# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/38298/text
# Catalogue record: 38298 — [De tangentibus, aequationibus, summis etc.]
# Incipit: Tangens constans logarithmicae
# Date: 1680
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=38298&katnr=Cc2+1475
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068124
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 30
# Folios: Bl. 104–105 (from the shelfmark LH 35, 8, 30 Bl. 104-105): 4 pages, canvases 207–210, page ids 00068124:0207 to 00068124:0210
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068124&page=207
# Lines: 237 recognised on 2 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 104r — 00068124:0207
# Scan: The same scan is also registered as fol. 105v; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 194 lines, status machine
Tangens constans loganthmicae, quae ibi radui officum facil quaerenda
ex posito sola progressione eometrica, seu aequatracetrauscendenti, uta
conciliabitur aequiu franscendens et differentialis
 sit curva aequad transcendans, ut + s D2 +a. ita ut
ndelemut sint eo et Z. addatur nobique y et dervellaturae quat
duas: Aoya et  +y =b potent tam co quam
invenisti loganithmice ex y et b, vel y et a. in quil aequationibus
halbi potest y 4 ertes tollendo 7 per aeg. 2. vel per Aeq. 3 habebis
rlatio nova inter cd et Z. in qua altoratra solum erit in exponent
r. g. Co log N log a-y. et Z8 log q= by log b=y.
in aeq. 4 pro y ponendo b - g2. fiet: con loq a b4 e
log. a x b + 5: L0g. N. sed non opyeral assumere
ingressa fuissetco tam in exponente quam extraem fortes necessia
ppasset novae litero assatio
Anquadratire quadrabitis er Barrov. lect. Geom. X. fiu. I1c
videbatur mihi oluu Einc aliquod posse duci
Cura Berthetiana
1BEL aremi AB. Non est spiralis Archimedea ut
ipse putabal postremo  exthetiqus. rangentem ejus sic inveni Ex puncto
survae E ducatur ad centrum ED, secans circumferentiam in B, Eunde edu–
Eatur tangens circuli BT, si fiat ut Ed ad Bd itaB
TB ad EB, juncta TE, erit tangens quaesita comunicavi osannae.
Hins cum langens opeti aequatur arcui et ravio simul, ibi est maxima curvae
Ut Curnae rationales reducantur ad irmasionales, sit vig. X
catundo seu elengalio
a + bX g xZ e =0. a + bx Cy +DX9 + fx ut GY hX etC= 
sinetr aequlio secundum x et fiat dio sibilis
quantum exx aliqua sereda 1b8. indicare possum, cum pro curva
Conica habeatur (Z.
quaatc gy: 199+ayy ut reducatur haec ad ratio–
tem opgest +Gy +da yy + aaque aequari quadrato posito da - f a + C9q noni
pendii causa assi si fiat y- ev + S: ou +t, et substitnatur ni locum ipsius y
ste valor Diribur formuta quae oparari  poterit quadrato suffieret
numerulorem comparari quadrato ex lv + me+n
tY1+t  at = 1 = (34 1 F quaposito Z= si +F fit F- d72.
Quomon haberu axeu aequiliberii transenntem per centriq portiolus raa
lans, hic es si duae posssent reperori portiones circulareslicet ex diversis
circulis centrum grar. coe habentes ita tamen ut duorum circulorio entra
et centrum gravitatis 10c portionum non cadet in egndem rectam tunc intersectione
duorum aximus aequitabrii per circulorum ceutra transeuntia reperiri posset hoc
centrum gravi ve, adeique hujus portionis circularis area
pranentur semi segmenti exbasi es sexta pars rubi a sinu) probl
mata huius modi forcum ppossunt SF v.g sicquadrans ABC quaitur simiseque
mentem AdE habens ad quadimatem rate datam ad eiqus posset smmari
hujusmodi calculi reducitur ad solas quantitates angulares evarescente cuarorline
argnitudine  alias semper ingreditur
dnta linea transcendente, dato
 linea Algecraica positione data quae ex
tungit, punctum conractus inveniri poterit. Si sint duae curvo transcende
quas constat se langere, et reperianur quam eae licet utraeque sunt trans
derites, modo osi letur Algebraica cotum ponstees totam cadere intraunam
et extra alteram, tanget ambas in puncto glactus cor
ana curva sic puto
 ad imuilnoe
tistinima secantis ad arcum ratio est raom secantis ad Tangaortem coplemensi
si linea aliqua curva puncto volvatur superalia linea, et aliquo puor
