# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/39349/text
# Catalogue record: 39349 — Leibniz an Jean Paul de La Roque
# Incipit: La quadrature Arithmetique du Cercle
# Date: 1675
# Sender: Leibniz — Addressee: LaRoque
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 072
# Other printings: -Gerhardt: Quadr. arithm. 1858, S.6-11. -LMG V, S.88-92 (tlw.)
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# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 44–45 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 44-45 (=38956)): 4 pages, canvases 87–90, page ids 00067993:0087 to 00067993:0090
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## Folio 44r — 00067993:0087
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Ny perboltu
la quadratne Arithmetique du Cerder se de ses
segments ou secteurs, que j’ay trouuée, et communique
à mesea, il que plusieurs excellens Geometres, il y a
déja quelques années; me patonst cesse Z ex adte leur
a pau assez extrasidinaire, et ils m’ont exhosté d’en faire
part au publiei et ce sera pur le moyen de nostre jour nal
si vous la labyez y meniter une placecomme je
n’aime pas d’écrire pour dive Uen volume pour donner
une set farci d’un grand nombre de propositions repasse
pour donner une seule nouelle qui soit nouvelle et considerable
j’ay  recours a vostre journal, qui tvus donne
le moyen de publier un theoreme, sans faire un livre
Tous ceux qui ont c essé un peu avant dans
la Geometrie, ont cherahié la quadrature de crce, Hipparate a trouve celle delatmule
 Arctumede, a fait voiq comment latiearbe e
la Courbe ciculaire, ou d’un are de Cerde estant donnée
tellesac secteur l’est aussi et a ralours. C’est luy aussi qui
a trouvé que la cyfae d’un extind la quadrature de l
Ellipse, et la dimension d’un cone  d’une sphere, et
de leurs surfaces, et des portions le en qui en sont
cupees par un plen plan parallele à la Base; Le P Gatdir le tout en supposant, la Qverdrature du Cercla
P. Gregocie de S. vincent a trouvée plusieurs solides, qu
assez extracrdinaires, dont quelques uns c’appe qui en dependent
aussi, avec leurs surfaces: dont dont quelques rens sont connus
par le nom d’onglets
La quadrature  l’appelle cette quadrature, Arithmetique
parce qu’elle exprime la grandeur du cerde, eu de
ses portions par un rang infini de nombres rationaux ou
commensurables à une grandeur donnée, usi ce lang estoit
fini, ou si la somme qu’il à se pouvoit exprimer par
nombres ou raciues, la Quadrature seroit Analytique;  si
elle se pounoit construire par lignes descriptible d’un trait
et qui ne supposent point l’extension de la courte  l’exten
l’application d’un fil à la courbe ou de la courbea
un plan elle seroit geometrique, à moiris que ces lignes
ne suppo sestel’application de la courbe à un plan, om l’extension
d’une courbe eu droite, ou l’application d’un materielle
en ligne droite, ou chose semblable; car une telle quadrature
se pourroit appeller à bon droit physique.
Or la quadeature Arithmetique que je veux donne
est toute comprise dans ce Theoreme;  qui ne se
sçauroit enoncer commodement q que par Symbules,
sçavoir: Le rayon d le cercle shestant a, et BC
la fangente de la moitié d’un are donné on le  demy costé ess espa et le corellaire de ce theoreme est
d’un polygone circum scropt, estant appellé b, t l’reD que le Diametre, et sont evarré estant E, le cerde
l’arc même seraneguls a Ce rang infini:
= 4  =  ’ ex
36 5_ 7_ 9_ uinm 1
   7 etc. Daut l’arc
Den ui esta, haqua
auealégale au rayon, a, ou AE) ,on l. (3)
par con sequant le rayon estant 1, le quadrant on e
le quarte de circomference sera, (t =  +  - = + , ett 3) poly gones, dont le caleut demande une extractu
Et en un mot le Cercle serg au quarré circonser,  coee u  hien viste. car a b par exempler on BC
 G+ t s et est  l’unité; le Cercle sera o qu du rayon b serviti
vod BG ad BA in dupticata
 tisettone R chucjectio rationis ex da
pus dittinte seepoiqee
Ao  unt it liee stin dia
(ex eligues on tomtres
si elle ne donnoit qu’un moyen d’approcher,
sans donner un theoreme d’égalité, elle
servit mechanique
e sole
dem 80
Eradrature Arithmetigue est, qui exprime
la grandeur de la figare proporée par un ran
infini de nombres rationaux,  Quadra
ture Arithtaqe du Gercle, nopiB et de ses
arties peut estre qui suffit tars qu’on ne
le sçaroit denner par un nombre rationel fini
La quadrature Arithme sique du cercle et de ses
aties pent estre comprise dans ce theoreme.
