negativi quod ita patet. sit curva aliqua ex Hyperbolam
ideoue ens 1B, D ad A1B ut 3 ad 2.
ecic, verbi gratia omnium prima nempe Apollb mmana sibe Conica. in curva scilicet (C) 2C(
e
dinata, 1B(1C) sit V abscissa et potentia Hyperbo
laesit quadralum a B. erit rectangulum sub A.B, et IB.C, aequale cnic quadrato seu _ Vy V aeqp
latere (quemaomodum praescnibio aequatio generalis, vu aeqy epost) fiae vaque e
el donstratis utee dursinn s emitito
e lite atu  g prooniemue aliquoties diri at Exporens negatus
versus verticem sumatur recta
quae sit ad abscissam, ut
id Z- C. erit perveniet illuc
ubi perveniet unde recta ad
punctum curuae ex quo ordinata
demissa est ducta, curvam

## Folio 155r — 00067993:0311
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 156v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 104 lines, status machine
exponente affectae. Ergo erit erit co nq 1. et ex - 1 ) et =e cut .
et cone erit 27 adeoque ut sit etiam 1B(1D) erit ad A1B, ut cd ad 1. id est ut 1. ad - q.
id est A B+ D. erit quidem aequalis ipsi AB A, sed sumetur in contrariam partem;
id est non ab 1B, versus A verticem, o nisi regrediendo; id est sumetur in partem
contrariam sed u contra . In quo quidem regula nostra non fallit; ea enim dixit
quidem 1 debere ab iB. sumi versus A, sed ita et monstrat ratio co ad e, sed
si ratio illa exhibent contraria signa, hoc ipsum erit, nipjo proguu secundum signum mino,
in effecta regressus erit. H quemadmodum cum qui plus debet quam habet dicirus inelligimus
bonu et haereditatem inte bona habere et societatem contruhere posse, et haeredem facere
posse dicent fureconsulti, tamassi si qui is qui minus nihilo habersi omnium bonorum
Sucretatem cum aliqua ineat bona sua conferendo non q
quae loquendi ratio nunc apud Analyticos recepta, id habeet commoditatis,
ut regularum numerum n memoriaeque onq minua
multos casus complecti licet. Si
loci tatientm mottas ma formula
aquatio esset
 aepe aeg. p3. 
forete a aeq 2. et = a  vel V ai , vel v aqe p 5 ert foret
1B(7) ad A1B, ut ut 2 ad = 1. id est foret illa hujus dupla sed etiam non ab 10 versus A sed
in contrariam partem sumta; si fuisset aequatio ad eandem. Hyperbolam cubicam,
Nota in casu, ultimae memorabilem admsimus par alogismum, nec facileu vitatu (sed ax prioris conjugat(sed axium conjugatorum curvaeque situ permatatu)
Vy aeq ph. fuisset 1BAT) dimi dia ipsius A1B. et hos casus sufficere
arbitrss ad caeteros omnes curvarum analiticarum simplicium, ope regulaae
prescriptae investigandos.
S Propositio DECLMA ZVAR TA
Definitio 
per reseitas a tangentibus
Si figura generans sit Analytica simples, etiam figura segmentorum mod suam dicto
ex ea generata erit analytica simplex, et q ejusdem speciei, et quidem
qe sun ad respondentes pribris respondente, repondentibus prioris
ordinatas habens priori proportionales, respondentes respondentibus; in ratione numeri in ratione numeriad
ad numerum, ut  Cd = e est ad es eadem qua in praecedenti literarum significatione
Demonstration.
id seu positis ordniatis V, abscissis. y et aequatione curvae, vuaeq
et absuparum; dao expdtnem odtua
Si curva et , C2 C3C sit analytica simplex, et ipsa AD in ordinata producta
ex axe conjugatae rectae AF per tangentes CD
proto resectae sient ordinatae, figurae segmentorum, tranglatae
abscindantur resecentur;
scibicet im ordinatas si opus est productas, ut constat ex   aentum ergo ostendendum
est has rectas AT,  ipsis quBC responden tibus ex modo esse proportionales, quo
propositio enuntiat. Id vero manifestum est. EsF Nam ob. Triangula 1b A, T
1B1B 1C, similia erit  A ad 1B, C, ut 1D A ad 18 1B. est autem 1D A
idem quod  1D , B - A 1B. est autem per praecedentem 1B1B ad A 1B ut (per aut ce tif
1d ad C. ergo erit 101B - A. B ad 1B, B, ut co- C ad e0, adeoque et A. F  vel 16.d ad 18. c. s
co- e ad co. Quod e ostendere propositum erat. Si cad dem casus
utuum res
ratiocinatio
dem calgulus habet locum in caeteriu casibus omnibus, sed, quia figura eos
Ven
Eadem
non suum
iisdem literis complecti potest,, os majoris perspicuratis causa separatim persequemur:
sumto nimiro suma Trec sunt scasus, unus quo tangens occurrit axi, ultra verticem,
ut in 1D. ita ut vertex A, sit inter ordinatam 1B et tangentis occursum 1D. et huic prium i fi
toue p praecedens patrocinatio manifeste accommodata est, alter quo punctum ,
cadet  ocursus tangentis, ut 17, cadit intra verticem A, et Bccursum ordinatae ic. G et tunc quaeritur recta
tertius quo occuisu langer resta  reusus ordmatae, ut 1B cadit inter A verticem, et
GB) occursum tangentis
secundum ita probabimus, AB ob Triangula similia 1TA.D,
 1Fr9rC (r  At.  ad 1GrC ut A.F ad 1 F,G, est aut em A, G AL  aeq. A1G  1rG
et  intervallum occursu tangentis et ordinatae, est ad A1G irva lum occursus ordinata
a vertice, se absoissam, sut eo ad C, posito  exprimere ordria num exponentem ordinatarum, ab
uno aequationis latere positarum, c exponentem abscissurum, per praeced. ergo A, G - 1G1T, sive A. Y
est ad 1T. G ut C- a ad C0 vel A,B ad 1G. C ad pr per (X) A1B ad 1G+C; ut
co a ut e = W ad Co. jam ut est AD T ad 171G, ita est A, B ad 1G1C.
