# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/42304/text
# Catalogue record: 42304 — [Dialog über die Rechenkunst]
# Incipit: Atqve ad puerum reversus, nostîne, inqvit, mi puelle,
# Date: 1679
# Other printings: Leibniz,G.W.: Ein Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra. Nach d. Originalhandschr. hrsg , übers. & komment. von E.Knobloch, 1976
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=42304&katnr=41037
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067991
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 29
# Folios: Bl. 1–19 (from the shelfmark LH 35, 1, 29 Bl. 1-19): 38 pages, canvases 1–38, page ids 00067991:0001 to 00067991:0038
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067991&page=1
# Lines: 3,000 recognised on 38 of 38 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00067991:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 66 lines, status machine
in horto Aretaei viri in Republica primarii
in hucelii honto
Cum forte qpud Enfebium convenissent amici aliquot smeti eruditis
 Pacidius qui caeteris studiis quibus darebat magnam rerum
mathematicarum cognitionem adjecerat et forte incidisse platonicae
reminiscentiae mentio quam minime contemnendam pasidius defendebat
accidit ut intraret Enfebii filius filiolus, ingenui vultus puertiberali
facie puer, et ipsa curiositate ac discendi cupiditate egregium aliquid
promittens. Hunc ita educari curabat pater, ut magis pudere et
laudum stimulis, quam metu et virgis duceretur. Ad hujus igitur
intrantis aspectum. Earselius a praesenti rerumpublicum rerum
sermo
acivilium facie ad militaria, atque hinc ad machiuas et rem
mathematiam lapsus per multa inventa atque invenienda vagabatur
cum superveniens Eusebius animos alio vertit. Is magnis olim
rebus gestis nunc in flexu aetatis honestissimam quietem divinarum
humanarumque rerum contemplatione distinguebat.  ubi s ubi ergo
consedit versus ad eum Aretaeus quaesivit a qua meditatione recens,
veniret. Constabat enim praeclaua eum agitare et profunda, et
nec tamen ab usu remota, sed quae ad vitam dirigendam plurimum
possent, Tum Eusebius, malle se quidem audire qui auditorem esse
eorum quae ante adventum suum agitata essent, colloquentibus haud
te
dubie digna; sed quanto ip Arectea
detrectare. Nosse illos quantopere ipses delectaretur Platonicis
dialogis. Agnoscere enim sese in illis magna quaedam et solida, longeque
diversa ab inanibus illis atque inflatis psendoplatonicorum myste
hyperbolis: venire autem a lectione Phaedonis de immortalitate
qnimae sive diatagi de mo dialogi qui inscribitur Phaedo, seu
de  immortalitate animae, ubi socratis novissima referuntur. Et
sibi quidem  argumentis Socraticis nondum omnim satisfactum esse,
videri tamen in illis semina quaedam latere firmiorum quarundam
quarandam rationum, sed quae ad huc elaboratione indigerent. Prae
caeteris autem argumentum a reminiscentia sibi placuisse
nam si quidem veritates in anima latent, quas neque a seu sibus
neque a praeceptore accepit  ac si non tam docente quam
examinante indiget, ut abstrusissima perse inveniat, dicendum
c sansibus
est naturam ejus  minime a corpore pendere. Tum pcidius Charinus
quid ex reminiscentia concludi possit, se quidem nondum satis
examinasse de ipsius autem reminiscentiae veritate minime
attento danem et ammom adhibente longe majora quam
quovis puero, quod socrates, apud Platonem in dialogo qui Meno
inscribitur, ubi puerum interrogando ita ducit, ut ipse per se
agnoscat diagonatem in quadrato lateri incommen surabilem esse
sam Haec dum A. Loquente adhuc pacidio accidit ut intraret
Aretaei filiolus liberali facie puer, et ipsa curiositate ac discendi
cupiditate egregium aliquid promittens. Hunc ita educari curabat
pater, ut magis pudore et landum stimulis, quam metu et
virgis duceretur. Ad hujus igitur intrantis aspectum Eusebius Charinum
Pacidium interpellans. Quid inquit opportunius ascidere posset
aut propitia magis fortuna accidere possit interventu hujus puelli
quo sane aptiorem edendo specimini nec ipse optare posses
ea si tudesenit uo t artur sid et ulis odtio, et
e
nas
ac supervenisset
Fadem et Eusebius qui
magnis rebus gestis nnc
in flexu aetatis  honestissima
quietem divinarum
humanarumque contemplatione
distingrebat: multi
multus erat sermo
de natura animae
F recte intellectae

## Folio 1v — 00067991:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 65 lines, status machine
et hujus diei fortunae gratulabor, quo tam illustre tamque
fructuosum Mentis nostrae facultatum capere experimentum licebit.
Charins pacidius non se quidem abnuere ajebat, siquid id Aretaei venia
fieret, dilationem tamen plagitare, nec tantam rem in conspectu
tautorum Virorum imparatum aggredi, audere. Sed contra Ensebius
urg instare acrius, caeterique certatim rogare, ne tantam omnium
expectationem diutius tenere vellet. Ipse Aretaens quanquam
cunctantius ne filii magis sui profectibus quam amicorum voluptati
arins
favere videretur, preces tamen suas jungebat. Itaque Pacidius do mani
inquit magisque cupiditati vestrae quam existimationi meae consulo. sed
nobis imputabitis, non m praestantiae ipsius methodi, non animae
denique humanae, si nihil spe vestra diguum audietis. Dum vero
harinum pacidium caeteri curam in supervacuam abjicere jubent, certi quid
ille etiam imparatus posset; atquei atque ultio citioque floribus el egantissinae
arbanitatis certatur. Interea pubrum Aristaeas jam pudibumd
decoro rubore genas suffusum,  intellecto quid ageretur fugam molientem
ac
larinque
charino
missis landibusque futuris animatum facidien tradit. Pdius autem
praemiis
laudata ejus forma, ubi blanditiis quibusdam atque interrogatiumculis
familiariorem sibi ac fidentiorem reddidit, tum itaque ita infit
Valde mihi opus est auxilio tuo, bellissime puer, ingentem enim pecuniae
summam perdo, si me deseris. Ego  qui ingenium tuum novi cum
amico aliquo deposito pignore certavi, te scire artem computandi. Ita
enim mecum cogitabum, vel iste puer jam didicit hanc artem, vel certe
si modo eum faciliora primum interrogem, et postea paulatim ad altiora
ducam, ipse divinabit, quid sibi sit faciendum. Itaque stipulatus sum ut
nonem m
mihi liceat te interrogare, ttu autem probe considerans propidebitur
respondebis, quod si bene respontalis quicquid tibi optimum videbitur.