 linea uolut provoluta puncto aliquo fixo in ipsa sumto describat
Trochovidem, ea lhnea Trochocides tanget lineam s super qua provolutio fai
est, videndum an hinc punctum gnlactu ossit inveniri. Mero non semper
in puncto glactus fore infinitas tangentes verea nesemper incidamui aquo
tiones identicas
simo duae aquationes duarm incognitarum una ad lineam algebra
cam altera ad transcendentem, et hac revocata ad seriem,s videatur an
possit reducendo ad aequationem nefinitam unius incignitae possit
effici, ut ea habeat duas radices aequales, quo pacto explicando parame
As linearum pront oporcet, ut hoc praestetur, habebitur int effectum
ut duaes curve se tangant, ergo hac arte punctum oecursus poterit haber
laequar resoloena:
et divellau in duas
41- ZE + Zq=0 addamus gco-
42= 90o et 22+ 90o = g. 22 quarum prio
est hynithaulica posterior ex en nata  intersectione solatur problem
Aequalio 3 +Z = 11 si in numeris solvi  recesscest solvi possit inratio
natibus et quidem casu praesenti in integiis Ge metrice solvantur
latia per intersectiones ut fint 32 = y et
Z+y = n ilea aequalio est
ad rectam, a lagarithiniam, hoc ad rectam quibus solortur blema Geometrice o
in pumens oportet pro F poni 1+2 et  habebitus serres infinisa ubi exp eonne
, in exponente
constet quantitatem aliquam no algetraicum
 esse tcuscendente nuo quam majorem, aliquando aequalemu cinea
getraica habebitur granscendentem tangers
si sit Xsinus opet
et y = Sa- y + bx non pt esse y majus a, quia foret l ast impossibilis, et uno casue
= arni a, cum scyl. y = bk. Ergo eo easu linea arcuum, hanc langit, verum ambae sunt
transcendentes. Sed non habebiam egitus, opinor. Sit aequatio trausiendem
unique incognitae, duas habens radices aequales seu facta ex ductu formue in quadrulum
ea di digillatur in duas aequades ad duascurvas unam Transcendentem alteram
algebraicam, r
e
Videndum an interpolades qualque Erullisianae demonstrari possint dubit abiles ex
indubitabitibus oiterdendi aliter ind nec indubitabiles sit cadere posse.firet princi prum invetiendi in signe A isti
curvae superiores haber possunt dum earmi ordinata compinuntur ex ordinatis inferioum
uit de pro dimensconibus fium superficierum ita dxt prodimensionibus solidorum
dimensio cuquae cyclvidos scendet ex quadratura secantum falsarum quarum dimidiae sunt serantes semiarcum
quae suntquideabires
quando figma alicum firansutum Characteristicum nonsatis
aux ilum offert, id adjungendum alterius figiiae trrangulum characteristieuum viu circuli aidas clrdem.
Cyran+sexxdus = t  Xy in Trigonoorehogonir dentur duo ejusdemfigurae momenta ex duabus Cnt
rectis intirse parallelisdatur figmrae area. idem est si extribus licet non parallelis
Momenta terminorum aequantur coplemento summae summarum (XC =  Xsco-ssco
summa sumar
sut. Ex hicpmpiteu
Numeros qui abscissas reprae sent soleo appellar ordinates quia ordinem termmoruste su dipatarum exhibents
si quadgulo ordinatae, rectae figurae squadrabilis addas quadratum rectae constantis, ratix aggregati nro
quadralorum repraesentabit, curvum quadratricis
jam rectobris, es atralussin Cetragoisticam exhibui, quod scili ex differentiali comparata cum duta haberi et audata quadrabil
e ibi mentionem facio me jam aunco ante hot habusse. (Anatus seos retragonistriae scheda 3tra 29 octob. 1675
radicet appello aliquando sub potestates
in lineis anassidexiis seu quae inpartes conggnentes secantur ad aequadem pervenori pt sive tangentes sive
quadraturam considere qua altimam primis non differunt, essi aliter exprimantur eript in si non s 
_b 76. Amstelodumi notaoi pertinentia ad calcula differentialem ibi ex scubo prodo
quodteet, ianmaribus
Cariu ar
 AB X BC,y, Bd Z. ducatur nun simum in altergm solidum eit (3yax. secodum plana ba
sectam. Siu sects secundum plana ipsi ABparallelo, et pagina perpendicularia exempli causa ita, ut
situm se opulis et pagniae recta communissit EF, erit ibi sectio solidi quae ipsi Ex dorecte imponatur planum GHCB
est autem id planum Edx Ergo solidum totum erit ssque drs etus
seretu sum
y ex invenitur per ex siX.  dx, scil. su qe ponitur esse constans. 