(ob Tangula similia 1T. A, D. 1FG. C) ergo etiam A,D. erit ad 1G. C, ut C- co
ad co sive ut minus, 0 = e ad co.  id est  quod apud. Analyticos
signifficar esse quidem ad ut co-e ad ed, set sumendom esse  in contrariam partem,
quemadmodum figu erasserit sed sumendam esse in contrariam, s traus lineam ArAG
quoniam e villo fasi major quam co, adeoque A1 b cadere trans lineam AG,
certium casum sic conficiemus.
cum contra G 1C cadat cis ipsam.
H Quod alunde ex nota
Hyperbolae proxictate
Tat rangi d BC)
 quemadmodum additio
quantitatum negativaru
seu ut quidam vocant
radicum falsarum,
substractio est
consemsuoris de quasupia
ideni fore at si diceres
atam, t e. co seu
sed deberet est
alteram
ntplumasit ) ec Recipions
Tracere - E
erit resecta
A(1) ad ordinatam,
u1 E ad
ad c0. unde
Eospati fimit
mutus. sed
haec cuilibet
analytices pere
numeros tantum literi
substituenti statim
pate bunt, mobis mon
unalytico regulam gene
lem condere satis fuit
Exemptis autem non in
prii casus in reliqua
ratiocima

## Folio 155v — 00067993:0312
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 156r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 93 lines, status machine
1 de tmeus
1d, semartundum
a tangens p
i  nar  B
lersaus S
iPiC LAS
propositio decima tertia
in Curva Analytica simplici portio inter tangentis et ordinotae occurue
intercepta, est ad abscissam, ut in aequatione, curvae un relationem ad axem explicante
diquitatium apsis proportionalium ab ordadat abscissis, nen e t
autem vocant
ignitatem
vantitatem ipsam aut et
tungens est ab ordinata
Hoc Theorema ex d
is vertice s choliu
adiam puce contiacia
Hujus. Deu theorematis demonstratio ex doctissima Riccii
H excrecitatione de Maxinus et miminis pete potest. Nobis id explicare
hoc loco suffecerit:  sit curva sinalus
1C. e. CC e 1rens sit curva renalytica simplex a1C1CDC. Axis  opos est productus AB
B+2. 5+ P..
8 + 2: G + 2 1 co: e
eB + eB ( coG + co S- c0 2.
fig. T. cui occurrunt tangentes CD in punctis,  ajo ipsam 1B, d esse ad ipsam
1B A, ut est exponens dignitatis ordnatomi ad coponentem dignitatis absissam
Nempe si curva sit Parabola et  C, sint ut abscissae ipsae AB, exponens
ordinatarum erit 2. abscissarum 1. adeoque BB ipsius ABA dupla si inverso
modo sum in parabola Cubica erit tripla in quadrato quadintica quadruplas
et 0G aos e in Semicubicali, ubi cubi ordinatarmm sunt ut abscissarum quadr
al CB + CQ1 GC0 + eco
et eB-Gc0.  2c0- 
ed. . A
(de ju supra..
Aquod ex ipsa harum
sinamr constitutione
1.B1 D, ad 1BA ut 3 ad 2.
erit
coniderem
Si easdem figuras inverso assmamus odo
et in fig.... fermamus pro axc; axem praecedentis conjugatum, erunt
in Parabola ordinatae, in subduplicata ratione abscissorum, seu ab ordinatae
erunt ut abscissarum  quadrata; in cubi unde exponentes earum erunt ut 1. ad L
adeoque erit 18. D dimidrie ipsius A1B., et in parabola cubica, triens, in semicubicae
ut 2 ad 3
denique in fius. Si figura sit ex reciprocarum
numero, erit idem obtinebit, et in hoc erit discrimen, quod ipsa- B punctum D non
ordinatae sunt ix reciproce in ratione abscissarum, exponbrtes erunt ut 1.
ad 1. seu aequales adeoque A1B aeq. 1BB. Si esset Hyperbola bica, foret
cubi quadrata abscissurum ordinatarum ut abscissae, vel (cuna invense resumtos
quadrata abscissarum ut ordinatae, priore ca casa AIB iu 10. D erit dupla,
versus ord a puncto 1B versus A verticem, sed in contrariam stsmetur+
proportio autem easdema servabit leges ut in hyperbola simplici ubi
posteriore dimidia ipsius A, B.
A aequatio est:  e B o ge coC. quaritur SN. seu  y2, p ad
PII A ABCA. ABCA + ACA + AB CG
AB, y. B Dri B
ser MBC M
AN AC N ABDN, 2M AC M
tausus  BD est ad BC:: ∞ - e ad Co.
NA B D NrisoD
sve Mqem M
cone. Ergo EmpCM
En A BCm e macm
mancm
na Bem - ABC
uca. 116. 8 li  Bo B am.  D aB
c a
iguram a lyticam simplicem quamlibet Quadrare.
sit Aris ordinctarum portio quaelibet, ut 1 1C282B∞C, C a
1B 2B, duabus ordinatis
AAIC L .C. per prop. 2. q
IvIBeD.D : 1C18282CL. C i:  co - e in 0, quia singulae ordinatae ad singulat
AN, 1d 1B2B 2 DVD aeq
Ergo 2Ai Ct 2C
AICLC4
aq
nenpe 10.1
ici qdertiC.: c - e: a
AG
Ergo diff inter 1C1B+BC, C + A1B1C, et ACB. C   ad 1C1B. B EC :: ( - C d, 10
Ergo seu diss inter  (D) + A. B  et RBC
aeq. () - e
jam M AC M + ABC,
portione directicis  (sive axis opdinatarum
tos procedar
etBZBICIC
C1BLBICE
ss preca
ie sre ut ae eadio
Engp PEB
sed methodo quae possit esse universalis
4t q

## Folio 156r — 00067993:0313
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 155v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 98 lines, status machine
Si Curva Clus gennaus sit analysica simplex; etiam sigura refectarum
 uodem speciei, ordinatas
e tomum oreduntarum summa sent aream areae poporti
habens quae sint  ordinatas prioris  proportionales ut numerus ad
panti   npa
n exsonentem dignitates ordinatae. sive as disferntia
tcndi crmpicundu ad teru
In fig .... vel ... . vel ... - generantis figurae curva 1C2C, figurae resectarum
F1D2D. ajo perpetuo esse ordinatem ad curvam resfigurae resectarum, ad 1B. C,
respondentem ordinatam figurae generantis, ut propositio enuntiat. Patet ex defin. figurae
rosctarum s B1D aequolem L. T. suffecerit ergo et quamlibet BD cuilibet A,
suffecerit ergo probari quamlibet AT, esse ad respo ut A esse ad responsentem BD
n ut nempe A1T, ad 1B, C, ut dicum est. Hoc ita patet. triangula 18A, 7
et 181B. C, similia sunt, ent et A1T ad 1B. C, ut 18A, ad 1D,B. est autem in
16 1B et A1B;, quae
fig..... vel.... su in directis, 1DA, differentia inter
sunt(per prop. praeced.) sunt inter se ut exponens ordinatarum co, ad exponentem
abscissarum quem vocabimus e, ergo 1d A erit ad 1D1B, ut differentia inter co et e. id est F..) ut c B.
