# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/39963/text
# Catalogue record: 39963 — Leibniz an Antonio Magliabechi
# Incipit: Cum nuper ad me inviseret eruditissimus Ebelius Serenissimi Principis
# Date: 1680
# Sender: Leibniz — Addressee: Magliabechi
# Akademie-Ausgabe: AA III (assigned, not yet published)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=39963&katnr=41753
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068016
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 19
# Folios: Bl. 29–34 (from the shelfmark LH 35, 4, 19 Bl. 29-34): 12 pages, canvases 57–68, page ids 00068016:0057 to 00068016:0068
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068016&page=57
# Lines: 861 recognised on 11 of 12 pages, mean confidence 0.91
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 29r — 00068016:0057
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 30v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 115 lines, status machine
solutiones Do Cl. Monforte.
Quod ad solutiones
Cl. Monfortu
attinet, equidem ex calculo
quo utitur ad passim
 agnosco ipsum potuisse
eati umper ad me
ay
buiiss abgans
Celeberrimo viRo
ANTONIO M AGLIABECHIO
Cum nuper ad me inviseret eruditissimus
Ebelius serenissimi principis Georgis
Quilietuni Bru Brunsvicensium et
Luneburgensitum ducis Medicus, et
acceptame a TE in Italia schediasmat
Geometricum a Clarissimo Monfortio
tibi inscriptum ostendisset ostendens
humanitatem atque eruditionem tuam sanc
maximam, quas fama dudum acceperam
de praedi mirifice depraedicaret: ego
excetatus problemata eadem quae Monfortius
tractavit, denuo aggressus sum non
aemulandi animo, diversa enim est institutum.
nostrum, sed ut occasione uterer quae
ua mihi notitiam tuam pollicebatur
cujus Problema ego pretium non ignoro
Problemata ipsa non contemnenda
quidem  ejusmodi tamen non sunt
is rebus
persato
ut Auclytises perito negotium facessere
possint? Itaque l. Ebelius testis esse potest
illa i me quae nunc vides ista altera
quam eas monstravi di peostridio
cum eas  colloquii nostri scripsisse
Autor ea non satis es paulo
arctius quam par erat concepit
nam basis ex vertice tria perpendiculum
ex vertice triangulimitas
si opus productam demissum, ts qilicub
tres distinctus  rectas exhibet, bahabedis sibi in directum jacente basin
tervalcum puncti occu et duo intervalla qu puncti nimirum occursus
punctum inter occursus et duo baseos extremicen
quae quidem intervalla sunt segmenta
seos quando perpendiculum cadit in basin
intra triangulum; sed quando punctum
ircursus est extra triangulum, quod
trianguli +
sit quoties alter angulus ad basin est
obtus usp  con tunc contra evenit
ut basis et intervallum minus, sint
inter segmenta intervalli majoris.
itaque problemata ut omni triangulo 
commoderi possent, debebant de potius de
intero allis quam de baseos segmentis
otentata primum et quartum coincidere
algulo
Pora
ed ea tamen quae dedit
quaededit talia sunt, ut scribi
et
potuosent, etiam
ad e qui problemata
haec solvere non posset
Nam si determinationes
quales ipsaeadhibet
pro arbitrio pro solutionib
haberi possunt; Ulnus
quisque pt poterit hujus
modi problemata solvere
eligendo o habente
oculos problema
sumeret assumendo
tantum triangulum
quodcunque in qua
quae Geometra post tabulam
latens Lerda Lugduno
Batavorum misit
Ego certe) talia proponere
nollen
tuc tum latera
pariter et segmanta
baseos sint rationalia
uod nullo negotio fieri potest
ex duobus triangulis recta
lvg ex duobus triangulis te
sumnericis qualia habentur
innumem ABD et BDC componend
unum ABC, ita anim poterit alius
iccurreeirsu illo
l’psam
10
m
inuumeras ita enim posse
poterit de termi nationes assumere
quales CI. Monfortius, et inde
uaerove reliqua talculo
quasi non jam nosset. Causam
autem cur Monfortius ita egerit
met
hanc puto, quod tanti non putarem
impendere
tut est in
quarto
ratio
nam si datur differentis
laterum circa verticem
ad alterutrum utique
profecto dabitur et
vicissimratio later alterutrius
lateris circa vet ticem
ad eorum differentiam, i
:quorum enim
datur latio ditrecta eorum datur et recie

## Folio 29v — 00068016:0058
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 30r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 64 lines, status machine
Sed majoris adhuc momenti sequens
observatio est, serviet enim tum ut ut Geometrae.
