# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/40464/text
# Catalogue record: 40464 — für Johann Jakob Ferguson: Aufzeichnung zum Alhazenschen Problem
# Incipit: Datis duobus punctis D,E. et circulo cuius centrum A, radius AB, inven
# Date: 1680
# Sender: Leibniz — Addressee: Ferguson
# Akademie-Ausgabe: AA III,3 N. 050
# Other printings: vgl. LAA III,3 N.40-56
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=40464&katnr=39579
# AA III,3: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 31 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 31.173-174): 2 pages, canvases 61–62, page ids 00068195:0061 to 00068195:0062
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=61
# Lines: 175 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 31r — 00068195:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 103 lines, status machine
a- C, c0 + 1P- 2cu
Datis duobus punctis. D. E. et cerculo cujus centrum A
radius fretae DE parattelus) AB. invenire punctum F
ita ut du in sperficie circumferentia, tale, ut
ductis DFG EFp circulo iteram sccurrentibus
in p. g. sint FP. Fq aequales.
Ponatur radius AB parallelus rectae DE.
sit FG, y. CG, X. AB, a. DE, b. AC c.
CD, d. CE, e. d+ e aqu. c. CR, r. CS, s.
 _ DC aequ. DG  qu. d -X seu  aequ
R
Unde ex componendo aequ. 2. 3. per aeq. 1. fieret.  +  ae u. E
c5
G1
m en
Ob circulum FD est
aequ.  Vaa = Xx et FG seu y aequ. c = Saa -YY. seu f . yy + CC - 2cy aequ. aa - XX
ubi nota du duas radices seu valores X. y. per aequ. 2. et 6, dare pro X CG et CH. pro y, FG et E1
et duas radices seu valores X. Y. per aeq. 3 et 6. dace pro X CG et CY. pro yFG et PV
sit Plaequ. (V. erit PL aequ BR. y. et FL aequ. GVaequ CY- (G aequ ZX eri
CV aequ
(2)
jam FL B) + LP 1) aequ. F B 12. Ergo _ vet Yy- 2vu  +
Ergo nN + yy _2 vy aeZ2+ XY - 27X aqu F PL
similiter sit GH aaequ. Co et C1 aequ. Y. erit FM aequ. ip +X et GM aequ. ( - y
jam FM ( + Mq (, aequ. F e (. Ergo c0co +yy - 2coy + y 1+ XX + 2 aqr. FEI2)
jam F p (t aeo Fq (2 quia ex ps  ex problemate FP debet aequari F9.
Ergo et eorum valores ex aequ. 12 et 15 aequales seu fiet.
vn (Fyu) - 2 v + ZZ (+ XX = 2ZX aqu. Cocf y - 2coy  v (+ XY)   t 2et X
s
2
h ny  W0 + ZZ- cdco-  ( aequ. 29 vv, c + 2X Z14
(18)
seu v+co, v- c0 + Z+ Y, Z. Y aequ 2y v- co + (X Z+ 
19 L- Y et
coco +cC= 2cco aequ. aa - p  similiterque ob aequ. 3. 6. 9. 10. scribere possumus
 co.  foma has duas aequationes: e sul et Z et v0+ CC = 2C∞ aequ. aam ZE
ne exac Atu ita exharistum est problema.
ut y. X ex iisdem V
ade compendio t.
et
Niminum  aqu. c saa rx aequ. d xr. seu dd an- xn aequ ccdd - rcd af ECdX  
A 3y LXX . Cy
+
Ca. creb Caa tcctorcco
habemius jam literas incognitas
tatidem
X. y. Z. v. Y. Co. r. s. numero 8. et aequationes  fro iis
L- X - y, d-  - co
resolvendis: 2. 3. 6. 18. 19. 20., 2.1. 22. loco 19 et 21. si ob 2 et 3. scribamus
d- X equ.