ad co. In Die Recippocis seu fius.... YiD A est summa 161B et A1B
ergo erit ad 181B, ut _ summa ex co et e, ad co. quod asserebatur
Iin fig. P. si 1C2C sit parabolatoni D 2D, eui alia parabola Conice, ordinatus tantm 13. D
proposito decima quara
Scholium
habens in fig. A: ordinatis prioris, 1B. C dimidias, in figum aequales. Si curva fuisset
figura
 ine Co
d
purabola cubica, in fig.... forent _ BD trientes ipsurum BC duae tertiae ipsarum BC;
et inverso modo in fig. BD duptae Nam forent cubi a BC ut oedeenta ipsee AB,
ergo cd erit 3. et e erit a 1. et BD ad BC, ut 3 1 seu ut 2. ad csi
co- e, ad co, seu ut 2 ad 3.  si in fig.  inverso modo _ ordinatae BC, ut cubi
ab AB, ert C0, 1. et e, 3. Et e - co ad co, erit ut 2 ad 1. adeoque ipsae BD
duplae ipsarum BC.  In Reciprocis fig. .. si sit curva 1CEC Hyperbola Conica
cum ordinatae sint proportionales abscissis, reciproce, erunt epo c, 1. et e, 1.
quorum summa 10 + C, eris 2. unde ipsae BD dupeae BC ipsarum BC. Eodem modo Hyperbolocidibus altioribus ratiocinari
Corollar:
licet, nam si ordinatae sint ut quadrata abscissar
eritur BD ad erit BD ad suam BC, ut B a
sint aistrer
 53
Iisdem positis. Summa quoque resectarum, seu orca figurae resectarum, figuro generantis aream
smmum ordinatarum seu aream, figerae ejus summam, ut eodem modo erit.
scilicet  MA, BCM eut  6 1B28- D, D erit ad figuiam H1C 1B2B2C1C
ut 1B+D ad iDiC, quia serigne seu ut diff vel summa numerorum lo, e, ad co, quia enim
sigulae respondentes eo se habent modo e ut propositio ostendit summae eodem
modo E habebunt, adc summae ncquam lincarum, id est fig areae, ex methode
ide Patet autem re in summam collecta incipiendo a vertice
indivisibilium, ad formam prop. 6. is demonstrata. fore AB. D10. N ad A. B2 C. 4C a ut fg B. cone
iq ulo at minu sis propositio degima quinta.
a in reciprocsm
in figura Anatus poctiones zonae super eadem curqu
Portianes conjugatae ad curvam analytiscam, sunt inter se,
portio figurae Analyticae F  ordinatis axe et comprehensa, est ad
portionem conjugatam  ordinatis conjugatis) eodem curvaet axe conjugato
contentam, ut exponens potentia dignitatum ordinatarum ad exponentem dignitatum
ordinatarum conjugatarum id est abscissarum, proportionalia priori proportionalis
id est portio 1 1C1B +BEC1C est ad portionem 1C 1C contenta ordinatis
1B1C, =B2C axisportione 1B2B, et arcu purvae 1C2C, est ad portionem conjugatam,
1C1G2G 2C1C, ordinatis conjugatis 1G1F G2C (quae abscissis AIB, A2B aequales in fig. ... minutum
sint) axis conjugati portione 1G2G, et eodem, quo prius arcu curvae, 1(+C contentam, ut cd ad e seu
ut exponentes dignita ilue ordiatarum ad exponentem dignitatis abscissaru ordinatarum
proportionales sunt ipsis BC vel AB abscissis, directe vel reciproce:
int rescat. Nam 1D + BLB +D 1d est ad figuram analytium svc primum demonstrabimus
aresectam
secundum quas ipsae BC
inde a vertice, si puncta 1B. rC. 1G.) intellegantur incidere cum puncto punctum 1B
intelligacur intidere in punctum A. et d figuram d
conjugatam A M2G2C, CM, eos quo dactum esi
B2C, CM esse ad figuram
modo. Quod ita, demonstratur:
B D eDN est ad A figura resectarum A2 B Di DN est ad analyticam eu  eantem A2B2CICM
ut figura resectarum est ad Aua lylisam simpsicem Ut Hys coe 4. ad co per prop. 19. Coroll.
A2BZ, DID. N
en per prope
omn
u ves dores
CDA. HCiE M, ed inigulum A. B.D nempe in fius ...
prese sa  emoine  teeiscrentia in
  6 
Prop. XV.
in sigui
impl en
sub arcu curvae et duabus
rectis eju extrema
vertici jungentibus
est ad quadrilineum
eodem arcu duabus
ordinatis, et axet
so
perscar
urco sitiont expremiuus
preaspatue
adeoque ex sigura 1D1B2BZ
d BceoC erit
Hac proinde et sigua ce
titi, areae conflatu
 seu sunt proportiones
fis. corc

## Folio 156v — 00067993:0314
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 155r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 88 lines, status machine
Ergo fig...: dugl + 2 -, 2Y est ad D
- 2 + 27
Ut ad +C0 P. ad cd
=co+ c
AFollutur ubique ratio aequalitatis, vel illine O ad O, hinc cd ad co
fiet fig .... DD = 2 f
-9. +. 8
+9 - = Y
94 2 ust
figA. CrCMA 4
ad D ut
id est stve
- + 14
ad D) ut
L C ad co
vel explicando rursus literaes signa 8. 3. 9.