anihil his facilius esse moniti
abstineant imposterum Goata proponandis
tractandis. hujus modi problematibus
nisi vel opus illis habeant vel
singulare quiddam atque elegantess earum constractiones in illis
equiddam
illis deprehendants Niminum tum
ut moniti nihi tum ut appareat
millena problemata, quae separatim
proponi possent, arte analytica
ad unum calculum revocari.
itaque observo problemata duodecim
a Geometra post tabulam latente
proposita revocari posse ad duo generalim
quorum unum indeterminate consideratum
prius
est planum, posterius solidum
ondeterminate consideratum est solidum
Sub priori continentur problemata
primum, secundum tertium quartum,
sub posteriori reliqua septem.
prius problema generaliter ita
concipi potest: Data differentia
(posses et summam addere) inter intervallorum
inter punctum quo perpendicularis basi occurrit
et t duo baseos extrema,  dato
item angulo ad basin alterutro,
ac denique data summis vel differenti
ratione duarum quarundam rectarum  O.
ex duobus lateribus circa verticem vel
eoram multipt, utcunque multiplicibus
assumtisque rectis datis utcunque addendo
vel subtrahendo compositarum; invenire
Triangulum. Calculus itaque generalis erit hujus modi
antam
erit hujusmodi. Sit Dato angulo
ad basin A. dabitur ratio intertres
rectas AB. AD. Bd. sit itaque
AB vocabimquet rectas, AB, Z. BC, y intervalla autem seu segmetita majus l
AD, v. minus DC, X.  Data differentia
intervallorum vel segmentarum sit a
fiet
(1
ecx aeq- a Porro dato
angulo ad basin A, (perinde enim est
in calculo generali, quam eligamus detur)
dabitur ratio rectarum AB, Ad. quaesit
eadem cum ratione d ad c. rectarum
ZF Z
datarum, ac fiet; reqe
(27
eq vaequ et
Enpo
u
est
pt
+pr im 
tz-rraa
drr dum
Fdata differentia intervattorum
vel segurentorum sit a
Flatera cirt verticem

## Folio 30r — 00068016:0059
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 29v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 96 lines, status machine
Denique ponatur rasio ado
ratio rectarum  ad D eadem quae (3)
significet 
 Z+ V7 +9
P βZ+7y +9 aet D sit dZ+ By+t
positque numeris secundum quos multiplices
sunt Z et y rec Z et y rectangula latera nempe
esse
circa verticem, in antecedente β et V.
 consequente d et  assumtaque recta
data in antecedente g. in consequente t.
(4)
+ cq
et habebitur y aequ. s - b+
b0 -c
vel compendio y aequ. nZ + p. Quoniam
yaeq
Quoniam jam ex natura trianguliet ZV aequ. A quads Duciqu.u t
sive fier  Z- y aequ. v- X. et
quia v - X aequ. v+ X in r - X vel per aequ. 1.
quia v v+x in a. fiet v x aqu avi ex ideo
(8)
adeoque v x adeoque (per 7) et Z- y  qu. aV+ ax
et pro X y. v. ponendo vulores ex aequ.
