# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/38909/text
# Catalogue record: 38909 — Quadraturae circuli arithmeticae pars secunda
# Incipit: Propositio. Magnitudinem arcus circuli invenire in numeris rationalibu
# Date: 1676-06
# Akademie-Ausgabe: AA VII,6 N. 028
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=38909&katnr=Cc2+1102
# AA VII,6: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-6
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,6, p. 354 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII6.pdf#page=354
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 105–108 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 105-108): 8 pages, canvases 209–216, page ids 00067993:0209 to 00067993:0216
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=209
# Lines: 599 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 105r — 00067993:0209
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 106v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 76 lines, status machine
Aropositio
rationalit
Magnitudinem arens circuli invenire in muneius quantum libet
vero propinquis, modo tangens in numeris sint data
Si arcus est m aetante ciircum ferentiae, erit BC  (vide fius...) seu t
minor quam AB seu  adeoque feries arcus, a magnitud iema exprimens
erit decrosrens,   t- t L Soai ndini
per unitatem, erit et d numerus magnitudinem ipsius +. unitat s
exprimens, erit frectioitate minor sive frectio. adeoque potentiae ipsius erm
numeri +, erunt quo altiores, hoc valore minores Et series
sut
 f+ l’s t
es uttntraed
etc aequal. a. erit decascens
Si avius est major octante  resecetur ab eo ortans quoties fien pot est et
residui arcus monsea quaeratur; qui octante major non est. mensura quaeri
potect. Addatur ejus magnitudini inventae inventa sqo em
eri
se 2itiam
mrtis minus dissero
magnitudo. (Octantis enim magnitudo inveniri potest, cum octans octante in ajor
non sit:) er habetatur area arcus totius. superest, ut ostendam arcus toti
octante non mujoris haberi posse minsuram, erbris pro a vera minus sit minor
s
e arft,
ostensum est
conollorio propositionis pracedentis, posse quantitatea inveniri,,  in numeris rationatibus
( modo tangens sit  sit in numeris rationalibus et radius Y. in numeris rationalibus
sint datii) differentem a rera minus quam  vel F vel L vel  eM.
14
7r
at numero quantulocunque proposito semper aliquis horum iiso adhuc minor, inveniri
potest, nam et si (in casu quo hinumeri maximi sunt minimet decrescunt) esset
aequalis r. aequalis et ambae unitati, forent numeri hi iidem cum, iisdem
 L et. quorum aliquis erte mullus autem numeris
inveniol potest egsm aliquis ex infinita horom serie reperiri posset ipso
istis 3
apum
ad huc minor; nam ponatur esse utcunque purvus, erit parbus ob magnitudinem fractionc
Denominatoris in fractione ipsum exprimente; et alius cujus numerator unidas, nominator
verro aliquis imparium ipsius assumti moninatore majorqualis potest esse aliquis
ex his . f. . L etc. utique ipso minit erit. Cum ergo arcus magn
orror quantumlabet Parbus reddi possit in e casu quo errores + vec  vel 6
maximi sunt, muttomagis seu cum t vel AB, BCo aequatur ipsi AB vel Y. id est
in octante; erit id multo magis firt eo castn qua  est minor quam 4r.
ubito
otem veru in agmitadinem
et commode ad scopum quantum satis est,  accedamue cexponendi logs erit in
appendice de vetango Trigono menia sine Tabulis absolvenda. Nunc illud
breviu adminere suffecerit; si arcus sit pa quantum satis est parou, seu
si t multo miner radio, fore nore in q tertiis quaotis ve sercet
ins
adten fic
turc si radius sit
siit 1. ceit , silitet t,  to t
qetamt et
Xro 
810 00000
Unde si ponatur arcus B0,  seu ax esse +-1,  erot (per conoli spiticad.) cu et
minur puni X F Unde si ponatii arque B0 s a esse
Er 57
on
3000
500,000
erit maguitudo provenieas major vera, sed extesus erit nunus quam , seu minor quau
Unde facile eris invenire angulum Triunguli ABC ex datis lateribus, AB, BC
si
70000,000
AB AB sit 1. BC sit 1 (sed si AB sit ad ABC ut 10 ad 1) ants magnitudo
B0, angalum BAC BAG magnitudinem exprmentis longitudo  hatebitur stanm
fantere in numeris tam prope, at erar sit minor quamanjo tovoro ipsius
AB. quod sive
jam ciram ferentia mau magnitudo etiam in numeris ex neri assumaturis ratio
qualis scilicet sam a Ludo pho exhibita est, et ex nostris fonge facilius stoni poteet pohusser
et arius BO. ratio ad eam, anguli magnitudinem dabit, ita ut enor sit simputo
secudo nr muto indina. Sid svi ex emptum dptur undi tantmi causa adjeci,

## Folio 105v — 00067993:0210
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 106r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 65 lines, status machine
quod si acus angulus. semirecto im multe minor sit Si cangulus sit semerecto
major uno autem trcangali angulo BAC, habito, et ulter B c A habetur.