2. seu dosi mnino stane
fig.... - A. BrCi CM 4+ Netang. N. BL C 2G id est ubique
. = A2 BiCrCM + rectang. M2BIC, LG 
.... 4 A.BL C, CM - rectanus. A2BLC-G MaGiCieM
eit ad Ap CiCM ut e ad l0
infinitum ab A2B 2C1CM, ab eo non nisi quantitate finita differens A2B2C, differens
 numeus ad numerum, adeoque ipsum utrumque erit finitum. Duo Nam si duo infinita finita
duae longitudine infinita; quantitates finitam habentes differentiam, sint ut numen id numer
E sex finitam habeant rationem psa e erunt finita. Sed hoc in Sperbola et altentra
semper hyperboloei dum parte scimus esse absurium. Quae ergo ratio erroris. Ea vero
haec est quod ducendi cerat recta Ah, adeoque omisimus rectangulno AM2n A cujus
basis A M; infinita aetindo infinite parva quodque  Hypertola e acte facit
ommuni quantiuatem finitam  aequalem spatio finito seu vifferentia. A2B. 2C: qua
proinde destmitur; sit in aliis facit vanlitatem plusquam infinitam adeoque
x in a. posita xinfiniti parva, fit a et manet quansitas
 infinita. itaque de inlegro cassument raticinatio est, ee quidem
in quantitatibus  finitis, ne infinita nos turbent
 seuper prop. 3 (s1 CA2C1C
(111) seu Ergo per 1. .
(1V) fiet.
(V) jam
hoc enim posito foret spatium fienitum infiniturus. AM.G.C, CM ad aliud spatium
quia Ducendum v. y
cupup
 E V A C - V enac
12D -  ad D uapeo - e ad co
ad ut
id est in asi explicando, t D er )
onittendo atrobique
et anferendo
 rationem aequa
litatis, illie D ad D, hic  ad co
am si ti e ultinta ab andaligius
D+D= 28 ad D unoe ad ed auferas
illinc D adq, hinc co ad ed, restabit
id ut ut -
.. -1C, B2B. Ci ea Yrinas ABiC, + trianus A B2C adICiBBrCient e ada ita de toneris ve
Iam caBC
lad Dute nco
Et ita deloteis reciquis duobus nisi
aumm is non opus umtatione signo
pertionem conjugatam
+Ptuianus settrc, vel rectaru. A2BCCLG 2 faa
1C1G2G2C1C
Ergo inV. substituendo valem portionem conjogatam pro ejus valore in V invento
fiet.4+C1G2G el
...  erGuGrC. C =Triang A1CC 1CC ut eadao
vel vel 1C1G2G2C, C ad. H est BB2CIC + Trianu AIBIC
Et Ss, E
Erit ordinatae ad partem hrcana u
in tangentem
Ordinte
Q. E. D.
ec
redo AB
Triterc Concaro Parabo loeiduem rationalium, ex curra scilicet
terticis demissaum, series haec est: valores hintun; valor ie est:
cubicam
a 13) AB
_ AP
Quadrato quadraticam Surdesolidam Quadrato cubiam
 Ae erc
in exengolum sut pluae oedinntae sumamus cubicum, (eodem enim modo idem in caeteris demonstrabitur.
Ponumus id de quo saagitur non esse verum: Et sumamus duus ordinatas 1B.C, 2B .C, ad curvari
quandam, talis naturae, sut ut assumto latere recto AP, et abscissis A1B, A2 B, sint sit.
13. C aq. B AIB. et 2B. C aequal. a () A2B, utique eruet inter se ordimatae Hici Bic
17 A P. 3 inter se ut cubi A1B, A~ B.
id est ex definitione erunt ad Parabolam cubicam. Contra Eadem antem sumto latere recto po
et AB ut A A1BEB non nisi unica parabola Cubica est, cum alia re, quam latert recto
cum nulla aliare dissinguantur. Ergo vicissim in on Parabola cubica cum
odanta B vrdinuta BC abscissa et sivi si vero. Nola potentt
et axc distinusvuntur

## Folio 157r — 00067993:0315
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 158v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 94 lines, status machine
Propope Ducus  ebrN CA
in sgura Analytica simplice dupum Treliacum sectoris sive Tulinei duplicntum
subarcu curva, et duabus rectis A.C, A2C ejus extrema vertici jungentibus comprehens, atad Zonam, 1C1B1B. C, C.
sive quadrilineum  arcu curvae eodem, duabus ordina tit  2 Fs C, et axis partione 182B contentum,
ut summa in directis, aexponentium dignitates ordinatae et abseissae summa in directis
eodem erit modo, quem propositione praecedenti enuntiavimus:
asector
Nam luptii ator
id est dypl1 C ArCiC erit ad 1C 1B2 B1C1C, ut.
quod ita facile demonstratur. oudinata sigurae resectarum 1B cd est ad odinatam espondentem
figurae auplyti 1BrD est ad 1B1C; item 2B2D ad 2B. C eo quo diximus modo, ergo et summa
ommdemque est ratio in caeteris; per prop. 14. ergo et summa omnium 1B+ D BD, seu si ad
summam omnium , id est (methodo indivisibilium, ad modum prop. 6. demonstrata) area
sive Zbna 1b1B2 B1 D, D, ad ream sovi onam id est per prop. 7. duplum Trilineum 1CA3 C1C.
ad aream HC+ 1C1BLBCF.C, eodem modo erit. Quod asserebatur.
Propositio Decima sexta
In figura Analytioa simplice zona, cordinatis curva et axe comprehensa
est ad Zonam conjugatam, id est ordinatis conjugatis, eodem arcu, et axe
toms conjugato comprehensam, ut
exponens dignitatum ab ordinatis ad exponentem
dignitatum proportionaliam ab ordinatis conjugatis id est ab. absissi tos expricmms
Suoi t  id est +C. B) gona  Eondritenta 1C 12 B. CA C ancu ordinatis 1re   explicuimus
portione aris est ad conjugatam Zonam conjugatan e+G2G2CiC, t C ladeeC
arm eodem quo prior 1CaC, aordinatis conjugatis 1G1C, 2G2C, (quae abscissis prioris, A. B, A.B L
aequales sunt) et 1G2G portione axis conjugari AG comprehensam, ut c ad e.
Nam per praecedentem sector 1C A2C, C_ est ad Zonam 1C 182B2C1C ut
differentia ipsarum coreu e in directis, summa in reciprocit, est ad co. Ergo idem
Eodemque modo idem dupl sestor est ad honam conjugatam 1C. GG1CC, est.
ut differentia   et int in directis, summa in reciprocis, est ad e. Nam
par ratio est apis enim quia eligere possumus quem axium, quasve ordinatarum
velimus, tantumque quae antea erant ordinatae BC, nunc fiunt abscissae AG,
et quae antea eram abscissae AB, nuncaofima ordinatae GC, in adeoque tantum in locum
ipsius co substituenda est exet contra. Unde terminus rationis, antecedens mimet,
nempe eadem est summa vel diffecent ia ipsarum co et 4, quae ipsarum C et co.
