# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/38299/text
# Catalogue record: 38299 — [Über die Fortschritte der Geometrie]
# Incipit: Qvi de Geometria utilitate persvasi sunt,
# Date: 1676-06
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=38299&katnr=40771
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068108
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 13
# Folios: Bl. 82–85 (from the shelfmark LH 35, 8, 13 Bl. 82-85): 8 pages, canvases 1–8, page ids 00068108:0001 to 00068108:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068108&page=1
# Lines: 538 recognised on 7 of 8 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 82r — 00068108:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 83v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 105 lines, status machine
Qui de s Geometriae utilitate persuasii erunt, statum ejus praesentem, et novissima
exponantur aectius
incrementa nonnihil ad se pertinere putabunt. Hac vero ut intelligantur facilius, quoedam
ex vetustate delibanda sunt
an l ritim ro  tiii aiquau suir qu irvenit
theorema illud famosum, Hebatomba dignum, fatendum est recentem admodum rem esse Geometriam, et
Graecis debitam. Eythagoram itaque credibile est Elementa, et rectilinearem Geometriam dedisse
Qui primus invenit Circulos esse in duplicata ratione diametrorum; et Pyramidem esse trientem
cubi, mihi plurimum scientiae adjecisse videtur; quemadmodum et qui in numerum corporum
regularium definivit. Ad alliorem Geometriam excitatas mentes credibile est Problemate delohico de
duflicatione cubi: tum primum enim, instrumenta videntur inventa quibus aliae quam circulares lineae describerentur.
qui ad Quadraturarum, retatia foc  forte deperta, primus exemplum dedisse videtur
Hippotrates Chius, aut Lunularum circularium dimensione feliciter reperta.
Hic erat Gela Sa Aristotelis tempore, status Geometiae adhnc adolescentis; donec
annis volventibus perventum est ad Archimedem subs quo nova derepento scientiarum facies
enituit. Archimedem ego semper in tantum miratus sum in quantum licet mortatem; usque adeo
insignia  inventa  et profunda, et superioribus diffimilia, et in omnem posteritatem valida
fuere. Indivisibilia certe, aut si mavis infinite parva; ad Geometriae i 
sublimioris elavem adhibuit primus, tecte licet, et ita, ut admiratio inventis, et rigor
demonstrationibus constaret. Qd Equidem, qui Indivisibilitm usum semel intxerit intellexerit
ei quadratura Pambole non erit difficitior, quam Cubacura syramidis
altigit, ut solent inventores;
Nec pauca in his atque olvia,
Porro cum de Geometria indivisibilium loquor longe aliquid Cavaleriana
amplius intelligo, quae mihi non videtur non esse nisi portio, Archimede am cavaleriana
Meh Geometia, ad exemplum quadraturae Parabolae Archimedis conformata est, nec Cartesius
s
alam agnovit, cum quadraturasum inventiones ordinatarum relatione cognita circumscripsit.
At majora longe animo complexus est Archimedes. Nam cum Seri Guldini Principium
ahechanicum e quatratura centrobaricis Archimedis, eiusque ut momento Parabolae,
et soliditate sphaerae, ac Conveidibus et sphaeroidibus haud dubie natum est. Habet his
omnibus subtilius quiddam atque arcanius diner dimensio superficierum sphaera et Coni, quam si satis
perspectam habnissent nec ubi ordinatarum relatio cartesiana, qIndivisibilibus Cavalerii
juncta minime suffecerit. Denique Helicis dimensio _ Archimedea, etiam Gogorio a S. Vircencia
edit. et determinatio quadraturae
ex
Compositio vero motuum,
circuli ex data Nelicis tangente, non sine causa suspexit Vieta
Porro Centri gravitatis nec nomen auditum ante Archimedem Hydrostatica
autem Dmon demonstrant admirabile viri ingenium in applicanda Geometria ad naturam. Si
et Mechanicae
ab Archimede abieris, pauca in omni vet ustate occurrent,  quae his comparuri possint. Apolloniue
Geometriae magni nomen non injuria meruit, quod primus ut arbitror Geometria Conica Elementa
absolvit,  tres tantum coni sectiones esse, nec alias ab obliquo quam recto Cono oriri ostendit.
Conchoides et Cissoides as majoris facerem, si autores ad earum dimensiones pervenissent; quod
rigura
Cum nequi verint, Archi argumento est Archimedeam Methodum cum Archimede fuisse extinctam
nam si artes ejus fuissent cognitae veteribus, aliqua in tanto Geom etrarum numero, similia specimina
n
un 
Archimedeis ingenii specimina, prodiissent: nunc vero
a i 
et. Aschimedis aliormque e
Postremum Scientias cum imperio
 Arabes transmise.
