# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
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# Catalogue record: 39365 — [Zu Prestets Elemens de Mathematiques: Erste Stellungnahme ]
# Incipit: J'ay leu enfin les Elemens des Mathematiques qui viennent de paroistre
# Date: 1675-12 (75-12)
# Akademie-Ausgabe: AA VII,2 N. 067
# Other printings: -E1 Teildruck: Schlosser, E.O.: Die Rezensionstätigkeit von Leibniz auf mathematischem und physikalischem Gebiet. Diss. Heidelberg 1932. S.60-65. -E2 Druck: Robinet, Malebranche et Leibniz, 1955, S.57-60.
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# AA VII,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068207
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 15, 5
# Folios: Bl. 62–63 (from the shelfmark LH 35, 15, 5 Bl. 62-63 (=35787)): 4 pages, canvases 123–126, page ids 00068207:0123 to 00068207:0126
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# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
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## Folio 62r — 00068207:0123
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Ei
pour object: contenant une memodecourte et facile pour comparer ces pandeurs et pour
decouvur leur rapports par le moyen des caracteres des nombres, et des lettres de l’Alphabeth. dans
laquelle les choses sant demonstree selon l’ordre geometrique et l’analyse rendue beaucoup plus
fauile, et traitée plus a fonds que l’on n’a fait jusque icy
preface: la scrence dont je traite est la premiere et la principale de toutes les sciences purement
humaines. Je ne la compare pas cependant à la morale ny a aucune de cettés qui ont
rapport à l’autre vie
nous cesseront de vivie, mais nous necesserons  depenser
Nous cesserons  Toutes les veritez ne sont que des rapports. (t il falloit donner une
definition du rapport, conforme à une telle mandere de parler
la Metaphysique la Pysique la morale, la Mederine la potytque la chrinic
encore qu’elle
renterment des veritez distructes elles ne contrennent point des verizez exacles
tous les rapports exactement connus se peuvent expliques par nombres
120. est bcavou plus connu que la soustendante d’un angle dioit dont le costez sont 2. et 4
car ou sçait au moins que Veo est environ 4 et si l’on vent sçavoir plus anguse on
le sçaura par les regles de l’apptoximation de racines ( mea senlentia notae rudici cirationalium
non tam recipiendae quod animum illusient sed quod sint culculi capaces +) Mais on ne sçait pas la
gundeur de la ligne qui sontient un angle dioit, quoyque elle soit presente aux yeux et
à l’imergination. C’est la même chose de  pretendues expressions des glandeux inconnues
que l’on donne par les setious coinques; carcomme toutes les fcences douvent tendr
a éclairer l’espint et à luy decouvrir la jiste grandeur, ou la grandeur la plus approchaule des chose
inconnues on ne coir pas beacoup estimer l’usage de ces expressions par lignes
sans l’usage des nombres les Geometres ne peuvent compater leny lignes et leur figures tant
commensurablesqu’incommensumble que d’une maniere fort imprifaité
l’Arichmetique et l’Algebre peuvent setendre à l’infrni sans lesecours ny des lignes ny de fignres
ulyse qui fait la partie principule der l’Alyebre est incomparabement plus feconde pour deconmuir
les veritez que ne sont les on figures. Cur quel moyen d’imagine to le lony enchainement de lignes
et defigmes embarassces ou il faut voir distinctement tant de ditterents rapports, avant que descavoir
d’on depend immerdiatement la resolution quel on verche,
u peue dedume analisiquement de la metode de mons. des Cartes cetaines connoissances tres unives
qu’il n’a pas eni que l’on  pust decoumis sans le secour des ligne parabbliques et
suppositione on demande est une proposition monis evidente, qu’un axioine maiq
phobleime ou question est une proposition qu’demande qu’on decouvre que
lil. 1.  f. 22. que toute grandeu est divisible à lanfini, car sans cela ou arriveroit enfru, apres
contestable. Eror
pverité corchee, et qu’on demonstre qu’elle est deconverte
un nombre determine desembtables partages aquelques parsies sipetites qu’estant encormne fois parage elle s serorent
L l’idee de lunité contrant une mndivisibilté il s’ensoir que tout ce qui est un est indivisibe
arcautres; donc le tour sera composé de riens
cettemuté et tous ces nombres ne sont pas du genre de grandeurs dont nous avons, ex pliqué
la natur et les propreter. Cart’unite est indrosible et arusi dratiuer xesces nombes on est pas
drvisible a l’nfini
plus grmode pour eviter beanous plus de fractions,
e rasporss de
mille millivus; milliars
1. à 8 on de 1. à 16. qui sont deux nombre qu’on peut partaqu sansfinction en deux mostiez et caune
et plus agreable à l’esprit. Carteur disposition auroit fut valvir leurs rangs selon
de ces moitrez endeux autres et ansi usqe à l’ante cequs est ca ph simple es le situs facile de sons
les mutazes, à cursse qu’à se fari silon la proresion doutle qui approe dant leplus del minte est auss
il appelle les prodinis des divisions, on quotrenes, exposants
la plus connue.