quod si bene, tunc maxima laetitia praesentem hic patrem tuum ejusque
amicos afficios, mihi autem insignem utilitatem afferes. Sin minus
sed reprimam me, ne videar de ingenii tui praestantia dubitare
Tum puer subtimidus oculisque dejectis: Mi domine nondum didici artem
computandi: praeceptor enim meus  in sequentem annum distulit, dicens
me nondum satis habere judicii. At Pacidius quid vero, juquit, si ego
ossenderem, te non tantum eam discere posse, sed etiam jam scire,
nonne mirabile hoc praeceptori tuo videretur. Tum puer: obsecio te domi
ut hoc mihi ostendas, praeceptori me vero ineo nihil dicas. Nam et ego
cum eo pignore deposito certare vellem, ea conditione, ut si artem compu-
tandi me scire demonstravero, me statim doceat artem delineandi, quam
mirificevalde amo. ille enim dixit ime prius discere debere artem computandi, atque
ita secundum ipsius calculum per duos ad huc annos differenda ears delineatoria
quod mihi valie grave est. AA. morem tibi geram modo efficiamque
ut mox ad artem delineandi peadmitlaris, modo nunc atte te attentum
praebeas. Pt sed  ad quaestiones meas. PII. Sed quid si tuae
quaestiones nimis essent subtimes, nec a me qui puersum, intelligerentur
A. accede huc dicam tibi aliquid in aurem. Quoties aliquam quaestio.
nem non satis intelligis; tunc cave dicas eam esse nimis subtilem,
nam amicus ille quicum etai certo, et diceret te artem non intelligere
sed dic potius me eam obscure proposuisse, eq debere explicare
campana
Dum ita loquuntur, capana minor, editis quatuor, ictibus
omnes horae quadrantes effluxisse motestatur. Itaque pacidius occasione
clare
arrepta, puerum mox secuturos campanae majoris ictus numerare
verbis communibus, quae inter vos pueros in usu sunt; te enim rem quidem
tenere, licet non noveris vocabula quae in Pariis linguis varta sunt
Ita cuspam à te in me transferes. PU. probe teneo.
harii
Ftu vero prae omnibus
pueris tota urbe cenrias

## Folio 2r — 00067991:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 131 lines, status machine
jubet. Puer. P. Unumq duo tria, quntuor. (Na. Quota igitur
tertia Depieridrana
hora est ?a PA. q
pu. Hoc modo: unum duo, tria, quatuor, quinque sex septem octo novem
decem, undecimus duodecim. a. Quomodo pergunt numeri Ex Tredecim,
Quatuordecim, Quindecim, sedeum, septendecim, octodecim, novendecim
vigintiy. Pas satis est Viginti, unum vigiat duo, viginti tria viginti
quatuor...
horis diei
otidem
sa. satis  hoc quidem est pro numerandis
nam in quibusdam regionibus sopet hora vigint; quatior
quid si ingens pecumae summa tibi esse  a principe aliquo esset
nantur
tibi concredita, deberesque eam numerare, ac de ea rationes reddere
quatuor
Verum
quomodo numerum ejus inire velles. Pu. Incidit nnihi hic modus
quo aliquando usus, vellem sum cum in impero bello per integrum
biennium nari cum deferta urbe in montanis locis viveremus.
Rogabam patrem ut mihi cum aliis venatum ire liceret, pater
dixit integrum et quomodo eam velles in
PU. Deremi ducut plippo Nummos argenteos
ene
quos
majores, quos aliqui imperiales vocamus, vellem redigere in conum
dbistribueres
papyraceum quem tutam vocamus pa. Quod sed quid si
si ingenfnumerus Tutarum haberes. Pu. Vellem similiter decem
tutas includere uni sacculo, et decem suo sacculos uni loculamento,
et decem loculamenta uni arcae, et decem  arcas uni camerae
Et decem cameras uni domui. itaque Cha. Optime, quod tu
appellares sacitum tutam id nos denarium, quod tu sacculum id nos
centonarium. quod  loculamentum id nos millenarium; quod tuarcam
id nos decemmillia seu myriadem, quod ta cameram  id nos centenra
millia seu tonnam, quod tu denique domum argento pleuam diceres, id nos appellatmus millena millia seli
appellaremus millionem. Puer Notabo haec nomina. Cha. Nostine
aute aliquot septimanas
etiam scribere numeros. Pu. Novi. Ecce enim schedam quam mihi jam ant memoriae causa
Nihil unum duor tria. quatuor. quinque sex septem. octo. novem. derem
t
M
D
tusita toigiat Dec
90 10 20 30
10
Nibit unum Duo Tria auttur duinque sex septem ecto Novem
apan
Decem vignnti Trigiuta Tuadruglnta inpexiha Seregili Septraginta Codginta Nomaginta
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Centim Ducenta seccecti Quudringeta. Quingenta sexcenta seplirgeita Mingenta. Nongenta
100 200 300 400 500 600 700 800, 900
Mille Imespilia Tristicia Euatuor hisia Poinque
unum Duu Tria duatuo Qoinque soex septen Octu odem
decem viginti) Triginla Quadropiut suinpuagie sexapici Septreginta Octoiata Mmgiala
20
3C
6c
8c
1V
centum ducenta trecenta quadringeno Qungenta sencuta sestingeat oeiugenta. Nongenta
100
200
300
ille Duostillia Triamillia
1000 2000 3000
triginta
Trecenta
1400 500 600
700) 800
Dnatior Millia quinqu Miera sexMilia septentlicu ecto millia
4000
Qaodisquins
40.000
dec
400000
Quater Milli
202000c
5000 6000
ec
50009 60000
7000 8000
70000 80000
500009 609000 70000 80000C
d
90000e
00
980
Decem Millia Viginti
10000 20000 30000
000.
quaerendum a simpli-
cioribus, piigum
quod vellet
facere ut sciret
quando hunus esset
finicus. deinde
quomodo alter
vellet transuribe
numerio lapillorum
uno non
ransinissis
lapillis
paulu
numdris
denominatis eundum
ad similes denomi
natos seu potentras
vel gradus
consignani.
que
Novem Millia
9000
9000c
l1 dli b B0 B. b0C. g
Quod eot
50000
000000
100.000200000
20000C
6090eoe
centum millia Ducentu
hiu suta hils eill
1000,000 2000000 6000000
decies millies vicuqu echria nalesnitei
10000.000 10.000. 10 (2 pa 110. 4. 00000
pillia
centres mullies oucenties pecentes nl eudnes
 vaoero eoe ne suis en pades teo aue
ses aillies (B ses
15. 020 10bd. 000. 

