# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/38519/text
# Catalogue record: 38519 — De inventione logarithmorum sine Tabulis
# Incipit: Aequatio l aequ. n/l - n²/2b + n³/3b²
# Date: 1676-07
# Akademie-Ausgabe: AA VII,6 N. 034
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=38519&katnr=Cc2+1462
# AA VII,6: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-6
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,6, p. 417 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII6.pdf#page=417
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 298r–299v (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 298r°-299v°): 4 pages, canvases 595–598, page ids 00068201:0595 to 00068201:0598
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=595
# Lines: 389 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 298r — 00068201:0595
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 299v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000595.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 99 lines, status machine
ai
EP d
CE, FBIBE
EP  e a
CBB = AD CB= 15.
cB
  = AD, CB
2  A1 1) = AD
AB DEp, a. EFp ~
Errit EP vel CD, ab et
e GN vel CF
KF, et duobus numeris extremis βBT, K contento: Q. E. D. et LMvel CH aeq. ab ust a  g
Et quidem si
Aequatio laequM
et 
C+  n ex
vel aequatio: l aeq. d, 42 +d3 + d2 Hc
est ad curvam Logarithmicam
si priore casu b+n posteriore a=d. hit numerus.
propositio
Eogaritha
Ex datis Numeris invenire Logarithmos sine labum.
Regula autem haec est
b CB DC
orumue reciproci ser unt ut Logarithmi, series hae
a - h
t sa 2 
 Eu b 446 e
+ l = 12, 13 14
D262 363 46, dc.
vel serie
+d + d + d3 + 4t
13a
f3 + f4e
 ra gaie ae
+B + h 4 13+ s + dc
a E 2a 3a344t
us Posito esse aau   a = d aqu a
et ant es u otia
Unde si ponantur a aeg. b. ae. datesnumers    a + C vel 1
 erunt Logarithmi
Posito esse a d aq a
ate
 + ∞3
8tC. vel
3_ a
ara 3aa3
ac denique poit  a eq esse 2. erunt
nunerorum 1 + e, vel 1t logarithmi,
X
e vel a = + + 4+ 8c.
ZW
vel posito esse 1daq  Unde ollud quoque intelligitur numerorum
ADerit d. AFer G. et AH, erth.) reciprocorum seu fractorum  et integrorum eosdem esse logarithmos.
Nau Vincentio Centro C. potentia AB ab. sive rectangulo ACB
describatur Hyperbola VP NM. Ecudius Asymptoti CBE. CHA. sit CB aequalis ipsi b.
et C A ipsi a. sit porro BE aequalis ipsi e. et BG ipsi g. et BL ipsi l.
posito signum ambiguum +. significare + (et ejus contrarium  significa) erit
CE aequ. b + e. et  G aeq b + g. et CL aeq b + l. patet ptim ex
memorabi
peppetu
praecedenti jam ex P. Gregorii a S. Vincentio inventis, quod inn aerum memorab
constat si CD CE, CG, CL. sint ut numeri, fore quedcilinea YBEPV
VBGNV, VBLMV, ut Logarithmos. Na autem quadrilinia sunt ad ab
56 46+ hc. ad 1. per prp. dicta prtopositione pracedenti
potentiam spertolae, ut e. Ei +
& 
- d
36
ec adi
+ 13 1 Xc ad
Ergo et quadrilinea inter se erunt ut haeseries, a prunde et Logarithm; at hae series ejunt
Porro his redulineo VBEPV aequatur quadrilineum conju Zona conjugata VADPV. et
quadntine
VA D pY
N. et Zonae VB L MV conjugata VAHM. V, quae congugata
per prop. per p supra.
d + d , d3, 14 ec
VAFNV, sunt ut series 1 2a
V AAMY
VAHMV.
3a 44
A + + 4
2a+4a
h +  + B + 14
34 4a
conjugatae erunt. Jam Jonae
quod eodem modo et dictis propositione praecedenti
ostendi potest, ergo logarithmi ut hae quoque
series erunt, quippe tum ha seuies sint
praecedentibus respondentibus aequ
Quod eodem modo ex dictis propositione praecedenti, ostendi potest Ergo logarichmi
ut hae quoque series erunt. et. unde patet logarichmos numerorum quorundam
et numerorum ipsis reciprocorum esse e vig. logarifhimos numerorum 1. 2. 3. et ab ab ab
nam (id est si ab. sit 1. seu si a. aeq. b. aeq. 1 umerorum L. 1. 1) esse eosdem, quia logarithmi 
numerorum  EE. 
Numeri
divisae per quantitatem communem b.
ut reddant series prs superiores.