foute divisim tout rapport ou toute fraction, est egale a son exposant. Pay. 46
pay. 108 la racine quariee de 4 ne peut estre determinée. id oeum est si 9. et p
Exposent sont les cerimes les plis simple
quamcunque linea in indeterminate signnficent, sed infinitae explicationes fieri possunt quibus extrati
hnic possit radix:
(+9) 2, p H (49) + qu + v. et erit qu) +7 P- v. item riliter:
r. scibatur; 4H Sp. et rB p fiet: S +
22t et 4B sp.
ry les signes ladicaux ny les lignes de Geometrie donnent aucune connoistance distructe des grandeurs
fietqus V= 4+ 2, P1
qurelles es priment

## Folio 62v — 00068207:0124
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py 139. steviu l’an des autemns qui ont trté les plus a fouds de commensurables nous
hupropose une espece de quadimome dont la racine, est parcellement quadrinome Mayy il
dit qu’il n’a pas incortionne de regle pour la resondre legitimement
1G + 6 16+ 10 s2 + 8 (3. cum radix 16+2 + Y3+ Y2
pay. 140. Je me glenteray de remarquer iry qu’il se rencontre souvent de hnomes dont la racine
est quadrinorue quoyque stevius n’en demeure pas d’accord; Tel est par exempee le trinome
15= 2V6 +2Y2 dont la ctacine est V6 -2 +13 + Y2.
extrnctivn.
(ay. 146. il dit que l’usage des regles des binomes ne est principalement pour tiner les racires cubiques
mais qu’il a trouvé d’autres voyer pour les douner les racines commensurables des equations cubiques.
que l’esprit n’est pas éclure par s l’extractioy des raciro, desscholen à pause qu’il faut elever
c’est auterre au to la prossance pour scavonr si la emiiie touve est viry
regle de schoben et belle et le voy tieu qu’il l’en n’ pas bien veu l’origme
pour sçavoir
 pay. 181. il dit que Mons pasenl juy les sommes des puissane roit ritiles da
Cu Geometric des moiorsibles
pag. 232. la cette compoesitioy que nous avons appellle multiphaatron des pasports est puise ordinavrent
pour une additior X ex mêmes rapports. Coupaut une corde en deux vous en coupez
sdle logarithme, c’est à dire la raisoy
oy progress on corttrarmonique lasque la diffrence du prennier et du second trme est à cell
duprdret du tronsceme comme le 3 me terme est au premier
dans la Geomevtrie
differe
pay 277. lprefere dl’Amalys à la Teometrie. que la mamere de rensonner des ancin
et de la maniere de raisonner dans l’Aulyse en ce que cellehu ne noz oidinairement enligues
mes dordinarge cu deuxpayes, ce que celley paut renfermer in deux lignes. C’est pour quoy l’espit
se fatique et se rebute, par ce qu’il ne peut quasi rlen apprendre sans des perres et des etort,
 moguatireus incroyables. Il y a dans la Geometrie de Mons. plus deveritez recre millies
et des plus fecondes que l’on n’en peut trouver dans plusieurs gros, volumes des Geometres
Cay. 318. methode geuerle il dit: ou deconnre par son moyen st c’est a dire de la methode
genera le epliquée cydevant, pourver qu’on soive cette methode sap aucune autre audi esse partienliere
qu il est pourtant ton que l’on aye bon trouve d’abord la maniere dst estatlir sex positions à lamode de
dioprante vore syuthelique dit il est celle qui resont les questrons sans former aucune eyatits
puy. 355. il appelle urs racine dune grandeur negative une contradictivis. Il proune
qu’elle est impossibile parce qu’elle est ny positive; ny nigative. Or il n’y a point de milieu entre
positive et negative que Zero. prepondce. il sant demoustre, qu’il ny a point de milieu
sendre deux, composé  une certanis maniere de tous deux.
