# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/40999/text
# Catalogue record: 40999 — Aufz. [math.]
# Incipit: x³-x aeqv. a²
# Date: 1679-05
# Akademie-Ausgabe: AA III,2 N. 311
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=40999&katnr=K+544%2F1
# AA III,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-960119
# Title: LBr. 227 · Eckhard, A.
# Folios: Bl. 60–61 (from the shelfmark LBr 227 Bl. 60-61): 4 pages, canvases 119–122, page ids DE-611-HS-960119:0119 to DE-611-HS-960119:0122
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## Folio 60r — DE-611-HS-960119:0119
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# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-960119/jpgs/default/00000119.jpg
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Responsio ad Epistolam dua
ekardi
2 Maji V679
Wvasi
Je vous remercie de cotair con
de  La lettre de M. Etkardus est
pleine d’espiut, mais il faut que je disc
la verite, et que je vous aboie que
jer que je ne suis pas encor satisfa
je voudrois qu’il ne parlat pas si po-
en nombres, lors qu’elles sont deprimables. Fort bien, c’est ce que sitivement en disant: (si in iis super
quibus jam disputamue causa cecidero non
cette equation n’est jamars deprimable en aucun cas particulier in Algebraicis solum sed ne in ulla quidem
levissima re quicquam me scire) Car
on peut estre habile homme quoyqu’on
se trompe en quelque chose. Et  pour
moy je me craes qua m Eckardus est
fort crois asseu fort asseure de deux
choses, premierement que M. Eckardus
est fort sçavant en Mathematiaue; et
eu deunienelieme secondement
qu’il il se trompee
a reg.
Traisanne a commis icy des paralogisines
lavois eru quck qu’il prendroit oncor
un autre chemin, apres avoir receu ma
cettie; mais comme il siste nisiste si positivement
sur les mêmes raisons, il faut bien que je ne
me sois pas bien explique u son a son egard
arois Monse lekardu
lafractia
de pprouver que C2bC - ct ne sçauroit
26- 2C
2. 92 f2a f92. f272. et si f et g. re sont il entreprend de prouver que ne le numeraleur
1 Ce
fG2 et par consequens estre un nombre quarre. pour le prouuer cet esfest
ny de le demominateur ne peuvent estre ensemble de
nombres quarres. Turois repandu dons la fracion entiere
X = X aequ
4 4
a+ 1taL
+Y + L a6
v
a - 27
Aariamus La- L aequ 92. seu g +L aequ
quadrato sit: gaequa a +f. fer
4a)- 27
Seu a 
aequst ad- af + f2
e
f+ 2, aequ. 6f+
27f
il a appris cette maniere de
parler de  des Cartes qui
st aussi un peu trop positif en
bien des choses
cette sois

## Folio 60v — DE-611-HS-960119:0120
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 61r); this page is its left half.
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 100, 2026-09-09T22:24:38Z — 80 lines, status machine
ne peut estre un nombre quarre
J’avais rependu negando et antecedens,
et consequentiam Et j’apois tellement
repondu à lat preuve de l’autecedent
que M. Cardus l’art abandonnet
screnhan etu cherina tan mo autre
moyen pour arriversa son but. Ainsi
il ne seroit plus necessaire de disputer sur
la consegrone: n Aiisi i ne seroit plus
necessaire de disputer pur la consequence.
jas neantrionis puissu’il en parte encor
estoit
tel: Omnis fractio atveneralibus
quadrati in ullo casu particularis
quarrées dont les nominateur et le numerate
ne sont pas quarres: mais j’avois accordé que
probati
26C -c
2b2- 2c
est talis.
 respondi ideoque
son bet Don expo Jray hie la
le numeratent et le nominateur sont primi
mineure absolument et jay
Lb = ReC sera 42. or ces deux nombres
repondna la preuve, ensore
que M. Skardus laubandon
ne Mais feignant que
inter se
C’est qourqoy, il faut negeseent prouver
Mais il est impossible de prouuer, puisqu’il y a
des instantes aua contraire. car posant
pra curus fr l’augement de Mons Ekardy e
non ot tees simul sunt simul
non potest esse quadratu in ullo
Arriber
Niant la consequence ’avois apporté des exemples
qui font voir qu’plys a des quares fractions
eta 2b2 +2C sont tonsjdurs primi inter se
trouuer que 262C = C sera 18A, e
ne at pas primi inter se, puisque l’un
la mineure est vraye
p’ay repondu par
surcroist a la
majeure distinguendo
is Omnis fractio etc.
ceneralis cuique
des exemples ou numerator
sic negatur minor. Nam n aliquo
Casu Et debeet M. Et M. Ekardus
derroit prouver que ces deux
Omnis fractio terminis linrat literis generalibus expressa, euue numentor
et nominata non possunt simal esse quadrati; non potest esse quadratue) promuerjarois apporte
Fractio
2bis -
cb2 = LC
est talis. Ergo.
exemples encontraire. Et non argument
sed telerefer
fexistentes primi inter se non
sunt simul quadrati; ete. Sed
tes
estoit tel quiu omnis fractio quae  non potest
Numenatorem es Nominato
seroit
ggnexalis
casa particulari
qu.
un nouuvau Negami minone ablabuse et ad
et I’autre peut estre divise par deux
Reduisons tout in formatm. N
Na
fractio
moyen pour
dans cette lettre, j’y repondray. l’avois
b egat a 5, et c egal a 4 il se
Largament de M. cekardus
(Fet acterc
la consequenceest bonne quand les deux
que les deux nombres  267

