# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37796/text
# Catalogue record: 37796 — Calculus Tangentium differentialis adjecta sub finem Machina construendi aequationes per Logarithmicam.
# Incipit: [Differentialgleichung]
# Date: 1676-11
# Akademie-Ausgabe: AA VII,5 N. 096
# Other printings: -Gerhardt, BriefwMath 1899, S.229-231 (tlw.). Engl.: Child, Early mathematical manuscripts, 1920, S.124-127. -Hess, Vorgeschichte der Nova Methodus, 1986, S.86-92. -Leibniz, G.W., Opera omnia [japan.] Bd 2, Mathematica. Tokyo: Kousakusha 1997. S.238-246.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37796&katnr=41656
# AA VII,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,5, p. 304 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII5B.pdf#page=304
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068030
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 12
# Folios: Bl. 3r–4r (from the shelfmark LH 35, 5, 12 Bl. 3r°-4r°): 3 pages, canvases 5–7, page ids 00068030:0005 to 00068030:0007
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068030&page=5
# Lines: 344 recognised on 3 of 3 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00068030:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068030/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 152 lines, status machine
exp.
dL n. X
a SXHL
EX
dx H 2Y
a
2
xI X.
etc.
dx A. 3X
a d4, B 
ec
Calculos Tangentium differintiatis
qujecta stfine Novemb 1676
ec Machina constriendi aequationes per Logarithmicam
stay. 3. sigum
d X f _ eX et contra
X s
c+
C+1
Unde l d 7 s d X erit R. 3X seu 4.2
seu
52
d(x seu d, X erit  (L=) -2 X
S.  E)
it
e
+
est optima
methodus prospalius ad rectas
Ex his colligitus regula generalis haec pro differentis ac summ simplicium potestaum
s
a
seu -=Y
y+B AZ ccu 4y 4 y 4 29β + B
S. y H X. = et  eut dyp X + ydX  dx
es
EC7
curvas redu-
cendis. paucis
ABBX. BCH y. E
DEB dx. DCp dy.
site
S V + dy.
Ergo XH NZ-
YF
1Z- 4
datur autem
u
relatio
ipsarum 7. ad X vel ad y.
hinsi valere ipsirue Xvel y pro
auiniq ad aliam relato, quaeri
d
modus metiendi l
 veniendi
raeclara daec
ergo:  A 2X. Quae ratioanatio est generalis, nec XY sobservatio est ad calculum
velgextineum differentiarum esse
refert quae sit progressio absarum A. Eodemque modo
ax
e- 1
generalis regula ita stalit: dX  C X
et vicissim
et1 dx s y xus  S
X E p X
 - LN= ∞2Z + Z. Ego3 2Z
E
Y
C+1 ErgoE 1+H
Sit aequatio quaelibet, vig.
Z tm
+2
27
2
si sit b, By at + xdy + ex
fore b9x + Seie 10
et ita de caeteris. videndum
quid de h3 faciendum.
Ad ictos calculos melius faciendo
poterit aequatio Rans a ibus
 + CN erc transmutari in aliu
ay + byx + Cx + fx + gy + h1 o et pro yda
alia cursae relatione, et comparabicu
provem ens, alio differentiarum
2 akalculo cum eo quod per istum
24
scribendo y + dy. ac pro X similiter X + dx, fiet omistis t prodict.
omittendis alia aequatio:
ay
+ byx + CX
senter2
2X + g2 + hY 0 N- 442 +22.