Cum ergo duplus sector sit ad Zonam, ut summa vel differentia ipsarum ea et e est adico,
et idem sit ad Zonam conjugatam, ut summa vel differentia ipsarum eet cosid est ipsmnrurs
ipsarum cd et e est ad ee esit hona, ad a zonam conjugatam, ut cd ad e 
Hanc propositionem, ideo adjiciendam patavi, quoniam facile Anet sdam simplcitatem
memoria teneri potest et ob generalitatem, omnibiis rarvis analyticis memorabilem
credidi, tum ob simplicitatem epressionis, quia facile memoria teneri potest; tum obi
usus generalitalim quia in omnibus curvis analyticis simplicibus, eodem modo componitur
Ude qui eam tenet, statim quadaturam fegiae proposita ex ea calculo investigare
potest. Ut in Paralula Sigu C19berC ost ut Z ad 16.G19 neiC it
nam ipsam BC quadrata, id est dignisates exponentem habentest. sum
 ut abscissae AB
diguitates exponentem habentes 1. Ergo. Sed nos mux ra ineamoirem theoremata
dabimus, nunc propositionem exemplis applicare suffecerit
in fig.... sit curva, a
parabola Conicas patet esse quadrata apsarum Beutnis seu dignitates ordinata quarum exponens est 2.
ad ut orden absci ipsas AB ves GC seu ut earam digsnitates qu exponeulem habentes 1.
Ergo etit Zona 1C102B2CC ad 1C, G2G2F 1C, ab 2. ad 1. si in fig.. ubi 1
omnia inverse sumuntur, intellius atur etiam esse parabola conica, erit ut e ad 2.. Ita
Pio numeris. 1. 2 in parabolat Cubica substitemus 1. e in semicubicali, in qua
ordinatarum quadracta, sunt ut cubi abscissarum sive ordinatarum conjugatarum
vel contra; pro 1. 2. substitnemus  2. 3
In ifigdem si euva sit Hy prbola
Conica ubi ordinatae sunt ut abscissae recipioce adeoque exponentes at 1. erunt
lonae directa et conjugata, aquales, quod adeo verum esse coustat, ut sunt ntiibola Bertnetiana
sibi similes et congruentes. Si sit sit Hyperboboeides proxime superior, in quae.
quadrata ordinatarum sunt ut abscissae reciproce, sive Anti Parabola Berthetiana,
de qua supra, utiqe e utique ut in parabola, zona zonae conjugatae dupla pouae dircto ciumus e
vel subdupla erit Corollarians.
C1P= C, C quadratura Vommus voomus hoc bilineum P. tomni 
pate esse ex pro dener seu fignum vocehimus a
 est ad BO _  R id est est ad C id est
id est sine aPe
te tu pi
125. vocemus G. et rectangulum ten
R. corjus a  Ex propositione
 B. P ad p+ G. uti co ad
icerti
cngsims B in direci, etl. Bu Bives
corol. 2. Z00 hilinei rCga Cqua
ratum zouae directae, tere
codem liurarum sensus vaau
Caeque X+G. e intert sst cordet
praeced. Paq  eB c. erit
C aq eB +15BCdque vator
habetur sive quadratura zonae
aatur aia durectae cemncae
R N9 R ad C ut coade. ergo
en aq. ge e Raq
A ag aco P + 1 10G + seo G
P: Quadisitura Trihari Birecti Cx.CrC
suo praeredenetm cju
e
ea
e
eraniatum Jouae diecta, e
eot
ique
reminatarum quadinturae
elegantus in eam remtero
mrtam  speti

## Folio 157v — 00067993:0316
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 158r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000316.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 105 lines, status machine
Propositio decima oeporma
minant cxinca noo e a. na vel omium  nemsenter
conicam (curvilineum
In qualibet Hyper boloeide, praeter carimam sen sipsam Hyperbolam spatium
in finitae longitudinis a et unam asusmptotor ad unam asymploton ess in finitum
ad alteram finitum. Infinitum ad illam quae a quamnelatae ordinatae
demissae ordinatae exponealem habent exponentet abscrssa intnorer proportionaliem
ab abscissis minorem; finitum sin mujorem habeatio. efinitum erit
natium infinitur intelligo  a 1CC, cum ipsa AoB infinite parva
s, tunc enim ipsa eBoC est infinite longa intelligetur; Nam quoniam A1B
A2B ipsarum habent rati Nam cum scper Nam MB ad Arb ratio finita, ad AoB
infinite parvam, es habent rationem quam infini omni assignatali majorem, seu
quam finitumo infinitum ad finitum, ergo et potentia illius ad potentiam similem hruius
ham ut horum potentiae Aet AAB ad ABB vel potentiae ab ipsis, ita reciroce potentia
aliqua aer ab A+ AB a aboC ad potentiam aliquam ab P 1B1C, vel. Ergo etiam vel
ipsa _oBa. ad ipsam IBIC. Ergo etiam etiam ut infinitum ad finitum. Jam si potentio
similes inter se sint ulinfinitum ad finitum, ipsae lineae eodem erunt modo etiam ut
ifinitum ad finitum semper ergo exud erit aBoc ad ipsem 1B+C ut infinitum ad finitum
cumque hae sit infinita finita illa eut infinita. Et quoniam Et quoniam ab
utro sive in axem directum, nihil refert in quemum axium conjugatorum, duantur ducantur
ordinata semper ipsae vel earum potentiae abscissis vel earum potentiis, reciprocae
sunt ideo semper abscissa sumta infinite parva, ordinata eris infinita. Itaque
omnis Hyperoelocides utranque partem utrumque axium habet asemptoton
Ajo in eam spatium lons c vel quod idem est infinito
ab hinc intervallo occurrentem. Posito ergo punctum  1B nfntte parva distantia innfinise
ive non concurrentem
parva abesse a puncto A. rectamue  ab uB versus cuvam ductaim infinitu
hinc intervallo
occurtere curvae in 1C, pen rectam n esse infinitam, aju spatiumC.C
foreliterminatum recta longitudame ntinft
et futis rectiae finitis
AB s curma long itidem infinita CoC
longitudine fiitum, eo casu, quem etiat
1B+B, 2B2C:), fprop.