X. y.  ponendo alores ex aequ. 1. 5. 2. tunc
loco aequationis 6 habebimus:
E aequ. +2np Z - ea
reu
+n
es
u n  Z aa +B
dir. EA
Enpreadriacar
problema itaque planum est, ac
a Bd
rrnndna et constructio em facile habetur ope circuli et rectae
solvi possit infinitis prodis infra explicater quando id possibila est, ipta es
Ostendam nunc quomodo quatuor
priora problemata in hoc unico contineantur
problemata ipsa ita habent.
jam jam si fiat β aequ. 1. et  aequ. et 4
et V et q et t aequ. 0. et d aequ. 1.
et d aequ. -1. habebimus
Z ad Z- y ut b ad C.
quod est problema primum Sin fiat
3 aequ. 1 et Y aequ. 1. et quie et
et d et g,  g, d, B aequ. 0. frer erit
Z1y ad t ut b ad c qu est sollema
secundam. Eodem
2+ y ad t ut b ad c
quod est secundum. Eodem modo si fiat..
β aequ. 1. et V aequ. 1. et gaequ=s
et S, D, aequ. 0. fit erit
niod
+y - 5 ad F ut b ad C
quod est tertium. Denique si sit β aequ. 1. et J aequ. - 1
et S aequ. 1. et  9, D, F aequ. 0. erit
temp quartum
em quartum  ex
rraa st rr toiZ
9. D: : b. C. OCp Db
C)pZ. Xp 8- y
cZ1 b7- by.
1
+bzce
+CB
be
+ ca
-b+
400
et pro v ponendo
uo iis
ad
Z1
et
v+ dv- a
25
5,20, 35,5
a + s  a + 2a9 +9
sirt 8Ba. a 8
2745
nomod
omodo ene
n
2
numeris 35
rabo
144
5
400
623
mussus tewein grahoiaben weeden
6 5. 4..3: 12
. 3. 
quod revera coincidit primo
u supra monui

## Folio 30v — 00068016:0060
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 29r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 56 lines, status machine
eodem calculo infinita alia problemata
specialia exculpere licet prout literae
non unjicati tantum
ed et
β. V. t. d. O. 9. modo unitati aliqe
numeris rationalibus aut irrationalibus
integris vel fractis, positivis aut negativis id est
sive signo + vel minus affectis aequales
determinare
ponuntur imo possumus ponere literas
non tantum aequales numeris, sed
sed et eas aequales numeris ponendo
sed ponendo aliquam earum relationem
literalem inter se et ad datas.
Ex his problematis infinitis sub hoc
calculo comprehensis multa sunt,
quae  propositis ab autore non
cedunt vel simplicitate vel usu.
Exempli gratia hoc problema:
datius reliquis ut prius; dataque ratione inter
aggregatum laterum circa verticem,
ad eorum differentiam et
differentiam laterum circa verticem
invenire triangulum; etiam in calculo
nostro comprehenditur. Nam
faciendo β aequ. 1. et Y aequ. 1. et
q. equ. 0. et d aequ. 1. et D aequ- 1
ett aequ. 0. fie erit
G+ y  ad Z. y  b ad c.
alia lmirmodi problemata ex calculo nostro derivare.
Possem multa alia enumerare, quae in
si vellem horas perdere enumerare, quae
eadem opera solvantur, si quidem id
tanti esset.
Altera Classis
Probleniatum que
Caetera Problemata inde
a quinto usque ad ultimum, omnia
similiter sub uno eodemque calculo
comprehiendo, qui generalilter sumtus
es indeterminate sumtus assurgit
ad solidum quamuis certis casibus
 planum non excedat. Calculus
Nimirum datis reliquis ut prius
ponatur ratio  C ad D composita composta exrationibus
cum ratione ex C ad D  ad  composita
aequalis rationi datae; ipsis C DY.
eo mo Y et  ex B ex Z. y. compositis
quemadmodum supra diximus de C et D
sit planum compositum ex sit praeterea latio b ad c. data aequalis
datae rationicuorum planorum; compositorum 8. et 
ex quadratis laterum circa verticem utcunque multiplicibus
rectangalisque ipsorum in se invicem et in alias rectas ductis, atque aliis planis
samtist, compositorum: eadem sulecet quae est atio. quaeritur tiangulum
+
pe

## Folio 31r — 00068016:0061
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 32v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
significare
Nimirum ponatur Z aequ. AZ ady + 5 2y + βZ+7 74 94
et
significare
P(1oZ Ny+ Zy +5Z+ By+ H
fiet: C qu. c8 aequ. bE id est:
CAZ+C CX Zy+  2t cVy + C9 aequ.
