# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/39947/text
# Catalogue record: 39947 — Progymnasmata de Solidorum Elementis
# Incipit: Angulus solidus rectus est qvi octavum sphaerae partem complectitur,
# Date: 1676-02
# Akademie-Ausgabe: AA VII,8 N. 037
# Other printings: 1. Foucher de Careil, Oeuvres inédits de Descartes, 2 S.214-226. 2. (frz. Übers.) Prouhet, Notice, 1860, S. 484–487; 3. Jonquières, Écrit posthume (BM), 1890, S. 43–55; 4. (mit frz. Übers.) Jonquières, Écrit posthume (MA), 1890, S. 325–379; 5. DO X, 1908, S. 265-276; DO XI, 1909, S. 690–692; 6. (ital. Übers.) Natucci, Il ,De Solidorum Elementis‘ di Cartesio, 1920, S. 117–127; 7. (mit Faksimile u. engl. Übers.) Federico, Descartes on Polyhedra, 1982; 8. (mit Faksimile u. frz. Übers.) Costabel, Descartes: Exercices, 1987; 9. (mit ital. Übers.) Opere postume (Belgioioso), 2014, S. 1224–1239; 10. (frz. Übers.) DOC 10 I, 2016, S. 221–231; 11. (japan. Übers. mit Faksimile von Bl. 1vo) Descartes, Shisakushiki, 2018, S. 110–127
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=39947&katnr=Cc2+1325
# AA VII,8: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-8
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,8 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII8.pdf#37
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068695
# Title: Leibniz-Handschriften zur Philosophie LH 4, 1, 4b
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 4, 1, 4b Bl. 1.15): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068695:0001 to 00068695:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068695&page=1
# Lines: 185 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068695:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068695/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
per ajymnasimater desolidorum Etementis expersta ex Mso Cartesii
Angutus solidus rectus est qui octavam sphaerae partem compeectitur, etiansi non costet
ex tribus angulis planis rectis. Omnes autem anguli plani ex quibus circum scribitur simul
sumti, aequales sunt tribus rectis. Sicut in figura plana omnes aneuli exteri simul sunti
les
aequales sunt quatuo rectis ita in corpore solido omnes anguli solidi extermi simul sumtiae qua
sunt octo solidis rectis, per angulum externum intelligo curvaturam e inclinationem plandrum  I
ad indicem quam metiri oportet exangulis planis angulum solidar s ouprehendentibus
nam illa pars qa aggregatum ex omnibus angulis planos unum angulum solidum. Sacientibus
minus est quam quatuor anguli recti planum designat angulum extenium socidum, si quatuor
anguli plani recti ducantur per numerum angulorum solidorum et ex producto tollancur
anguli recti plani, remanet aggregatum, ex omnibus angulis planis, qui in superfine vlis
qu ogramide sunt semper. lor facies quor anguli in
corumna medin pars numeri angulorum solidorum iminor est vinario, quam numerus facierum oacorum
corporis slidi existunt.
in pyramide duplicata media pars numeri facierum minor est binario quam numerus
angulorum sunte alia corpora, in quibus licet duo extrema imaginari et plures)lege
sum ad minimum triplo plures anguli plani quam solidi in uno corpore. Si damen
binarius ex numero angulorum solidoruu in corpore aliquo continetur, et residuum
ducatur er binarium fit moximus numerus facierum, e vero ilividatur numems aingulorum
per binarium siquidem sit numeristari, sin minus illo prius addenda erat unitas ut dividi
possit ac postea quorienti addatur binaris eritus munerusminor facierum. est maxima
recipiocatio inter facies et angulos solidos. Pyramide, omnes aequiratera in sphaera
describuntur. Coni rectanguli cujus cudius scidicet alti tudo aequatur semidiametro basis
superficies convexa e hrabet ad basiti ut Y2 ad unitalem quem admodum lineae simplices
sic demonstratur non plura esse quam 5 corpora regularia quia si ponatur a
pro numero angulorum solidorum et 1 2 pro numero facierum,  debet di vidi possse
2∞ - 4 et 274 ata ut nulla occurrat fractio, alioquin enim certume evidens
est corpus regulare fnon posse. Hoc autem inveniritancum
gene unde
poteti, si a sit 4. [. 6.18. (12. (20. et pauter 127 sit 4(8(6)20 (12
Rhromoverdes omnes et phramides sphaerati circum serbuntq
generantur 5 corpora reguleria.