## Folio 2v — 00067991:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 70 lines, status machine
Cha Bene est. Satis enim video quomodo hoc modo progredi possit in infinitum
sed cur a Decem transiisti ad viginti,s Triginta, etc. omissis intermediis
utisunt undecim duodecim, etc. item vigintiunum, vigintiduo etc. sed cur a
item cur post centum transis ad ducenta omissis intermediis, centum et
unum, centum et decem, centum et undecim dsc. Et ita porro. Pu.
Hoc fici brevitatis causa, si enim voluissem scribere omnes intermedios
nunquam hodie pervenissem usque ad Millionem furtusrus Cha.
Sed quomodo sciemus te etiam scribere posse intermedios. Pu. ostendam
exemplis. centum viginti et unum scribere potero, si scribam centum
centum et praeterea viginti et adhuc unum.
deletis
sine am ialis superfiluis. e. in unalinea scribam.
181
le
12 1
vel id
100
121
Nam uina Nulla (sive Zero unum) sub intelligetur post numerum penultimum,
duae subintelligentur post antepenultimum et ita porro. Quad 
Cha. Quid si ego tibi numerum praescribam, 1.438.165.632 quomodo
eum enuntiabis. Pa. Resolme
Millies Millies Millia
8. 100.000.000
in praecedenti Tabula a mescriplat: quadringenties millies millia ... ..
Iu. Resolvam eu
millia.q
400.000000
30, 000. 600
octies millies millia ....... .... . 8. 000000
centum millia.
sexaginta millia
quidque millia
sexcenta
triginta.
duo.
-+ 0. 000
60,00c
51000
confinue
500
vel per compendium, quia taediosum est diere ter dicere millies
millia nempe quadringenties millies millia, tricies millies millia
octies millies millia; itemque ter continue diceres inoibitade potia
centum millia sexaginta millia quinque millia;  dicemus potius.
Millies millies millia. Quadringenties tricies octies millia. Centum
sexaginta quinque Millia. Sexcenta triginta duo. Tribus semper
numeris characteribus in unum conjunctis
loco millies millia subfine
volet dici mulies millema
millia, posset dici
Cha. (Iideo jam mi puer te scire unam ex quinque speciebus
Operationis Arithmeticae, ut vulgus complistar Calculatorum vocot
Nstienim sunt enm pu. quamnam obsecro. Cha. Quinque
vulgo numerant partes Algorithmi, Numerationem, Additionem
subtractionem Multiplicationem, divisionem; Et Numerationem
 in vocant modum tum scribendi numeros tum enuntiandi
u ren facere, posse vidimus
u. Ia tra he. Doctior sum quam putabam. Nesciebam
lat 
operationis Arihmeticae
me scire unam speciem ACha. Imo ostendam te
scire partem Algebrae. Pu. Algebra as. Ego vero nescio
quid monstri sit Algebra.
eha. Ubi tibi significationea
hujus vocis
quas omnes jam in praecedenti
tabula scripsi
ha praescribam tibi, ad huc majorem
(u. Hunc ita enunt

## Folio 3r — 00067991:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 64 lines, status machine
hujus vocis explicuero ii puer, nonnullaque Algebraica 
ostendem, agnosces non me tibi novas quasdam veritates a aut dogmata proposuisse
atque invqu tradidisse, sed nova tantum vocabula et signa explicandis
et breriter cogitationibus exprimendis apta tradidisse.
Haec dicente charino interfatus Eusebius, mirari se dixit
cur puerum tam cito ad Algebram traducere vellet, quae inter
difficillimas Mathematicae doctrinae partes haberetur. Cui
Charinus, inepte se facturum, si eam disciplinae hujus difficultatem
crederet, quae vulgo putaretur. Sibi vero compertum esse Arithmeticae
atque Algebrae praecepta intis fere eadem esse, sbqu ad amussim inter se
respondere. Imo nonnunquam Algebram ab Arithmetica, et Arithmeticam
ab Algebra illustrari. Atque ad puerum reversas, Nostine inquit
in hac
mi puelle, quot sint Nasi hom jus civitate. Puer rubore sufsusus
puto te jocari  Domine: neque enim ego eos numeravi. Cha.
Et aures quot hic reperiantur nosti 2 non magis pu. non
magis. Cha. Sii tamen plures hic esse aures quam nasos
sumtne plures nan aures au vero plures nasi. Pu. Non
plures tantum aures, sed et duplo plures esse scio, pro uno
enim naso duas tibi aures ostendum. Cha. Vides
 igitur etiam circa numeros incertos quaedam certo cognosaere
posse atque haec numerorum incertorum tractatio dicitur
Algebra. Cuilibet scilicet, Numeris enim incertis imponuntur
nomina vel notae. Exempli a causa numerus nasorum
vocetur n, et numerus aurium vocetur a igitur etsi simmus nesciamus
quis sit numerus nasorum vel aurium, scimus tamen 
duplum numerum numerum aurium esse duplum numeri nasorum
seu esse a aequalem 2R et talis notitia dicitur
aequatio siquis servite autem potest haec consideratio ad
ignota quaedam invenienda. Ecce enim si tibi quaerenti quot
homines sint intus responderet aliquis; summam aurium et nasorum
simul sumtam assurgere ad triginta, Poterisne divinare
quot sint homines PU. Quidni, nam aures quidem erunt
viginti, napi vero decem. Ergo ex homines decem. Cha.
Optime. Hic autem modus calculandi dicitur Algebraicus
vides igitur te jam quodam modo Algebraicum esse. Pu
 vellem esse paulo magis quam me esse sentro. Nam si
numeri fuissent majores, non ita facile divinassem.
Cha. Gdidni ponamus alium que alium quemlibet numerum loco
enem
numeritrigiuta tibi fuisse res dictum, exempli causa on
is numerus ex hypothesi, e est aequalis numero aurium et
numero nasorum in unum additis. Pu. Sed quomodo hos numeros
ignotos in unum addere possum. Nisi forte vis hasu has
duas literas a et n sibi ascribi ut supra. Cha Hoc
ipsum volo, tantum ascribatur praeterea signum additionis quod
est +, et ita stabit. a +n, vel
quod eodem redit +n + a, vel etiam a + n F. Et hic modus
operandi dicitur additio Algebraica quid facilius?