aequolaz
aequ.
b022+ by b1Zy +bdZ + b8y+ bF
(27
Jam ex prius datis: v- X aequ. a.
v aqu seu X aequ. aH v-a, et
V aequ. eZ, et ZFy) aequ av tax
fiet 2 y aqu. 2acd rae Z a quo live y) aequ  2ae2 + a
aequatio omnibus duode du ec etiam
omnibus duodecim problematibus ommunis
quibus si adficiatur aequalio Hiic aequationi 5
si adhibeatur aequatio +. Hic valor
ipsius y seu quadrati a latere BC
st
d
si substituatur in aequ. 1. sit
e 
Nur habebibur
Vaq cu ces
efac
noue
Supereriti sous valor ipsius y pujus
p adeoque et ipsius y, quo substituto
in aequ. G. habebitur aequatio in qua
sola supererit. Qui calculus cum
sit facillimus, et assurgat ad quad
generaliter sumtus assurgat ad quadrato-
quadratum, ascribere eum inutile est
si H illud tantum ostendam duobus
lexemplis, quomodo ex hoc calculo generali
eliciatur specialis pro problematibus propositis.
Sifiat Nimirum si fit A, (n, B, 211i9, fiat ro
eF 20, 6V, Y, d,  fiant aequ. 0. et
si E fiat aequ. 1. habebimus
Zy ad  ut b ad c.
quod est problema sextum. Item si fiant
(,V, 1, , Y, 5, D, aequ. 0, et si
fiat A aequ. 1. et n aequ. 1. et E aequ. 2. erit
X Z+ 2Zy + yY+ 99 ad +E, ut b ad c.
quod est problema duodecimum. Piget
caetera per sequi. Tantum moneo problema
alite
septimum non recte editum esse, errore
ut opinor describentis, ita enim
excusum est in exemplo quod vidi.
aliter in catalogo problematum haberi
tue alier ver asiler a. Et. stonssortro
F quae omnibus duodecim
problematibus communia sunt
+quam

## Folio 31v — 00068016:0062
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 32r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
ut nesciam an non fuert aliquis
arror in describendo. Et si conjecturae
+menti autoris convenire
locus, crederem problema quale in catalogo
cum sit planum er ad priorem calculum spectet
pro septime, habetur ponit loco quarti
quarto expuncto, quoa primae coincidit,
problema autem ut septimum esse non
ut in catalogo habetur, sed ut a Monfortio
solvitur ita enim solidum fit, et merito
inter solida ponitur, loet sub posteriori
calculo comprehenditur.
Uenum
tamen ab adhuo annecto annoto
totum calculum posteriorem, priorem
adeoque et problemata primum secundum
tertium quartum comprehendi sut
posteriori calculo, eot id est posterior
coincidere priori quando fiunt.