cum simul compositi faciant rectum e si Alterater itque eorum semper
Eandem ob causam alteruter eorum semperent min seere semirecto non
umajor. Eum e Eum ergo assumi consultum est, pro angulis Trianguli ex
datis lateribus indemiendes. Quod si tamen itium is. etium uterque eorum sit
semirectus, seu si eitiam mmnor a semirecta si parum,
cuam faus s aliquandi dupius
Stribus terminis anguli
ad summum angut du duas aliquam ad dum mum
bisectionem exhiberii et dimidsi anguli ex dimidii anguli tangente in numeris
dato reperiri arcum.  unam anta ant si magnam exactitudinem ulum
desideramus quaerimus, repetitam Ta bisectionem adhiberi, et dimidiamucum
3
investigari
ex suo tangente in numeris dato quari, quae semper magna facilitate fii
cujus duplus erit quaesitus. Sed haec in Appendice de Trigonom eria
sine Tabulis fusis erpoabuntur absolvenda, fusius explicabuntur.
clam fulu
propositio..
eius ets partium
Impossibili est, Quadraturam circuli Analyticam 
universatem, seu, magnitudinem arcus ex data tangente,
geveraliser
generaliter expressam c invenire; quae transcendens non sit, sive
quae aequatione sinita ordinaria per expressionem quae n
transcendens, sed comunis ommnis finita, communisque formae,
adeoque genef perfectioris sit generis quam haec nostra, qua
ivenimus  posito Fangente t.  radio Y, arcu a,  esse
esse a aequalem =-
1t 1d 3Y
+ +5= +7 + f9
erc
514 776 1 y78 an 1∞10
Aisaec propositio velut Cdronis erit contemplationis hujus nostrae. Eam
si fieri potest
vero rita demonstrabibumus. Sonatur relatio inter arcum tangentem
et ratium finita quadam aequatione esse expressa,communis formae
esse expressa, qua in qua ut c A 1 aq. cognitae b. vel
a+ cd aequibum vel a + da + da aq b. vel a a  da caa
caa suce vel quan iasenita. Pomantur numeni, b. 5. d. C. et esse
et
cogniti, ex ipsis scilicet T. Y. cognitis formatae a autem arcus quositus,
  quantilas incognita aequationis ad gadum quadraticum, aut cubicum, aliumve
altiorem, ascendens quonium ergo aliquam ejus modi aequatio num sefficae
aoevo id ex hypothesi ad arcum quem liber ex data trmente inveniendum
 sufficit, ideo sumamus in exemplum uaam ex illis, un a+ da +ca
a itoque secti A inventio arcus ex dato langente, erit problema  sualbo
Solidum
quae necessamo qeci C+ +t f aequal. b. vel C+ + dF + e t a + Ha + ma aeq. b.
TYI vel c+ + dl  eta + ff+gta+htae + pae + nae +ma aqulb.
er ita porreita enim in qualibet gradi per omnes formas poib simul com–
in quolibet gradu formulo generalem exhilentur, ad quam
seciales, semper potermit, reduci eos t literes
duoonslectendosi
b. c. d. C. f. cn
no aequationis sucitalis poposide sro n numeres quibusdam cognitis (radio pro unitate assumto), aequationis specialis
e
propositae, substituendo, cum suis signis,
aut etiam aliquas harum literamus
quarum termini scilicet ii speciali deficiunt, nihilo aequales ponendo. Ut
si sit aequatio specialis
3t + 4 t - 6t - t a  r0 +5a aq. 10
hanc com tertia comparando fiet C aq. 3. et daeq. 4. et C ag. 0. et f aeq. = 6. et gaegli
et h aeq. 0. et p aequo. et n aeq. 0. et m aeq. 5. et b aeq. 10. Idem qualibet

## Folio 106r — 00067993:0211
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 105v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
speiali fieri potes modo generali qud ejudem gradus comparetur His positis
jam aliqua aequationum ceti ejusmodi generalium certi gradus, ut teri assumatur.