et cognoscamus aatium aliquod corpus solidum possit in sphora describi primu scirendum
est omnes ejus facies necessirm incircuro describi posse, quo posito si tres anguli unius faciei
dequaliter distent a centro sphaere certum ejus etiam alios omnes ejusdem faciei aequaliter
a centro sphaerae distare; ac insuper ex consequenti angulos omnes vicinarum facierum
qui simul concurrunt cum illis prioris faciei in iisdem angulis solidis
Nato augregato ex omnibus angulis planis qui in superficie alicujus corporis solidi existant
invenire quot in eodem corpore solidi anguli existant Addantur et numero dato
et productum dividatur per . residuum erit numerus quaesitus, ubi si fractio occunat certum
Dato aggregato ex omnibus angulis planis et
numero facierum numerum angulorum planorum invenire. ducatuo numers facierum per 4
est nullum tale corpus esse posse.
et productum aggregatur addatur aggregato ex omnibus angulis planis est  et
totius media pars eris numerus angulorum planorum. V.g. aggregatum ex omnibus
angulis planis est 72. numerus facierum B. cujus quadruplum 48. additum cum 72. facit
120 cujus media pars est 60. ergo in tate corpore sunt 60 anguli, plani.
sunt semper dupto plures anguli plani in superficie corporis solidi, quam latera
unum enim latus semper commune est duobus faciebus. si omnes facies dicantur aequalem
numerum planoum continere continere ergo numenus angulorum dividi potent per numerum
facierum sure frnctiones et quonens erit numerus angulorum unius facies. Hinc fanle
cognoscetuur ex numero angulorum planorum et numero faciepum solum cognitis, quor
aguli in una facie esse debeant. viy. si sint 5 faries et 18 anguli plani ergo
ex illis faciebus vel 2 erunt triangulares et 3 quadratae, vet 3 triangutares unna quadrata
et allira perta gonas veldensque una hexagona et 4 triamagneares, sed quia im eodem
corpore sunt 6 angulo solidi, Hine non potest utlum tate corpus existere, nisi cujus sint
Triplicem adverto im angulis solidis aequalitatem aut in aequa litatem aquales
Tur quae aquali numero angulorum planorum comprekenduntur aequales ilem quae
valem incliationem contment, quo sasu dicemus angulos externos sive inclinationes.
e priores dicemus aquales arithmetice ac. denique maxime propire aequale dicuntum
qvi eandem partem sphaerae compretendunt, et dicenturea pacitate aequales.
Angulorum solidocum inclinatio ne aequalium ille capacitate majores, qui-
anthmetice exuperat, q omnium capacissiumus est angulus coni-
ponam semper pro numero angulorum socidorum, L et pro numere facierum .
aggegatum ex omnibus angulis planis est 44. =8. et numerus  est 2a -4, si immerentur
Numerus item angutoram planorum est 6a =, 2. numerando
tot facies quot possunt esse triangula.
slicet unum angulum pro certia parte duorum rectorum. Nunc si ponam 3a
Ars aigulis planis qui ad minimum requiruntur, ut componant unum angutum anguerum
sicidorum, supersunt 34 - 12; quae summa addi debet singulis ainfulis solidis juxta
Numerus verorum
tebnem quaetionis, ta ut aequaliter omni exparto diffundantur
ancutorum planorum est 28 + 2a -4 qui non debet esse major quam 64 - 12.
ed si minor est excessus erit + 4∞ - 8 = 28 deso
st possint e combocides in sphoera adiucunque quantitati, sed non aequi latera
tetmediam

## Folio 1v — 00068695:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068695/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 108 lines, status machine
1on48
21
18 
54 +50 = 9
log +120 - 144 +21, 135
Gromon ) 372 = 6 +2,
Gromon
H Horum antum dffeventins
deficiemus, prictis 1, 1.