A, , 3, E0, 60, , aequ. 0. Mt
Atque haec quidem de modo
calculum reddendi generalem, pluraque
problemata revocandi ad  unum
superest ut ostendam quomodo proble
haec tum in numeris ess efferri
quaesitae quantitates tum in um
Tarta
Et in irrationalibus quidem
numeris pminimi opus esse
C arbitror ca solvere, nota
enim est mathodus ex
aequationibus quadraticis qua
quadraticis (altius enim haec
problematae non possunt assu
extrahendi radices etiam iraliont
exactas sive rationales sive
irrationatas. Quae methodus ut
obiter hoc dicam italiae debetur
Nam  grotum quidem  ex
ipso Cartesio id annotante
Scipionem Ferreum fuisse primum
qui docuit extrahere rudices
exactas irrationales ex aequationibus
cubicis (quae methodus non ut
quidam putant spec Cartesius
dicit, specialis sed re recte
intellecta ganeralis est)
Cciterum non aeque notam
est italum fuisse primum
numeris efferri tum lingis construi possint Et in
determinationum jam exhibuit notui
actum agere, lamensi possem determinationes
ex hibere generaliores Ex empli gratia
prae probl. 1. 2. 3. 4. aliisque innumeris
quae sut calculo priore continentur, servire
potest haec determinatio generalis
fiat  agu. Datus Naberimus
Sura aequationem 9 quae erat ap
datis in numeris
manentibus, ergo a. n. p. 1. datis supra
aborape
drato cubicis et quadrato
possint. Et quia C. Monfortius in numeris
eterminationes qu ene la
224 in p Z aequ. a + 1
Y ad
inventorem reduce
methodi qua reducitur
aequatio quadrato-
quadratica ad
cubicam. Id enim
vulgo tribuunt Cartesio
cum tamen jam extet
in vieta. Sed comperi
primum ejus inventorem, fuisse
etiam numedo rationali quocunque minore qua
itam fiat deinde sit a ratio data, aequal n p
posato no numpro negativas
aequ. r
 8- ne
sint datae
in calculo priore aequ. 4 et 5.  qualibascunque modo tu numeris rationalibus
sumto 
+nt
ponamus a datam differentiam segmentorum a esse aequ. P
esse
+an p ad (ad , adg18
en Bac
  sunat  fiet.
datis utcunque
set
C ponarurque
iru Z ratio d 
a+ 11p -g2
nx estada.
numero  assum to qualicunque
rtas + adooque latis anum cips e huequ ( .d 19 ( 13 i

## Folio 32r — 00068016:0063
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 31v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 100 lines, status machine
verticem, ac proinde alteraum quorque
pariter ac segmenta baseos, adeoque et ipsa
basis habebuntur in numeris exemplo
utamur et problema primum
hac methodo solvamus in numeris Est
in fo Z ad 3 -y ut b ad c itaque β est 1.
d’est 1, D est 1 coterae lite rae 19. t. sunt 9
quae solutio adeo generalis
ut possitsi latus AB, seu y e numerus rationalis numeris resolim
numenis datus et nihilo minu ratio paeos
manenteque a differentia segmentorum in numeris data
baseos data anguloque t etiam existente etiam reliqua in con
dato id est d Si jam qu
qualicunque et similibus, fonditione qualicunau
tantum angulus A ita dandus est
sive ratio AB ad AD assumenda
talis, quae est nunari a
a+ Pf.. Ip.  ad munerum pz
 existente aequ. Z+ np
Ulnicum
adjiciemus exemplumo calculi tantum examinandi causa, et ut appareat
comprobundi causa. . Aris tatum quodlibet triangulum in quo tatera
primo probbnate solvendo, esto quaerater mangulum omnium notissimum
Et Triungulum in quo differentia segime utorum
bas eos sit 7 et ratio alt alicui
unius lateris circa vertinem  ad diffecentiam
lat laterum circa verticem sit
quadcupta, seu quae 4 ad 1.