sed ille contra si c probat.
sive sit positiva sive regativa productum ejus dater esse positivum. Quod non fit. respondea productum si
in se est positivum inclusi in signo radicali; ut nam sit + -1. et =VL) productum utriusque
erit, idem nempe = 1
illud ergo tantum hinc sequitur  megnitudinem quae taci formulae respondeat nec nundrus
nec lineis a bis assignari posse.
mvenis duarum aequationa commune dio sore, quod est generale et magnimiomenti problemus
ponit obiter ubi agitur de resolvendis radicibus aequalibus. quand s
.  1 q +X +X = pX + p quantum ad cu aequalio N- XYa + rbp0 ea
X + AX 1
 ttqX = pX uqae tq
LP9
ratonalibi
+ p.ra  
del liberat ub incigntis attollendo ad duodecimum terminum. non exponit
artificui non melegams a Cartesio adtubilum, quo una saltem
aquatione sed
incommensumbierum, tollitur non mutundo
exaet non exaltando aequationem ut hic si fiat
aequatione, harc
pag. 37S. regulur  non glemnenda: pro divisoribus iveniendis equationum:
X - 3X + 1X 43X - 2 p0. ais non habere radices commensurmbile, sed per daas alias aequationes
N = 10. et X- 3X +2p70. divid. posse. alqui hunc sequitur Fexa dividi posse pr +150
l’on n’a point enor trouvé pusque icy de moyen pour determiner exacrement les racines des egatite
et X - 1 po Quod et verum comperieti
de 3 degrez qui ont = p et 17 p ( +G si ces racines sont incommensumbles
be Regula elegans appropin quandi aequalivulbem radicibus: l’egalité sera divise par deux simples
del incommue= deux des divieur dumen terme qui seront tels que l’une de ces divisions laisse
un reste negatif, et l’autre un reste positif. Cela marguera quelque racine entre cs deux diviseurs L’on divisera
de nouveau par l’in connne moin le petis diviseur,- encore la moitré de sa difference au plus grand
une telle division rest laisse ercor un peste negatif l’on en reiterera de semblables ajoulant aux derniere granieurs
l moitie la moitié de leur difference au grand dioisour et loyque ces divisions lasseront un teste positit
’on en reiterera parcillement d’autres semblabez ans precedentes de l’inconme noins les dernieres grandeurs
qui amont saip inreste negatis moins encore la moitré de leu difference aux dermiere Grandeur
Qqui amont laisselum reste posit Et reiterant à l’infini la mene regle l’on peut approcher à l’infini
de lajuite valeur de la mnne chelihée. Jcy ce suppose que la racire soit vraye. Exemple
L-3. dioisez paur y- 4. elle Corssera +4 donc la vrare veme
este entre 3 et 4. po i het meliusista intelligam intiterisfaciam coenernliter sit aequatio talis:
X - 12Y - 12 (76 diviser per y - 3. il restera L

## Folio 63r — 00068207:0125
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licndendo per y - 3 p. ustabit:  =3p
ngstt
Y + p +
19 51q10
nam fer. . 9p+q
etper
er 
V
vel 3 +
c
De
pag. 404.