propositio secus infinitum. Nam per praecedentem
fuit. P0BABdC est ad oCoB +BCoC, seu idem spatium infinita
inpuru  pte. M
GeC est ad id est b0coC+ restem
bnsersnfu ohoC  baseos infinite longae 6b+G, ut numerus ad numerums, ergo inaequalem, exponens
scilicet abscissae ad exponentem ordinatae (qui non nisi in Hyperbora Conica, jam exolusa
si ilfiditur.
d+ D est ad + x ut
aequales sunt:) itaque si rectangulum oGoca G est
eut etiam spatium ocBtCsC quantitas finita. Quod fic osdend
onumerus aequalis ad ad alium inaequalem, seu ut e ad c0. at  est infinita, D finitae est, quod si
ergo et e finita est, non potest utique fimitarum D vel Z additio ad eandem infinitam facere
duas summas quarumnta infinitas quarum una alteriusn dutala vel tris la sit sit Nam si posset
Nam si posse
facere aatiquen vel aliter et ut numerus ad numerum
una anitiore a majore sublata restaret ad huc infinitum, aequale scilicet minor aut ejus
et verd si O + D, auferatur aberq
pars, duplum triptimuve, aut pars tertio quartave;
vel ni contra restat finitum scilicet D= Y vel P= P. qua Ergo si 8 sit finitum O etiam
erit finitum. Contra si _ e sit infinitum; reli maq infum infinitum, etiam C. Num
ert infinitum Nam si  esse fi finitum, foret etiam O+ D finitum (quia D finitum), ergo
fim at O+ e infinitum, qua 8 infinitum, ergo O+ D finitum ad B+ 8 infinitum,
finisam habereat rationem ne igumenus ad numerurm, ntfinitiu
rectanusn ut sciamus an spatium B+ 8 sit infinitum, sufficit sci vel finitum, sufficit
ut sciamus an spatium Y. sit finitum vel infinitum sit spatium  magnitudine
cirite paria, GoC, et
Spatium e, seu rectanguludm G0CBC, contentum subu
infinite longa; sBo oGG. addamus hnic rectauus atque, rectangulum finitum Gt
P.G A0B. Manebis finitum vel infinitum; producetur rectangulum quod A0 BoG0G quod
Rectangulum AoB. CoG est
ad huc erir finitum vel infuntum, si modo prius tale 
ia rectangulum A C1G in couposita ratione Ad ad AiB et 0boC ad 1b.C et Af
ex matura curve C ob ad AiB, pst ad est de 1B, C ad BoC posita
Si Ricolangulum dub Alssin  AoB ad A1B, ub  B1C ad  oboc, adeoque ratio rectungulorum supra
ut hactenus
propositio serarata pueit
major est oners ab
dictorum composita erit ex rationebus, i ad Y0boc et 0BoC ad 1B.C sive
ut oBoC multiolin  BIC ad  iB e multipl. in Yoboc
i erempse unius curvae, quod ad
examinare suffecerit, quod ut clarius fiat facien
caetera applicare facile. Vit. sit ergo curva talis ut Quadrata ordinatarum, sint
reciproce ut obscissae  vel ut ordinatae conjugatae; vel contra. et primum ponamus ad
axem tive sumploton AB demissas ordinatas, esse  BC esse ut quadiat a ipsarum
DoB oC ad 1B1C, ut A0 quad. AeB ad quad A0B. eris
AB  revistroce, sive esse
rectangulum Porro. Rectangulum AoBo CoG est ad rectangulum AIBiC, G in ratione
exstationibus Aobad i1B, er oBoC ad 1B. C, et sivi  Ergo rectanus. illud erit
ad hoc ut A.B ad AoB, id est ut quantitas finita ad infinite parvam sive ut infinitum ad
vel quad A, B ad quad AoB
A11B, quad AoB quad AoB composita
ofinitum. Rectangulum ergo autem sterius finitum est, ergo pa infinitum ejus, adeoque
et multo maro spatium eo majus
quad otoc, 1d. C copputar slatum O+g, et spatum qud eo soe a c0B.
oC0G A1BICOC infinitum erit. idemue eveniet quoties tunratio absis exponens
major erit quam exponens ordinatarum.
Si vero dontra pit eadem unda iso
Auti parabolica laverso modo sumta intelligatur, et sint sclicet quadrata ordinatarum ut
abscissae reciprore, sive quadr. oBoc ad quadr. ibic, ut A. B ad AoB, eodem plane modo ratiacina.
ven neniga Rectangulum A. Bo CoG est ad rectanus. MB. C. G in ratione composita ex rationibus. A
admone
insimitum ats infinite
uoum intelligam.
( vtlo ajissicifinit
ad Hypeboloeidem infinita
est quantitas infinita cum
a infinite parva, et ordinata
absussarm quam exionens dignita-
tum ordulatarum ipsis prrportiona
AoB, quad AB
n quad iBic, otoc

## Folio 158r — 00067993:0317
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 157v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000317.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 90 lines, status machine
B ad ArBpt soBoC ad 181C, q. in est in ratione recsae Bi1C ad rectam oboc infinitam
 qua bua puctid e Ergo rectangulum A cu hoc entiut finitum ad infinitum, hoc autem fintum
seud audem infinite paroum est pud est, erjosculicet rectangulum istrerus, ficitum est ergo illud, mempe
et quicquid aitem ad finitum rationem habet ut  ad rectanus AIB. CiG, rationem habet
quam aliqud finitum
reritum ergo Rectangulum AB A BoCoG infinite
parvum erit, ergo spatum   oC oB 1b. CoC erit finitum, adeoque et spatium 9CG at 1B. CoC
quod ipsum quantitate infinite darva exdit, rectangulo scilicet AoBoCoG ex cedit.
finitum erit. Idemque eveniet, quotrescunque exponens
exponens abscissarum. Cumque in eadem cuna
ordinatarum major et quam
e ad unum expolentem unam
asyaptoton majorem quam abscssae, id est ordinata ad aliam asymp ordinatae
ad unam asymatoton fiant abscissae ad alteram et contra et nc ad unam asymptolon
exponenfiitus ordinutarum major sit quam abscissarum; ad aliam asgmptotem erit minor
excepta Hyperbola, prima sive Conica, ubi idem est utrobique) ideo ad alium Asymatotoque
eris minor. adeoque ex epta Hyperleota Conica, recta ad unar spatium ad Asymplotous
eiit finitum ad aliam inffinitum ea conditione, quae in gropositione asserebatur.
si quansites ccta quantitate fnita, ad quantitatem scipsam auctam
Si  + B ad F rationem habeat inaequalitatis finitam, sitque sintque D et
 finitae erit et  finita. Quod si  alterntra  ipsarum D vel  infinita sit,
etiam C insinita erit.
propt. XVII.
si V+ X ad V + Z rationem habeat inaequalitatis finitam, suntque  er Y
X et Z finitae, erunt te erit et V finita; sin quod si alterutia
ipsarum, X vel Z sit infinita, etiam V infinita cut.
