# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/40037/text
# Catalogue record: 40037 — Leibniz an Gerhard Wolter Molanus für Arnold Eckhard
# Incipit: Je voy que Mons. Eckardus dont vous m'avés communiqué les lettres n'a
# Date: 1679-03-16
# Sender: Leibniz — Addressee: Molanus; Eckhard, A.
# Akademie-Ausgabe: AA III,2 N. 275
# Other printings: -Uhl, Sylloge nova epistolarum 2, 1761, S.288-295. -Dutens, Opera 3 S.623-626. -Gerhardt, PhilSchr I S.286-290. -Peyroux, Œuvre mathématique 3, 1989, S.108-111.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=40037&katnr=K+514
# AA III,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-960119
# Title: LBr. 227 · Eckhard, A.
# Folios: Bl. 55–56 (from the shelfmark LBr 227 Bl. 55-56): 4 pages, canvases 109–112, page ids DE-611-HS-960119:0109 to DE-611-HS-960119:0112
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## Folio 55r — DE-611-HS-960119:0109
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e Soit AB égale à X - y.
AC.. . . . . . X + y
BC BCsera . . . . . . 2 (Xy Z
sot Z ....... 2 (Xy
et V sera ...... ZZ
AX
Donc AB sera .. . . . . . X -
Eh
AC sera . . . . . X + 22
BC sera . . . . . Z
X
Or puisque AB et BC, l
j’um par l’autre ou bien AB et BC multipliés
l’un par l’autre doivent produire un nombre
quarre, qui doit estre moyeaire du
Triangle ABC, il est manifeste que
la  racine de ce quarre sera
moyenne proportionnelle entre AB et BC
ou bien entre AP et BC. Je voy icy
que M. Eckardys a appelle cette moyenne
proportionelle, Z. mais comme q est
déjà determiné à estre lecosté BC, et
par consequent ne doit pas estre pris pour
la racine de l’aire servons nous plus tost d’une
autre lettre, si Misickardus le permet, c’estadire
appellons cette moyeune proportionnelle V.
et son quarré sera ve, et posons l’un
des deux nombres qui le doivent produire, égal
à V l’autre égal à av, il praviront VY
demliglies l’un pur l’autre adee
Monsieur
Je voy que Mons. Ecfardus dont dout
vous m’avés communiqué les lettres
n’a pas moins d’humanité que
d’erudition; et c’est à cette humanite
que j’attribue les paroles trox favorables
dont s il se sert à mon égard
pour ce qui est du sujet de sa lettre
j’avoue qu’il a determiné tres ingenie
ingenieusement les conditions generales
d’un triangle rectangle en nombres, et
Double
den celles d un nombre quarré 
moindres
produit, par deux autres nombres qui represent les costés  de ce triangle
Mhis je je suis obligé de
an
epen
dire, que je  ne comprends pas encor
la demonstration l’incompabilité de ces
conditions. qais je feray mon possible
pour la comprendre, et
je lacheray de Be la representer icy à fin
que M. Eckardus me puisse avertir, si j’ay
manque en quelque chose.
si nous voulons raisonner genelaler
 suivant Monsieur Eckardus

## Folio 55v — DE-611-HS-960119:0110
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Or V est a aV, comme  1 est a vD
donc si non
par consequent si  BC
est posée egale a =, eg et B egale à AV
Cequi depend de nous) sera à  AB
comme l est à aV, c’est à dire comme l’est à a
Et par consequent Bsera à ZAB comme L est à aa
ou Besera a 2AB, c’est à dire Ba  AB.
comme 2 est à aa.
Maintenant il s’agit de prouver qu’il est
impossible de supposer que BAB peut estre
a AB, c’est à dire e 22
1X
comme (2 à aa, c
Et Et c’est de quoy depend toute
nostre dispute. Mons. Eckardus, 
pour prouver cette impossibilité suppose
que 7 vaut 2. et dit qu’il peut supposer sans faire tort à
da s la generalité de sa demonstration.
ce que je ne luy accorde pas, et il est tres
manifeste que 7 par sa propre supposition
est le costé BC. donc sa demonstration
n’auroit lieu qu’à l’egard de e
xemplo ces triangles rectangles seulement
qui ont un des costes, comme BC, égal
au nombre, 2. Et pur consequent la demonstration
n’est pas generalé à l’égard de tous les Triangles
rectangles en nombre. Neaulmens je poy qu’il ya moyen
je voy un mopyen de remedier meantmoins à la generalité je luy e
Mais accordons luy pr surcroist, que Bl’on Z
peut estre prise generalement pour 2.