Prestantes Geometras in g fuisse, etsi paucos, vel solus
Athazen indicio esse potest, cujus problema Opticum, ab ipsomet antore non male tractatum, nuper
duo excellentes Germetrae laudabili ingenii certamine per solas Conicas eleganter solvere.
Fridericis IIi Caefaris, et Alphonsi Aragonum Regis munificentia a factum est ut
quae Arabes a Graecis hauserant auxerantque in Europam postliminio redirent. Nec Alphonsinas
tabulas, aut Regiomontami ac Rhaetici, aliorumque utilissimos labores memoro, neque enim illud
mihi exponere propositum, quid praxi sed quid inventioni Geometricae accesserit
hoc loco
Veteres credibile est non
noves spiritus sumsit
Superiori seculo Algebra repata est, Geometria nostro.
Ferunt Mahonietem, quendam
quadam
nisi aequationes quodraticas solvere potuisse.
Arabem omnium frisse primum, radicem aequationis quadratico generulis formula quaedam
fuisse complexum, ut sciretur scilicet (si hocierno more enunties) data aequatione X + p X + 9 10
Sue X pE.L.. 9 .)
tlaelesia ita osta ne su fi duntu 
calcutus videtur
quantitates qu
non nisi in linea
elucet, parum
qui eas eo
RFateor cmo
si Diopham
extaette, duu
hos an utt
veteribus
ut vel
quam
bus comper
quam facile
interid p
nostro p
diversus suist
et per lineas poti
et rationes o
se, quam per
magnitudines
abstra
gerad
ex misd
discimus non
dilis fisse
nam ets 
rationalesua
tracta veris
tamen facile
isse irration
methodum

## Folio 82v — 00068108:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 83r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 83 lines, status machine
forte
pendet enim ex solis Elementis, tametsi s formulis non uterentur.
resolutionem
At Aequationis
subicaer et radices etiam irrationales, superiori seculo
unice deberi constat.
Nimirum quidam scipio Ferreus
a eleganter
observasset
Bononiensis cum
pulcherrinca ac plane analylica ratine deprehendisset lnea quadam recta in duas partes
A AB, BC, secta; cubum, ubum totius Al a quari cabo
excedere cubos partium simul
sumtos. triplo t paralle lepipedo sub rectangulo partium in totam; hinc pulcherrima
ac plane analytica ratione dedapt sequentem deduxit: formulam,i data qualibet
aequatione cubica, secundo termino squem semper tolli posse, nec veteres igno rabate
nempe X + qX + Y 10. fore Xp Y+ (   + SZ- sun 
7
autore vivente latuisse videtur Dona autem fortuna accidit, ut quidam ejus discipulus cum
Nicolao Tartalea, insigui ut tunc erant tempora, Mathematico in certamen d descenderet,
et aequationem cubicam resolvendam proponeret, quae non nisi scipionis artibus  explicari
poterat. Hcesit Tartalea, sed non ided animum despondit, erat enim ingeniosissimus. Cumque
aliquid lucis hansisset ex sermonis adversarii tandem ad idem inventum, pervenit, quod
Capdano ture amico sub silentii fide credidit. Cardanus gloriae cupidus, cum demonstrationem
a Tartaleq selatam reperisset de suo, multaque alia invenisset, atque illud imprimss late
ostendisset, omnem aequationem Cubicam (cert casu excepto) ad hanc denique  sic
ad hanc denique formam reduci, et modo
Excedat quadratum ab ipsius Y. semisse,  solvi posse, volumen sub Artis Magnae titulo, inxito
Tartalea publicavit, unde postea interipsos simultates natae.
ea
Curro Atque ea est 
breviter historia gformulae, quam Cartesius sub nomine Regulae Cardani
piariterq
celebrem fecit. Origo tamen ejus ex atilioi
d momate fente, quam si perspectum
d plt
habuisset Cartesius, inventum scipionis tonxus protulisset. Quid autem mihiperca ista contigent;
alias erit dicendi locus.
sePorro cum Problemata
Solida non semper ad cubicas aequationes reducantur, sed saepissime quadrato quadratica prostent
forma, restabat forma modus reducendi aequaiones quadrato quadraticas reducendi ad cubicas.