que ta le rayon du Cercle estant l’unité
la tangente de la mortié BD d’un d are
 donne BDE destant aepelle b la grandeat
eun de l’ar sera .. b - b  b5 - b7 r 69 - b1 esc
et les arcrestans tounez il est aisé de muner les
 13 =4 + l1 etc. ad tisint
 Dn Usage de pette Quadrature est outre la beante
 d’um theoceme aussi simple et aussi surp lenan
avons un moyen de trouver les angles par les cy
portions des cercle, elliyses, cones, spheres spherice
de leur surfaes,  out  nombres pati
13) dio ed re sap menit 
ots ctsum
tuelle de racines outre qu’en approcher
et pur consequent, toutes  missunces plu
meste ncjtreo hadmentisrus   psant
es l ties sus s as es seruris est

## Folio 44v — 00067993:0088
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Or comme iluys a riem de siumportant que de vois
l’origine des inventions, qui dome ordéant rement le
moyen des oatur qui funt tonsjouis mieux que
l’incention même à cause de sa fecondités pay bien
Ce Thcorene pous estre je qpnd usage pour donner aisement
les augles, les portions des cercles, des sphiere, des cone
voulu en farie part au publie Carc cs originesso qui valent
mieux à mon avis que les invention mêmes, à cause le leur.
et de l’Ellipse, et d’une difinité d’autres figures; pour
couper l’angle en raison donnée, pour trouver les angles,
fecondité et par cequ’elles conticumens en elles  la sounee d les costés estant donnés, et au contraire; le tout sans
une infinité d’autres invensions; pouro qu’on en poura
tirer par une si application sitaine application, combi
acapplimtim Coomme j’ay contrme de l’appeller) on applicatio
lors qu’on s’avisera de la faire comme il faut; j’ay cru
de
tures que nous avons trouuées jusque icy par l’analy se ordinaire
dependent des regles Arithursiques de trouver les sommes des
rangs regles, ou des prgressions de nombres rationaux. Mais
les ordonées du cerdle estant irrationelles, j’ay ft tacre
 chaugere trans transformex le cente enune antre
figure, du nombre de celles que l’appelle rationelles. Or comme
avos  l’est à dire dont les ordonnées sont commensurale
à leurs absaisses pour cet effect j’ay fait le denombrement
de Quantité de ves Metmorphoses; ce et les
ayant essayées, par une combinaison tres aisée Car je pouvol
par ce moyen écrire en une heure de temps plus une liste
tables se servir de tables calculées des sinus, des degrez
et des polygones; pa le tout par un calcul fort aisé
puisque il se fait presque par une simple, et anmoins sans
extraction des raciues, que le calcul des polygones, dont
on s’est seroi jusque icy pour la quadrature du cercle, demande
se fais par extractions continuelles. Si la ligne b
est assez petité on approchera merveillensement en peu
de calculs. Car si b esset ou BC estoit par exempla
. le vayon estant 1, il alors
11000000. 000,0 esi  p, aul antini taates
ensemble servient si peu de chose, qu’on les pourroit
de plus de 50 figues planes ou solides, differentes, et neantmoins negliger hardiment: et si on vouloit
deperdentes de la civculaire.) jar hroune lien tost l moyin
que le punduit x remarquer e passant pour jostifier ce que l’ave
utilité des combinaisons pour trouver des choses
que l’algebr, et si vous voulez l’analyse mese telle qui
La demonstration de ce theoteme ne pent estre donnée
assez clacrement, po en peu de mots, d’unolmaniere qui
puisse verse salisfaire a tort tout le monde pou
estre entendue de tout le monde: neantmoins ce
que j’en diray pourra satis faire ceux qui sont versez
combinaisons n’ont offit en ces matieres. Je me sers pour cet effect, de ce
sçauroit donner. Voita done la transfor-
sert à daer toutes ly ’lalibesin l’infini pour
demme: que je ne demonstre pas par ce qu’il est aise
Jonuer d’autres combes qui leur soyent commensamble au entre de le demonstrer par la Coomethe ordinaire
tronner un nombre nombre infini de figures commensumble a
sçavoir: si pur les trois angles d’un triangle, BEt
passent trois peralleles BC, GE, H F et un des costez et
angles d’un trianule BEF et un des coster EF, est u protonge prolongé tencontre une des paralle les, BC, en C. 1