Prior pars ita probature, ponatur Vesse infinitus erit quoque V+ X infinita,
itemque V+ Z infinita; Porro siu si infinitum aus, et ex hypothesi unjus ad alterum
ratio est finita jam si infinitum minus a majore ad ipsum rationem finitam versi gratia
duplam triplam, vel ut ad sesquialteram, aliamve quamcunque habente, subtrahatur, restabit
infinitum; itaque si VA Z minor,  ab V+ X majore subtrahatur, pestabit vel contra
restabis restare deberet X- Z infinitas at ea ex hypothesi finita est. Ergo V. infinita non est.
Posterior pars ita constabit: si V esset finita, et Z verbi gratia infinita, X finila
foret V+ X finita, at V+ Z infinita q itaque finitum ad infinitum, ratio nem habebit
finitam, et vid est absurdum. (supposuimus enm V+ X ud V + Z rationem habere finitam) quod
est absurdum. Ergo posteriore casu V necessario infinita erit
Scholium ad prop
libener hanc montemplationem perseculus sum quia specimon exhibetetde
circa ratiocinm de infinito; ostenditus non semper ad oex conside partium finitarum
perptuo absciparum proprietate quadam ad totius infiniti spatii consera proprietatem
posse prosiliri. Ut hoc loco, in hyperbola conica posset aliquis ita catiocinari:
11B2B2C1C aeq. 1C 162G L.C 1C; e 2 o B oC oB, B, C0C a9. 660G1G. 6o
sponaendo haec semper finita esse) et ita semper quodlibes ospatium directum
seu hazontale, transoeiso seu sterpendicumi in infinitum
Et omnia hori ontalia
seu duecta in infinitum complent spatium Cib Ae et  iscougata
Ergo hic infinitum priori
aequale erit totum pars toti. Et in aliis Hyperbolavidibus ubi semper concluderetur abindum
sive perpurdiculalia complent spatiumt.G Metc. CgC.
simili argumento spatium asymptot et curo comprsetensum infmnite longum Tosse
xagnitudine frnitum  quod absurdum est est. Sed qui ea quam adhibui cantione
utitur, non facile a ratiorinatidob crca indivisibilia atque infinita falletur.
Nam  C1B2 B C+C  exempli causa em Hyperboloeide cutia post conidum proxima sen Antiparabolas
si ordinatae BC, sint ut abscissiam AB recisb quadrata, reciponae; erit per prop. 16. et B. BEC,C
dimidium ipsius 1C2G2C, C; eodem modo oC 0B1B, CoC  dimidium ipsis oc05.G1CoC (ponendo
hoc semper finita esse) et ita semper quo d lobet cujus diectum cujus libet cominati dimidium
omnibus in infinitum
erit ergo spatium infinitum 1C2BA M etc .C 2C completum ab 
sumtis; aequabit ert dimidium spatii 2C aG Mesue 1C C completi ab a conjugatis
Eodem modo in aliis olligetur totum partis suae trienlenant
Eleganti argumento, quam lubrica sit in his ratiocinatio circa
omnibus; totum partis.
infinita, nisi setve demonstratonis severae sila regatur.
Propositio decima nona
r Portionis rectilinem epplese t compl d magntuda
axe Figurae Analytieae cuu simplicis scompletae, exceptitum sampliassims; simu ul
oporum aerum aebidanati
et Hy porbola, in quibus ordinatarum et abstissarum e dignitatum proportio naltuqu pliliiiie aea pnfinitis
Quadratura
abscissis exponentes aequale
aus Triangulo sclicet et Hyperbole Conica
vertiae sumta axe, curva ecerdinatis quanum una per verticem
transit, aut in eo evanesdit, composihenta comfcleta,
est. Figura Analytica
Regula audem haec est
figura est analytica ampler completur qualem diesiectangulum sub altitudine
d est maxina abscissaes
sii
absistae et ordinatae, est ad eoponentem
smra exponent in dignitates sproportum
malis nunua psteriprores
 de d ntrs alstirum
Ta nA2B+ C, C M.  magitud fi
contenta completa id est a vertice incipiens contenta ordinatis dualus, prima per verticem transeunte
Nempe in fig.. vel .... vel ...
septis funt iid
AM, (quae in fig.. et infinite parva est, punctis A M. coincidentibus) alterae ultima pro arbitua assumta 2H2C
abiscissit A2B, et Curva sirC analytica simplice M. CaC comprehensa, est ad rectangulum MM B
ium qa e  ae t ceriansue ecil tiitente arce ax pegart
ordinaturm dignitalibus

## Folio 158v — 00067993:0318
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 157r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000318.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 99 lines, status machine
e
s
seu ABCDRF co pr 4 F
pisito esse eo mndum exsonentem dignitates ondrnictiarum, proporsio atium da ust
ppuum  exponens e. Uut ut Parabola quia directe samta, ut in fig. . cum scilitat
pro axe sumtitur, quod vulgo vocani axem, eunt ordinatarum BC, 2 B∞C, dignitates exponent
habentes 2. seu quadrata, proportionalia absipis dignitatibus abscissarum ex ponentem hallittu
1. id est abscissis ipsis  unde enit cd aq. 2. et oF9. 1. eritque figura. A2BC, CA
 ad rectangulum A2B +C, ut c e ad con id est ut  2. ut constat.
