# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/42185/text
# Catalogue record: 42185 — De Reditibus ad Vitam aliisque pensionibus singularibus, specimen inquisitionis Mathematicae in negotio politico
# Incipit: Hactenus de iis pensionibus extinguibilibus locuti sumus
# Date: 1680
# Akademie-Ausgabe: AA IV,4 N. 143
# Other printings: -Knobloch/Schulenburg, 2000, N. III,6, S. 342-401 (ganzes IV, 4 N. 143).
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=42185&katnr=K+22055
# AA IV,4: its series at Leibniz-Edition Potsdam I (non-commercial use): https://leibnizp1.bbaw.de/de/edition
# In the Akademie-Ausgabe: AA IV,4, p. 749 (PDF, Leibniz-Edition Potsdam I, CC BY-NC 4.0): https://leibniz-potsdam.bbaw.de/fileadmin/Webdateien/bilder/IV4text.pdf#page=749
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068407
# Title: Leibniz-Handschriften zur Jurisprudenz LH 2, 5, 2
# Folios: Bl. 4–5 (from the shelfmark LH 2, 5, 2 Bl. 4-5): 4 pages, canvases 7–10, page ids 00068407:0007 to 00068407:0010
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068407&page=7
# Lines: 253 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 4r — 00068407:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 99 lines, status machine
Hactenus de iis pensionibus extinguibilibus locuti sumus quae i
quotannis, durante pensionis tempore sunt aequales, quoniam tamen intelliqui
in italia adhiberi aliquando pensiones vitales
gratia, ut Emtori pensionis primo anno qqsecundo et tertio se septo
novem
in
quarto quinto et sexto, octo; septimo octavo nono decimo no
Undecimo duodecimo du decimotertio decimo. quarto undecim, b
ilo
15. 16. 17. 18. 19. 20 duodecim, 41. 22. 23. 24. 25. 26. 27 trederim in centum solvantur+
vel alia quavis atn lege de qua cum Emtore conventum est. ideoro
placet  modum ostendere qua semper quantitas pensionis amnae:
in centum accurate ex supra dictis constitui possit, quamamque demum:
prog
primm anno solvenda P secundo   + Y.   anno 415.6. Cp+ 
et res anno, (a + 3.  ita porro.. Necesse est annos tolius aeternitatis
ergo pensio arto
post posten faturos inter annos decennio autem finito pensionem deberet
extingui fluuq Itaque auni omnes futuri per hos deem annos distribuendi
erunt sed inaequalitas annorum tamen aequalitas non potest eadem esse esse eadem
numeritamen
que quae pensionum, quia quo plures anni futuro e assignantur.
uni anno decennio, eo minor ai asse inter plures annos futuros simul com-
prehensos posteriores minus dant quam priores, ob anticipatione auctae g
auctum resegmentum. Unde difficilior fit quaestio quam prima fconte videtur
ponamus ergo Numeros annos primae pensionit praeter ipsum annum quo 
percipitur pensio) esse numero (6) u erit auticipatio anni horum eiale
primi 3  annorum, secundi A annorum, e tertii st annorum, tine sceltimi vero
er ergo pensio
empe 56
vitalis prima componetur ex pensione ipsius anni quo fit pensio accedente
ob primum ipsorum annum quantitale 50: 1. Pos 20: Et, ob
secundum 50: 1 - 1) 20: 3l, ob tertium 50: 1 - (2(20:21, et ita
porro usque ad  ultimum 50: - (2) 20521 Qorum ineunda est summa quoeequatur p
Secunda pensio componetur ex. 30 + 50: 1- (0+ m e0: 22 + 50: 1 - (11 + m( 2p. 22
+_ete  90 :  - (12 + M) 201 22 + etc. usque ad + 50: 1 - (atnr n 20: 22.