done AB ou X - Z Z, sera X = X
ou X
et X - 1doit estre égal à ac. c’est à dire à un certa
ie
il faut dore moustrer que cela est impossible
en nombres il faut donc monstrer que cela
est impossible c’est à dire, qu’il est impossible
qu’un quarré moins l’unité divisé par sa racine
nombre
puisse estreegal à un autre
nombre quarré. Mons. Eckardus pretend de
prouuer cette impossibilité mais jesuis de la maniere suivante
oblige d’avoiter que n’entend paint du
tout ce qu’il veut dire Je mettray
icy ses propres paroles, en le priant
qu’il les explique en sorte que je les
puisse comprendre.
il dit erit XX Naequal. aa. hoc
est aequalis alicui quadrato quodauam
voyons la preurce7 Fieritenéquit
ut fractio aliqua in quax unius dimensionis
dividat x plurium dimensionum (comme icu
la fraction XX ou X dividit XX ) sit numerus
quadratus, nisi illa fractio ) ad minimum aequalis es da p aps grande vor auom saegale)
aenguatis sis (XX selde hoc est si X, si pro
c’est a die (Z) à x.
in inlegris S X et
d’ago d m Ergo:
-d aequ. d +M, d- m
 mensurobiles
et ddebet a m diri
imo et per lad
diridatur fiat
dan , du d + l aeq. C
fiet d aequ c- l
14 -m 4 dividi potest
uloi
jam es ae iaiset dicidi totest per d
( () ago ali
si jam (x
ay par
i
mne
yXL yX aeq
CY, y+X, y - x aequ. b
(2) 1() sex
oadrat
ien
() 2() a (y)2 + ( (57) - _
Ergo (8) - ∞) est quadratus.
Ergo ()+ (). Sy - X) et
quad.a
sed t
primifunter se
an
Y- (X
V)+ (X)
quadratus
differentia erit diffici
divisibilis per  summum radicum
ergo 2) aeoqet Egrum
et rationalibus.
 
t.) a
(ylaeg.
er
H(XI
ifferentir
E(X) erit
divisibilis per sy) + (X
(3) = (X) ade quod est tupossibile
sunt primi inter se
vera est problematis solutio
Et naec
(Nam a1 msinor est quam X et quam NX
uut patet
Nammeor est quam 
etequam  ut spatet
+ est
Phoc est non minor)

## Folio 56r — DE-611-HS-960119:0111
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quicunque
X sumatur numerus qui quadratus
vel E X  hoc est ipsi XX si pro X
sumatur numerus quicunque non quadratus.
Jam  vero XX minor est quam
Je  ne voy pas la raison de cela
cette assertion avtoit besoin de preuve, et même elle ne sçauroit substister, car
e voilys une instance au contraire, posons Xegul à 5 alors
XX -X est une fraction moindre que X, et motu e que XX
et néantmonis elle peut estre egale à un quarre, se, avcoir à 4
quarre, pae soit X egale à 5, nous 
aur ear XX = X ier le même que
ac (
et par consequent un quarré. decee
jam XX est mior quam X seu X
ut patet et multo adhuc minor.
il voti. e
si XX = 1 est un nombre quarré il f il faut que cette fraction
aqu’il ne soit pas moindre que X, lory que X est un quarre,
ny même moindre que Xx lors qu’X n’est
pas un quarré. Mais il est manifeste
que cette fraction est moindre que X
et encor plus moindre que XX, donc
X simple ou a une seule dimension
elle ne sçauroit estre un quarré. Mais Et c’est tout son preuve raisonnement
je ne voy point de raison pourquoy il faille cette fration
que XX  ne soit pas n cette
assertion Mais  je ne roy point
de raiso pour quoy XX -1 ou quelque
q dans laquelle
peut
autre fraction X de plusieurs dimensions est
divisé par X de plusi dimension pourlestre un quarré, si elle allest
doire estre necessairement moindre que l
X  moindre que XX. il falloit prouver
cette assertion, mais il est impossible de la frouver
aiusi. Car voicy une instance contraire
soit X egal a 5. et XX X sera 4(qui est une frattion du X de plyssienrers
dimensions est divise par X e pon
et par consequent cette fraction essera
moindreX, c’est à dire moindre, que 5,
serd 4
et neantmoins cegale au nombre quarré, 4
contreet
elle est
Je conclus que suivant non opinion
Monsieur EKardus doit se servir de
quelque principe, plus haut s’il veut venir
 ponts soation de ce probleme Car je dis ingenument queje ne voy pas
Je ne m’arresterois pas a repondre
par détail a tous les points de sa
qu’un geometre cherchant une moisenne proportionnelle
eutre deux lignes donnéesen’e srs
lettre, car un seul defaut suffit pour
renverser une demonstration. Je diray
seulement en passant que je n’croy de n’avoir pa ecarce jusqu’ily ce en
soutenu sans raison que qu’il falloit ne ne faut pas:  les
 sans preule
employer des differentes lettres les mêmes, lettres
dans deux problemes differents, quand ils cesmem deux problemes:
sont reunis à la fin dans uncaleul, comme
il arrive icy. C’est pourquoy ce que dit
X equles _3
X aequ b = 1
= X aqu. b6
XX aequ bb +Z
parce que X de peusieurs dimensionis
(sçavoir ∞x y est divisé par
je m etonne qu’il a avance
cela sans preucce, t que
aussi
ny arriveroit pas si jevoyois
ccil (qu’il n’avoit tracé sur le papier
que des lignes droites, cer jus qu’a ce
qu’il se serve de cerces. De même posera
averlir Mous Eckardus que ce sera
peine perdue, s’il n’adjoute quelque
autre chose à ce qu’il a dit jusqu’ic
+ et il me semble que j’en ay marque
beu qui sont tresconsiderables.
