# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/37913/text
# Catalogue record: 37913 — De Triangulo Curvarum characteristico
# Incipit: [math.Symbole] sive productuae, in partes basis aequantur ordinatis
# Date: 1675-01
# Akademie-Ausgabe: AA VII,5 N. 022
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=37913&katnr=Cc2+891
# AA VII,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,5, p. 223 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII5A.pdf#page=223
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068114
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 20
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 35, 8, 20 Bl. 1): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068114:0001 to 00068114:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068114&page=1
# Lines: 180 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068114:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068114/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 87 lines, status machine
Jan. 1675. de
de Triangulo (urvarum cCharucteristic1)
pleraque ista jam biennio abhine
à me deprehensa, hic brevier
recoluis;
exemptum
Conila momentus ex dnta
onicae quadratura
3
D W L  DL GW, sive tamentes productae, in parte
adde 21.
seu ordin
ases aequantur ordinatis in partes axi, it es  
adoe 16.
DLGL BTL WL. seu tangTangentes ad basin
aequantur (vel axem reciprocum. Drectus Atd reciprocus AE)
aequantur Momento curvae ex axe.
ob vla LDM, GWL si milia: reductarum
DL a WL DM GV. ergo summa omnium Dch ipsius
DL semiquadrato N.
DL GL ML CGW. seu summa omnium perpen–
dicularium aequalu momento figurae d ex axe adde i9.
curvam
corollar. Hinc sequitur ex hac et 3, esse:
 TLWL ( M GW Tangentes ad basiu
aequari summae perpendicutarim scilicet ad alxem.
(6) D. M GL ML Ut seu perpendiculare, ad cnvam perpendi-
cularibus cud axea sin
redu
ob Ila similia ACH, GWL
(8) AC W  CH GW. summaomniur CH e omnibus AC. ad basin.
curvan aequatur dicto duplo segmento. adde II. et 14
9) AC C. GL e AH GW. seu 
iccurn
rum summae
TDGLN TL Gu seu summatangentuum aequatur
ini
omnium ACC occuente
(10) CH GL  AN WL. seu ra 
 ad cruvas, resectis ad basin.
ob ila similia TAH; GWL
(1c) =A  WL p AHGH. seu simmma omnium TA ad basui seu axcm reiprocum; aequatur
duplo figurae segmento. Quod idem etiam ex punctis 1. demonstrare pt, nom quia
onnes +B ad TD ad basin aequantur figurae convexo, inde et quomon si a figurae
convexo au feras omnes AD ad basm seu fignrae concavum restat duplum figurae
segmentum, patet residuon + A summia, ad basin aequari duplo figurae egmento, unde
etiam G demonstrari posset. adde 14.
(12) TAGLp, TH~GW.
(1) AH Gtp TH  WL
sit id ripsari medium punctum D.
ob Ila similia GEH, GWL
(14) GEWL  EHIGW. simum onnesits EG ad basin, aequatur summae omnium EH ad
axem, unde cum constet E ad basin complere Concarum figurae concaveum vel ut
generalius loquamur supplementum; sequitur etiam EH ad axem, eidem aequari
(15) GEGL A HG GW. seu summa omnium HG aequatur cuvinento figuiae ex vertice.. Ut
quod et exprioribus, nempe 9. et 11. patet.
generalius loquamur duendum non ex vertue, sed axe recipioro potest immi fieri ut curva
non perveniat ad AE.
(16) HEG B HE GL p GH UL. conciditcum 2.
sit in ipsa AH, medium punctum P, sequitur Theorima mirabibe; De
(V7) simmnam omnium DE aequari Triangulo ADG. Nam si a summa omnium AE seu
18)
figura auferatur summa omnium AP seu segmentum simplex M A. restubis FluustBG
portiones longentum infinite parva seu latera pocurvae porantur esse RG, GL. etc.
BG0
sit Nm punctam ubi perpendiculares ad curvam occurrit uxioecurrunt. Patet figuram totam
AM LGRA. conflari ex omnibus Triangulis RNG, GML quorum vertices in axe
bases in curva; et ex omnibus Triangulis NGM, q et c. quorum vertices in
summa omnum Triangulorum GAM, aequatur ciduatis in incrementa Reductarum dimi di
curva bases in axi. ru
deatis mispeperdecat
(19) summa Vloram RNG. aequatur dimidiis prodcis in perpendiculoribus incurvam, seu dimndio curvae
seu GBNM
dictis dmediis
(20) Hinc omnes GBeN M equantur dimidio anva mimento ex a spatio AM LGRA, dentis dimidio
curomento ex ric. vide 5. diata1
recta SL. ipsi Ad_ parallela: erit receak Z. semper eadem parro De XKZ, GWL similia tus
adde 26.
2) TK 2VL 1  a GW; temper ergo N. Habentur TX ad basin et aequantum rectae constantis in abscisson facto
curvae monentoex 2 ex arpe
unde et 1q in basin NL. aequantur spatio inter curvam et 51. quod lorucdit cm 1.
(22). TK GLB DL 2G.