0
et eta aequ. et Z. atque ita utemur his 8 aequationibus:
Ego. P. 1lr. lhyt ry r22
2. 3. 6. 18, 20. 22. 23. 29 ubi quidem Y et f. Iucognitae reeri
solam reperiutur solum in 2 prioribus aequ. nempe 2. et. 3. ideoque nihil turdant
sufficitus 6. posteriores aequationes adhiberi ad inveniendas biliteras
X. y. Z.V. V. co. Ubi nota nos habere tres aequationes aed circulos; 
nempe 6. 20. 22.  nempe 6 pro X et y. 20p Z et V.
e 22 pro 20 pro V er co et 2t pro Z et B. c it2t q
quaerendae tres nova aequationes pro his tribus varib tribus paribus
ubi quidem aex aequ. 18 (od  1_) tolli ded X et 1 per 23 et 29
e
u
dre, aqu
an pu eco +coZ
componendo 23 et 29
= e. seu X aqui e cu +CZCo - devF e BC ecoZ
seu xago ed v + d c0 epv
12
8
a. , et Z. H 3 +y dv quteotaoque, et erit
X aequ. et Z ccox
x
6
dx  + ecor 4Zc0 - uip.
549) )
du- Yv + eco t coZ
Daequ. cov dc. Qui valores 27 et 28. si ut aicu. 18.  substituar
(28)
tertabebitur aequatio din qua in se t composita ex E v. c0. Z.  assurgentibus ad
du + eco + ZCo - v1
quarti gradus rectangula jam componantur aequationes 20 et 22 multipli
centurque per foimulam ordinatiam arbitratiam 30 fiet aequatio 31 quae 
composita cum aequ. . 27 dabit aequationem 32. divisibilem, seu deprinbibilem
ad aequationem 3n compositam ex constantem ex vi co.  . non ultra
rectanus vel quadr. assurgentibus, quae cum, aequ. 20 et 21. composita rabit aequatione
dua ad circulum vel se tionem lonc quae cum aequ. 20 et 21. solvent problema
s2r non esset divisibilis cum 31 el conparaoitis cum divisibili per 31. noesset
problema altins solido. sa amtae aequationes 34. 35 essent ad Circulum pos
Hanc viam studio
elego ad edden
calculi specimen
sed ad optimas
constructiones alite
ligendum erat.
Nempe
12
uea
serset
M722 - 2ZX
duam
FBph.

## Folio 31v — 00068195:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Problema esset planum. Est et alia ratio si
si sumamus duas aequationes indeterminatas, in quibus incognitae
non assurgant netra quadratum, ut 34. 35 easque compositas
attollamus utemque  20 et 22 compositas attollamus;
es duas exallatas compae conjungamus, compositum
Compositam inde aequationem comparemus cum aequ. 29
hac comparatione invenientur arbitrariae assumtae 
idem aliter: aequ. 29. dividamus gener discerpamus
palissime in duas pae
genematissame t dnas partes dividamus per in duas
discerpamus. G
partes quarum un a divisibilis per 20 aequ. 20. eum aliquo
residuo altera per aequ. 2i. cum alio residuo; hoc residum
sit divisibile per aequ. qualis 33.
quadralicae
delius ita assumantur duae aequationes arbitratiae ut 34. 35.
quae componuntur cum 20 et 21. ut adde siat una aequalio
qua dividatur aequ.
ptima ratio haec est: assumatur aqu omissa significatione aequationum
insti post 29. sequentium supradiora, assimatur duae laequationes,
A nempe 30 et 31 et sit 11.
Habita jam aequ. 29. assumatur aequatio Lcoco Lm I + n. Co + p quataque
et AvD+ (ZZ + V vZ + Cd V + 5Z+G aequ. 0 componatur 30 cum 20 et tollatur in
composito tenminus quivis infra quadr. vel rectanus. eodemque modo in composito :2e
aequ. 31 cum 22.. Componatur ex 32 et 33 composita 34 non habebit
nisi terminos aeque altos, et divido per eam dividatur, aequ. 29, quod
ut fieri possit, explicatur literae l. m. A. M. V.  quae no caeterae enim conx
9. F. et . E.  jam sunt explicatae nec amplius serviunt. Quod per facile est
ac primo statim obtuti succedet; quod si effici potest ut leo m, utem A et
ut sit a ut l set aequ. m. et aequ . problema erit planum. sin minus aequa
aequationes 2 30. vel 31. vel ambae erunt ad sectionem sonica cujus
quarum cum circulo dato intersctione habebuntur co. 2b. v. 3. caterum
inter varia puncta ipsius quibus conicasectio circulum secat, sempe unicum erit
ipsum punctum F. Et opus est una tantum, nam ejus intersectione verbi
gratia habetur punctum P. Hine etiam patet si 2 ontrandiso easset edi ex
aqu. 30. vel. (31. esset ad Circulum problema fore planum
porro quaeramus X vel y. vel o vel 1. vel Y vel s. unico enim puncto
ut pvelo habito caetera simplici linearum ductu patent.