Cum ergo dictum tibi sit sumnam aurium et narium facere (900 quam
inde aequationem habebimus. Du. Nempe hanc: +a +n aequ. (900
prorebus selicet substituendo motas ut supra. Ctia. optime Recte
hum. aur
numerus aurium a
numerus nasorum n
numerus aurium aequalisi duplonumero eson
aequ. 2 n
et numerus aur. _t num. nasaqu
et numerus aurium et num. nasorum aque 6a
a, 4 n aequ. 60
quaam plerumque
signum +  it
primo numer seu
termino omitti soleat

## Folio 3v — 00067991:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 70 lines, status machine
Pu. Sed ego quaero numerum nasorum solum, hunc
enim si scirem, scirem et numerum hominum. Cha.
Quomodo ergo tollemus a, ut supersit tantum n.
pu. Hoc facile possumus pcaec in locum ipsius
a substituendo 2n quod ei aequi valet, nam duplus numerus
najorum aequivalet numero aurium. Cha. Ergo loco
aequationis +a +n aqu. 500 habebimus +2n +n aequ. 900
Du. Ita est. Cha. Sed quid hoc sibi vult 2n +n, sive
his n et adhuc semel n. pu. Hoc significat ter n.
Cha. Quoniam bisn ita scripsimus, 2n. quomodo Scribemus
ter n. Pu. Scribemus 3n. Et habebimus 3n aequ. (900
Charinus Cha. Habemus ita quantum valeat triplum numeri
nasorum. Sed nondum habemus quantum valeat ipse numerus
ex
simp
nasorum. Pu. Hoc jam facile videtur. Nam numerus nasoruo
ast tertia pars tripli numfiri nasorum. Tertia autem pars
ddecenfi
ecenta
mniginta rerum sunt res triginta
poncentorum
Ergo turgimia fiere
Quid si numerus
nasi adeoque et homines auenti Cha.
tibi dictus non fuisset 30, neque 600. sed alius quilibet, 
quem generaliter vocabimus 2. Eadem mod PU. Eodem
modo calculassem: a aequ. 2n. et 4 a + n aequ. 2.
in
Ergo X2 +n, aequ. 2 seu 3n aequ. 2. Ergo erit n aequ. tertiae
parti ipsius Q.
Cha. Vides ergo hoc modo calculandi
te invenisse regulum generalem pro tali quaestione resolvend
literae adhibentur.
quicunque dandem sit numerus datus Z. Tantum enim semenda
est tertia pars ipsius Q ea erit numerus hominum quaesitus.
vides etiam numerum quem tibi dictum debere dividi posse
ntu
per ternarium sine res in tres partes
residuo, aliqqui ineptus erit et statim ipse agnoscere
poteris illi qui sibi quot homines intus essent quaerenti per numerum
aurium et nasorum respondit, te fallere voluerit. Itaque
si dexisset numerum aurium Pu. Intelligo, nam si dixisset
decem simul aures et nasos intus esse, falsum dixisset.
Nisi aliquem aut plares, aut pauciores justo nasos auresque
habere ponamus. De quo puto non esse sermonem, aliaqui
neque enim ullus certus calculus fieri posset. Cha. Habes
ergo gustum Algebrae, videsque nihilque in ea esse in his quae dixi
esse, quae non ipse nullam novam veritatem te à me didicisse
sed tantum novos quosdam characteres, novasque uut ita dicam
caremonias, pro arbitrio receptas, commoditatis atque ordinis causa
ge inventas. Nam duo aequalia sibi sine errore
substitui posse, it duo aequalia eodem modo tractari posse
tertiam partem, sumsisti. Et liceq hae veritates tibi non
venissent in mentem nisi admotente me, tamen ipse statim
esse verus, sine ulta agnu sine probatione
meatibi facta agnovisses esse veritates modo
per te amon
te le carum admonuisse m
respecta quantitatis, ipse animadvertisti, quando 2n substitust
pro a, et quando tam ipsius 3n quam ipsais 600
propone
+a + n aequ. 600
2n + n c
4
En aequ. 
DC
n aequ. 70
dum pro muineris esian agnitis et dati
F(quod unum in ratiocinando
adhibuisti)

## Folio 4r — 00067991:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 64 lines, status machine
2
pu. Non tantum nihil adeo novum me didicisse puto, sed etiam credo,
putonos per multas ambages illuc ivisse, quo longe brevius pervenira poteramus
poterat. Nam quia duplus est numerus aurium, numeri nasorum
solius, erit, numeri nasorum et aurium simul tripla solius numeri nasorum.
summa
Ergo  si summa illiu ab aliquo mihi dictae tertiam
partem sunam, utique numerum n nasorum sive hominum habebo.
Atque ita paucis verbis inveni, quod tume tam prolixe facere
docuisti. Cha. Laudo ingenium tuum mi puer: et agnosco
quomadmodum Ethicam et Logicam et Arithmeticam, ita et
Algetram quandam naturalem esse. Sed suadeo tamen ut
potius certam quandam methodum constantem quam naturalem impetum
sequaris; quia in qu ut exem jam in facilioribus  assuescas
ordini, quem in difficilioribus servare necesse est, ubi impetus ingenii
per se solus exitum non reperiret. Vidistine libos rationum quas apud Mercatores
conficiunt quos se vant Mercateres. Prc. vidi apud nicinum. (tra.
Si  quando inspicies aeos in exiguis summis annotandis iisdem
notabis
uti cautionibus, et ut ita dicam caeremoniis i ac in magnis,
tum servandae, uniformitatis causa, tum ne quid ab exactitudine
remittant: ita quoties  sum aliquid exprivato suo
Ma
ut ita dicam aerario, qod cussum voca merci soli mercaturae
destinato quod  cassam vocant ipse dominus sibi sumsit
atque in alios usus convertit, cominum ipsum cassae e cassae
inder cassae debitores collocant; si quid rero pecuniae aliunde
quam ex mercatura  quaesitae in cassam intulit, inter
creditores. Tametsi alioquin nemo nisi fictione quadam
sui ipsius debitor et aut creditor esse possit. 