ratio
dium AB, s seu
sreBC cognitas
jam
Ponamus jam tangentem +, esse cognitas, et postulari, ut arcus si cuju BO
sive angulus BAO, in data ratione secetur, verbi gratia in partes undecim
aequales; ajo id hujus aequationis HI. ope fieri posse. quaeritur enim tantum
tangens arcus illius, qui sit hujus arcus BO, pars undecima. Arcum
qui arcus a, duc dati pars underima sit vocemus a, et tangentem arcus a,
vocemus D. itaque cum ex hypsthesi aequatio LII generalem exprimar relationem
interarcus quemlibet etsuum tonge ad cujuslibet ad suam tangentem;
exprimet etiam relationem inter D et a et A. ergo in aequatione TII.
pro  a. substituamus a. et pro  substimamus  D. et pro
aequatione TII  habebimus sequentem:
7 n a2 + ma aeq. b.
cD+ dD retta + fD+ qda = hD a + p a
11 in 1I du 1) insem1EmI
radiiturem D. tangens scilicet urcus qui dati sit
11
pars undecima. Aquatio Incognita autem imista aequatione non assurgit
ultra cubum, problemadrit erit cubicum tantum, adeoque angulum
aliquem in undecim partes secare erit problema soluum, et eodem
cubicumm
modo pro II. substimendo alium numerum quemeunque, exit sectio anguli
secuodum numerum quemcumque problema solitum erit cubicum tantum, quod
est absurdum, constat enim ex victae trcta de sectionibus angularibus
et notum est analyticis, pro qualibet anguli in partes sectione secundum
numerom primusm quemcunqueum semper altiore magis magisque opus esse aequatione
ut a ad anguli quinquelationem Anguli trise bisectionem esse problema
lanun anguli trisectionem esse problema susosolidum sive (ubicum, angule
quinque sectionem esse, problema sursolodum, xtnita porro in infinitum.
infin impossibile est ergo gentralem anguli sectionem esse problema sole cubicum
Eodemque modo g impossibile est genemlem anguli sectionem esse mproblema
ulliglodum gradus adeterminati ofinitia, cum ut dixi, aliud temper aliudque sit,
anos
pro aliquo partium, in quas secandus est angulus
ultior illa
numero. itaque si
on ex
aequatio TII. fuisset aliqua quaecunque sequentium, modo certa determinata
ac finita, in qua a t. vel B assurrexisset ad gradum altiorem
finitum ac determinatum, quemiunque; semper ostendi posset, eam
uda sufficere sectioni anguli in partes, tot quot numeros aliquis primu
exponen mina major ex ponente grad maximae in aequatione potendiae
ipsiqus +, vel  habed unitates. Non ergo Adeoque non F potest
generatem exprimere relationem aocus ad tangent inter arcum
et tangentem. Ac proinde Quadratura circuli, eiusque partium analytica
universalis, ordinari communis formae, adeoque melior perfectioris generis
quam nostra est, impossibilis erit quod erated emonstrandum.
see holium.
Hanc propositionem ejusque demonstrationem analyticis claram esse contido.