Estituas valoresm, . y. ex aequ 27. 28. Hababib: vtea, Zco - v , B.co dreaqe or co tie
 in aequ. 18. vr +ZZ cosc  D ed v. Cd + dz co - e  v 2t
seu
copus esse, ut
 seu cdvr + cevC+ CZVa -Cvvi = cdvco  1ec0 - cZ0C3 + CBCoI a co aota C
1 aequ. ccovr - cvcoco, - devz + decoq 2 7c-  - de lB + de Vcot dZco - se  V
2. 20
m aequ. 30. multiplicetur per 2C0 + 30 + 4(+ 5Z +6  fict aequ. 32. et aeq. 31 multiplicetur, per
1224 130 + 14 1b + 15Z +.6 apo . fiet aequ. 33. et aequ. 20 per 2co + 23V + 24Y + 252 + 26 fiet aequ. 34.
oi aequ. e 2 per 32c0+ 3 v + 344. + 352 + 26 rqu fet aequ. 35. qua aequationes inter se
compositae comporentur cum aequ. 29. ut inveni antur literae acbitrariae, imprimis l. m. n. p. q+
p. r. . y. 8. Quarum causa caeterae quaeruntur. Saluis autem haec fere semel in
universum, ut omnibus huogmodi problematis eadem constructio serviat,
Loia sufficit haberix e et Z. omisso Wo et Y.
C20 - v  v-co +0 aqu. ccB 1v. co,   + D e d Z0 - c1 v 
CZCoV --V CZW=VHCd + O lqu Ccovv - CClV + D + d770 - e vZ+ d4Zco = elsav.
oquo 2oi scribatur per compendo vel- cv - de2210 - c LBW + CZCBB + O aequ. 
ponatur v aequ. 29+3h + 4a +51
Z aeqd. 129213h 114 1d + 154
rev i2 = cZC010  v Co +cB (Cd -)
hiduo valores substituantus, tum in aequ. t  + C BZ
ut inde siat aequ. at dum in aequo. 22 ut inde fiat  d 4 ZC0
v. 4
tam aequ. 42 multiplicetur per: 129 + 23h + 24 + 25 (. ut fiat aequ. (43; et aequ. 20 multiplicetur pera 3gr 3ht 1 oese
ut fiat aequ 44) componantur aequationes 43. 44. 41 et in lomiposita tollantur termini tertii geadu
Res facilius praestabitur, hoc modo: per aequ. 23. fiet: Aco - XCo eo dus- Hy it per aequ. 24 fit ev+ xB aequ ey + Zy
denius per aequ. 18. fit Cv- ca aequ. b_ - vco + xZ + x(P axplicentur v. Z. co. 4. per  f. g. h. l. X. y substitu toqe
substitutisque. valoribus sumpsitis equationibus thilitisus 45. 46. 47 20. 22. est aequationibus ipsis interse istis quinque
inter se compositis, tollantur  termini: v  o H. gg. hh. H. fg. fh. fl. 9h. 9b. al. f. 9. h. restabunst solum XX. yy. a y. X. )
in aequatu habebitur ad sectionem Conicam quaesitae lifficere videtur ut solum fat explicemus me pe co. (P. pr 7 f. 9. v. Z. X. 1
et dulore in aequ. 45. 46. 47 substitatis et adhibitis aegu. 20. 22. Fullauns. omnes terminos in quibus sunt, f.9. v. Z. e
habebimqus quaelitum.
video tollonia et xf. 1g. Xh. XI. Maneal ergo hypothesis prior. vel  saltem
explicetur co. . 7. per f. g. L. V. X. y. itaqe abet us 18 artiharius, et octo decim tollendas