temme. Trois paralletes BC ,_E, HF, passant par les tivis
d’me des paralleles en C. le rectanglesyla interullet du pouir de tencontre C et de l’angle B
et  l’angle B par le quel paps cette parallele; et souls GH
la distance des deux autres parellebs, G2, HF, seue egn
PGH. (en supposant BGH normale a BC, et CP ega
et parallle a BC:) itera le double du Triangle BEF
De même se MeHQ Égale à BM, il  le
rectamgle QH1 N sera egat lan Trinngle BFL. Etsi
ces bases EF, EL, et C sont infiniment petite, et, en
pour remptir tons l’Espare EB(ED LFE)
la purallete passe, sc avoir BC, et soubs Gt
  des deux autres paralleles GE,HF, sera
egal  au double du Triangle BEF
Cela estant posé soit une courte quelconque
E(5) (2)  la quelle soit representés par un polygone
infinitangle, dont les costes  EF, FL erc. sont infip
niment petits, soit dans une droite quelconque infinie, 
pet (ypris à discretion le point B. du quel soit menels des
tons les rectans GH, HN et sunt infiniment petite
eta afinque les rectangles  BGH, QHN et. remplisse
tout l’espareG(GD(PD Q B à la courbe PG(PD
tout cet espace sera le double de l’autre espace. Et pui
FEC, LFM, (ED (C) seront les tonorantes de la
lignes  lignes divites BE, BF, BL est. dans tons
vous continuez cecy depuis (E) jusque d B, tout le
on costez du Polygone prolongeez sont les toudhante de
entre le quint de l’uyle B, et  le point de l’a rencontredes la combe, comme FEC, AFM, les quell
tmchantes, C CD, qu appliquees odmane AB
continuées jusu à ce qu’elles lencontient  
B C normale a la droite AB dans le point 8.
PG(GDD Q D sera eule à la double Dessilus des points  E. FL. soyent menees des perpendicula
ou ordonnees cun la droite AB. dont sçavoir EG, FH
susdit, Enfin De même de tous les points de la coute donnee
E, so (5) (E) sorent menées des ordonnées EG, (E)(G)
universels de la Germetrie. Et j’en ay tiré quelques cons- et les BC, drvites BC, BC) B(C) soient transferles
qu’ane patium de l’ espare le cete lomite monnelle
les ordoantes, qui leur répondent, prolonguées au tesoin
P. Q. (PD. re dis que spare comprise ncentis
LNerdont les intervalles CGH, HN suy seront infini–
ment petit. Cala pose il est munifeste par le temme
(E), (GD et des touchantes 2C,, (E) (C), EDC)
triangles de bases infiniment petites, qui abentistent tons
droit (ABC, les ordonnées CG, (ED (GD à l’autre BC, les dont les sommets ab utissent tons en b. Or ces bases
tonchantes, EC, (ED (C) soles interceptees BC, BCCD
portit dla portion de la premere compris entre lam
les angles de ce polygone, et cela estant continué par exempl
depurs E jusque a (5) tout l’espace triligne DE B(5)E
ou si vous oitus la courbe arrive jusque a B, et si
premiere combe, le theorems se pourra enoucer generalement segment BE6) B sera composé d’une infinité de
ainsi. Si d’une courbe ou mene à un costés d’un angle
en GP, (1G. D (Y) c’ est à dire la courbe sigure
de l’espace qui compris entre la patarie
soignent les extremites de cette poltion au point B.
i von valltaz bracho logiquods
somaes intercepteor, est dauble du sacte
Ce theoreme est un des plus considerables, et d plus
au sae u  u hst ious
a donnés dans son excellent suvrax de l’Anithmetri
des infuis.) lontes les quadlatures parfaites 4

## Folio 45r — 00067993:0089
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compriso entre deuxordonnérs, de cette conite, Celi
lemme susdit, que le rectangle PGH, est egal audouble
noumelles et les ordonne a e de celte combe nouvelle, PG(15)
sit puisysu les rctes triangles qui leur sont égauxchac
entre les ordonnées concourrantes BE, B (EV, _ et la (pour
parler a la mode d Messieurs des arques et pascal) il
s’ensuit  que l’espace quadriligne  PG(GD(PB P
sera le double de l’espace Triligne B2 EB(G)E, Et
s lespolut si la combe B3, ar  E() arrives jusque a B
le segment B(C) EB seca  dela portion triligne B(CDP,
Et pour enoncer generalement un Theoreme qui me paroist
un (cles plus umivespls et des plus importans que nons ayons
3) et une drvite  et dans celle drvite et dans celte droite un point B,
tonchantes de la courbe  renontrent en L sçavoinr.