## Folio 298v — 00068201:0596
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 299r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000596.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
quae dixi consequentur
debent
CH. CF. CD
sum progressiomi
CDrd. CA aegu. a.
a2 - d p
a a- d
Ergo a+ d F a. quod absundum
 L +
0+ X
uit tnsbi .gt
1.25 1,21 4
in
b+ n
Cori
Eugxo t
nati, t
sit cylater cujus altitudo
tu
perpendicularis sit aqualis
sau
rectae AC. basis vero  sectio quae laibet per planum
drilines
bas
AHM
paralletum) et A quinqu lineum Hyperbolicum VA CLMY
curva MV, asymptom porobus dinatis
(cujus centrum C. aspert
ab ab- ab 4ab angulos rectos concurrentibus, et duabus ad has asgraptotos parallelis
n+ 1h
AV, HM comprehensum jam per pla rectam = HA
orius alin
a S. Vincentio appellat
quod a corpes cylindricumt in duos secabit truncos, vel ungsulas, ut c ex quibus inferior
(ut notum est Gromet s) ad basin pertinens, componetur, ex spatis VACLM V
op
instan
ant graduum sibi eodem
poptos
numero infiniva
quo vides situ superpositis, ita ut posito infinita ejusmodi spatia sive folia esse
sive intervalla, DF, _FH, etc. esse infinite parva, erit eadem foliorum spissitudo
sint
quae sive altitudo gradus cujuslibet qua super proxime inferiorem elevatur, quod est
 ergo Cum ergo. spatia
haec sint ut Logaritimi, erunt hrunci _ hujus Cylindri trunc Ungula haec pC
ab duorum hornui spati
ejus
umeroum CF. CD. C A
quam Waltis continebit Logarithmorum summas, et portiones cejuspus ungulae
uperi quaecunque plano bati parallelo absectae continebunt ordine Logarithmorum
Superior angula eadem est cum ista, qua inferiore, quae
alia quadam inferiore, quae absecaretur ex eodem corpore Cylindrico per planum
Summas.
seminormale (non ut ante per rectam CLB sed per rectam AV transiens. Itaque
duae ungulae simul sumtae, una ex semiquadrantales (ut vocat W allisius sinu
sumtae uina ex corpore cylindriao absecta per plane seminormali transgunte per et
valtera t plano transeunte per AV. corpus cylindricum componunt. Est autem
Ungula abse quae omnia Ggeometris n hodiernis nota sunt Porro Uengula e
hyperbola continuaretur in infinitum  donec asumptoto ocsurrat infinito abhinc intervalloin
e
b +n
Porro ex intervallo Torricellii manifectum, et per se a (de dimensione solidi Hyperbolici
demonstratu facile est. Ingulam per plano per
AV transeunte absectam aequari cylinda sub rectangulo CAV, et altitudin CAB. demto
acuti infiniti) n anifestum, et per se pluralle pede
q paralle sepipedo sub quadrato a CA, et altitudine AV; e (vel sub potentia Hyperbolae
et altitudine CA). demto cylindrico cujus batis idem quadrilineum Hyperbolicum
opore
VAHMrbasis altitudo autem LHC Habemus ergo valorem duarum Ungularum, unius
plano per HM tan seminorinali rese per HM resectae quae aequatur summae Logarithmo
alterius plano per seminormali per AV resectae quae aequatur parallepipedo, minus cylindrico 
Hper cujus, basis quadrilineum propositum, altitudo CE. At aliunde serinus ut jam dixi
summani duarum ungularum aequari cylindvico Hyperbolico, cujus basis idem quadrilineum, altitudo
Habebitur ergo aequatio hujusmodi: sum. Logarithm. + parallelepiped. - quadi 
VAH M
quadriliu. in AH. vel sum. Log. + Paril aequal. VAHMV in AH + HC. sive summa logarithmorum
vel ut propne ma aucta numero in Hyperbole potentiam
ducto
VAHMV
 VAHMV non tam logariisum
sunt, quam ad logarithmis proportionalia: Summa spatioru ogariomis proportionalium aucta
in nimerum. Vel ut magis proprie loquamu, quia spatia
Ultino in paralle pipedo facto ex ma ultima assumta recta numeris pro (vel mmne rectarum
numeris proportionalium, in potentiam hyperbolae ducta; aequatur ipsi spatio logmrithais prop
quod ultimi hujus numeri logarithmo proportionale est in utt rectam ultimo huic numero propor
tionalem ducto. Describatur jam curva quaedam Logariohmica, ARS T, talis naturae
salices, t onuato. ER. Fs. HZ put sput va Der, vatars, caumr propartinales
fpret V
si rectangulum CAVB, seu ab esse quadtaum, seu a aeq. b. foret
quemadhiod
linprim
si ponatur
verter
Hyperbolor), unde reliqua
aeii
bellit

## Folio 299r — 00068201:0597
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 298v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000597.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
donae
sive ut rectangulum CA in DR, aequetur ati VADPV. et rectangulum CAFs, aequetur
zonae VAFNV, exea  nspatii et rectangulum CA in HT aequetur spatio
NAHM V. ita enim, to cu corpuscylindrisum cujus basis AHTA figura logarithmi caltitudo A
aequabitur ungulae cujus basisquam AHMY) per plano per seminormali per Et M abscissae
elindio
spatium Hyperbo
seu summa ommum spatiorum loganthmis proportionatium, ergo aequatione santo ante
inventa: sum. Log. + Parallepiped. ex CA in CAH aequ. CA in VA HMV i o pro summa
Loyarithmorum, seu ungula quamdixi, substituatur CA in A HT A fiet:
CA in AHTA + CA in CAV aequ. CA in VAHM, et demta altitudin ommumi s
communi CA, gura transponendoque erit figura Logarithmica AH 7 A aequalis
eit AH TA + CA in CY (AV. aequ. V A HM. Ervi icalculo, ita enim ratum AHTA
foret nullum c CAVY VAHM.