Ludovicum Ferrarium Bononiensem, Cardano familiarem, cujus etvita in (urdani operibus extat Ejus
is Algebrae perfectu (prrie quatenus et a logistica et ab Arithmetica et a Geometris
rationalis
sit datus
nieusem, quemadm odum Ejus methodum ample descripsit Raphaet Bomenlisut. itaque
ractacum
per formulas quasdam valorum sive formularum, quibus radices ncogni quaesit ae
exprimantur consistit ad quem nunc habet gradum
jam superion seculo ab hominibus italis fuit perducta promota
neque ei quicquam hactenus ad jectum fuit quod ideo annoto
ut sua cuiqus les lans tribuatur quanquam enim
ad Scientias  nihil sit intersit quod nomen quaeve
nationi fuerit inventoris; ad excitanda tamen (eD.D
honesta aemulatione ingenia plurimum potest
bus vinos
In num eralgo rationalibus vero problemata hac
rational
cum stat generalia, solvi non possunt nisi adhibitis
certis determinationibus. Et quidem primum specimen dabo
exponam exemplo modum ex determinationum
generalium
deinde pcbo, quomodo innumerae determinationea
antroes
innumera problemula sspecialia exhiberi speciale
sit datus ita u ita scilicet
psi exhiberi possint, quales C. ut tangens ad raticum ad sinum seu
latus AB ad segmentum. BD sit ut 6 ad 4
Monfortius dedit
quod sijum possibile est hoc problema resolvare
sn ration per numeris rationales, poterit sylvi has
a
ut omnia  exemplo
in quibus poblemata
1. 2. 3. 4 et similia solvi
possunt in numeris rationali
et ideo effici potestea
si quidem problema datum
per cam Alui non potest
impossibile est ipsum in
rationaibus
de suspicio sit me
exemplum aptum
elegisse)
simul et segmenta Daseos sunt rationaliu
sub hoc calculo generpli contineri. Sumamus
3. 4. 5.  curus baset segmenta
baseos sunt (hypotenusae
sunt 9. 19 vel ejus loco ad
evitandas
sumamus tiangulum
15, 20. 25. cujus
baseos 25 segmene
E 9. 16. quod
sumamus Finga
id nobis non
esse notum
ac problema
tale proponi
quod sit
exemplum
roble
matibus nostris
nvenira triangulu
AB
quo differentia
segmentolum baseos
sit 7 et ratio
unius lateris majoris circa
verticem ad differentiaum
caterum sit quadrum
seufut qud 4 ad
ade

## Folio 32v — 00068016:0064
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 31r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
nota autem qua statim praevidere
possimus an.
Epecimen hoc determinationum
generalium in eo consistit, ut in modo
greo
do cognosci queat nostra
lia
modam ostendam qui
an problemata primum secundum tertium qui
si
 pla
pertium sot possibile sit selvere in numeris
aralyticaioo notus ascribere notissimus ascribere pudet;u saltem ul id
rationalibus, et quando quemodo id nullo
negotio praestetur quando is fieri potest
Repetatur huc culculus supra p dictus
prive, et valor literarum n pr.
y a. d. c. n p. X. a qui sunt numeri dati
datae. Ajo quandocunque numerus rationalis rrior, ubi in primo prob
aa is
ln
sationalis
est quadratus Problema solvi posse
in numeris rationalibus, et lateris
unius circa verlicem nempe y (cujus scilicet
valor erit ratio ad segmentum baseos
conjunctum sob datum eorum angulum
communem datur, quae d ad e) erit
Dalor hic erit.
Z aqu. 8 e qd nep tad AB seu
d
Y
C
ver
Vicissim quando numerus supradictus rational
non est exacte 4 rationalis exacte
quadratus, impossibile est problema
solvi in per numeros rationales.
quod ut patebit  exemplo, nam si
ipsum illud notissimum triangulum
curus latera sunt 34. 5. oblato quocunque
trangulo in quo latera et segmenta
basis sunt rationalia, semper reperietur
numerum supra dictum esse quadratum
et + valeie quantum diximus.
sumatur tantum calculi comprobandi ex aminandi
causa rTriangulum illud omnium
notisimum cujus latera sunt 3. 4. 5
segmenta baseos 9 et 16, vi (ut evitentur fractiones
evitandarum fractinum causa sumatur sumatur
ejus loco triangulum 15. 20. 25. cuig ita
uba cirus segmenta baseos sunt 9 16.
erit differ ejus maltiplum, ita ut basis
AC sit 25 latera circa verticem? AB sive ZX N 20
(t BX s BC, s 15, segmenta baseos
erunt AD quidem 16, et DC. 9. quorum
differentia a est 7 ratio dad e,
est in minimis terminis
seu Z ad AB ad AD est 5 ad A  est d ad C, seu 5 ad 4
sire
differentia laterum circa verticem. S
Quod si jam
Tub priore calculo continentur
itum et
simitur quae
rationalili: cum
is uircum versatis in arte
hibere
in primo problimate
pli gratia
eu
in praestare suffecerit in exempl
ubi aequatio erit cum ibi
sit  aquis
Repetatur huc calculus
fiet p aequ. 0. raequ b.