Aliis ne scripta quidem esto. Nam si in lineis ex hibenda esset ejus demonstratio
fore
tuniversalis multo magis imigoris t ex momenti quam particularis certae portionis
ingenissus iille secticns renstotis an
aut etiam criuli totus tantum. Nam haec praeterjdam quoo exiguis limitibus continetur
et angulus in undea
partes eri sect9

## Folio 106v — 00067993:0212
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 105r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 95 lines, status machine
reperia
atunivasalis ex, qualis nostra est; nam extabet ipsa quadratura circuli
 invent
dam. Quod inter utilissima Geometrarum degmata seuseri debet. Cum non sit
in nostra potestate, tabulas aut etiam instrumenta jam elaborata ac numerissignata
per terras ac maria circum ferre. Regulam autem, quae quae facillime
facilem ac putchram, quivis facile animo circumgestat. Hfic locus erit
dicendi aliquid de viri acutissimi Jacobi Gregorii Abredonensis scoti meditationibus
ratiocinatione, qua perfectam coiculi ne unum quidem circuli sestietum geometrice
designabilem, quadrari posse demonstrare onatus est. Vim argumexi pancis
complectar. ind ostendam qua in parte mihi non datis faciat. Sit sector:
ABD ABOD, (fig..) tperium potigonum mugimum ei cucum scriptum
ADB ADCB. cirm potus gonum aliud proxime minus circum Scriptum
ADPQB, sit C. en adhiuc minus sit E, et adhum  hoc quoque minus aliud, G, et c.
Similiter sit polygonum inscriptum sectori ADB, quod vocemus B. progimi majus
polygonum aliud proxime majus inferiptum ADOB, sit D et adhuc majus sit F, CL
hoc quoque majus aliud H. erc. patet ultinum imnimum desinere in sectorem
polygonum circum scriptum ultiam seu maximo circum scripto, adeoque sectori ipsi con-
adere, et hoc ille vocat seriem convergentem. Invenit autem hujus seriei con-
vergentis hanc esse naturum, ut sit si duo quidam termini x diversam
3
a.
serterum respondentes sine a- b
proxime sequente, duo sint. Yab
ut si sint duo A.
sunt
unde ita stabis series.
B
Eap. tAB 0 Daq. LAB
A+ SAB
C Faeq. 2CB
et
C+ SCD
esc
eab
a+ rab
eserres
quales ego debiam cum non
sunt convergentes, appellare
soleo, substitutrices.
Hensit ergo incentionem Quadratura ergo sectoris huc redit, ut inveniatio seriei convergentis
terminatio. Nanc rend ostendit haberi, si possit inveniri formata eodem modo quantitas
eodem modo formata ex terminis A B Put pas minitac duobus, ut  quo ex termini
b
sequentibus, ut Lab 2a. ut si termini duo  Aoes iit a ba. b A.
formuila
arsie facta.
po steriores vero essent
inveniri potest quantitas eodem modo composita ex a. et b, quo comparitur
ex qua fit ex a+b et 2ab. et talis est formula ab. nam
2a
arb 2ab
e
a+b
si duras a, in b. habebit a b. et si ducas a+b in 2ab habebis etiam ab. 
b
at b
Tali autem formula impetrate tera ita absolvuntur. quoniam formula haec eodem
que ex A. B., sea quonium D C in D aequatur
modo fit ex psA
rectangs ulo A in B. ideo itim rectangulum C Quoninni A in B odat idem quod
C in D, seu A+B in AB. etiam C in D dalitridem quod E in F seu quod etD n 2C
ergo Ain B, idem est quod DE in F. Et ita generaliter AP A in B, aequalie duobur
quibus libet terminis in se ductis. Ergo A in B aequale et duobus ultimis in se ductis, seu
l ergo, 12) D aeq. Ain B. et Y aeq VA inB
iventa ergo  in eo casu quo prit i positis a. b e duo sequentes sunt
 in  seu 
a+b. 2ab. Unde facilem intelligi potest, ut ad nostrum casum redeanus si sit
si possetlis
positis duobus termini a. b. posteriores t sint fab.. Tab
sab
in Eis duobus  quo ex ipsis a. b. habitum i sectorem
art
punata
seu terc ter seriei urminationem. His positis ostendere suscipit Gregorius non
reprici formuta eodem modo compesita
posse reperiri formulam ullam eodem modo compositam ex a. b quo ex his duobus
sab. 2ab utcunque addendo subtrahendo umctiplicando diidendo et extrahendo adices
+ Tab famando ipse inter se jungantur. Hoc posito  concludit quonium
tatis formula inveniri non potest, ergo nec seriei terminatio. Ergo nec sector
aut aequatione
expressione scilicet nalytica commum ex quinque operationibus deducta, finitam
que
Nic est i nervus tot  Et hoc est argumentum totius libelli
quem devera circuli et Hyperbolae quadratura in scripsit U ver en