Z +1, 22
a rtyy + by +X. 1c XAx + fdx +g dy Y po Quae est regulae
+ bxdy
ady + bdry + cax ple
a slusio publicata origo
Eam vero ita in infinitum amplificabimus:
siit literae
quotcunque, et ex iis composita formula verbi gratia ex literiu
tribus sit formula: as + b ra sd
as Dx. cZ
(a7
fyx. 9yZ hYZ
Unde fiet alia aequatio:
ay bx
cZ
adyy 2b +XX uaZZ
ag b+
a
ady bax sq
fyx
fydx
fxdu
Fax
C
s
ly mX nZ
simi sic  ly nx
iliter
un
si ldy max
p
simi P
ter
alterntia ex his dx vel
Ay pro arbitrio explicari
potest, adhibita aequade
unde siet
aalia quatio
nova et ateutra haum
dX vel 1y sublata
et X scilicet ili exgli
vel y aliter per quanties
explicando. Veruum non
puto id esse, quia catulague
omnium calvarum quadcabi
liua prodiae debet, alterm
tram sumendo constantem
quae formutu quadram
da ad describendam
eitem curvam. sed
nota hacus formutae
partem pendere
Unde patet eadem ex quad circuli
methodo haberi tangentis,
superficierum plana, et
alioqui nihil referre an
non ipse iterae X. y. Z. aliquam
habeant cognitam relationem, ea
enim postea substitut iotest

## Folio 3v — 00068030:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068030/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 75 lines, status machine
par 
etsi
Hinc praeclare serviet eadem methodus  effirirationales ingrediantur compositae
fractiones aut irrationales calculum instituanta in grediantur nec opus est
learum tollendarum causa cotera exaltar, cum potius ipsatum differentiae separatum
inveniri ac substitui possint; deinde cum methodus tangentium publicata non nisi tunc
procedat, cum ordinatae parallelae sunt ista et ad convergentes et alias quascunque
iud illas quoque relationes accommodari potest, quae sunt ordinatarum ad curvarum portiones
aut in quibus angulus ordinatarum certa lege mutatur. Uende mobili Gratialius vel
ep
fingi ptet. Caesterum speciatim operae rretum erit rem ad irrationalis aut
ac fractiones compositas accommodare. Ut
 a +b2+c
jam d
de
e2. ponatur a +b+  EX
et
et euit de
ergo 
ergo d.d 3a + bZ + cZ2
d
B+ 2CZ
24Z a H2+ct
aYX
ing de
Ex sumtis tribus literis duabus Sumta aequatione duarum literarum pra curva et determinata
equatione ad tangentes, tolli potest altomta ipsarum X, et y. ita ut restet alterctis
tantim una cum da et dy. quod per omnes casus carculari operae pretium est
Datis tribus literis, et X. y. 7.
et valze ipsis Ly epe ipsius X. e
vel y. (vel etiam utriusque) expresso, habebitur denique aequatio in qua etiam erit tantum
urum   X. et y
non poderit ali
Hoc etium per omnes casus assonti valoris ipoius des deduc,
 tangentium, in qua
e
ipsa Z
potest, eodem modo plures adhuc literae assumi possunt. Et conjunctis  unum calculis
et duae dy, dx
inversalibus omnibus, universalissimus ex ipsis fiet. Caterum assumtio plurimarum literarum
U sum habere potest ad methodi tangentium inversae problemata pose quadraturqum solvenda
si propositum sit problema solvere, in quo summa rectarum CB, DF sit data
Ry dy e y fict x+ du Hxdx seu
X+ seu X + yB X. ita halimus curvam in qua suana
seu y+  d
XL
earum cB+ BP (in constantem Y) equatur re tanus ilo ABC
y dy + y dx 1 Z
=dy
1+y
seu y +(x 1 d ity sme
sic. ydy + ydx()
ydr.
XB Sits
Sicy
1t7
 A i
eist
fiet: X y sy 1Z dr L y dx.
vel fiet: y dy  dx. vel X,
7- 3
Ex
YV Et pro Z. posito
Sy-
ejus vatore exdato Y denctua erit problema ad
quadioturas. Sed si sit S data ex hata a func ex datius equadrabuis dabitur
Lex. Ergo fiet
(Z4
X+ 8.