ou plus tost qui sont tou
consiste toute
affairs est tousjour
=même calcul d un seut probleme

## Folio 56v — DE-611-HS-960119:0112
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# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-960119/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 99, 2026-09-09T22:19:23Z — 101 lines, status machine
M. E EEckardus de ce que l’un
pouvoit estre resolu à paris l’autre à Rome
et que rien n’empeche que les deux
algebristes ne  se servent par hazard
de mêmes lettres; ne me touche point
car iles j’entends u qu’il ne faut
pas donner dans un membne pro des determinations
particulierés à une lettre, quand oy veut
resondre le probleme universallement.
or cela arriveroit icy, en faisan X égal
a a. car X est AAC + AB
mais a est quelque autre chose, c’est à dire
a est un nombre dont le quarré est au nombre 2
comme AB est à BC. or il est visi ble que le probleme dans sa generatite
que ce nombre ne doit pas que que cet a
ne demande pas que cet X (pris pour AC + A3)
soit egal à ce hombre a, et par consequent
il ne faut pas supposer X, egal à a quand
on veut raisonner generalement. 
non plus que ’égalé à la racine demandae
de l’aire du, du quarré oyal à l’aire du
triangle. Mais il est inutile de disputer
la dessus, puisque Mons. Etkardus s’est abstenu
de ces suppositions trop part a en la condescendence dans sa derniere
de servir de a au lieu de X
An reste M il n’a rien répondu
a ce que j’avois remarqué dans le ma derniere
qu’il a ler aoit pe qu’en posant 
AB egale a X -y. et AC egale a X +y
quarres ex et yr
il avoit bien fait sans donte, mais  pour destruire les puissanas, mas
que cela avoit qu’il l’avoit fait plef par
plus tost par la force ’adresse de son esprit
que par regle, mais qu’uy que cette adresse
ne pourroit servir dans les plus hauts degrés, et lorys qu’il y a plusieurs lettres
ou l’on ne peut pas prevoir les destructions
futures;  comme par exemple pour trouver
une trouverle
 des racine deur
nombres que emais je prendrois un exemple qui
taisse dont la racine estant esfée il rese quarres égaur
un quarne est pourquoy Et personte à un nombre quarre
à encor publié une voye asseurée pour H fanorables
arriver à ces suppositions uiles par ou l’on
con pent juger de l’imperfection de l’Algebre autant qu
qui est connue publiquement jusqu’icy.
je roy que Monst Eckardus est du nombre
de ceux qui l peuvent contribuer beaucoup
à sa perfection. C’est pourquoy je vous remercie
emenie Monsieur de m avoir donne sa
Mars je ne le fatigneray point d’autres
 connoissance di’un si hebite home
Je suis avec zeleproblemes et s’il achere ces deux,
Monsieur
voir
premier ta le demonstrant la possibilité je
l’impossibilité au premisisulse du
raisonnement, et av possibi
corte par sa methode, l’atou
second par l’experiente, et faisant je l’estimeray, encor phsi
vostre tres humble
et tres obeissant
serviteur
car aloi les puralogismes ss refuteront
d’eux mêmes par ce, qu’il ne meneront
pas à ce qu’on chherche
(cay je m’estois trompé dans
la lettre precedente en disa
ass
a
racipe du uarre
tois
e
las
de
utri
oe
dont le quarré esoit
au nombre 2 comme
AB est a BC.
 (qui represente le costé BC)
ne monte qu’ quarré, et
qui n’est pas des plus
difficiles, trouver
pais qui a trois
lettres: trouver
trois nombres
en sorte que
la somme de
deux quel conques
et la difference
de deux quelconqu
fasse un nombre
quarre; si Mons.
Cipardus, peut trouver des
trois nombres r de cette
que sa methode est exellente.
Car comme je sçay que ce probleme
est possible il s’agira de nous donner ces
trois nombres en effect, et nous n’aurons
pien a, disputer sur le raisonnement