Denique quemadmodum exu nunc tota Europa cultiore nullus est omnia loca
locus tam unins, quin certis itineribus sunt intersecta, ita
pleraque in rebus humanis certis formulis certoque ordine constant
modo ille quem commodtus successus comprotavit cujus commoditatem ipse
suecessus comprobavit. Itaque in plsque saepe non tam res novas
quam novas formulas discinius, iisque eiti malumus, licet aliquando
longioribus et quemadmodum per vias praetercuntium vestigiis
signatas quam breviore licet itinere per aeia ire malumue, ita
praestat  lege artis quanet quanquam tardius procedere, quam
naturalem genium sequendo temere vagari. Et nonnunquam
ita enim semper sciemus quid agamus atque ubi simus, a qui hac qui vero huc
illue discurrunt ita sese in labystinthum saepe induunt, ut neque
Atque haec quidem in methodi gratiam
dicta sunto, cujus ucina est in rebus omnibus utilitas: et quam
progredi neque regredi possint.
magna
multum reset refert, non in maximis tantum, sed et in minimis
servaret. Itaque facilia exempla a me allata ne transsilias
neque spernas, ni puer; qsi a ise perte sine odine certo
consequi valeas vel ideo enim a me afferuntur ut quemadmodum
facilia a te ipso, ita difficilia a facilibus discas, atque ita omnia
denique scientiarum arcana ex tua ipsine atms
quae dicis Matine
Euseb. Mirifice me afficiunt patere tamen ut unum moneam;
videtur mihi puer iste respondere longe aliter respondere, quam
facerent plerique alii facturi essent. Ego vero optassem interrogationes
tuas, esse comparatas, ut etiam stupidissimus quisque modo attentus, atque
is requndere quaeas non pustet non ex innatis atitis ad
FMercurialem
Fcerta tamen ratione
F quanquam alias
naturalia dotes
Sona artificialibus
longe praeferam

## Folio 4v — 00067991:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 66 lines, status machine
ad easdem veritates per se devenire.
Cha.
Hoc
potuissem efficere, sed ita nimia prolixitate vobis taedium
creassem: deinde fateberis nihil adhuc magnimomenti me
attulisse, sed consuetudines tantum quasdam arbitrarias apud
Arithmeticos et Algebraicos receptas, in quibus diu nimis
haerere operae pretium non putabam. Notabis tamen
ess rte non om ccurres res
mentem venire non possit; deinde observabis me quanto
unaquaeque cognitio erit praestantior, tanto fore in ea
r ex primis notitiis per facillimas interrogationes
eruenda curiosiorem.
Sed ad de redeo mi puer. Siduos tibi numeros proponam
ut ab a et b quid primum in iis consideras. P2.
Quid aliud nisi esse duos numeros. Cha. Sed eo ipso jam eos in nnum
dum cogitas esse duos
addidisti, dum ambos simul cogitas, neque aliquid praeterea adjicis. Atque
hanc animi duo simul eco Ut enim duas res in unum locum conjicere
est addere, ita duas cogitationes et duarum rerum imagines conjicere
in unam considerationem sine in unum eundemque mentis nostrae locum
Atque hanc additionem ita designamus: +a + b. vel +  +a
neque enim huc ordo quicquam facit: neque adhuc alterum aut discrimen
eorum consideramus, comparationemve instituimus, aut alterum alteri
applicamue, quae sane omnia diversitatem quandam in modo eos tractandi
supponunt. Not rero itaque eos in unum addere, simplicissimum
est. Quemadmodum si tibi donem monetam Ecce habeo asperem
turcicum, habeo et rtem regalem Hispanicum, quos ambos dibi
dabo si bene mihi imposterum responderis quod si ambos in bursam
tuam conjicius, jam eos addidisti. Quid autem faceres si eos
nunc tibi darem? Puer. vellem eos in illud loculamentum reconder
in quo jocalia mea lectissima habeo. Cha. Ergo eos tum inter se
tum jocalibus tuis adderes. Si vero discrimen eorum notare velles
multo majori tibi opus esset multo plura difficilioraque tibi agenda
essent. Pre. Imo video diserimen his ipsis oculis. Disiri  Cha
discrimen formae te videre agnoscoi at non valoris. Pa. imo
unus est major altero. Cha. Quid tum? posset minor esse argen
tens et major stanneus, quod tam facile dijudicari non potest.
quomodo ergo adderes natis eos notis in charta designatis.
pa. Hoc modo: + regal + asp. Cha. Quid si tibi
gladiolum
donem unum imperialem nummum, et praeterea unum pileum
potesne eos in unum addere. Pu. quid ni? etsi enim
non possim recondere in unum marsupium, continebuntur
tamen amboin te numero rerum mearum. PoCha. potesne
in unum addere plane diversa, exempli gratia  hominis
alicujus robur, et pulchritudinem et divitias,
pu. ita
sane sic enim colligo in unum summam bonorum quibus
commendatur. Cha. sed si debeas addere horam et
lineam, quomodo ex iis compones unum. Pu. quaeram
quid, commune habeant, sunt autem res. saltem ergo in unum
addo tanquam duas res quemadmodum ex decem praedica
mentis fit unum totum. Cha. Habes ergo in rebus addendis
semper spectandum in quo sint homogenea, et, si in pluribus convenia
cujusuam gratia addantur. Ex empli causa Mavis onerandae causa
adduntur saxa, arena, merces; non quia res, sed quia ponderosae
porro supia si jam
Frationesque earum prolixe
reddere
tant certe jam acquisitis
F quas duas monetas nullus
puerorum hujus urbis
unquam vidit
quae simul animo meo
obversantur,

## Folio 5r — 00067991:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 73 lines, status machine
si jamtros res generalissimas te addere jubeam, quomo ut
ab a et b err et C quomodo scribes. P 1a ac. Ch.
quid si jam Porro supra addidisti + a + b sive duas
res generalissime sumtas. Quid si jam eas explicare velim, quid facerem? P. Explicandum erit
utique mihi ex diceodum in quo vel inter se vel cum alio conveniant.
Ch. Utrum brevius erit?. P. dicere in quo conveniant inter se
ita enim nullum tertium assumere necesse erit. Ch. Ex modis
conveniendi quis est simplicissimus  P. Convenientia oi
omnimodem, alioqui enimmultis opus erit ad explicandum in quo
plane
conveniant in quo differant. Ch. si ergo ponvenit numerus
b cum numero a. quomodo exprimes hanc convenientiam.