C)1qF, 2) G L A )4 510. Fiic. pamo ommng 49. ag. rectersuto subemun et A.
nem
ob Dla TDL
eremeutotum
et Gl tsimilia

## Folio 1v — 00068114:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068114/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
(2) fi
si ducatur ZX perpendicularis ad TQ ib Bhstagula ZK X et G1L si milia, fiet
24) (K simsa, WL e LX KX Gu. Habetur ergo summa omnium KX, quae semper
exi
aequabitur rectangulo DLa.  sunt enim KX ipsis crementis seu WL homogenea.
25) sit ipsa 5Q non recta sed alia quaelibet linea V. 9. circularis idem dicendum est quod propositionibu
2C. 22. 23. hisi quod non kq. non est constans deo nel XG2GW, neK9 habetus
nec XZ KXGW. pone cer cicul diametrum ipsi TX parmllela, nec
altrit cinvae directricem XYSY. erit summa omnium xY semper eamadum
seu rectangulumm sub KY p7 a, et AD p omnibus TK in WL. Hini curvano
quaruudam ex sermirem deuvari possunt dimensiones, et
vastus aperitur latiocmandi campus; sed et eodem
modo hon ptangentes, sed perpendiculires ad certam
quandam linea constantem rectam curvanive produci
intelligi potest., quae materia ad huc examinanda restat.
lesin ipprimis haec inquisitio esse potest, cum portiones axis
SY portionibus semper aequales siu cumm st ipsi AD propor-
honanter dividetur, quod intelligi inprimis potest in figuris
similibus et similiter positis. Ino Mereor ut eae semper proportio
naliter dividantur, quod forte non nisi in circulis alat concen
picis locum habet.
Huc adde ge cum curva una ad langentem actergsungulum
facit datum vel dato modo crescentem
(26) Manifestum est ex dictis, spatium AML A B omn. GML + omn NGM
vide 18. 19. 20. Jam omnA, M omn 3 MA GB MN. et
NGA GML ( GBGZ, et GZ⊓ GW + WL: ideoque et
AML A( omn GBGW + V LDM ∞GN Ergo fiet:
Omn. GBGW + V LDM, omqus B M N + GBGW, GB WL
sive auterendo uhobique GBGW, tei:
2GW
+ L LDM  + omn. GBen N = omnGBGW + omn. GB WL. Patet ergo
GW
quadraturam figinae ex his tribus compositae semper haberi Unde sequitur si ex his tribus
habeuntur una haberi et simna vel compositam ex catliis cu habeantur duae etiam tertiam haberi.
su Conicia abi (27) in Conicis ipsa MN est constans, Posito Gu esse constanbum sive (W ad
MN cetam semper constantemque habet rationem, unde sequitur in Conicis GB WL pendere ex
(28) In omni figura GBWL  dupliciter concipi possunt, vel sumendo
quadatura figurae
omnes
Gu constantem, et vel sument Ut constantem. itaque tic dici potest: crementorum quadrataducta
in figuram, aequantur momento erementorum contrariorum figurae arementorum contraliorum
initu
seu momenta ex axc
(29) Hinc sequitur in Conicis tam crementorum quadrala ducta in figuram, quam
(ad op alteram diretricem) recipivaae.
moment rum crementorum momenta ex principio figurae crementorum contratiorum recyio aac haberi
30). operae pretium est calculo uti Generalia llonicae propnetas: 2aX + ax
posse: supposita Concae Quadratura in eam rem
ponendo X H AB et Y BG. ponatur BTB +. unde rat +a Xt , 27, sive td
2aX + a X
ax
Q ax
atax)
rax + 2X
+ X H a dq  adeoque
D + X Est autem WL H Ca a + aX
Srax +ax
B Srav +aX Ergo GB Wt BIran+ar  rax + aX ? Duta ergo Ergo in se
a + a X H a + ax
WL r
1
Gu
a + 2a x+ ax
Cujus dimensio ex ipsius lomcae
a + a X Ergur ex data sectione Comna haberi potest figura, cubis
(31) Ponamus jam contra non duectricem esse non AD, sed AE, constantem WL,
quam vocavimus R. Trementum ordinatarum EG, esse GW;  et ipsam EH l. prmum inve
sectionis dimensione pendet
Atrgemus hoc mod: 2aX F a X 2y l. sive lri fax + ax
2aX + a X = ax
a
sive Y = ax. Jam xe ut X invendatur, erit X pqux 44  q + adeoque fiet
X F
erit pi
= Squ+V
= X = 41 S4e + y2, et X  4 4
aieoque lr V   ga 4 a 9  y pEH. Erxo GW
+ X + 9
1
=D
CA,  y = 9a 4 a Fqu + a GBW y  AY,  y, +9= (44
X -
X
+
G1 1
F. 4 = 92+ y2
3 3 + 9a +a squ+ y cunus
tignaae serici ilioem habetur summa, ex datis omnibus Sq. 9. quae tercoremata vel ideo
annotanda duxi, quod semel elapsa non facile rursus in mertem venirent, et non
nisi per multas ambages deprehensa sint. Et haec quidem de trianguli characteristici
usu ad
1
dimensiones cuoilineoum nune suficiant.