nd + l + a + + 
ap an
bin
12b b2, 36 15. 4b
12b 12 1. b 5. 5
+-
12 + 13.
12b 123b
13
Pn
itc 
14 et
en dCX
in 2sapi eu rina Ergo pa  ex es n3
i Ergo n- sutata
et na a sns1 B la
Ergo X du p al +. 
Ergo vdn
eb+n
aatS
ergo na-asndt Bab
et diri ab an
Ergo _n + sn dl , l et an + nat B al.
abtan
et bdu + naTB b dl. et b an d
b - n
ex eb
Ponatur C dn aequalis vel prostartionalis ipsia a. posito ab. esse potentiam Hyperbolae, erit
12b 1,2,V 1,43, b3
et bcdu aeq dC  V. sit can aeq a. fier:  sitque ab. potentia
Ayperbolae, erit ab y. sit CA,, b. et AH, n. eii _CHb.n.  et HMp ab
b -n
b - n
ab an y aeq adt,  sive se in spatium
Hyperbolicum VAHM. ducatur recta AH. vel rectangnum erectum VAC, baseos CA, altitudinis VA, consta
ed quoniam res videtur jam regrediamur:
6-n
folidum gereratum constabit exmitai rectam ulis parallelepipedis quorum per plana basi perpendicularia sectum
constatit ex paralle lepips, quorum altitudo AY bais communis AV, bases  exigna quadrilinea, NFHMN
PDFNP est quonum vel p D( NP, vel, vel quod idem est rectangula NFH
seu differentrae logiritus
proximorum, posito FA HF, FD et. esse infinite parvas. Quoniam rero in infinite parvis, quadrilinea
haec a rectangulis HFN, FDP, non differunt, rectangula autem haec su ord inata Hy perbolae
in ipsas _n, vel FD, differentias numerorum. Hinc habetur aequatio inter ordinatas Hysrbolae in differenti
numerotum, et inter differentias logaritdmorum
Cinfinita
res rectur abinitio ita repetetur
absoluta et geometrica sine suppositatoganidimium constnct
Constructio autem haec est:
CeC. Luadratura figurae Logarithmicae.
regu est sint primum numeri ps decsn CD, CF, CH. eorum Logari thmi DR, Fs, FT,
m  spatum
suintis
q quadrilineum nmmero novissimo assumto βT (vel CH) duobus pumeris primo
CA, et novissimo βT (vel CH), asumptoto demque CB et (asymptoton enim habere manifestum ess
ac curva AT comprehensum esse df aequale rectangulo sub primo numero assumto
et AC) sub numero no primo CA, differentaqe  et n C), differentia numeri novissimi
3Y vel BT vel CH, a suo logarithmo CB vel HT. Numerum autem primum voco, cujus
Logari ust CA cujus logarithmus hoc loco assumtus est infiniteparvus sive nullus, faniam in A curva
intelligatur
centro C. asymptotis CL. CA. describatur teni eA R ABsibulbatur per punctum  descutr
normalibus
 VP NM, cuius ordinatae AV, DP, FN, Ht M. _c, et quoniam
axem secet +
et quoniam spata VADPY, VAFNY, VAHMY, logarichm it  pro DR, FS, HT
Hyperbola sequile
proportionales sunt. Quodita fieri ponatur ut constat, ponantur autem ita
esse proportionales, ut rectngulo Zonae sint aequales rectangulis sub loganithmis
aequetur
respondentibus, et altitudine communi AV, exempli causa, aut unoritimem
Qonae VADeY et ita in caeteris. Ergo differentiae Zonarum, ur PDFND, NFM 
 aequabuntur differentiis logaritmorum in VA ductis. Ponantur jam differentiae sexonarum seu quadritmea
honarum esse in finite parvae,  differentiae numerorum DF, FH, infinite parvae
V sint; patet (et facile demonstrari posset) pro his quadrilincis exignis DN
FM assumi posse rectangula FD _H N rectangula ergo haec differentiis
AFN er
ogdinatis Hy perbolae, in differentias numerorum, et ordinatae Hyperbolae, DP, FN, erc
frunt ex potentia Hyperbolae seu rectangulo CAV, divisa per numdros, CD, CF etc, exempli
gratia Cgu agui cert. cvetar Fos. apui  ea u aim td. atitem apo. A) in 8
et snan-andlgaba
Cexigna
exempli causa rectanus.