quae summa aequatur R+ 2Y. Tertia pensio comporetur ex e
componetur ex 50 +50: 1 (o+nem 2o:  + 50: 1 - (1 + n + m 0: 2 
t ita non
+50: 1 - (9 + p+ M + M) quaedumma aequatur p+ 3r. Quod si ergo
assumsisse nos ponamus literas
ponamus similiter annos jecundae pensionis  assignatos esse (7) erit anticipatio
anni horum _(7) primi, 2 + (6) annorum: secundi 2+ (6) annorum; tertii +(6)=
annorum ec. Ultimi  _2+ (6) + (7) annorum. Denique ponamus
annos scne pensioni assignatos esse (8) erit auticipatio anni horum 18)
tentiae
primi 2+ (6) + 2) annorum; secundi 2 + (6) + (7) annorum; tertii, + (6) + (7)
annorum dcultimi denique 2 + (6) +(7) + (8) annorum. Prima ergo periodus
omnium annorum tribus istis pensionibus assignatorum, erit (6) + (7) +(8)
seu in summa (21). Ergo Tota eaeternitas futura intelligenda est
divisa in s (21) acervos aequales infinitorum numero annorum, seu
assinnari debent ano
Antas anticipatio naparens,
ilem
tumnumero scnsion
e
ota abernir cennum opsius anis
rimum
nbb5, g6F e (b(+ C1 Cus (6) + 4 mus et
us 3 + (21) mus 3 +  bis (21)mus 3+ ter 3
ad exemplum
in infinitum.  et summa eo nomine accipienda,  u
determinatamerit: S 13 1100: 105: 1 - F 1)(10: 105. Rursus eidem
pensioni ex tota aeternitate assignari, debent anni 4tus 4 + (2,  4 + bis 21
et summa  eo nomine accipienda  erit 50 14110. 05: 1 - ((21) 100. 105, Eodem
modo procedendo pro anno quinto n quinto, 5+2I m 5+ bis 2j mo _i
unde summa accipienda 50l(5100: 105: 1- (2D o: 105. Et ita in reliquis usque
aad ultimum annum assiguatum (6) ubi anticipatio est annorum 2 + (6)
e fete prmm negpierdn soste adtooresi i etooei Mensio ergo
Ut si finu amus
numerum annorum
vanare quolibet
annor
pensione
progressione
arithmetica
Feidemque pensioni
assiguptos
a 1B Numeri (6). (7) (8)
 (21) significant
literas incognitas
Cat
LrC
12.
3. E
3456
345678
1
(praeter annum iperus
pensionis, auticipatione
entem
pensio est 50
mus _c H it 50lo e
150 βG) huo ios oseso. rue
nitumue cuius serres
53bisri ( 100.
et +50]3+ ter 211100505
et ita porro in in
finitum

## Folio 4v — 00068407:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
datio tum per anticipationem
n
n
primi an aun componitur ex omnibus illis summis et praeterea
ipsa pensione eo anno de 1000 nummis caedua seu perteptibili seu 50
quae est 50. itaque tota prima pensio erit.
50 + scx 50 (3 s0o:os: P, = ( 1100. 125 = 50 (2100. 105 : 1 - (C2. lio0. 105. 3C + 50 ser 6 o8. 105. 1 - p. (100. 105
t ergo opus est inveniri quantitatem  seu summam terminorum numero
finitorum progressionis Geometricae, quorum primus est 13)100: 105, secundus
vero est 14) 105: 105, ultimus denique (2+ (6)(100: c05. quod semper fieri
(2. 3) 100: 105 -  (2 + 4 + (6))100:105
135100: 105 - (4 100-105
B) 100: 105 - (3 + (5](100: 105
 5: 105 aequ 1 : 21
Ergo tota prima pensio tandem erit
c
a lequ. c+ 5 +g.
Et secunda pensio erit e 21100
50 + 1050 (2+ C 100 : 105 = (2 + (6) 4(7) 1100: 105
Et tertia pensio erit 50 +
aibrc: ersig:: a. P.
Quas aequationes ut resolvamus ideo compendis lausa, seribam
(pro 1050, c. pro (3) 100: 105, d. pro (3+6) 100: 1 0s, e. pro B3 + (6B 100 0r f
Unde patet P et q ers non quidem omnino pro arbitrio posse assumi
alioqui enim et pensio de mille annis solvi posset quantacunque
triennio extinguibilis, sed tamen admodum et infinitis quidem
(2+(6) +)1 100: 105
1 81 eM ess1ovitos 1-. (E) r7) H8) r0B.:105 1- ((8) 16) H 8 sicv. 105
B ((7) (100:105
aequaegu
aqu
G+D
 Ergo ) (6) (100: 105 aequ AFE, seu (5) log. 100 - log. 105 aequ log. A +E
seu (6) aequ log. A+E B: 1og. 100 - log. 105 v
et (7)  qu. log. AFE+F : log. 100 - log. 105
et (8) aequ. log. AEHFAG : log. 100 - log. 105
Est aulam A aequ 13 1002ros aego A- A (5, H
Aaequ. C: 1- g rursus AF aequ Cg   1-g - E- FG
Ergo C aqu cg - E+F1G. 1- g seu CC FFGd
nempe vel erit Caequ = E+ F+G. umque c. sit quantitas positiva
debebrit E+ F + G esse contra hypothesin, ponimus enim p esse
affirmativam et majorem quam 50. Ergo erq erit affirmativa
a multo major quam 50 et, s affirmativa adhuc multo
major superef erpo at Aciamus 129 qu. 0. seu d equ. 1
Unde alterntium faciendum est,
seu C_=9 aequ - E +F+G 1-9 vel erit 1-g equ. 00
modis posse variari. Notandum autem si p. q.r crescant, debere
necessario etiam crescere ipsas qua numeros 6.7. 8. Patet
esse differentias seriei
12+(6))100: 105
A(C6) 108: 105
 raG+e
cf - ce9
etiam quantitates p- 50: f1050, et 4.50; 1050, et s- 50: 1050
vel potepit scuibi
EFF+Ged
aqor bo Ast daequ
-Br nC: 1-D
1050 (2+ C1 + (7) (100. 105 - (2 + (51 + (7) + (3)) 100. 105 quae debet
aureis asignam
et ita porro, (si plures reperiantur,
cujus termini sunt: (3(100:105
et ita porro.