D les EC, (EF(E) (Cy rencontrent en B; las interoalles ers
les intervalles du point constant B, et des points de rencontre
11 C, ((D sont tansfenées sur les ordonnées normales de la courbe E(e)
I1 sur la droite, sçavoir  EG, GD  prolonguées au besoin;
à fui qu’elles comme pour faire les ordonnées d’une nouuelee
d’une nouvelle combe, comme 5 P, GB ( P( qui P (P)(
qui passe par les extremilez de ces translatées de BC, 1B (C) 9()-
eq G P, (G (P). (GA D ; cela estant l’espace fait par
3) Sera  le pouble de l’espare compris entre, ta une portion
antre lupero vaale  E (e)) en erpases
a angles droits une autre droite B que les
3) Compris entre deux ordonnées de cette nouvelle courbes
Cela estant, il est manifeste, que le retingl par le
du triangle BEF, et que le rectangle Q H N est egal
au double du Triangle, BFL., et C. et puisqe ces rectangles
1 l’espace compris entre e pao  portion de la premiere
qui soiguent ses ex cremilez au pour B, sera la moitié de l’éstare compris entre les eoonnées  G, D
fait de la nouvelle coute faite, de la remontre des ex touthantes EC (E) (D
de cette portion des extremitez E, (E) de la premiere.
Or si cette cour la premiere combe est un cercle,
la nonvelle ombe BE S((E)) R est la semicir comference,
la eon nomelle BT B PS (Py erc. sera aura neasur tt
pour asysmptote  RT, qui touche le cercle à l’autre bont A,
qui passe par la moitié de la semicircomference; et appellant
PG BG on  CP, X, et  G P, on BC, y et le rayen du lercle, a
son equation sera  e 247
estant prise pour ubsispe et BC, on Z pout
(era tonsionis commensurable avec l’abscisse, et pur consequent
cette figure combe sera du nombre decettes celles, que j’appelle
Rationelles. J’ay trouvcé une infinité defigures a dont la
quaorature depende de celle du cercleon a rebours, mais c’est
la premiere rationelle que j’aye trouve. C’est pourquoy
il ne faut pas s’étouner si on n’est pas fort avance dans la
connoissance du cerle, puisque on manquoit d’un bon moyen;
car les quadratures dependent ordinairement des propressions des nombres
or sommes des progessions des nombres: dont on ne sçauroitre peut tien
faire susque icyue quand ces nombre sont irrationaux comme  sont
ceuxqui expriment les ordonnées du cetele, et de toutes les autres figuos
qui en dependent jusque’icu; excepté cellecy.
 les ouvances pX, procederont anisi siles abscisses Z estant, 12 d erc, et a, estant l.) D’ ou  il s’ensiit prelmiere
(19 on) 1. etc.  ( 1e ou) 32
Def Don qui troumen mn rege pour donner la somme d’une multitudi
nontre quoquque finiedes, som termus dec nombres de cette
 u qui ceisrire sirente
fnons avons jusque cy. ado eavons que les
celles des paraboles et des Hyperbolveides, dont
A a 1 y2, des H yperbo licae
dont les Equations sont: X v
supposant x. et y. cordonneé ex abscisse,
BC, ou GP gardent une raison con-
comme par excupla dans la parabole adi
sa moitie, Bsç avoir le segment B(EV EB
B(GD (EDE B est a due un segaei
même plus le trimus une grandeur connue
sçavoir le Triangle B(G) E) dont 
ces espace. qu c estant donisis, eis
isres s e
la dimension d’un absoene d’un certani seu
de la cycereide sans supposer la quadrature
 planpour lequel roule dlecente
Arithmetique du cercle. Ca r lo figne E
la combee C(5) (2)) estant un are de cercle
aquation; 2a2 H X appellant BG on
 etc qui celoo qui hoipl ne
canra tagnae lucqua o actrene la quandratur
du cercle. sans estre obligé de les adjonter
queidintine du cercle. Parce que c’est la progres
sion desordonnees seel, de la firuue 0

## Folio 45v — 00067993:0090
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Mais our passer ontre prisue
il s’ensiste
par la belle methode de Nicolans Mencatur,  estant 1, que rasimn dlam nintre sin t cenes de cse pronuspe
de asi
67 9B +ZBC, Donc Z estant 1B. 313  P. pusita B sinfinitesie un pete u est
ZHI a +Z.