idque etiam s eee denique comperi inventum est seculi superioris.
is rartsii methroa
Quam
Hoc inventum
baratione  non sit quantitas negativa, nec cubus ab ejus tricule
l
dic
Plerique qui non nisi Cantesium
ex Cartesio et ejus interpretibus, haAlgetram didicere, inventorem he  hujus
reductionis primum credidre cartesium, nec abnno Cartesium ex suis principii
ad eam
pervenire potuisse;  aut etiam, si mavis pervenisse Nam si aiquationem  quadratuam
edium datam, cum  factitia, ex radicum assumtarum in se ducta excitata conferas,
aequatio collatitia novissima singulari quadam felicitate, ac velut casu desinet in cubicam.
Ad casum tamen hoc refero nom ad vim methodi, nam si aaliarum dimensionum
aequationes eodem tractes modo, radicum quidem qualitates, et veraene sint an falsae, an imagi
naviae, et his similia (ab autore Gallicnrum novissime liui  Algebrae Gallice per quam commode
explicata) disces,  a resolutiore autem ipsa procul adhuc aberis. Cujus rei rationem c
ihi ex intimis artis principiis satis manifeste compertam, ac perquaram facilem, et mnd
in
di  angendae scientiae rationem multis jam successibus  alias exponam. Cum
datan
viam
autem d credidideram  eo quoque Cartesiot primum equationum quadrato quadraticasum
ei ad Tubicas; mox in posthumis Francisci Vietae ab Aleaumio publicatis reperi: ac
uctionum
 novissime dicici, hoc quicquid est superieri seculo deberi, et Ludovicum Ferrarium Bononiensem
Cardano supparem invenisse viam ac modum quibus  Radices aequationum quadrato quadra
postet
Alia illi, ac non minus elegans
dicarum irrationales interventu cubicarum exhiberentur.
quam Cartesio postea, inventi origo, sed et ipse modus non parum si bene memini diversu.
Superiore igitur seculo aequationum Cubicarum et quadrato. quadraticarum
Quae istio
 analysis, et problematum solidorum algebraica solutio, absoluta videtur.
Nostro seculo Slbet  ostendit q duo, novis  haracterum formit 
applihiusus Algebrae in Geometria mamplior ac manifestior redditus est. Magnus
profecto vir Franciscus vieta, cum omnes magnitudines literis exprimere, et speciebus sive symbolis
perinde ac numeris computare domisset; novae cujusdam scientiae  quam alii Analyssin
alii speciosam vocant, ego symbolicam malim, fundamenta jecit. Quantus ille Geometra
fuerit, quam profunde pleraque introspexerit, quam acute non pauca invenerit, quam elegantes
extiomenit daderit constructimes, quam praeclara saepe theoremata dedenit, velim ex ejus scriptis aestimari;

## Folio 83r — 00068108:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 82v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 89 lines, status machine
quae plus fructus attulissent lectoribus si familiari potius sermone, quam Graecis vocabulis,
sape contostis sensa animi vir doctissimus exponere Maluisset.
Sed Scientiae pulcherrimae
in clara luce collocatae lans Caltio delebet simmo Viro, Arenti Renato
Cairetio debebatur. Quem ego  percis laudare, iedium ejis ingratitudinis
genus esse arbitror,  scio in utramque partem peccari nostro tempore,  qii
mam alii pene mih illudde V otregistro factare videntur, quod dePeta de Epicuro
pars enim sinvidia aciper caecati, aut instituto
Qui genos humanum ingenio superavit
sectaque praecpites m binic magnitutine jedientit aut rumoribus praeventi
ipsa
inique de tanto ingence judicant; alii vero p contradicentium numero audaciores, novam sectam
in, omni retio posteritate nihil
e
ex homine faciunt nescro quid inortali majusi. Credunt gr
lucis aud rertitudinis fuisse, exigna nescil quo ac minuta erum Inventa ia Cartesio prolatam
cuncta detegendi arterrelavesque meturae: Systema ejus divinum esse inventum, et  demonstratum
Hommines univereos in Ardtoleem esse sophustam, u scholacticos nugatores; Homines universos magna
in caligine fuisse, donec natus sit aliquis
qui genus humanum ingent superavit, et comnes
praestrinxit stellas exortus ut aethereus sol.
b
Haec tarto ambitu factari, etsi vera essent, omnia, nocet veritatio, niti forte hontnes
un
vi ac ctamore sanari possete, atque illud compelle intrure in philosophia locum hubere eputem
Ego ita sentio aequissimos etiam Viros cogici repre Eendere in Cartesto quae dissimularent libenter
nisi immoderata quorundam studia in sectam abiissent Secta autem omnis periculosa veritati.