1
10
31Z21
Aqui linea tnossi adsinprmulat
nec, characteles in itiso qua
elisi et dubii erant neque his
omon cum numeris converit
E ut viprioribus +)
2+A, o )
45 + 90 - 30 4 2, 215
F+F= R
19 +16 - 29-
36+3642
60+6456 +51
6+ 5 - 23713, 1
36+20= 46+13, 24
59+ 13, 103
 90 - gut 17 172
20 10,
21 32 40 10, 24
00
50 160 80 10, 2b
7 15 27 167
21
60
42 135
70 290 184. 16 287
y
55
18 764
 u
d
18130-18
30+56 -2
Gmomon  n 6+ 4 -14+5, 1
64 = 32
1074 13
omnium coitimo formabuntur solida per snomones superadditos uno semper
angulo vacuo existente, ac deinde totau friguram resolvi posse in trrangula Uno esanle
agnoscitur omnium polygonatium pondera rateri ex ultoplicatione Sirgonatium per
numeres 213(4)5. 6 eit. et ex producto si rollantur 1. R) 3)4 radues erc. Ut Tetra-
ponalis pondus fit ex LZ+ L2 per 2. fit 2 AB+ 2 2 inde siblata 12 fit 13.
itempeo t3 ex producto Tollendo Z fit pondus peutago patium eti
quinque corpora regularius sugalunter, ut per se spectantunr formantur per additamentum
gnomonis ut superficies peraniformatae
fetractionates
FLR + A, 0
octredionales Eicoscedion Tubici 
F-
A+A, 0
F A A, 0 FRAO
dedecedion.
EM
4- 4 + 1, 1  15 20+6, 1 3-371, 1 9 - 1)
q 1 = 8+ 1, 6 4r -to 15, 12 1206+118 25 -36+ 10, 2.
6 = 0 +0, 10 24 - 124 1, 19 90-604648 27 -9 41, 27 108-54+10, 84
10-040, 20 40 - 16+1, 44 150 -80 (6, 124 48 - 12+1,64 198 -72 410, 220
dita etiam po lygonale regulanter fieri deben R. A, 0) R- A, o (R. R, v) A- A, 0
quode figuris istas ut
mensurabiles tunc unitares omnes intelli-
zerentur esse ejusdem rationis a figurae ipsae
-0y
2- 0, 3
420 30
2 = 17
4- 1, 4
3-31
-3, 15
- 1, 18 212 2 12 16-3, 28
nempe in Triangulas unitates triungulares pentagona metiantur per unitatem
pentagonam ete tunc etdem esset proportio plam  radiem, quo est quadiati ad suam
radicem, et socidi quae est cnti,ut si radix sit 3. planum eri 9 solidum 27 etc. Vin
quod etiam ualet in ciumo et sphaera aliisque omnibus
si enim uns
arculirirum ferentia sit triplo major altera sejusdem area contrnebis
novies, unde animadveltis has progoestiones nostrae matheseo
Y. 3. YG erc non esse alligatis figuri cmetstquadrati cubissed
corporis quod consta hexagonis et 4 Triangulis latera, sunt 18 anguli 12, facies g.
inptur tujus Gromoa constat hexcrgorix et tribus triangulx faciebus minus sex radicibus, Y2 angulis
qued conste et triangulis et 6 quadratis facies sunt , 1anguli
dices rs et sujus gnomon constato friangulis et 4 quadrabis faciebus
igradiciou, +sargulis
corporis quod constates triangulis et quadratis faciebus lalera sunt 36.
anguli 24 et facies 14. eujus gnomon conpat 6 tiangulis, et 4
quadratis facrebus - 14 radicibus + 5 angulis
Corporis quod constat 8t hexagorix et 6quadratis faciebus, latera sunt 36
anguli 24 et faiies 14 hujus gnomon habet 6 hexagonas et 5 quadratas facres
minus 23 radices, + 13 angulos.
corporis quod consut hebriungbis 6 quadaris facebus e, 6triangulit
ctangulis faciebus latera 36. anguli 29. facies 19. hujus a habe Gnomen hace
vorogonas et 7 trimugnenres facies minus radires eo, gans angulos,0.
orporis quod contat 18, vadratis et 8 friangalis latera sund, laterlat
C7 tianus ilis faciebus - 37 radicibus lus 16 aorgulis
x
Corpus ex 2o triangulis et, 2 pentagonis latera 60 anguli 20. Et tuinis grdna
haber as erimoguea et 10 pentaronas facies, mnujus radices 98 per, 20 anguis
 generiliter per illas diversas mensurae species designari
=
32 270 418