pulcherrima  certissima sunt, ad ea usque quae tribus novissimis lineis expressi–
ubi ex supposita impossibilitate expressionis eodem modo obus Terminis prims quo
ex secundis tormatae ubi vero minari subit mnm tonti ingenii virum, qua,
quodammodo in ratiocinandi forma percasse, ut aguosus tandem aliquando, quam
non omnino inutilis res sit Logica, Niminu propositio ne litelli decimts
Crus Ao purs
et
Eo  B
erc
Enq eto

## Folio 107r — 00067993:0213
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 108v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 89 lines, status machine
(rectius dixisset formuita 9e
problema ponit et solvit, ex data quantitate eodem composita a duobus terminis
convergenibus cudiuscunque seriei convergentis,; quo componitur ex terminis convergentitus
ejusdem seriei immediate sequentibus, seriei propositae terminutionem invenire. Ubi concludit his
vepbis; et proinde ad inveniendam cujuscunque seriei convergentis terminationem opus est solummodo
invenie quantitatem, eodem modo compositam ex termi ( formulam) eodem modo compositam
ex terminis convergentibus primis, quo componitur eadem quantitas ex terminis convergentibus
secundis. Et hoc recde. Sed non inde concludere debet, reciprocam; si non possit dari
Gutius modi formula analytica non posse duri terminationem F seriei convergentis, Id tamen
facit ille. Nam statim subjicit propositionem  11. dico inquit sectorem circuli etc.
non componi analytice ex triangulo et traperio circum scriptis. Hoc vero ut probet,
dantum probat non posse duri jormnam eotem u modo ex a. et b quo ex tab et 2ab
Ponit ergo tacite, si non detur hujusmodi formula non posse aurab
dai terminationem.. Et hinc, inquis evidens est quod sector non compenatur inalytice ex
compositam supponte
tiangulo inscripto et traprezio cicmm scripto. At vero consequentiam istam probare ne
sountur quidem, usque adeo carum croedidit. Ego vero qui cum minime admittendam
arbitror, jam ad enervandam demonstrationem, negare satis haberetm, nam quamdius
non demonstrabitur; nec theorema erit demonstratum. Sed liberalius agendum est, c
en nam et videre mihi videor, quid inco errorem duxitrit acutissimum virum, et rationes
dubitandi habex utut utque adio graves,  ipsi Gregario si in vivis esset, caedim ut aubitror
Spegorio si in vivis esset, non displicituras. Itaque sic ille credidit si quanti sec ratiocinatus
esse videtur; si daturisei magnitudo seu seriei terminatio, datur formula analytica, datur
quantilas eo analytica eodem modo composita ex triungulo et trapezio quo ex duobus
polygonis proxime sequentibus. At vero demonstravitus, non posse dari formulam
Porro si datur qua At vem demonstratum est,
non dari talem quantitatem; Nego me id demonstratum agnoscere. Imo vero inquitt
et hoc concedo.
demonstratum est, quomam ostendimm non posse dani
talis formula analytice composita; non datue quantitas anulytica per hunc formutam
coformatum, eodem modo quo ex rab
significata, Hic vero consequentium nego. Posser enim enim exempli causa
potest enim dan quantitas aliqua, quae nota, et analytica, quae sit numerus si
potest enim fieri ut quantitas
sit anulytica et nota, versi gratia numerus: formula autem secundum quam
placet, quae per con eodem modo componatur
illa eodem modo componitur eodem ex terminis duobus primis quo ex duobus secundis
no poterit esse ignosae et non analytica Quonium certum est fatquantatim
analyticam ex aliis analyticis modo non-analytico, sive in sed transscemdenti
ut et per series infinitas, aut aequationes transcendentet posse componi. Ficri ergo
poterit, ut quantitas eodem modo ex duabus composita sit analyfica, modus componundi
sit non atalyticus, quod postremum tantum Gregorius demonstravit. Ad absolvendum modo tractund
ergo quad demonstrationem Lunde impossibilitatis Quadraturae ullius sectoris circuli
foquonbitt
ata ontenste
 pproblema, (X
quam eodem modo componitur. Quod qui vel in hoc certe casu praestiterit
et
solvi
analyticae; opus ubstu
est omne, de punctum taterit, di universum vel in hoc certe casu praestabit;
eodem modo ex adu
is omne punctum feret, tandemque Geometras  ab inutili cura liberabit.