Quod me atfiuet satis landatum aubitror in Mathematicis Cartesum, si post Archimedem
et Galitarum tertius nominetur
Equidem illud fatendum arbitior neminem talium ad Archimedem
propis accessisse Gelilaeo Taatis astem viris aequari qua
formari coepie
tu facere liper
alius Cartesium non p landa ex quo  velut secta quaedam Cartetiandrum
Ex qui invidiae atque irarum causas procul habeo, equidem,  in metaphus sibierus cconlemplationibus non parem ubique
crtitudinem esse arbitro sed nec novitatem. Natm qui nt aliqua  Demonstrationet ejus de Deo et Mente
desunt
et de ideis   egregia, et vera multa jum a Platone dicta sunt, et qui Platonem Mistotelemu ae deniu D Aquinatem
manuos elite viros intellexere, nonnulla parcius mirabuntur in shysi Materiamunihil omnino addere extensione, non oume concedut
Nunc ut Analysin symbilicam redeam
quod est fundimentum totius systematis uondems
ieta scientiae fundamenta applicationemque ad rectas Circulosque dedisset substitit dinem spect
qui Cartesii inventa extra comparationem potita prtar
immature sub substitit fasa persuasione de imitilitate linearum altioris gradus se medio in
unde digressus sum. sum ductus
cursu substitit. At paec Cartesius praeclare vidit, aequationes duarum incognitarum
essquam exhibere veterum Locos Lineares;  ii et ad superficiem. Unde
porro non difficile illi fuit judicare; tangentes inveniri posse per aequationes duarum radicum aequalium,etate
Et ad  duo summa capitansentia quicquid a Cartesio detectum est in Geometria: nimirum data Linea ex earum
numero quae per rectarum relationes determinantur, invenire aequariones, descriptiorus, tangentes invenire
ejus aequationem, descriptionem, tangentes; et dato problemate  rectilineari, curvas quales
Sed si senle
dixi invenire, qubs quarum intersectionibus aequationi  problemati satis fiat.
Catendum an tesiant roius divereartem honoris vexisse Fermatium,
exs angenhoge quarnt 
dulcherrima illa de Maximis et Minimis Methodo inventa qua et Currarum Tangentes exhibentur diversa
melhioee  cuxtetianae portus diversa. Quod gutsen At Methodus generalis
problemata rectilineai  omnia per curvarum  quales d dripsi intersectiones construendi hm
uni Cartesio quantum sudicare possum in solidumdebetur. Inventum sane gulcherrimum, quo ut ipse recte
sed cum de omnibus problematis enuntiavit, quae non
Nollem tamen excidisse summo viro voces quasdam paulo jactantiores,
uut immensus  campus aperitur.
quibus minus periti decipiuntur. Quis enim nisi harum rerum ignarus ferat, quod ait libro tertio: per
nisi de restilinearitus praestilit
methodum qua utor id omne quod sub Geometricam contemplationem cadit, ad unum idemque genusi
Quod tamen non nisi
problematum reducitur quod est ut quaratur valor radicum alicuius aequationis
de problematis illis verum est, quae a me rectilinearia vocantur, quae scilicet non nisi rectaerutu linearum
magnitudines t relationesque quaerunt aut supponunt: nam cum  linearum curvarum, aut spatiorum
insis conclusorum magnitudo quaeritur, (quod saepius fit quam ille forte crediderat quod animum ad Galileanam
Mechanicen, non satis applicuisset:) neque aequationes neque curvae Cantesianae nos expedire possunt;
vo, constructionibus curvisque novisus
pusque est a novi plane generis aequatimibus,
denique t et calculo novo, nondum a quoquam to cujus si nihil valiud saltem specimina quaedam, mira
satis, jam nunc dare possem. Sed quid cartirium in errorem dixerit judicatu facile est: versatior erat
in Apollonio quam a Archimede; et in e Vieta quam Galilaeo. unde nondum, illi occurerat
u
via ac ratio perveniendi ad dimensiores curvilineorum: cumque solit nimia inge fiducia, eosdem
it
tostici due et ciopuituas damarae tinte essespraret ta alitea de salo sue spitius t
Anvintorum maltituo
fatebitur 
post Archimeda
t Gatila srintora
exrare
thematicum, in
possen
et majora
disti possi

## Folio 83v — 00068108:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 82r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 89 lines, status machine
e
relationem inter rectas curvasque negavit, ab hominibus cognosci posse.  Quae monenda
putavi ut- quae postea eventus refutasit. 
a  ideo monui, ut intelligait
homines, ati esse quasdam in Geometria inveniendi artes, quas in Cartesio frustra quaerant.