Nota si cinva aff explicaretmr huc modo, at non certa aliqua detur ve
miinatae vel abscissae ratura differentiarum, sed ut fiat sem per differentia
arius aqualis efferentiae actrius proximae, siet 2y dato no
d
jam
 6+ucit

## Folio 4r — 00068030:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068030/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 117 lines, status machine
y +
posito Z dari.
dx. fier
Vax + dy B Zox fet aX + dY B
ex data X. (pibe 2dx dy + dX + ty
seu dy +   VZ de + 2drdy
7 dx
ubi
ax + 
72 X. ponendo Z daci
a
 de L 2dXdy
ut ista tractari possint circa ubi dx, vel du et
sinilia, ut dxdus, quoniam illa ex simplici inventione
differentiarum duci non possunt. 
fiedi possunt variae aequa tiones simplices differentiales eaetue
comi multiplicatae per ax vel dy aut eorum potentias
componi inter se ad inveniendas aequationes novas
poteunt ejusmodi excilari aequationes ope Ehcorematis. Huddeniani
quo nihil refert quae adhibeatur arithmetica progressio, ita aga a
ctam
aequatio multiplicali secundum unam progressionem poterit in hunc duci
secudum aliam, nec ideo multiplicatur numerus radium problematis, quia
bena alhi aequivalet, imprimis si sumil in eam ducitur, et ei addatur,
ex his compositionibus credibile est varia formari posse blata apta
solvendis methodi tangentium inversae probematis
seu X + y dy ypone Z dariex data y
A Z, 
t
Solutio est ponamus X anthmelicum fietus:
ys -t HZ. seu (3 sindu B SZ datur autem
demma Z, ex hypothesi quadraturarum. tantim ergo hujus modi
summa quaeritui, haberi poterit per series infinitas.
videndum, si sit ydydo 1
 X liceatne ponendo
a X ut conpautem setanemeticam in de facere, y dy r a,
x. ita puto.
Cmons invennre figuris proporti
Max imi foret nomenti ad per fectionem Geometriae
CA
A eo
BCnC
ABB e. AD fe 8071 = f et B
Den  c. etis en AereCce
Ergo ACB AB + BC + = BB, KZCBD
Cx (1f
Cp AX. et  c⊓ dy, et angulus expressus per f, fiet
elemento curae:  dy + ax = 2cX dy S. -f 1
tione
dan ex data X, fier dy - idys- 5 +1- f nO+
et fier + dy + si - f F S7- fr. su  4_ + X sins
yanthmelicatum fit res ita Df C curva AC sento ABDA proportionalis
sin aliter explicetur  3 sciicet misus per aliam hinc fici E ex gr. curva AC. proportionalis
spatre EFGE, vel atitar glre res fieri pr ut
E cuma AC, propoctonulie spatio nLa
posito Dm esse certam curon ex dato
quocibet puncto D describendam e
mvrs nn oum rer le
GaE
unde ampeissumus patet cumpus spatia ad
linens revocalidi
gossionis fiet.
ponendo X anthmeticam,
fiet y, aequ. s - 2
solutum est ergo probtema
repenrendi curvam datorum
unde dabitur problema. Sin detur Z ex data X, difficilis
a
elementorum ex datis scliea
quadraturis.
videtur male proposita
quaestio, neque latis esse
aequatio: x y A ZX
el B Eay, sed pZ.
fier dx + dy B 2
ex  si Zdatum exdata 3,
fiet: X1( (Z-1
vel si datu Zex X, fur 7() ig.1
mag 3
 et sumendo
S-2
 dad ex
data y
habetur solutu,
exquadraturis, sed
Si Z datur ex duta 
tunc ita procedendum
tu p dx si -Z
nam pricte addo ponendo
V esse anthmetiae pro-
posteriore
itaque ad quadranam pambom
per extensionem curvae in
rectam opus est quadratum
csperbolae alunde autem
quadatura Hyperbolae invenori
potest per curvam parabolae,
ergo per curvam parabolae
parabolae, sed non contra
gesumatur aequatio:
XNSy et
ponatur nentra
esse progresmis
arithmelicae, scilicet
neque  e y, neque X,
sed ponatur tam X quam y
explicari ex alia data
quae sit ejusmodi, ut forimuta
1Z dy
siet habelitur
deta curvae
recram
sit qudradus
venon polst qaatum
1EC
quadintur a figurae es
extensione in