Et si quis diet
mihi numerum ud
3, et duogus
alios 5 et 6.
rususque duos alios
9 et 1I; dicatque
mihi fingi posse
aliquem operandi
modum, secundum
quem eodem
5 et 6, quo
ut tractaritur
tam ex illis duobus
quam ex his
duobus idem prod ear
nempe 2 non
idco potero modum
illum tractandi sive
Formulam analyticam
secundum quam 3 eode
modo prodit ex 5 et 6,
quo ex 9 er 11, invenire
divinare; ino forte
nullus est immerus de quo
non fungi possit aliquis
modus esse modu artam
sicandum quem ille eodem
ignotus, quo prodeat ex 5et6
ut quo ex 9 er 11. tamet
fier possit ut isse modus
sit non analyticus sed
transcendens, procedens
forte per loganthmoset
series infinitas, aliaque id
gerus c ictractaviles cal
culandi rationes

## Folio 107v — 00067993:0214
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 108r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 50 lines, status machine
C25, nd easdem partes cavae
sit currae ad  tangentes, C, T. occurrunt rectae, T2F, juncta
1C2C,  pro ducta, e occurram eidem rectae in M. punctum
M indet inter puncta et. 2T. modo curra non habeat puncta reversionis
Primum sit cuva ad easdem partes cava inter ex trema sudi puncta
tangens pasita. inti extrema sua puncta posita, seu indeo
nullo langentium sit ipsi 173F parallela
quonim prodacatur ipsa re + e Sunqum 1 C sit propius rectae
T2T. punctum LC remotius producta 1T.C, ipsi 2Y~C
occurrat in a. uit et ex puncto 1C, ipsi 1YZY. paralleta
occurrat ipsi 2T2C in puncto β.
ipsa 2T+C, major est quam ipsa 2Ta.
nam ex puncto 1C, ad rectam 2T~ C, duae ducuntur
rectae, una Ca, attuae 1 C2 C. ex quibus prior est
extra curvam, cumc sit punt, C2C, cum sit porcio tan
gentis pposterior cum sit chorda sive inscripta, tota est
intra curvam; at quae intra cunrum tendit itaque illa
minus cum hae tres lineae 1C ax +CC recta; 1C7 rCcurva
iCnC recta, tendant omnes deorsum, sive reced ant a
nam 1TC est intra d,C cun c M rectam siaum si  popibile esset dC M infra
curum  C Y esse, ut in 1C (M) ab angulo contattus  ECS posset auferri rectilineus .X, (()
est ergo M remotius ab A quam 1T. cumque recta C N ipsam + porro cum ergo
rscta 2CM. p. sam est antem Ergo M C est inter cunae porta  Porro recta
AVC, ccepario est portionem ad tC pertimentem nbet intra curvam, adeoque alioqui pam
nons At Ar C est infra 1C,T ex constructiones ergo Ergi Moc est
supla ipsam 1F16, et (iat ex constructione ipsa Are 11 C est supra ipsam AIC,
engo rC est cutra ipsas AIC est AC, adeoqT cadit intor s puncta Aea M.)
contra ergo 16+ C erit infra 1Ca. adeoque punctum a supra punctum
ALE + A3C4 = ALeA 1 AL reA ....
ABE~A = ADL = ALAB AZ5. A
a 2ADL + 2ALA
S Ergo ADY Ap, ALE + AE A + ADL
L42 ALD
ADE A p A EA = ALE+ ADL
ADE AI H ALCA + ABL + A ALA + ADL
Ego AE2A + 2 A Dt + A L A p AZEA
ALE B 2ADL e2 AEA
H rareA
AEEA+ AtE + (AD~ (A A DCA)e ALE A(AE AF A DL)
ADL ( CLA. Em ABL B AL EA - A E A
I A NLF A (+ ALD ALE B AEA
ADLCALA
ADA + A 1B  B AEH A2. CA
a.A. BECA + 1BL E1B B A1BLE. CA,
A.BA + ALE  eBL E B AL
ALC L AC, 14 - 4 L, B A B 21L E. et
A LE AIB= + 1 BLE -
AIBE A + A1BA B AGCA
AIB E A + ,BLE 1 AAB LE
AIBEA + 1BLE

## Folio 108r — 00067993:0215
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 107v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 63 lines, status machine
a0.
  dupra e gnento Eyclordali AE. CA.
cujus exemplum est tantum sed quoniam idem
est, no profertum cum solis spatierum sectiontus peragatur quae in partes ffinitas a designabiles 
Sectionbus peragaur, quod est simplicissitsu demonstrandi genus quam
Trianus. BDF ALE + segmi cycloid. AE. C A aequalis fatio ALE, C A.