Aactenrs seculus orationis filum, cum dixissem Algebram superiori seculo inprimis locupletatam,
Geometoiam nostro, inde paulatim ad Vietam et Cartesium delapsus sum, qui Algebram Geometriae
praeclare junpere, nunc ad eos  eot venio, qui ipsam, per se. Geometriam nosu seculo praeclariis
Arc
certe maxtrou
Primus omnium Galilaers Aritimedeas artes mihi videtur revocass
insignibus inventis auxere.
in lucem. Certe quae aliubi de Certris gravitatis, de Mota projectorum, de solidorum resistentia dixit
Aei eilli Amicus illi Cavalerius fuit,  et honorificam ejus
non alio ex fonte fluxere.
facit mentionem, et credibile est hortatii Galilaei excitatum Cavalerium issea Geometviam indivisibilium
prasertim
quan ctdandanu dedise.  ludivisibilium vex multis effendisee, solie
etuet
limi haesisaret ipse (avalerius, et nescio quos  Gordios nodos. Et Guldinu egregio lentrobams
lorum opere celerris, in sermonis potius quam rei novitatem stylum strinxisset. Equn u
illa quem sevelia eaQuod mihi satis manifesto est indicio neutrum satis interiora
Archimedis intellexisse. Vidissent enim ambo methodos utriusque ad ad unum idemque reduci, et quae
binus de via centri gravitatis pulcherrimo theoremate enuntiaverat, non nisi partem
Es Methodi indivisibilium generalis. Cavaterius quoque indivisibilium suorum aequidistantiam
melut rem omnino necessariam non semper xegisset. Equidem fatendum est primam  Cavaleti
Methodum indivisibilim satis adhuc rudem fuisse et limitatam; doncc, Torricellius am venisinus
vir ingenii, elegantibus q inventis auxit ex quibus solidum Ayperbolicu ipsa rei
novitate eminet. Quis eniq unquam somniasset, solido cuidam infinitae longitudinis aliod finitum
aequale exhiberi posse. Dum Vero ista in Aellia agitantur ecce norum de iistrariso. Idem
Torricellius (BiCydoidis mensuram publicant primus, quam R in in Gallia
diligentissimus accuratisimus Geometra Aegidius Robervallios sibi vindipavit, de quo inter ipsos reciprocatae lites
ubi defeceris
magis quam pro rei merito ac difficultate acres. Cum ut recte ait amilus quidam meus, Gemetra
in his studiis praectare versatus, cognita semel indivisibilium methodo, non sit difficilius cycloeidis
quam Trianguli aream metiri. Idem Robervallius spalii Cycloeidalis centrum gravitatis, rem
a ut tunc erant tempora non ex facillimis, psolidaque circa basin pariter
atque axem, deprimus exhibuit
q
Haec dum inter Gallos itatosque agitantur, ecce de improviso novum in Belgio Geometriae sidus
oluxit. Iserit P. Gregorius a S. Incentio  e Societate Jesu, edito de Quadratura Circuli epere celebris
quo etsi propositum non sit consecutus, attamen praeter innumera theoremata elegantia accessionibus
novis atque ingentibus scientiae pouveria protulit,, ex quibus mea sententia eminent: doctrina ductuum
ut  di, doctrina Ungularum, ac denique relatio inter spatio Hperbolica et
Logarithmos comparatio parabolae et Spiralis, ac denique Relatio illa admirabilis inter spatia
Hyperbolica et Logarithmos. Quodsi P. Gregorius  Calculum in potestate habuisset, et
Mechanica Archimedis et Galilaei inventa pari diligentia fuisset prosecntus, poterat e
cum omnibus sui i aevi mathematicis contendere de primcpatu.
circuli promisso debitae landis plurimum
Caeterum inani proQuadraturae
site
quam quid feceris.