endem parabola inverse sumta fig. . ubi pro axe umitur tangens verticis, et
ad cum demittuntur ordinatae 2 BC, ibirveri Exponerie oidenaau dignitaturm
ordinatorrum,  proportionalium dignitalibus abscistarum est e et c exponens
dignitates abspissarum est 2. quia  absussia ordmatae ipsa
A1B, A2B,  seu in earam ratione 2plicata, itaque cuimaBrCC M fig. ad ibiC ut
cot e ad co,  seunt D ad 1. ad cote, seu ut N 1 ad 3+ ut etiam constat
idem est modo segundum prop. 18. cora cum area uoae an signa
analyticam Hyperboloeidem senrecipocam talis ossimatur, Mo 2B2 C iC M tatis
esti e
sumatur pactem, ad quam cu
exepta Hyperbola Conica
est, quoniam mondiunam taumptotonus
tiam vero AB erc. eodem modo assim nisseta
ita)
qu cum atienque sit infiuita adeoque eodem qu est modo,
que in Auti carabola si cordinatem  quadrata sint
infinite lorrgum conrca
et esymptoloAM compotens
qu prop. 18 ex cusa est:)
moa M 1CaC, abscisser finitus aissgutarum muxima A A2B, et
erit fite asuntarum ide a vertice R, ultima, comprehensum, ex locet insuntex dad
Longun finite magnitudinis cit, habebitus se ad rectangulum A2B =C
deoque ut id ibiter admineam, sin Antiparabola, s sive Hysabola (abica,
fratium infinitur. M2GZCDC M eric recta ngulo A2B = C aequale
eut co aeq. 1. et e aeq 1.
o ad cone, etir quae est 2 adnond. adeoque
quia ordinaturum quadrata sunt
EBC, compositum) eot erit ad ABC rectanguli
quia spatium o zona , C + B. L. B2CFC, est ad conjugatam C1G2G. C,C, ut co ad c.
B vC oB=B~C+ oC quae est ad altimum conjugatum
Rum co ad ex idea sum nin omnium directerum
eodemque modo utcunque procedendo usque ad ultima vertia issuim
eidem proximar, veCgGrG, CaC etiam ut
um eique respondens ordinata aBoC odmataque conjugata
inrectaro C oB 2 K2C, CoC esse ad zonam conjugatam, oeoque Gret
et co ad c. per prop. praeed. utr jam residuum rectangulum  AbBoG.C in directis
figcitet est quantitas infinite parva, tam enim altitudo ejus Aobquam basis ot ut est infinite parva
 recipronis frus.... ejus altitudo est in quidem est infinite parva, sed basis oboc est infinite
efini sum sit qui tuti demum. Certo finitum sit cum
eoautem casu et tota figura est A AMet
honga unde fitut hoc rectangalum ca
exponens ordinatarum major quam abscesarum,
MA2B.CICoC M est infinita adeoque a in reciprocis, cum per propo.... etram ergo
directis semperi in recipiolis cum figura in eam partem smata es secundum quam finitae est
negligi poterit rectanguem
aro, ad est sescundum quam matur
ABoCoG velut infinite parvum
adeoque ert idem est dicere
 e qenlitate munus d. Nulto magis ergo
1080B2B1C, C00, epdcre M A2 G2 C, C M
cum differentia infinite parva sive omni apsignabili quantitate minon sid
rtio e hoimim eadem quo illorum at illa   intlr se ut coad e, quemadmodim ostendiam
ex promi praeced. Ergo et haec, MA2B. Z+CM, MA2G 2C, C. M eodem modo orunt ut coade
eruo et a et summa eorum, ausem  in directris directis seu rectangulum, vel figum et fius.
differentia in reciprvais, est a seu fius... est a rectangulum A2B+C G ergo 
roctangulum erit MA2BECICM, erit ad retrngulaum A2BaC ut co ad cot e in directis
vel ut condco- e in reciprocis. H  A Z. D Z. E. D. 
2op VgGE Sie M.Ai.
completa qus vettre,
ine a Figura Anatiticais aitionalis siciplex  id est in qua opdiuatae
sunt in ratione multiplicaa ordinatarum secundum aliquem numerum enest ad quadratum
lateris recti dirisum per multiplum per numerum et , in diratione bs altitudinis, ad latus
rectum multiplicada secundum in C + 1
n itlignim figurae analytico scationalis aemplicis directae
sire smbolocilis suntae secundum ordinatas rationates, estr ad
Trilineum in figura anulytcae analylicae simplie rationalis; in quo Tilineum ordinata
quo ratio obscistarum est in multisolituta ratione abscistarum Zodocatum aleut
Trilineum ordinata a a vertice incipiens,  ordinata et curva terummatum,
lasatne ratione obscissarum, socundum
est ad qoerat lateris recti, multiplum per numerum et, uii
multus sratione badinatio abtim altitudinis sve maxuna abscisse, ad latus rectum:
multislicata secundum numerum exponentem et.
Ut calculo exprimamus; si
sit figu. chilineum A, B.C A Mntque ordnato ad abscissa sit y, ordinata Y
sitqu exnulu ur  e etet C sitque maxima abscissarum smaxinia abscissa
Tuilieum octum aequat
ut p et aequatio exnimens naturam curvae .  aequal  fiet
A. insgratur hii proposibiod emonstratio: sit surabolocidum aligua, tales enim tantum comprehendir iationatums
pe
ratione ordinatarum abscissaum AB, A2B, seundum numerum, e, exempli causa in tiplicata, si e
Gte3. hoe ordinatae.
ibes abscistarum, ut sit n parabola (abasu rasione es dumrectum
ineum Aef 1C.C A ad quadratum
 totes sumtum quat
Su paremeter. P.Z ajo esse rectans.
rationelaeuris uti AP sunt unitates si numero C +  C Datione hoculoro  (id est ad quadcmptum quadratum a 
tue insics ra AIB, 
suel pimer ess n dum, mmneu edi (1)
 adispaainame sine ultitudurisu ad o multiptranta
 pit  pesei prete

## Folio 159r — 00067993:0319
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 144v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 1 line, status machine
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio 159v — 00067993:0320
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 144r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 39 lines, status machine
puirnlletes)
I
E
bgs fig. 3.
 a
ab in deisene ui e upu si
5
=
15 2M
30 ommriotuni
Eestnc
EBe
e
al
IF..-
G
AeF.  eata intur
31
19. 5.
B,
1E
F.
otimun na   
4
B) 
ABDA 1 2 A15C
9C2BDA B 2 (Cd)
2A BCA - ABC
= ABCA  2 ABCA - .ABC
ABCA
 S FARCA = 4 ABC
5A8CA
sy
s aet
ne doi pu estre
dans le miliere
sut
ou 4. 6.
igat a LM