Segm. Circ. AL1 BA + RCtort. Cyc l. AIBLE. Es aequal. oidem spatio ALE, eA
Ergo A trianus ALE + segm. cycl. AE, CA aqual. Segm. circ. AL1BR + Retort. Gycloid.
Frianu ALE aequal. quadranti AD L (B8
aequat Quadranti ABL+BA
X +IXL + X H +X p sit XB Z
=X
1s
et Xy y =Xy H A. et XB 3 = Y A i 7
e
onr. d
DriZ
BCH y  DF, V
naqe id
 1B, B5dX, HH2E
E (D, DH +Z A. EH
VdZ. H y axg
ABC A V
du
Senerilispina hansformationum ratio per iimsnt DF 3. B  B
mo
DE
caleulum hac est: sipulicet quaerarus nersinus ula rectanenta singulis
sut aequalia: vdZ F s dx co posita relatione inter y et X data. Ertque
sumatur Deforis
Afatio ect pibitiaria v er Z. Quod uut appareat magitoa; oquita tuqua lterae
Co datur aequato exprimens nelationem inter y et X.
quontam G sunt literae opus est etiat totudem aequatambus
ut quatuor aequalionibus, ut quatuor inde tolli valor duarum spunt qoen peres quarumlib
co. v. Z Y. X
per se invicem inveniri possit Datur autem jam una, ergo tres aquationes gro
arbitrro suppondae licet Et sempe literas ordine tollendo habebuntur aequationes
ma in qua sabe super sint Eo et Y alteram in qua sila super sint co et E. tertra lequa
solae supersuit eo et y quanto in qua solae supersunt co et X. ope hujus raequa
solae co etZ. nvenies dZ. et hujus in qua sole X erco ivenies dx. sed jou hanc
hinesrituo eet nova aequatio inter ydque et y dx, itaque nimis multas ossumsimus; et
pronde tantum pro sarbitrio assemni possunt duae quonios jam una bata est exrelatione
inter X et V, let tertra aliu ex aequatione inter vaZ et ydx ita autem
de novissima inter substatuendam uti non licet nisi usque ad finem, itaque tubus dam sum uti
licet aequationibus una una data et duabus assumtis, hnic necesse est ut aequationes
eat
Ys stan. datqe  bc0 F Cy. + 6) + eZ = G o Em po + ms (D F G2H Yg 
assuntae non nisi
quaentro v non 
en vaZ B7 X Nan _
3, gue ae 4 2. tolletur yveln vel Z. ex b. 4
invenetur opeaequalions i og 3. pro literis 4. retabunt duae nempe co, et una
praeterea cujue habeluo quator, ex dutat co cejus vntore ubique sutistitato habebitur et valor
nam co non collenda. Erp
aleranit ex data, C) sen e  er  sigitalam vato e sola lo habebitur ergo et
(x, et d7
Getordans
Satet ex praecedenti, uius propostione,
tiam praete
P
d
X X. X
5

## Folio 108v — 00067993:0216
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 107r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 101 lines, status machine
TL, AT ax BZ
aqp 1. nilin AFCA
ALF 1. 2
qu’a gaX 1 ax 4.
sivtb 
ni 49ae B
x 2aX + 9XB y hyc pat fa set p L. Brax fax
e tp 1ax +4 1
ax  + X F BB, et ax
nera da a + a x  a fax
 iseu AT 3 AB
sn enculo Ellipsi et Hyperbolu A4 es
. Eyo AE Ad. a ta2
3 +b, ut ctutus rectum est ad BC
rax +a  Z eq aex
Z cur arto
raz + 4 pq. et Xp 292
 a) + 2Z
ca +a r H2
193  a hopari et et
2 + 32 + +. Z + gu 2 etL sX.  senspatium A ATCA eris
AFCA 2 4, ; 2.