amisit, solita hominum malignitate, ut magis actiment
Intererat tamen Geometriae, admoneri homines ne autoritate
tanti r deciperentur, quod modeste et citra autoris injuriam a proplais quibus
item
quid non feceris
ipta
docrissimis viris factum est
jam deferbuerat haec contentio, cum ecce novi  in Republica Geometrica molus per Galliam excitantur
autore Blasio Pascalio  summi ingenie Viro, et quo ad Galiscei et sartesii laudes nemo
esto nomine
tunc propius accessit. Is sente ettaillaei nomine, Prublemata quaedam circa
di centra solidorum. Cyclotidis  et solventibus intra praestitutum tempus, promia proposuit.
obtulere sese duo eximii Geometrae, Wallisius Anglo, et P. Laloverato Soc. Jesu. An in
ciss
tempore veuerint, alterius fori res est; satis fecisse autem, et suo marte unumquemque solvisse dubi
lisa
Pascalius tamen slutionem suam Dettonvillaei nomine dedi prior, aliaa
in Eproto praeclara inventa in Epistolis  subjecit. Factu est autem ut problemata
dubitari non potest.
Pascaliana, occasionem aliis e longe praestantioribus darentimaran christoptarus Uren Anglus cum nescio
quid circa lyclocidem motiretur, ipsiue Curvae Cycloeidis dimensionem sane mirabilem detexit. Et Pascalius
hoc intellecto longius progressus, e secundariarum Curvas aequari Curvis Ellipseos pulcherrime
ostendit.
Hic vero Naltisii mentio
admonet Arithmetice infinitorum, Retulit mihi
diae
Equidem Robervalius mihi retulit, Fermatium parabolas
cujus palcherrimum nihi semper um et inventum
altiores dimensum esse primum. Allmulte ph decti et crediderim de illis quarum ordinatae sunt rationalus
ad abscissas; nihil enim aliud ad harum dimensionem requiritur, quam ut summae numororum, quadratorum,
cuborum, aliarumque potestatum initi poss ineantur, quod poterat utique Fermatius Sed irrationales, qualis ista
esset, x ax  V aliaqu multa multasque alias figuras, non aliter facile tractabiles. Wallisius, conjectura
quidem atque inductione, sed ea certe pulchra atque ingeniosa,  mensurabiles déprehendit. Cet
Intelligo autem Doctissimum Virum Ismaelem Bullialdum in eo esse, ut Arithmelica infinitorum demonstrata ac locu–
 sletit, a  sa sulitarimamu prerit  tatimuus coniocuimis igenrali teconstratione
Sed nunc tempus
prastitetit, n rem sane puleherrimam fecerit.

## Folio 84r — 00068108:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 85v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 80 lines, status machine
Sed nuni tempas est ut A ad Hisque
Serco Pascalius sive Detton villaes cum unam
in circulum
ex literis suis Hugenio inscripsisset, momnet in endimensionis superficic Conoeidum, velut 
Hugeniam invento jam tum mentini  Nimirum Huger
conocidis paraboliova ratione, inven eaque pulcherrima
invenerat haec duo, Parabolicae superficiei  reductionem ad Circulum, et dimensionem curvae
Parabolae ex data Hyperbolae quadratura. Idem postea deprehenderat  Conotidis Hyperbolici
superficiem mensurari fosse ex data Hyperbolae, Quadratura. Sphaeroidis autem lati quidem lex
perbole
circuli dimcnsione H compressi vero ex Ellipseos quadratura supposita. Horum ipse constru
ctiones in op novissimo de Aorologiis oscillatiriis opere dedit. Constrnctiones vero Demonstrationem
autem non difficilem scio, nam et mili de meo ncomperta inventi origo t nonnultarum
hae
vibus alia nonnulla
nota didensio est. Idem Augenius primus quod siam Cisseidis pariteo tatus omnium ejus partium
dimensionem invenit, ex data circuli quadratura; quam lalliti et Wallisius ex
Augeni Epistola retulit in opere de Motu. Nia evece quemadndolum ipse Wallisius ex
data Hyperbolae quad ratura Conchoeidis figurae quadraturam (ubi scilicet, circulum generatorem
exemeris) deprehendit
Denique nec Celeberrimi Viri Renati Francisci Flusi
slusii ponteren praeteneundae videntur Margaritae, qu sive figmae a forma sic appellata,
quarum ille dimensionem invenit, ut patet ex subjectis Mesolabo, et quadam ad ipsum Epistola
Destonvillaei.
ut difficulter incrementum accipere posse videretur.