Aequation du  degaz. y + + pY - qy (+r1 ejus reda tion sa transformee geroerale
Y X, X Y - 2bXY + a Bo. f ex faite de ces deux1  y - xY + a Bo et y rNH + a
-b
comparant alleus avec la precedente et cherdhant X, vous aurez X5- 24 + px -9 p0
+2a.
In aequatione quadrnto. quadratica in qua omnes  radices reales: erit aequatio necessaro ar.
salis: et f erit + cum duae radices falsae duae verae; at - cum tres falsae du dX PX-9y +r
des Muthematiques ou plus tost d’Arithmelique
J’ay eu  les Elemens de Malhennt que qui viennent de parvistre. L’alliance qu’on qvoit
una vera vel contra
establie entre l’Arithmetique et l’Algebre servira peut estre à cendre cette belle science un peu plis fimiliere
in
je croy que le public en trrein quelque profit, et que l’ithyebre
speciense de Vrete o de des Cautessera rendue un peu plus familiere aux Arichmeticien quelle ne leur est apresent,
à ceux qui l’exerrent dans l’Mrithimetique
s’ils voudront apprende en même, temps les operations en combres et eu lettres
Je vondie j’y trouve
assez de methode et assez de ordre pour instruire une personne qui y apportera un peu d’attentron. Et il est
un
asseuré au moins qu’il n’y apoint de livre en francors jutqcy qui ps traite cette matiere dine
maniere dussi instructisoe pour aussi amplement que celagego et aussi distructement que celuycy:
Et quoyque laptuspart des choses qui con sont soyent commues à ceux qui ont un peu approfondi ces matieres.
il y en a pouctont quelques unes qui sont de l’inventron de l’autem; comme par exemple la regle qu’il donne
pour approcher des racines des equationse nombres; quoyque elle ne soit pas de la fo de celle de vrete dont j’ay
tousjours adrure ’invento l’invention d’atanc qu’elle tonne en même temps les racines exate quand il y en a
eu combre. Comme l’auleu a i etudie avec soin la matiere qu’il traite je croy qu’ely qu’il eu l’a
taité anec assez d’exactitude, et acles fautes q il a faites sont plus tost d’omission que de commission,
qui sont d’autant plus pardonnables, qu’on nestre obligé de dire plus q
et
x
v
oyre scait qult qun’y tout ce quon
amo conseille  inserex tuot n’mot
aigrue car elles font asseurement tres
resit fait
S’il m’avoit fait l’douvent de mecasult se e
toutes les regles des reductions de o Hunde, et d’eu evon e
sçair.
de equations
Il estoit aussi apropos de pauler des lieux
a plusicurs inconnues, item de la Methode de Maximis et Minimis e
ingenienses, et tres importantes.
 et d les limites
de Mons. Fermat augri bien que de Mons. des sattes  L’ il n’a ea garde
de toucher l’ait de trouver les sommes des progressions qui fait une Analyse
à u, d’autans plus que viete et des Cartes meme n’en avoirt point de connoissane
cependant c’est elle qui donne les quadratures les ceutres de gravité et une infinité
eIl te luoigne asseze de
de problemes tres importans dans les mechaniques.
re voir point dejour pour ariver aux radice irrationelles des equations qui passsent
racine
le amedenez. Ausse est il vray que hyviese uy defartes n’ont rien contribne
toute l’Mgetre ces anciens aussi bien que des modernes s’y trouve courte. Un
certaim scipio Ferreus ayant  les racines du trorsiene degrez, et un ni Ludovicu
ferranensis ayant reduit le quatrième au troisième, uy viete ny des Cartes nn’y
J’ay pourtant trouve un jour velque ouverture pour aller plus
ont rien adsonte, bsquve me  progression Equalion a l’infini  qui va per
tous les degoz dont je puis donner les racines, que je puis resondre pu les eines
ss irrationelles de son degrez.