A.
aequ
dd et arhrcedaequ. aalatare
a   jam eaqu.
Ero atb
ontp Za r eca B , rm  - (61 +C7I H8) ( 100. 105
vot e+ que equ.  
.
a.
( + 1050 B) 100. 105 - (2t C)I1VO,1Oqu debet aequari. p
1(5) Hr ,8100. 10s
1 - (10. ( +) (200: 105
5 1. ( (1
pro ((6) + (71 4(8) (100: 10), g. et
-d
vel ex, 50,  1100. 105 , B 1n0: 1v5 + 5 1100. 005 HC + 12+ (0) 100: 105 -. seu 50 + 50C = seu quia (21 aequ. (1) () )
1 - ((2 11) 100: 105
potest eritque 0 aequ
en O aequ.
2a, 105a
5
u
nempe (3 (100: 105

## Folio 5r — 00068407:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
verum ita fceret
1- ((21) (100: 105 erit 50+ 500)
ut autem calculum ad exitum perducamus, opus
erit inveniri quantitatem A quae habebitur habita quantitate D
 seu E+F+G 0 aequ C 1 -g. Ergo vel fiet g aequ. 1.
vel fiet: Caequ E + F+G. sed impossibile est esse g aequ1. seu esse
g- 1 aequ. 0 ita enim A. B. c. d fierent quantitates infinitae, et
quod est conlra Hypothesin. E (5) + (7) + (8) frerent quantitates negativae
cum tamen sint numeri annorum necessario positivi. Itaque
pro demonstrato habendum est esse C aequ E+F+G.
ita praeclaram habemus determinationem circa p. 9. S.
assumtitias quantitates quod nimirum debeat
 p. 50 : 1050 + q - 50: 1090 + f- 50: 1050. esse aequ. (3) 10: 105.
Itan generale Theorema ita enuntiabimus
si pensiones ex linquibiles
in certort annorum numerum v.g. in triennio constituere siu velimus de forte
sitque velimus et pensiones inaequales quolit et anno solvendas
aliqua cujus pensio annua communis (secundors de 100 seu 1 de 20) sit a
Auqu. A +E iis Ergo
et praeterea quantitates A B. C. E hoc
Cassumtis E. F. G tanquam datis). est autem DEr+d
D aequ. c: 1 - g - E+ F +G et rursus D aequ. cg: 1 = g quibus
13:
aequari ptar sive)
modo fierent infinitae
am- 3oa +. 6(B on E+F +G + g E+ F+G aequ cgC lgl  C + gc, seu
100: 105 aequ. 1.
rursus impossibile est sunt enim omnes ounere positivi
1-() 16l r 8 ov. 105
aas da da. b aeu fiet:  6E+F+G s 1rg aequ
(67+
Emparbicaequ adae duobus valoribus aequatis, fiet _C - E+F+G + g E+ F+G aequ Cg.
verum ita deberet fieri (6) + (X +(8) aequ. 0 quod
et pensiones inaequales extinguibiles pro annis illis
assignentur, pro primo p, pro secundo g. pro tertio s. ete
une summa omnium pensionum p+4+s et c.
erit aeque 20a (Z(20: 21 L 7 a. imo est nor
Unde in casu p. et q et s. equali etc. aeqsualium,
fieret p+ q +s etc aequ Z p. et P pensio
unius anni fieret 2044Za 20a (2(20: 21 +Za ino eru
sed ere videtur cror subesse, quia per suprm
demonstrata in caso aequalitatis deberet
a
Comparendus
prodire p aequ _ 1 - 12) 20: 21
eReligenda ergo sunt hujus novissimi calculi
vestigia, subintellecta semper aequalitate;
ut omnem lapsum evitemus. Necupe poterimus
facere (6) et (7) et (8) aequales inter se et
certo numero, v.g. denario atque ita investigare
quid prodeat. Debebit autem indem prodire quod
a sunra pro pensione vitali aequabili. Coeterum
per valores supra assignatas quantitata (6) et Y et (8) faciendo
(9+7 +(8) aequ h. Ret A+E in A+E+ F in A+E+F+G aego num  h tog100- log 105 cego ( 100:105
Bl100: 107. Ergo tollendo (h (100: 105
habetur A absolute per aequationem commynem, tot graduum quot sunt numeri annorumpensionis
5
1 - Jh (100: 105
ubi A assurgit ad cubum, et musus A aego
Logarithmos. Sed hac re resumint e ab eriore calculi vindicanda
repulgana, merentur quia tam elegantes ubique exitus et compendia ostendunt
(2 + (6) 3L 18) (100: 105
 Conte Hebitoes
aequ
reser
C( (8) (100: 105
A aequ E +  squ
19FI

## Folio 5v — 00068407:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).