et bC naequ. b -c
comprudii causa, numerus tacHr
vocetur 
s
compendio
raat errdun
er nn voceturK
 quem vocabimus d84
tantum opus erit videre an
numerus hhr -K sit quod ratus
quratus rationa
ejus la Nam
si non sit problema erit
impossibile num per
numeos rationales.
quadmtus sit; vocetur latu
 ejus, qua datim erit in
numeris vocetur D. et
latus muc
t.
+hs

## Folio 33r — 00068016:0065
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 34v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 76 lines, status machine
quodsi jam prob lema ita
formemus: Data differentia
segmentorum bas eos, 7, Angulo ad basin
data
seuratione lateris AB ad AD, 5 ad 4
denique dato fat est  (ut exemplum
faciamius
inde formemus problematis primi)
data latere ratione lateris, majoris
AB ad minus BC, quae sit differentiam
laterum AB, BC quae ratio sit eadem quae 4 ad 1. seu quadrupla
quid si jam invenire Triangulum;
 litera quas in calculo superiore
adhibuimus, ita explicabuntur
erit, a, 7. d, 5. C, 4. b,4. G1.
β, 1. 1,0. 90. 8, 1. 9, - 1. t, 0.
cumque sit v aequ per priora n significet cβ- bd erit aequ. - 3.
n significet, cB bs, fiet n aequ.  cum et pp seu cg- bt erito
et  pitem cqubl,
seu 10 - 0
et Y seu b0 cY erit- 4.
et h seu aerrerit 54 et k seu rraa
n significet cβ bs, titho n aequ. 3
seu + 1 - 4
Pp . . . . . . cq - bt efiet Hic Pp aequ 
s
0 = 0
quia a; Z erit a 2091
videamus nunc an numerus
Jun
rr de lad
rest
iuoes
id est quia sp est0
arronn
n
et b  hh, 409b. et
bd - c ... . Y aequ. - 4
-4 + 0s
aa +s 2 p4 ( ad V
1-
hh -k erit 1296. qui numerus
est quadratus et  radix ejus
36 erit 9. jam jam
Q aequ. 8 + h aequ. 64 +36
id est Z aequ. 100 seu 20. quod
vorum esse nobis jam tum aliund
constat. Idem 6 in aliis
omnibus problematis 5 3bb A primi
exemplis succedet
regulas tm
8
2
NX
Et similes
non tantum pro singalis problema
25
6
an da + aadd ssit quadratus tibus sed et pro omnibus simul 
a ee
comminisci liceret, siquidem
quia est y. en ideo a erit 2401. id persequi operae pretium esset;
et utique si a id est sive aut si res difficilis videretur.
an aadee  aada sit quadratus erit autem si modo aec tdd
aee
sit quadratus. 4ec est 64
cujus cum denominator sit quadratus, dd est 25
tantum videndum est, an numorator
4a eetaadd quadratus sit
est autem a aequ. 2401. et
ee est (6 erit 4ae aequ. 153664, sive 48 qui numerus est
qui numerus est quadratus, latus enim quadratus, latus
es aum s ecst aqu Bg2. Mat enm erus est 2g
16+ 9
96
00

## Folio 33v — 00068016:0066
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 34r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 53 lines, status machine
problima ration Jam diximus
Z esse - npp + ad id est hoc
r
21
loco quia p est 0. erit zaequ.  ad
tC
porro ad est 35. et  aadd est 1225
ergo 4a ee r aa dd est
Porro inum etiam sine hujusmodi determinationibus generalibus
regulis perfectis atque absolutis impossibilitatem aut possibilitatem
solutionis rationalis ostendimus, poterimus
determinatignes varias particulares
illis similes quas Cl. Monfortius
dedit exhibere sine ulla na analysi,
sumenda tantum exempla Triangula
quaelibet in quibus latera et segmenta
leit s
habentur sive consu cons commensulabilia sunt
(x. 9. adhibendo Triangulum cujus latera sunt
notessimum 2 4. 5. seu 15. 20. 25. Segmenta basis AD, 16, DC, 9 altitudo seu perpendiculum 12)
isu perpendiculum
eius ope omnia problemata cidensia
solvere poterimus, si nihil aliud
quaerimus quam ejus modi determinationes.