. P Scribam b aequ. a. ut supra. Ch. Quid inde E
P. ergo potero substituere a in locum ipsius b. Et l aut contra Et loco formulae
vihuius aequationis,
+ a + b. scribam + a + a vel + b + b.
sive
erit + a + b aequ. +a + a. et a + b aequ. +b + b et +a + a aequ +b +b
Ch. Sed dicere + a + a no idem est ac dicere 
semel a et adhuc semel a
P. sed semel et ad huc semel
est bis. Ch. Quomodo ergo + a + a compendiosius scribes
seubis a.
P. hoc modo fortasse 2 a Sive erit +a + a aequ. 2a.
adeoque et a + b aequ. 2a. Eodem modo +a + a + a
scribemus 3a.
Ch. Sed hoc jam Algebraici vocant
multiplicationem nempe numeri a per alium numerum coefficientem
ut 2 vel 3.
generaliter
si etiam numerus coefficiens 2 vel 3 vel
alius appelletur c, scribemus ea
Vides ergo multiplicationemesse compendium quoidam adililienis
nihil esse multiplicationem quam numerationem additionis
aequalium, seu repetitionum, et numerus quidem repetendus,  ut a
dicitur multiplicandus, numerus vero repetitionum  ut C dicitur
multiplicans vel caesficils
 P. Hic mihi magnum dubium
incidit. Ch. propone audacter. P. quaero an liceat
quemadmodum mihi licuit, loco +a + b scribere + b + a nihil enim refert utram fumnum
marsupium meum conpiciam; quia semper tantundem habebo
ita quaero an liceat invertere, ca, et scribere, ac
in
a summam
e
ita ut ex multiplicato fiat multiplicandus et contra.
n
Ch. Nodus est vindice dignus, sed ut melius intelligas et perte quaestionem reslvas
Toeo C et a fictitiorum adhibeamus numeros veros,
exempli causa C significet, 2 et a significet. 3.
P. quaestio est igitur an bis tria, idem sitt quod ter duo.
Tentabo digitis. Jungam tres digitos et rursus tres digitos:
jam numerabo omnes: faciunt sex. Rursus jungam duos digitos,
et rursus duos; et adhuc duos:  numerabo item iterum omnes.
Ch.
Euge: faciunt etiam sex. Ergo res succedit
succedit sane in hoc exemplo. Sed unde nosti succedere
in omnibus, einfinitum enim foret in omnibus ita tentare.
P. Novi inde quia eadem ratio et in aliis valet.
Ch. Quaenam est igitur illa ratio valens in omnibus, hanc
enim nosse pervelim. Hic cum puer aliquandiu meditabundus
haesisset, tum (haring: tantum opus est ut attente consideres
it set um qui si bis que tia un dus bis tuia
+b
a aequ. b.
b
a + b
+ata aequ. 2a
C aequ. 2 vel 3 vel etc
ca aequ. 2a vel ha vt
vel etc. a.
Fhoc mihi valde
placet

## Folio 5v — 00067991:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 61 lines, status machine
215 + 3.
bis est. semel et adhuc semel. Et tria sunt unum, et itrm
et alterium, et denno unum
h. Quid ergo bis tria. P. quid
nisi: semel unum et semel alterum et semel tertium. Item:
adhuc semel unum, adhuc semel alterum, adhuc semel tertium. quae
sunt numero sex copulationes. Ch. Quid  ter duo. P.
quia ter est, semel et adhuc semel, et tertio semel; et duo sunt
unum et adharm alterum. Fiet: semel unum  semel alterum.
adhuc semel unum adhuc semet alteruma tertio semel unum tertio
semel alterum. Euce iterum sex copulationes. Et jam
agnosco cur idem numerus sex proveniat utrobique; semper
pro unitates)) multiplicantis dicimus semel, pro unitate multipli-
Candi dicimus unum. Eaedem tergo copulationes proveniunt utrobi
nec refert,
Audistin apud Romanos divortia fuisse licita. P. Quid
fecto
tum E Ch. Finge  duos s, viros, et tres foeminas.
et unumquemque virum suo tempore duxisse unamquamque foeminarum
habebimus sex conjugia. Si contra fuissent tres viri duae
foeminae, erunt totidem conjugia. Eadem tantum perinde erit
ac si vir in foeminam fuisset mutatus, ut de Tiresia poetae
fabulantur: ita ex priore casu fiet posterior, nec ideo numerus
copulationum mutabitur. Si vii unus appellatus sit semploni–
si priore casa viri fuissent sempronius, cajus. Foeminae: 
rtotta Naria iohanna
Lucia. Posteriore Viri Marius.) Johannes, Lucius. Foeminee
sempronia caja.
Et nu una prioris casus copulatio
sit laji cum Johanna. Erit in posteriori casu. copulatio
Johanniscum caja.  ergo sunt utrobique numero aequales u
mutatis tantum nominum generibus sive sexu. jam
loco prioris casus conjugia erunt:
sempronius-Carlotta. Sempronius Johanna. Sempronius Lucia.
Cajus- Carlotta. Cajus- Johanna. Cajus = Lucia
posterioris casus conjugia erunt
Carolus- sempronia.
Johannes Sempronia.
Lucius- sempronia
camlus Caja
Potranner laja
Lucius Caja.
Et si figmum adjunctam omsideres, ubi ubi res eculis
subjicitur e notalis
carolus. caja
Johannes. Caja
Lucius caja
Et isi figuram adjunctam consideres in quares oculis
subjicitur videbis priorem quidem casum pro utrumque
casum simul comprehendi dissimulato sexu. Sed prioris
Casus positionem exhiberi si schema ses spectes secundum
unicuius unitati alterius numeri. Dis hoc solo discrimine, quod
tr semel  utri tribuamus semel utri unum. 
longitud longitudinem, seu si longitudo sit horzontr
latitudinem spectes horizontatem
me rem tam facilem non statim pervidisse. Ch. Erat
in animo tuo, sed confuse si vero intus non fuisset.
interrogando non elicuissem.
Sed ne fiustra me
tam prolixum fuisse putes, in re facili, sumamus jam
ei respondens

## Folio 6r — 00067991:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 135 lines, status machine
loco personarum litseppionii, johannis) literas
et a. b. c. ducamus in l. m.