 2 o  etc.
si puntur nqu
 spatio diviso per q. et
esito aquero. bic. A7,2 + 2+ Ee
BB   4. 7 X. ejus quad q f 2gX + s. addatur ad BC p rax + a 
et sputium N tinnus DBep 4 + X, y A AF, 4 a x et puto gendialiter F L aequ. Al. AY
ax ytive 44 1 8B
7+no ilic pulpua   
=AL + AF Hy,
eroputa
9+ et Triangulum CL TB qATX
arfecaterea trimu Ergo homus Ct AB CYA  CL p H
seu DELA , s Y A T.A 
9 +x + 4
eA En 14 ax H    GAY CTAB AN AT, a
cui trapezium AB DA CTDH 4 AE, Cq
nam in
+ AL + A7
 1 + 47 + ga x + ax
et pro  q u prandoci ontactit fia r2, 4 un ( a  (f jat B 2d. et
AZ fci 7L,, 947
Tuimnus. C7A, A7 
A
DA componendum est hapeziui BAC7 modo qui Elliesi et Hyperbolae sit communis
ut sallem signis differant Imogam video non id agi ut hapez jam eodet componuti
imodo sed ut sector D ADCA cope Tilinei DAC.
Triangulo BAL in _ Ellipsi addem subtrahe in Hyperbola adde Triangulum DLY habelis hianus. DAY
EAL. DAT. DCF. DAC. LCF == LAC. L CTAC. _ CTA. EBC. ABC
 EATR EAL 4G1Y  ECT+ BAL -DA7 - CTL. Elips Derp + 68L + EA r 7C7
vel explicando Ear fet: EC+ ( 89 + BD F EIF, crL 1 EL Y + orL
EAC CND EBC + ABC,. DBC L ABC. d   LACp FY AC + CL Y Ergo p, TAC + cL Y
G proens Excerpamus has quantulates E17 EIt + EIF SCTC BLF CTI. Erex, Eoc_ + aBC
_ (2 LAC ⊓ YAC A CLF.
ergo Eat- Eruti 
nys qurar
) DC+ ELY -CEL clris  EaC rLY + exC
rir. 4+ 1. H
P: seu sector ADEAH EAL + ATCA = cYL =
IBALL nilim ATCA = C Y Z calips.
quytit, GaX . ex pro  ponendo valrem, fer . +, quar 4 ga X  9 at
4 +X 3 C 
ed t iguant 141 9
DALe BA, AL., ne A L  3
L 2Y. et EA L  + 4)
qux progredimur in Hyperbota seu per quia AD minor quam g.
pro ABH t an Hyp. seu gax quaecndum seri muina majoive quam q. sed pates esse necessano
miorem, quia q1) d et AD ri gar. ergo eAt mimi quam q Hinc jam uta
X1 Dix 192.
Zrinnu E AL = (m Elliis) YCFL
1+x 1
AZB 2 ALp 23 at majis quomi se  duo Ellgsi quamdio nuonm altao quad antem
grax +qex + gaxr 24 ax + 19at
encm esur, Afx fici
dmidium
t a Hyperbota + significat +. et + fignificat -. in Ellipsi contra
qu B nagrtar
tiet YLB a4X. et CTL, 9age
EAL + _ CFLB
A7 a 
hantar
andi st anten Eat Bsq et. in A p 4. cn. H N 4 er et 2
et quia
er EAte
t1
agtar
in Hyperbola: sector ABC Ap
Trinus DAL + Tilin. ATCA 4 Friumus. CTL. S
 fdca uis
2y f gan , quax frga X g ax 1 92
dat trapezum GATC, EAt H CYL hrgo Lseet ABCAB PX EBL + C7L ⊓
et erit 8aL + CxL + trihi p 42 + rulim.  ) a sector p) 32 + 2 +   e sectori. dividatur sector
ag
per q. Erit: Sector 2 + Z +
3, + Z etc. ponendo aq H 2.
Habemus ergo seationis cniglibes centrum habentis quadraturam generalem
ABNX Y EFN3
cue modum elegantem lati
rectum independenter baliis
di tangentes eu organice