## Folio 61r — DE-611-HS-960119:0121
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 100, 2026-09-09T22:24:38Z — 60 lines, status machine
Negavi et minorem et ad probationem
minoris respondi: cea et DurEckardus etm
expresta cujus numerator et nominatuar post meam resporisiones visas desernit
avois me lemineure et la majegre, et
javois repondu à la probationde la mineure
de telle sorte, que M. Eckart l’a abandonne
luy même fins il seroit inutile de disputer
de la majepre. Neantmoins comme nous nous
y sommes engage et que M. Ekardys. la retouche
dans cette lettre joy repondray. Niant cette
majeure j’avois apporté des exemples
qui font voir qu’il y a des exemples particuliers
ut
e
formule generale, u le numerateur
Non argument est tel
 Quicum Quicunque duo numeri habent divisorem communim illi non
sunt prin inter se. Aliqui duo numeri 2bC -C, et 26 2C habent
divisorem communem, (nempe 2. eo casu quo b est 5 et C est 4, tunc
enim. aliquis 2bC =C est 184 et aliquis 2 26 - 2C est 42)
Ergo aliqui duo numeri 2bC = C et 2b= 2C non sunt primi inter
LV
se. Mons. Eckardus ne repond ny a forme l’argumens
reponde à la majeure ou à la mineure, s’il ne demeure
-2
pas d’accord de la conclusion. Je ne reponds dons pas à
ce qu’il dit à l’argument qu’il se forme luy même, puisqu’il
sent primi inter se tousjours
oit apempre primi inter se. Mais pour
luy éxargner cette perne
est
impossible de le
des instances ou
L
nominator;m omnicasu autrement: mais voila le mien, et il faut qu’il
Mons iest parle mien
d vogant au
+
mars i
nllas
a
detine
Ceument
l ne po e de MM Eckadus pour prouuer le
contraite sçavon que 26c- C et 2b-EC sont fousjouns
duo muntad generales
primi inter se est tet. Manc je desire qu’il reponde a mon
argument in forma depurs an le fullocisne principal
commeneant par le Syllogisme principat, et y appliquant
la distinction entre les nombres primitifs et non primitifs.
si j’avois dit que les deux termes
ntte e, 26C = C et 2b - 2C pB
peunent estre rendus non-primitite estant multiplies par
un même nombre L j’aurois parle inutilement et ce qu’il
repond auroit lieu, mais, j’ar rede fait ue
tes qu’ilso
que
ces deux nombres 26c-a, et 26- 2c sont condivistibles
2
dans un certain cas, et il y en a une nnfinite d’autres s

## Folio 61v — DE-611-HS-960119:0122
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# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-960119/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 100, 2026-09-09T22:24:38Z — 75 lines, status machine
uoyque’il en soit Monschetiandus voyant ququ’il luy seroit
tres difficile de prouver que ces deux nombres ne peuvent estre
ensemble quarres, lors même qu’ils sont primitifs entre eux; il
a abandonué entierement ce raisonnement, et es’est jetté sur
eun autre dont se luy avois donne occasion; en luy proposant
qu’il auroit acheve la question, s’il pouvoit prouver que ces
ce nombre
X=X ne sçauroit j’amais estre quarré. et Voyant
donc que cette Equation X =X aeq egal à a2 ou X egula a4
 egal à AX+ a à la fmême forme quel celles qui
generalemeut
Qui ne peuvent estre rosolues par la regle de Cardan, il a cru, qu’ellle
l’estoient jamais redicisibles en nombres. Mais je luy ay donné des
instances. La dessus il avoue que ctte ces equations sont exprimables
d’ou csit il il faut donc qu’il prouve que
 je veux.
s
Xx egal a aa
il fache de le prouver ainsi, en disans que cette equation
Dipisée, hec
o. nes sçauroit estre doif par aucun
n diviseur de a. Car tous les diviseurs de
X = X - a egal moine
binome:
peu
X
pour le prouuer l’argument qu’il
e
a sont 1ou a ou à fait est tel. Tous les diviseurs
Atqe
vel a2
vel nen
Omnis divisir ipsius a est eaet a
Car tous les diviseurs de a sont on 1. ou a ou a. 
or la division ne renssit avec pas un. Donc l’equation n’est
pas deprimable. Mais c’est icys on il se trompe visiblement a
de deux fuçou peut avoir une infinité, d’autres diviseres car si a est
s
regle de Nonius et de  des Cartes’à seulement cien, quant
les le denie terme et un nombre entier. Car Seie l’equation
C)
est en nombres entiels  c’est pour quoy des cartes communde
qu’on oste premierement de l’equation toutes les fractions. Mais
iey il ’exit il ne nous importe pas si a est un nombreent
pour parter pencralement,  il faut considerer, que a peut estre
une fraction et que no M. Eckardus a entrepris de prouver que
inausees aussi l’impossibilité generalement. Secondement
lanse tous les nom il est faux que tous les
diviseurs de a sont tousjours l’ou a, ou a. cela est vray seule
e
ent
ombre
in est pa
diosatet que a soit
igal a
f9. il est visible que a est egal a
primitis, a opommia estre dibise incor par pensicurs autres.
divisible par l.f. 9. 4
tas
iment quand a est un nombre primitif, Mais si po nous posons u
e
a
6
3
t
1
e
premeerement
unc
e
42
e
e
t
pF X