Pu. Quid in
prius addamus inunam summam? ut fiat numerus +a +b +
multiplicandus in eu per numerum + l + m. Ch,
ntri
operatio
ina arbtetem  . + a + b + C Puer
a 
enim omnes sig unaquaeque unitas unius numeri applicatur (X) nam vinculaista plurina
manime cum (+al +bl +c l
occentibus Hebraeorum
+a + b + C linea autem
+ l + m Quidni sic. S + l + m
corvencunt cum disfincto) + am + b in +. CM
mibgus scriptionis, sed
vel sic: S+ am + b i + c in
L+ a l + bl + c l
tal + bL + C1
+am + bm + Cm) ope distit
ubi notu multis snetonem diversae formula +25 +1.5  (  5 13
ut vitetur consus aexempli gratia
+a TBC + d e+f significat
ipsi a addendum esse b summa
aytisbe renique
esse d. demque
Ch. Ex hi modis collocandis praeferri solet pllor quem compendii it causa fis tgtanio autem operati
variis istis
primum scripsisti non quod necesse sit eum adhibere, sed actripso necessaria est, ita peragitur
ob commoditates quasdam quas in progressu agnosces
Ex lineis eti Lineae quas me vides in fi punctis
duxisse ush ostendunt quomodo eadem litera redeat
et si magnos calculos hoc modo examines judicare poteris
an aliquem errorem admiseris exempli causa in prima
calculi dispositione, si procedas serundum lineas
vides in fvel n) ordine applicari singulis a. b. c. sin
procedas secundum lineas obliquas: vides a (vel b vel C)
quae observatio quam
ordine applicari singulis
examinandis ut er
facilis tam ubilis est in magnis calculis algebraicis P.
dabo operam ne obliviscar. h
de combinationibus? Pu. Non memini.
Audistine unquam
Ch. facile intelliges
Habemus hoc res quinque: d a. b. c. l. m. jungamus
earum duas quaslitet omnibus modis possibilibus attie enumeremus
omnea earum pariasive conjugia, fiet:
ab. ac. al am
bc. bl bm
el Cm
ab lac jal am
PU. Video. et observo omnes terminos supra in multiplicatione
positos ipsius. +a +b +c per + l+m positos hic redire; et
aliquod praeterea. ch. probe observasti ratio est, quia
hic omnia quidem combinationes binimes poss paria posuims
sed supra et taptum omnes mitrs aub singula a. b. c.
applicai singulis l. m. non vero ipsas a. b. c. vel ipsas
l.M. conjunximus inter se. Quod hoc loco factum est.
Est igitur. Multiplicatio Algebraica species tantum combinationis
cujusdam certis legibus exclusivis devinctae.
Eusebiris
parallela. Posteriorem si ema facta semi conversione haec audiens dintius continere se non potuit, et si ita est
Pu. Miror inquit charine, sequetur Algebram esse arti
Combinatoriae quodammodo subordinatam. Ch. Quid tum
Nam si artem combinatoriam consideremus e velut
tractationem de formulis in genere, necesse est Algebram
ei eatenus subjici quatenus formulas tradit quantitati accommodatas
Et vero vides easdem formulas quae hoc loco significant
ationem fatiendam d
abimus hoc
d: +a +b+c el+m. vel etiam omis
ascribendo
it arbre lem. simip
oco isforum membrorum
a. b. c. vel l. m. poterimus
et adhibere,
numeros t
superduta + 2 + 143 multipt per 4+5
icitui Vina fi et seu  per y (d est par 9) fiet
utiiora est ipsa
perationemonnunqua
smt
+24 +1t 134. odt 
vel quinque A(Q haee designatio saep
Floco ipsorum membrorum aib. c.
vel l. m. poterimus adhibere
numeros, ut +2+1+3 per 44+5
fiet .... . +2 +1 + 3 aequ. 6
= per .. +4 +5 aequ. 9
425 +P +35) aqu. 54
+ 24 +14 +54
nempe miti esse solet signum
multiplicationis, ut 25 significat
ter quinque vel quinquies tria seu 15
et 15 est semel quinque seu
quinquies seme unum, et ita
porro itaque et sic stabit.
6. sive.. +2 + 1 + 3 sine 
per 9 sive..
+ 4 + 5
+10 +5 +15. .. sive 30
2+8 +4 +12. sine 24
jam 30 et 24 faciunt
54. ergo 26 per 9 faciunt
etiam 54. Et haec methodus
discerpendi numerum majorem
exiguas dicitur vulgo apud
postros homines dicitu solt
italiea
et utilis
est interdu
ultos usus
bet, na
grabia. siculiter
multiplicane vellem sex
per doverocto, quia
B est 6+2; ideo multipli
cabo 6 per 6 dat 36
et per eg dat2 Jam
36 ei dat quiqu
quatu per tria, nec scirem
Tabulam puthanoricam
quam tu in paer no
ignoras, diceremi quatur
idem esse quod auina
4 aequ. 3+1, ergo 3q
aqu 33 + 31 seu
 seu 9 + 3 sine 12
Qui suo loco apparebu
Du. Nihili hic difficile
animadverto.
Nunc a numeris ad litera
redeamus. Andistine
unquam de Combination

## Folio 6v — 00067991:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 64 lines, status machine
multiplicationem, posse habere infinitas alias significationes.
non tantum enim possunt ac significare posset a +c. sita
vellemus vel etiam rationem quae est inter a et c. sed
etiam posset significare disjunctive, vela vel C. Qui modus
calculi disjunctivi suos magnos usus habet. potest etiam
significare comnubia item spatiac, item rectam extremis
punctis a et C terminatam; et tamen semper verae manerent
generales
especialibus
leges  combinatoriae, cessantibus licet legibus multiplicationis
Exe Et calculus disjunctivus suas haberet peculiares conse
collectiones exempli causa posito ab significare velquel b.
posito b esse ac id est vel a vel C et rursus esse C
esse vel a vel b ab id est vel a vel b. sequetur etiam
a esse bc seu a esse vel b vel c. Nam ob b
b idem quod ac, poterit b esse a. ergo poterit et a esse b.