serier summip
nis ettim numeris summandis
si curva y= a + a: 12 +a3:1. 2. 3 M. siet da: dZ = 1: 14Z. et SZ- DZ a esemitia a = 5 dZ: 14Z. pendet exlo
reboculie areae per ordinatas non convenantes nec paralletas, sed omnes cendentes ad unam curva tanquam focum quisi line
Asciodentu est media proportionalis, inter diametrum et curvam evolatione descriptam
meas iea producete ut sunt ad figurum ad quam terminatur persendiculios, sil egoenoe curvae ad quam sunt turgent
Elementam curvae Hyurbolae Ee quilaterae dx arft. et posito a esse potentram x abscisse ex asumploto a centro
habetum momentum ejus tam ex unnasymploto qu quia par ratio est exalia, scit ax a. X +sax X. Ergodatu et SdXVa:X
quia danturambo momenta (hinc
latu et recta trouscens per chutiu gravitatis curo Hyperbolicae, fus forte productio in infinin pedia
sit a  = X a 1X eo 1CS fiit c X cor  hs
sit fiet X eoico to atum ergo opus ut a co sit quadatus
Quod facile ist sit a + co,: 2 =  W m, et a - co - m et fit mn. Ergo ∞ = a ma  2e a et fet m- 2a + E+n
et c=a tan. 2tr- 44e. 2tn a = 24 ex utn etx 2a tetg in ran: Etn s : () 24 1: in
ergo X = ah. 2AN: 2g n et XY = 16n 4  16 - 32n + 24n gn + n sit a X S pt 24
fiet a+x = a. 1b - 32n + 24n= 9n6+ n 4 16n = a. 16 3  on on i
X+  = aa n: 4 an +p t a a 2an =9a n2 4u ga  qa   4 a 2an r an: 4 4n 
na mensuratu habetur  alterius dimt
uut extrivus mongentus dasis habeript sentrum gravitatis ope scumnae quadralorum ita extribus cctirum viriba, datis centru agitavis  sum un
agnotas voco aliquando figuaas quaerum
Mea novalentrobajyca jun. 7b. repelita, non qui cendum habieram dum regula in descena aliquid omitat vel assumit
et quaeratur via centr gravitatis omnium, idem in radio gistato. et in evoluta
1= XX 1. 2. 1 - XX 
SI -XX 1 -XX
ixix + re
XX2.2 ex Hic datur interpotatio stmmarum per serem infinitam sunt
i X + X M
enm 1. 1, 1. 2. 1, 133.1 erc. nempe ante summationem
sunt 1- 1XX 1 2XX+ 1X ) 1-3X + 3X - f). inter hos medes
earumque opetollas numeris eminorum
deinde facise habetur summa. Aliae serres tales excerui possint
ol. quii specialis aequationem, et deinde et alteriu
inset B. b.. et
(b, 9. ponuntur aequalra ut in ultimo fit propositio
reserei infinitae et
er Tabula coallisinua,  oblique descendentes, ut ista recte
Methodus convergentiaratalis pro invemendis figurarum parametris, cum datae non sunt
relao communis inveniri
Cunius v. 9.
C= Sbd 9 = 26d
Non videntur specialis anguli subsectiones povam dare relationem ponticulariorem
inter b et d 9 media Eurmonira inter d et 
204. Quando
Vbd b+C
gred 6+d. radit exprimendus
 media Ghomeliso
Eet ex b at d ve
ex B et e universaliter, salte cum aliter id feri non posset tronscendenter est enim ex ipsis detertamat). Subento
numerus cerminorum in calculo con evanescit et a rad–
possiguitas specratis quadraturae eo rediu ut nova specialis relatio ibi inveniri possit inter radium vig. et dues poti
donantem ectoris subsecti quae non resolvatur, in generalem. Videndum an sallem tolis retat transcendensdari possit
estim si tascendens bari non , nec analytva datur. Cuid videamus an problemdformari posint, v. g. an liceat fe
sigvere. tale problemas: invenire sectorem, in quo relatio inter nin proxima polygona inscripta sit perpetur tati
e recationis, vib gr. progressionis Arothmelicae. Verum jam video id esse impossieilo nq ita hacicum alia adhucha
reatur relat iter a, b. b, e, h polygores, si nova adhuc daretur, tunc tollendo are eah ope
Cumum daretur relatio inter solas b et ex quod pto esse impossierte, fierent enim rationis constantis, cu nulla alia litera caleu
nisi ponguus func cursus radium intervenire tib a relationes assumta nintervenit radius. Ita
Tasso evitari potest im possibilitas, rescerta autem oresatione inter b, et f. a utiique datetur Terminatio quaeri
quibus modis possibile sit invegire sectorem, cuus trin quaeris polygona habeant datari relationem ad radium. idque vel ideo
ingrediatii
quia quivis sector etium subsector ejusdem
quavi unde oportet
ecoris salis facieret
ram reveranullus sector est induplicabilis, scilicet circulo ptus semel insumto.