quarundam
cum ecce e exgraetationem dimensio curva Arayticae curvarum Analyticarum reperta
nuprovio
bsoluta
(retantea plerisque desperata) increbuit. Hanc primus omnium publicavit. Heuratius ingemosissimus Heuratius Batarus
ut secundo volumini Geometriae Cartesianae cum Schotenii Commentaris editae adfecit. Id vero dectissini
Angliae Mathematici graviter tulere,  et Guilielmo Neilio doctissimo juveni (qui non miniis
ac. Heuratius immatura morte mox extinctus est) inventi honorem vindicavere. Et resuscitata
nuper controversia est, occusine libri Angeniani depe cum Hugenius in libro de Horologiis civi suo
ptore
Heuratio jus quaesitum asseruisset, Wa Illustri Ban viro Gulietmo Brunckero, Societatis Regiae praeside
et A Wallisto amicum osm duentibus. Non nostrum inter Vos. Praeser
Rinile sit alterum alterius ignarum
dudtus mihi jivenis est, quer Merie
Secuta est Regiarum quarundam Socielatum sive Academtarum nns panitet) quiduonte Marte ad easdem meritu
ost becovam studiorum Periodum incipere licet, exu secta est Regiarum Academiarum
sive societatum institutio coepit  bi Hugenius admirandam illam Cyclocidis proprietarem detexit, qu
qua fit ut gga. seipsam describat evoluta, et ut pendula inter cyclopides agitata sint isochrona
AtTac. Gregorius Scotus libro de Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, elegantes quasdam et compendiosas
Simgeniosis in
appropinquandi rationes dedit, ope serierum convergentium quarum ipse primus naturam examinaverat,
su lEo
Pondratura Hyporbolae Nieolai Mercatoris Germani, Ggometrae egregii qu N BroVice comes
impossibilitatem, in quo 
Brounckem societatis Regiae Anglicanae Praeses primque quod sciam certae portionis Hyperbolae quadraturum
dedit Arithmeticam oris per infinitam scilicet seriem Numerorum rationalium. Novissime
in univers
Nicolaque Mercator Germunus, Geometra egregius comnium pariter Hyperbolae partium Arithmeticam quadraburam
dedit quadraturam per elegantem. Circuli autem et partium ejus Magnitudinem infinita numerorum
rationalium serie exprimer non ita promtum erat, nam Hyperbola AF Asquse ordinatas in Asymptoton
habet rationales, unde Mercatoris inventum fluxit, circulus autem utcunque tractetur ecirrationales hat praebet
ordinatas. Ego vero cum Theorema quoddam generalissimum reperissem, cujus ope quaelibet figura in aliam
plane diversam sed dimensione aequissollentem converti potest, experiundum statui, an non circulus aliquando
putir
in rationalem transuntati posset figuram, quod vero tandem prtare successit, quemadmodum in sequente
opusculo fusius exponam. Hoc interim loco summam rei paucis perstringere operae pretium erit
Nimirum plerique qui Germetriam indivisibilium hactenstractavere, figuras tantum nter in rectangula
aut certe parallelogramma ordinatarum inter se parallelarum ope resolvere consvevere. Cm Mihicum
temper Desarguesii et Pascalii mire placuit ratio, qui in lonicis, ut universaliter loqui possent ordinaturum nomine non tantin pare
praetertim cum
 rectas ad  unum punctum fixum concurrentes, sive convergentes, quibus paralleta, qua sub
comprohendant C
nomine tum
convergentium nomine comprehenduntur, si punctum concursus infinite abesse dilatur, continentur. Itaque cum
alii parallelas tantum ordinat o tractassent,  converigntes quoque experiundas putavi et figni
in paralletogra mma Cavateriana methodo resolvissent, ego adtubitis convirgentibus resolve figuram
datam in triangula CD(D) C(D) (DD ,et mox aliam exhiblo cujus ordinatae AB, B) erc.
his ipsis niangulis su prsoportionales essent. Quod fiet si ipsae AB ipsis CE aeque nY
posito rectam DE esse tangentem curvaedatae. Jam si cuqua B) () sit apsu circuli cuius
diametri L portio CA ita enim ut infra ostendam efficietur ut spatium sit dupo
segutnti oe cot de poto it geti catibe sguna in B) dc lia ee aquvater, exhiteripoe.