celte progession a uque usages admurables et j’espere
othacune par ales eye
Ploinus ayant one
Jeme suis meme ee emp travaille sur ces matieres  insistant sur cette même voye
2. Quoyque il y ait longtemps
irrationelles de son degrez
que je me suis avise d’ure voy Analytique pour parvemi aux racines irrationelle
portera les choses tion plus loin encor encor plus avanem
qu’une personne qui a
de quelque degrez, que ce puisse estre, mais la prolicité ducalcul n’a osse l’enoie d’y
travailler cependant la pensee est d’autant plus considerabiet qu’elle est au deus
des methodes que Vviete et e que la methode des des Cartes même n’y scaurait
mener. Ce qui fait voir qu’elle n’est que trop bornée, et qu’il y a une
aconp
certaime science suphicure à l’Algebre, qui est celle des combinaisons, on la characteristique en general
ciera nisiae toata is e cabane
qst
des equations. Et
sur tout de la
methode ile
resondre les
problemes 
diophante
quamd ils sont
un peu plus
difficils que
res exemples
qu’ils a apportes
Car mons. des
Cartes mêe en a
reconnu la difficulte
Et jenescau si non
ensorum
qui vaegtet
y
lumieres

## Folio 63v — 00068207:0126
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qu’on petent que ons. de Cartes
avit farte en icy l’ereur
qu dans celiure l’erreur qui
l’auteu prbndoit avoir de Mons des
Cartes emmatire toudhant le trne
degrez, que nostre auteu luy imprs
mais jecaoys qu’il en a essé il
nten parle point, et je croy que
l’ondeu en a esté desabusé. Car
qu’il trouve a redire puy. 412
est tout autre chose que cenpuit avr
accuse du temps passe.
qus protms un proba
pon reveur a nostre auteu, je ne m’éronne pas non plus qu’il
sn’a pas touche ce que j j’appelle la sixième operation de l’Aanly
Car apres l’addition, substattium multiplication et division, la lingoreme
est l’extraction des ruines, et la fixieme est clle qui nous apprend de
discerner les ir rationelles grandeurs verizablement trrationelles d’avec les
irationelles en apparence (ce qui s’appelle et extractin), à l’aquelle’adjonte
la sixieme, qui est de discerner celles qui sont veritablement impossibles d’avec
les imposibles en apparence, c’est la ou tont le de d’en fare voir l’anclus
origue en caracteres et la determination en lignes; et des detromper le monde
du mystere pretendu des Equations lubiques triladicales, et quarre quarrees qui
seu dependent HIl y aura des choses tres enrienses a dire la dessus que je pourra
donner un jour dans un discours a part.