serap (18 - 162 + 1( - 18d _e 2 II CME e lafir
48- 1se + 64(16B en n 24
vublasonm b b5  b
 ex
si3BH L15  
et etc e teu te
mortie de ecgintindtae id in au
 la somme detoutes les X. ou double de l’espace
K ou à l’espe
supposant quemb. est la plcclerniere on la plus grande de toutes les Z.
sçamir dont nous donnens la sorgne, nous servons, ou l’abpisse esc
de la portion B(()(P) dont nous demandons la somme. D’ou il
s’ensoit que le secteur du cercle, BG BA(E) B sera   par un calenl assez aise à ceux
 b  b  berC comme nons venons de dere co dequs t
s’ il y a lieu d’asperer qu’on
raison analytique, exprimée en termes finis du Diametre
done la d di à la luiomscrences je croy que ce sera pur ceste voyé, an lien qu’un ausucavan
en n’avoit pus par Car quoyque l’exression, qu que j’ay trouvée soninfinies,
Caissons pas quelques fois d’en trouer les somne: Et pour cet effect je donneray puron
l’observetes Mud dequar es e utelem
A e is in  is io sa bo id ho eu doc lisinns  ionrstopa
 asis i  ve i
3 3. : 13  07 in etc
dont la quadrature do meroircelle du cepile
 i dtrin
Ps crur la quadrature da certe  pour y arriner il
faut se servir de la belle methode de Nicolans Mercator
se lon laquelle X estnt égal à 22
le menc X sera cgal a 2  4 25 - Zd ere à l’infinii
Et la somme de toutes les X, c’es ei egate à la somme
de toutes les y
erc. ou la derniere de to. or la
plus qa premiere de toutes les Z estant infiniment petite,
et la derniere estant d’une certainie grandeur, comme BC
que nons applllerons b. la somme de toutes les 7 sera be
et la somme de toutes 21 sera b etc. (par la quardratur
des parabo les:) donc la somme de toutes les X, ou l’espace
BCDB, on la difference du touble du rectangle CBG, et
du double segment
bi + b7 - b et
dont l  Cpor un pule assei adseu l’ar  p
sera b = b + b5 = b etc, lae ton rayon estant laes qui sçavens
et ita tonchntB
mymmbotes
ne pourru pus estre entendne detout le monde, par ce qu’ell
suppose bien deschoses qui ne sont comnues qu’à ceux qui soit sez 
scavene les nounelle découvertes. Mais il n’y enta 
que trop poureux cy Et il faudroit un volume pour satisfaire 
aux auties. On pourroit proanee
exapport qu’il y a
entre la figure des interceptées ejll ceril, en suppesant
la quadrature de la cissoeide trouvée par Mons. Hu
qui a fait remarquer aussi que cette figne  
estre representse par sume cissocide montée sur un cercleie
et que mons. Grogury reometre tes ingenieux s’est servi e artelour st Haber
atte fignie aoont il duune la dimension par un tout autr princie)
pour mesurer l’aissoeide. Mais j’ayeru que le Theoreme o ’isage
gerea du rappont de la somme des anterceste he soupre
des vido unee (G GE, (G)(E) au Bgment BCH E
qu de qualque nature que la combe E (E) puisse Momenta figurae Ubi statim illud
estre vrittre e s lsiou
la sirehode dont rene
est la plis naturelle et apres tout ella
ma servi de principe indention es elle
ni qui s a fiit niat anset le principe de
Mais lu demonstration que j vrens de donner
segmentorum exdiametio
sante pendent exqua
at
ex recta ad diametro
perpendiculari pendent
ex quad circuli
a servi ide puincipe d’ inventim et pt estr seconde
en thcoremes nomeauu
mlHperboles
Argras 
an 
hoc Sa XexAa Y, Z
don Hinc aatet momentur ipsau
in ex axe quam exiblas
Hinc sequitur et summas
2, seu b- b, bd
test erida d cp d uoc
 N Meadem cu
a usi sum ad circat
man si cec ad dimetica
C in eM
circuli) q
unecentra id eston
crae nbtut
pypet biaroe ise