ternus hac methodo reuoriri dim
Bquando licet, item quando duarum fumurarum quadraturae a se invicem pendent, forte fieri pt ut potygona echum
labce addibidam seu remendu est tungens qua ad arcum chorda parallela
segnsata maxntem
7. per 16 112 3+ 1 = 113
352 13 = 35 qed  ne
Boscitus libello de Numero perfecto ita derivat Metri nopigninquadem ex Archimedea
vodentur ora Cheoremata Cetragonistica posse demonstrari expotygonis et convergentib
enei summptricis propiietas replicata haber potest ex propitetate sertei dasperentialis, sed hini inon datum
diminatio serder

## Folio 104v — 00068124:0208
# Scan: The same scan is also registered as fol. 105r; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 43 lines, status machine
. ut ergo in circulo seu Ellipsi primaria, ita et in Hyperbola primatia tam cuada  areo momentum bisecari
potest.
et tollendo numtium cerminorum non evanespat parameter quo tacto habebitur moda
de termina adi ultimus altiu enmini campositum potest hoc meserdus serviremtt in numueris
ad Brierum summas invemendis. fit enim spatium scalare cui circumscubit tascri bi possunt potus non ah alie
ut scintur an detur quantitas
hac Meggorius non scibit, vim sua mrethodi, quia eam cum seriebus comutavit
vejusdem retationis ad b et d, cujus est ad e et g. fingalga aqualur generalis ad inter b et d ntmp
+ mb + nd + pS + 9 bd +Y d_c et deinde substitmendo pro. b et d  ipsas e et q vel potio
dorum valores per b et d debet pova aequad coincibere priori. quod si inffur Terminis fiitis is
impossibe impossibilis est etium cors relatio inter b et d eadem quo inter e etqu
dala curva aequadem coi facile est revocare eam ad aequationem replicatam, inte tres quoslibet
et idem praestari potest in aequationibus differentialibus, si non pro ordinatis
hnventa relatione inter tres terminos sine seriei convengentis
e caterventu absolutae oailitatis, tunc si daretur generalis elatio inter duos prius quos
Omnis aequatio sabistitutiiva seu repercata habet
s
si non collamus numerm n, sed.
Terminos sed inassignabiles
allempro eam differentus
el temins et altimum nempe ostantem
interit inveniri sector valde remotus fpinatus ex duo polygoum valde remotum compositum ex potygonis
ill ullum relaoem constantem instur parametri
duobus simplicissimus seu primis interbeniense licet numero terminorum n. et ita apppiaquad eait egueginen
Cserorius quantitatem et formulam cnfuditi
licet ot radius est quantitas eodem modo forcunta ex duobus quibus lebet pxumus polygones, sed difficile estdari
Carrab 1 et seu eodem nodo ex les  quo ex
41
19 +
oullimo ni fiat infinita
idum formandi
Etabs seu et
exammande. Ita recta re ad unam litera taulum opus esset finu aequationem secundum unom litero et
a+ Vab
formabitur ex 1 et quo ex let
(quo facilius resem e  repericip in corbus si possibuer est iem si fiunrum aequulue et t
demonstrari p nullam esse viam perveniendi ad pecialem
adraturum per potgumsseries replicatas, an certan est nulam e Et s nullam esse
serferentraleset
aliam, et si nulla alia est via, sequi demonstrandi seu in veniendias eqpiturne Euc anllo especiatem
quadigluram ne at angieto quide posse dari ita videturs quia nectanselus eam ptdnda strare
pidentur oes via esse enumerabiles, ad quadraturas speciales
seans cujus minima ab areu differentia, minima ad alem rat, ese

## Folio 105r — 00068124:0209
# The same scan as fol. 104v (00068124:0208), where its text is given.

## Folio 105v — 00068124:0210
# The same scan as fol. 104r (00068124:0207), where its text is given.