# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/38243/text
# Catalogue record: 38243 — für Oldenburg und Collins
# Incipit: Quae de resolutione pariter et constructione aequationum nuper a me ob
# Date: 1676-10-18
# Sender: Leibniz — Addressee: Oldenburg; Collins
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 096
# Other printings: Teildr. nach A: Schneider,I.: Mivre, 1968, S.227/228.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=38243&katnr=39223
# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068259
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 9
# Folios: Bl. 3–4 (from the shelfmark LH 35, 3 B 9 Bl. 3-4): 4 pages, canvases 5–8, page ids 00068259:0005 to 00068259:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068259&page=5
# Lines: 125 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.95
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00068259:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Huc. dde, Eedam de bisectione laterum
quam retili at expressiones exionentores ex disectione
anguli ortas
Quae de Resolutione pariter et constructione aequationum noper  me observata sunt atque detecta,
breviter referre volui, et si nondum satis ad absolvendum otii fuerit: sunt autem universalissima
et ad omnes aequationum gradus se extendentia.
Algebra duas habere partes intelligi potest contemplativam de Aequationum Resolutione
et practicam de constructione. Resolutio Aequationum consistit in expressione Analysica
Radicum sive rationalium sive irrationalium. Vieta docuit extrahere Radices rationales
si quae sunt, ex aquationibus numeralibus. Idenique credo etiam in literalibus post eniis
inventa fieri potest. Cartesius viam ostendit qua deprini possunt aequationes
examinando scilicet ex quibusnam inferioribus produci possint. Sed quando aequa
tiones deprimi nequeunt, tunc res eo redit ut eas per Radices irrationales sui gradus
exprimamus. Hac Algebrae pars vix tacta est, et quae unus scipio Ferreus in eo genere
dedit, debentur theoremati cuidam particulari.
tandem mihi videor reperisse
Idonea autem de fuere principia, qualia
Nimirum quemadmodum Cartesius ex citat Aequationem datae similem ex radicibus
pluribus fictitiis rationaliter expressis, in se ductis, ut X + b in X + C in XD X + et
ubi ab. -c. ad. sunt radices: ita ego aequationem excito  assumto quodam valore, unc
pluribus ve, ex irrationalium aogregato.
Inveni autem ad eam rem certum quoddam
irrationalium genus a natura rerum destinatum, quae scilicet inter operandum non producunt
irrationales novas, ab iis quae ab initio suppositae erant diversas, utcunque in se invicem
ducantur aut in se ipsas. Unde fit ut aut destruantur eo facilus aut tollantur
Exemplo rem declarabo. sit aquatio cubica,
et ponatur X B 1O d’e + 10 de
it
N _ + aq X = ar 1
N F3de (3 d’ e + 3de 1 det + dC
BIBLIOTMA + agX 1  aq . . . + ag .-
n
= a2 r
est quamlibet ex his Columnis ponere aequalem nihilo
Explicata ergo aequatione per
valorem assumtum, habemus
aliam aequationem extribus
columnis compositam, duabus
irrationalibus, et una ura
tionali. Ac proinde ut de
struantur crrationales, necesse
Patet autem nullas alias in progressu
Porro duae aequationes ex 2 et
prodiisse irrationales, quam quae initio erant suppositae
3. columnis destructis natae, dant de p = aq, sive er = 44. quo valore in
ultinam columnam inserto, siet d = 3ax d  + aq. unde invento valore ipsius d. ac
per consequens etiam valore ipsius e. habebitur valor ipsius X. irrationalibus iisdem expressus
quas dedit Regula Cardani. Unde patet irrationales Cardanicas non esse nisi has ipsas palliatas
sed eo discrimine quod hae fontem indicant, et ad rem Ulterius promovendam viam sternunt.
Nam pro altioribus gradus numerus irrationalium multiplicandus est
d
aita oeta