si j’avois en occusion d’entretenir
l’auteur, je n’amay pas fait ditticulté de luy communiquer ces sortes de
jusque icy je n’ay poule que de ce que l’auteur a obmis: je ne croy pas
qu’on luus puisse reprocher benum
des fautes positives ou des erreurs
de consequene; quoyque je nel n’aye pas  exam leu tout son liure avec
je ne touche pas quelques beveues, particulieres, qui non
ponit de suite,  opere in magno fas est obrepere
nsnurqveller etdr la perne
este la maliere ne soutfre pas qu’une personne qui veut bie
de s’ instruice en fasse des grandes. La methode et sa phaseologre it
ne sont pas si exemtes de reproches. par exemple la metnode general
la regle de mons. Hudds trouver le plus grand diviseur commun de deux
deuis est mise a un endroit ou on ne la Cherdieroit pas, car il la donne
comme en passant lors qu’il ensei pre de resondre les equations qui ont plusieurs
Et pour la phiaseoligie
Lannes égalis lo
athertiscis ce qu’is appolle Tas
mieux fait de dere raison comme ou allconstum à
erdinaire que rapport. Car
putee rapporte est trop general. Et il ya des  rapports exaets qui nre sont pas
ni expliqués par l’equation
par exemple le rapport de
a-X) (qui est celle de l’ordonnée dens le kelile à son ubscisse
 sinus desom qement, n’est pas une raison, c’est neartmoins un repport exact. De plus c’est un
rappot d’equatin sans estre un rapport d’egalité pour fare voir que l’usuy
ne souffre pas qu’on confonde egalizé Rt equation comme fait nostre auteur
Aussi no distinguons nons ordinairement al l’analogie (qui est l’egaliré
de deux vnsons) de l’equation, en disant que nous hangeons il’analogie
nees
Lag exeu
et en equation et viceversa,
est une analegie
De plus je ne cioys pas que dans le fonds
Fraction et l raison soit uemene chose commeel pretend
Car la raison d’un dans la musiquse pous voyons que la raison d
de l. à 2. et de 2. à 1. est une même chase, ecvoiy une octave, et
il n’importe pas de quel des termes precede ou suive, au lieu que dans les
fractions Z est toutautie chose que. Je croy eussi quae les ancous quand ils
je m’immgline que les anciens en partant des Raisons ont eu egard à la Musique
et à la section du monochorde; or  le n etdi’on vient que ce, qui paroist
 bizarre a nostre auteur est assez raisonmible; car adjouter, les aisons on
composer les raison c’est altiplier chez eux est miltiplier les termes l’ante
cedent par onteredent, et consequent par consequent, pour l’voi, oster les raisons
’une de l’autre c’est dviser les termes;  multiplier  haisons l’est excser
puie une puissance, et diviser une vfon est extraire une raciue. Ce qui sera tres
intelligible, si au lieu de logos, ou raison, ou substitue logarithme. O quoyqe
et
les anciens n’avoient point de connoissance assez distructe des loi garithmes, ils avoient
ponrtant une connoissance sensible d du Monocrorde, qui les represente
On quelque faison. car par exemple en coupant une corde en deux, un tonne un
il est bien vray que lors que les raisons
fractions les le sont aussi; ma
j’avone pouitant que raison est logaricme
sont egales ou si vous voulez les Cogarilhmes
et qu’amsi des fractions servent à calculer  caisons de meme que lors que
les sinus sont les mêmes les angles le sont aussi et ququ’ansi les sinus servent
à calculer pores angles qui sans celarre sernient pas sujets au calcul; de même Mais
comme l’angle est tout autre chose que la rasin grandepr des sing, de même at il esté
permis aux arciens  de prendre la raison pour ce que nous apolson
ais quoqque nous instingoeis celogarithme
ouo Cela de confonde la haison torce la fraction, parco qu’il mesemble que
idée de la raison enferme no priorie point d’ de probrté doy postenorité des termys
cer nentro eu lata l’egalile des raisons gestr ngue at les fractiune
que j’ay trigolées dans,
les deges supeulux
i
la Carabole re coupe ny ton
pas de cercle ou shartassez
que cela sepent deserminer
 ladescription de laparabolessez desoni.
se sant pas aussi qu’il auu
Mous des Cartes d’ab
H et autres semblodis
de nostre auteu
A lcapportentis deur
quiles fait appeller
ea uns uisnt
Mars comme en res matieres
il est penns de on il y a
plusiens idées envoloppee
l’une dans l’autre on
peut parter comme on
le juge apros, on peut
appoprier le terme a
celle qu’on vent; e ne
veux pas jusister d’avan
la dessus, d’autant que
, sc ay que des personnes
fort éclairee, trouvent
apropos qu’on pienne
fraction et raison pour
une meme diose, quousque
ils de meurent 3 accord
que ause que cela
ne s’accommode pas
bien avec la phrascoloqe
ordinaire. Et phadjont
à leur agantage, que si
l’on accordé ces deuxprose
prenuerement quee. le logant
different de la mison
et en deixieme lieu, que
la raison de 1 a 2. est
autre chose qe la rare