Nam pro probl. ultimo dicimus
Data differratia segmentorum basis, 7
una ratione quam habet area rutio
angulo A seu ratione A_ ad Bd
5 ad 4 ratio et ratione
quam habet quad ratum aggregati
laterum circa verticem, assumto dato
plano 175 ad datum planum 700
quae sit dupla, in venietur
latera trianguli esse AB, 2o, BC, 15 et AB, 20
et BC, 15 et AC 25. Quouum nam
datter ubi segmenta baseos 16.9
AB AD 16, et DC, 9 habent differentiam 7 et perpendic. ABD, 12
 et Y latus AB 20, est ad segmentum AD, 16 ut 3 ad 4.
ut 5 ad 4. et quadratu aggregatum
laterum circa verticem 20 et 15 est 35
cujus quad rato 1225 si addas planum datum
fiet 1400 cujus ratio ad planum datum 700 est 2 ut 2 ad 1.
Ea Eodam modo caetera omnia problemata hoc unico triangulo
ad hoc unicum problema De determinare
atque hoc modo (si sic loqui licet) solvere
Dossumus. Et alio quocunque Trangulo latera
et sogmento baseos ommensurabilia habente
BC.
qu
differentia etsegmen
lorum baseos 164
mub scho giosvirbu
cardu

## Folio 34r — 00068016:0067
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 33v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068016/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 50 lines, status machine
etiam exempla omnium istorum
problematum habere possimus problematu
autem uiusmodi nullo negotio habentur
si enim duo triangula ea rectangula
in numeris sumta eandem altitudinem
habentia ita com ABD, et BDC.
ita componatetur ut bases eorum
AB, BC. AD, DC in directum jaceant,
habebimus ob Triangulum ABC.
quale quaerebamus. Facile autem est
habere triangulum rectangulum
in numeris datam habens altitudinem,
dato enim quovis triangulo rectangulo
in numeris quocunque possumus inde
efformare aliud quod altitudinem habeat
datam, ex. g. si triangulum rectangulum
datum sit 3. 4. 5.  velimusque it ejus altitudo
sit non 3 sed 11. Multiplicatimm omnia
ajus latera per i et habebimus aliud
triangulum latera erunt
BD
haec: ba altitudo 33 seu 1
basis 24, hypotenusa 55
Sed haec prosequi piget, cum sint
3
facillima: fecere tamen cl. Monfortii
solutiones, ut praeterire non possem, nam
ille quae dedit aut hoc modo invenit
aut corte invenire potuit. Calculo
autem Algebraico Tria ex assuntis
determinationibus latera Triangulum quaesivisse vndetur
quaesivit, di qudissimuland in speciem
tantum, et dissimulandae methodi suaecausa
(si quidem hoc mathodus appellari potest) quaesivisse videtur. Jam tum
enim quals esset noverat, cum ipsem et assumsisset
itaque an per omnia Geometrae
itaque an Geometra Leidensis his solutionibus
contentus fuerit nescio. Alia res foret si
si determinationess non ipsi pro arbitrio determinationes
formemus sed ab alio proposita determi
in determinatis numeris problemata
solvamus; nam ad hoc methodo aliqua
sa at sive canalysi opus est.
Mihi ut dicam quod res est videtur
Geometra Lcidensis, desiderasse solutiones
suorum problematum generales, et quidem
an lineis
Etimcaliter
intelligenti
F si quis semel ea intelli

## Folio 34v — 00068016:0068
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 33r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).