## Folio 3v — 00068259:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
ipti gratiopro qua drato -quadratico ponemus Xp, YD d’e + (( de + 1O de3. ubi
rursus neque in quadrato, neque in Cubo, neque in Quadrato. quadrato ab X, neque in ulla alia altiore potestate
ulla alia nova comparebit irrationalis, praeter has tres. Pro gradu quinto, ponemus.
XF 1O dt e + 13 d’C + (3 d’e + 1(5 deta itporro. Ubi vero sciendum posse has
irrationales non tantum simpliciter assumi, sed et per quasdam arationales multiplicatas
auctasve poni aut minutas, vg verb. grat.
XY = 1B dee + a (0de + f
quin etiam loco b. c. d. e. f adhiberi posse irrationales graduum inferiorum. Atque ita
fieri possunt omnes combinationes possibiles, et determinabitur quicquid in hoc genere fieri potest.
cum antea investigatio radicum irrationalium ad certam quandam et generalem Analysin reducta
non fuerit.
Nec est quod speret quispiam alias facile irrationalium formas adhiberi
Posse. quoniam certum est, quacunque alia ratione formentur, aut has esse palliatas, aut inter
operandum parere irrationales novas ex ductu ipsarum in se ipsas aut inse invicem, quas
tea
destruere non est in potestate, quod tamen necesse est, ut aequatio rationalis datae coincidens,
ex ipsis excitari possit.
Quae cum ita sint ausim dicere sine jactantia, Analyseos aequationum ultimae, viam veram,
et nescio an non unicam nunc tandem repertam esse. Ne tamen promissa tantum afferre
videar, adjiciam formas quarundam aequationum omnium graduum quarum reblutionem primo
statim aspecta mihi obtulit calculus. alias, quae re accurate inspecta elaborari possunt
plurimae, suo tempore cltorre conabor, cum ad talia otio opus sit resolvere ergo statim
possum per irrationales, sui gradus aequationes sequentes.
+35 p
quas eorem modo formare possum
quam formam aliis praetelli, quia usus habere comperi peculiares, et ipsa Cardam regula
ejus tantum exemplum est.
mane
semper necessarium ut tollantur gradus intermedii, ad aequationes afectas reddendas puras. imo
hujusmodi adhibitis irrationalibus, aequationes plus minusve affectae eodem modo resolvuntur, et
fieri potest, ut magis affecta facilius esolvatur quam minus affecta. Unde apparet
excellens utilitas harum irrationalium, quod scilicet nullas aequationum formas morentur
imo calculus ipse docet quae formae facilius laeteris resolvantur, ut adeo appareat ad quam formam
reduci aequationes datas sit utilissimum
Adduco autem vel ideo ut hinc appareat, non esse
eter primum et ut

## Folio 4r — 00068259:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
Nactenus de Resolutione, at pro constructione Aequationum onnium migcunque forma et gradus
inveni instramentum quod Crcinum Aequationum apsellare soleo. Usus ejus simplicissimo
sine ulla Acquationum praeparatione.
Cartesius primus methodum tradidit Lineas adhibendi
altiores, quarum intersectionibus aequationes resolvi possint, sed secundum ipsum pro quolibet
aequationis altioris non dicam gradu, sed exemplo, opus est alia atque alia curva, in quadam
o materia, ut ligno, chartuve describenda, cujus cum Circulo inter sectione solvatur
problema, ut patet ex ejus constructione aequationum quinti aut sexti gradus, ubi pro quolibet
exemplo nova ipsi opus curva. Praeterea ad ipsam curvam des cribendam, latusve.
ejus rectum aliasve orcumstantias essentiales inveniendas, maximis opus est calculis in altioribus
paulo aequationibus.
Mea methodus onge diversa est, mihi enim non est opus
descriptione Curvae in aliqua materia firma, sed constituto semel instrumento ut aequatio data
postulat quod statim fieri potest ad instar Circini Proportionum:) reliqua ommia ab instrument
una vice
perficiuntur, curvis necessariis in aere descriptis: et non una tantum aequationis radix ut fit
per appropinquationes nomericas, sed omnes simul exhibentur, et instrumentum idem majus minusve
pro re nata, omnibus aequationum exemplis gradibusve sufficit
Res nestio an
hactenus vel sperata, et quae facit, ut ad praxin Algebrae nihil amplius ostandum videatur
Nam omnes aequationis datae radices in numeris prope veris, Stevini, Vietae, aliorumve
methodis exhibere laboris molestissimi et calculi prolixissimi opus esse constat; et
geametrice eas in lineisdare, una generali constructione, hactenus memo vel tentavit
Constat jam ex nonnullis veterum constructionibus multa sape paucisimis linearum
ductibus absolvi, quae immensum calculi laborem postulant, quae respendet ex mirabili natura
motus et continui, cujus subtilitatem numeri non assequuntur
hic certe
ubi
Hoc si unquam, e
ate strumento elucet. v quo ad quoddam Geometricarum constructionum fastigium
ascenditur, et quicquid circinus Proportionum in Regula quam Triumpocant, efficit, hoc
Aequationum iistrumento circa radicum sive purarum sive affectarum extractionem praestatur
si scilicet in partes numeris notatas quamtum licet exiguas divisum intelligatur
Ausim ergo dicere quod ad usum vitae attinet hanc Arithmeticae pariter ac Geomenriae
partem perfectam esse:  alterum illam quae sola superest, de summis Progressionum
in Arithmetica, deque a Dimensionibus corvilineorum in Geometria ( quae duo eodem
redeunt:) Peculiaribus auxilis alias adornavi

## Folio 4v — 00068259:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).