quad Hugeniana
vascetire ab
tionesve
venisse sero

## Folio 84v — 00068108:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 85r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 88 lines, status machine
itionem
Jam posito cuvam B DB esse circularem, et AB BC diametrri tunc
A CF vel ABy. ex radio Eirculi, ainitate
(19130000000060
appercata
appellata
posita CA vel 
cutculus ostendet
FBCX. et radio circuli
esse 20y   Adesque ordinat Xe FB sive X, ex data CF abscissa, sive y
e vatorem
xtionaliter habeeri potest. Et has figuras, in quibus rationaliter haberi potest ordinata ex data
50910039341500 abscissa, voco rationales Circulo ergo figuram adhibui exhibumus aequipollentem rationalem
d
377500 quod ad Quadraturam ejus Arithmeticam sufficere moxpatebit. Nam ex nota Geometris
119760395577500 summa  terminorum progressionis Geometricae infinitorum decrescentium, erit
y+ y- y  etc. in infinitum; idem quod yt seu idem quod X
modo intelligamus y esse quantitatem Unitate seu radio minorem
jam cum infinitae
=(132574274725 sit X in unam summam colligendae, ut quadratura figurae C) (B) BC,  et quae hinc
dendet circuli habeatur. Ideoque et infinitae, y-y +y -  etc. in unum erunt
colligendae, id vero per Mothodum indivisibilium atque infinitorum non difficulter
fien potest, posita enim ultimam Y ubivis, assumtam ut C(F), esse B. erit
summa omnium y, idem quod V. et omnium y summa erit B, et omnium y erit Y
et ita porro, et ill summa tinfinitorum X, seu n infinitorum  = y +yy etE.
vel semiarea spatis C(F) (B) BC erit b3- b5 + b7 - bd + b = b etc.  Hinc
jam ope Geometriae communis non difficulter deducetur circulum esse quadratum
a diametro esse ad circulum, ut est  Z ad + - + = - L + L - L etc.
et generaliter loquendo Tangente arcus posita b erit arcus ipse
bTangens erit b erit ad ar suum arcum, ut Tangente posita b
i
 erit arcus ipse b - b + b = b7 + b- b et c Unde jam quivis sine
tabulis, et perpetuis anguli besectionibus radicumque extractionibus ad quantamlibet
arcus magnitudinem quantum libet accedere potest quantaliber ex actidudine, ut
si ponamus tangentem esse arcus propositi esse decima radii modo b st tangens
sit paulo minor radio, ut si sumamus tangentem decima radii parte minorem
utique nec jam satis exacte habebitur arcus. Ponamus enim tangentem esse Jomam
partem radii et quaeri arcus magnitudinem, erit illa: L +
10
3000 59000700e, 000
0g0o voo uequos eos, no etc. redudisque omnibus ad communem divisorem, ald. B in animieris
51976039551156
neque enim ultra progredi operae pretium est, erit arcus, paudo major quam
 ac
1009000 000ost
5, 197500,000,000,000 pars Radii. Nam si novissime non subtraxissemus
fuisser  major vero, nunc ubi subtraximus est minor ver, 1109, 000100 eo
1,000, 000,00, 00
Eodem
1100,0001009000
modo Vides quam facili calculo solis additionibus, subtractionibus et multiplicationibus ad
quantam exactitudinem sit perventum, quam nec tabulae asse quantur. Quodsi
aliter tangentis ad radiuum data sit ratio, poterit arcus inveniri, similiteu 
quod inprimis commode fier, cum ea in partibus decinalibus erit expressa. Cumque jam
arcum Circumferentiae ad radium ratio in numeris quantalibet exactitudine data
sit, hinc arcus dati ratio ad cucum ferentiam, adeoque et quantitas anguli ex data
tangente quantalibet exactitudine apparebit. Unde jam Tabulae nullo negitio sem
at
terebit, modo poterit etiam sine tabulis, nullo negotio ad quantamlibet exactitudinem
pervenire. Quanta autem daec sit Geometriae accessio intelligentibus astimandem relinguo
1039500000
10395000000
173250000,0000
4270
pe
518027621502675
5197603954159C
+b en
Ergo dato arcu
erit
sed hinc nihil
3
b t,p.b. et cop est
utriaque termini rationi
comescunt et pt
ot
35, 7,G
1, 5171
1135,91
1,3,5,7, 1
Grg 17325
BB
42
pparsf 10395(d)
e
glet7427
77
1975+4725C

## Folio 85r — 00068108:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 84v); this page is its right half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 85v — 00068108:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 84r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068108/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 4 lines, status machine
Ao reclam punctum. M cadere intra puncta. 1T. 27.
Est enim, agulus tangentes 1F1C, 2F2C se secant
exta curvam in  punctum   est extra curvam, pariter
it punctum M. ergo et recta Y.M