FDP, rectanus ulo VX m
posito erunt enim B5 et
similes, etiam infinite
parvae

## Folio 299v — 00068201:0598
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 298r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000598.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 93 lines, status machine
c7. de
a C1
SAB+ pa
.18 (07 v ehc
epest, 9
c - 3
dc- cd F d pFg. d 7- + = M
co +9β
gc. c4d1+4
demtaque communi altitudine A erit CA in B F
aequ. AS. vel
inter
CA in FD, aequ. CD in DS, vel aequ. DC F in DS, quoniam CF
et CD, differentia FD est infinite parva adeoque negligi potest
Eodem Ergo A( (aequ. CA), in CA ducatur seu describatur quodratum
CAM ut sint PF E H, ec. ipsi cA aequales erit rectangulum
EFD (id est CA in FD) aequ. rectangulo 8SD, (seu CFinBS) eodem
modo ostendetur rectangulum ED F H aequale rectangulo βT. et
rectarmulu
DHD L
ita porro, adeoque semper paralle grummum aeqtur id H D
aequabitur spatio et ad quod utique Geonc per Geometricam ordinariam
habetti potest. (quo aequabitur spatio T βoV RT, et parallale
logrammum c sIA sive (n A H, aequabitur spatio ab uno
detatus in
ab una parte (e A) completo FB C AT; ac denique ipsum
( totum rectangulum n AC, id est quadratum ab umer) AC, aequabitur
 toti figurae togarithmicae infinitae spatio utrinque inft eteA.
ae completo, seu spatio ab una parte in punctum desinente, ab altera
 parte infinito, ACec A. Eadem demonstratio habebit locum
CB. 1o + cormh. ubisi n.
umeri sumuntus
etiam cum curva Logarichmica TA postquam CDA secut in A
in alteram progreditur partem ut in K. posito KX logarithmo numeri
CX. erit enim rectangulum MAX aequale spatio AC 4K A
oHX C
Concludemus ergo generaliter. Rectangulam sub numero primario (id
major quam b. serestion es derosiens. est illo cujus Logarithmus positus est 0) et HX, duorum numeron
2+ 83
200, 
2ed -d7) Cp. 194 87171
soi redanda
c- ecd + 4
0( 1.
512829
512829
4615461
1025658
410263
1025658
5.12829
2564145
extremorum  PK, βT differentia,  comprehensum; aequatus
spatio Zucadrilineo T β Y X F, dubsa symptoti portione 
(id est quae aequatur logurith H  logarichmo numeri (3T) arcu curvae
Maqus ingens est consensus inter dimensionem ffigurae numerorum
Sinuum ad arcus applicatorum. Utraque enim metri omis
ope rectangulorum humsod, Utrius que enim area perpetuo
2e + 40000000000000 Sinuum vero radius circuli generaboris. Caeterum figuram Logarihmicam
hactenus quod sciam quadravit nemo. Possem ejus tangentesdefinire,
 aliaque multa singularia circa tanti momenti curvam annotare, i
4ne 630000b00
nisi ad rem tantum pertinentia dicere constituissem. Nam 
unque pulcrae
7594996671664 abstimnissem hac propositione nisi ad sequentia demonstranda, et
21nc1 40000003
24487
38161513
Regula haec est
+21d  2051316000000
788980749723
1262336250276
Scholium
ad logarithmos applicatorum, seu Logarithmicae, se et figurae
 peadet untasat
pladet unitas assum
gura
2 +. 5259871664 le quae recta constans hic est numerus primarius; in figura
ren gcdr
2c5d
methodum Logarithmorum inversam, id est inventionem numeri ex
demonstrandam
dato Logarithmo conferre iss animadvertissem
Ex datis Logarithmis invenire Numeros sine Tabulis
Unitatio
et si pluces unitas
Sit B. numerus primarius, paetV cui p Logaritimus dedimus O
numerique quaesiti logarithmus datus Unitate minor sit X
en aequ. L +
 ei pa
vel tistem positis fiat n aequ L- l + B ∞ l es
eritque numerus quaesitus (  1-n vel
yt o