 proceditenim hac conversio. Rursus ob C idem quod ab poterit c esse a, ergo et poterit a esse C
quia ergo potest a esse b, itemque potest a esse c. habemus
a esse bc sive a esse posse V vel b. vel C quanquam
non ided excludantur adhuc plura, quae ipsum a esse possit
ueque definiatur ipsumae ipsa b et C et C esse diversaet
et distinctis
diversa. Nam t ad sufficientem enumerationem multo pluribus
adhuc determinationibus opus esset. Unde patet innumeros calculos
excogitari posse, plane ab Algebraico diversos; et vero formulae
logicae vel absolutorum vel modalium syllogi smorum, quid aliud
sunt quam peculiare calculi genus. Erfeb. Agnosco
et mirur id tam parum observari. Tota ars crypto graphia
quid aliudquam formalas formulas ac combinationes tractat,
ludos receptos examinare vellemus et inartes formam
redigere, quod sfuct maximo acuendotum non careret,
multumque prodesset ad proferenda ratiocinationis pomoeria
ingeniaque acuenda, nihil aliud quam aliae semper atque aliae
combinationum species legesque prodirent. Errant ergo
scientiam
qui solam cognitionem Mathematicam sme  quantitatis
Mathematicam accuratam, esse putant. Euseb. H praeclara
dicis mi Charine et quae miror ac doleo non satis observari
itaque optarem vel te vel ex sententia tua te monente alium
quendam opus tam sucundum tamque utile attentare. Ch.  Non
ignoras Eusebi, quam multa moliar, et fortasse possim, quae prestare
uni omnia vacat, nec video quem adjutorem sperare possim liceat, nisi
quem te parario nanciscar. Sed cunc ad inssitutom reverta
non
mercenaria
Nam atate qui stata jam aetate sunt, fere in scientias qsernt 
deserere solent, ubi lacrum nullum: vident, juvenes, cum impetu ducantur
eque audiuut moncales  plura afficiunt quam absolvunt. Sed ad
sed si pluris consilia conjungerent
institutum revertamum,
agi posse etiam multo majora, quam quisquam facile suspicetur
lique
Quod fortusse te pariteo atque Aretaeo pararuis ficu posset. Sed
Dictum est A
nunc ad institutum revertamur.
productum ex multiplicatione qua
quo Multiplicatio utat btC
ut m
formulae algebraicae in formulam algebraicariit esse
asgregatumomic
suisque usibus praeditos
formulae, ut, a +b +C. item +l
nembras ermine ut a. luc
prigris sunt a. b. c. posterior

## Folio 7r — 00067991:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
aggregatum omnium combinationum ex omnibus, exclusis
membris
ex terminis omn utrcusque formula simul, a. b. c. l. m.
demtis combinationibus terminorum cujuslibet formulae
inter se, at nempe demtis tum combinationibus ipsarum arbe
membiorum
terminorum a. b. c. inter se, et tum l m inter se.
Pu. Id probe intelligo.
Ch. Sed quid si tres
formulae in se invicem ducendae essent, ut +X+y+Z in +a +btC
in +l+m. Pu. Multiplicabo prius per se invicem duas tat
ut +a +b + C et +l+ m. et productum ducam in tertiam +X+ y+ Z
Nihil autem referre unde incipiam ex prioribus patet. Stabit
autem operatio hoc modo: Quia supra invenimus esse
+a F b + C  + lam aequ. (+ am + bm + Cm + al + bl + el
hranc formulam multiplicemus per
fiet.
+X + y +X
tamZ AbniZ + eniZu +alZ + b1Z + c1Z
tans xbmy demys taly ably sely
tam X + lmX + cux + alX +blx + clx
binionas sa
ese Binionum sive parium
Ch. vides igitur prodive loco Com2 nationum quae supra
prodierant duabus nformulis inse ductis invicem ductis
in Terniontes
nunc prodire Con3 nationes.
rerum sunt quatuor aUniones, nempe a. b. c. d. et
qunm Biniones (seu comzhationes) nempe - ab. ac. ad
bc 1
et quatuor Terniones (seu Consnationes) nempes abe. abdibediac.
nempe abe abd. acd. bed. Adc. Ab
nempe, A(D)c. A(D . A(C) a, BICM
remo
et  quaternio nempe abcd. E
seu
quinque rerum sun sunt quinque uniones, a. b. c. d. e. et
decem Biniones ab ac ad ac
bc bd be
cd ce
Decemterniones abe. ald abe; bed
dda
ade
quinque quatemioness abcd abce
1. Quinio
abde
acde
bcde
abcde
Unde numeri binionum (ut hoc obiter dicam) vocantur ut DB6. et 8
nemeBocantur triangulares ut ex dispositione patet
Numeri vero Terniopum vocantur pyramidales nam si
(vel KL M)
(seu GNV (KGKIoLs (GHI)
t imponas ipsi 2. totumque.  cum imposito F imponas ipsi D (NED)
lapisli
fit pyramicti quemadmodum appareret si essent totidem nbuli
n commode sibi dimponispossent
quot sunt terniones.  Unde  numeri combinationum
dicuntur figurati
PU. qu observo. D redire in 8 et D redire in O
 et  redire in if. novis tantum accedentibus qcetea ob novam literam e.
ut alx. CmZ bly
qua quae significant
tres nimeros ut a. tex in
se luvicem duae diversis formulis
sumtos in se invicem duci (ul
actix in se invicem duci omnibus
mois possibilibus (ut a. l. X
vel c. m. Z vet biloy. vel
alitex conjunctos, in se invicem
ductos esse nam si a significare
3 et l. 1 et X. 2 tunc alx esser
et autem
tute metius intelttas altigordama
Unius rei est una Univ. a
Duarum rerum a sunt
duae uniones a. b. et una
binio ab. Trium rerum
sunt tres terenes uniones
a. b. c. tres biniones
et una ternio abc.
arb e+d et f
abC abd abc
acd ace
bcd
sb
abc abd
abc abd
acd
ABCD est C
Gni
Qagual
AEF. D
Z. aequ.. GaP 4
(ABCD),
(ABC)
Acujus basis  mediume
(GH) Aespastigium T (XLM)

## Folio 7v — 00067991:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 73 lines, status machine
Ch. Sed potesnem videre quot novi accedere
debeant. Pu. observo tot esse debere novos in 
 quot reperiuntur omnino in b. sive si singuli termini
ipsius . ducantur in novam literam e, et addantur ipsi Z
tie fiet fe Eodem modo si ipsis d addantur 6 ducti
in novam literam e. fient O. Ch. Enuntia in
numero ternionum a quatuor rebus addatur 6numerus,
binionum a tribus rebus fit O (10) numerus ternionum
a qat rebus. similiter si _ (1) numero quaternionum
quinaque
a quatuor rebus addatur 8 (4) numerus ternionum a quatuor
rebus, fiet  (5) numerus quaternionum a quinque rebus.
Ch. quomodo hoc genera liter enuntiabimus. Pu
-
Forte hoc modo: si combination praecodentes (terniones)
(ulalterni
Quaeritur Ternio quatuortri combiantio praecedens  terntas numeri prassentis (quatior
erit: Ternionemrerum) addatur combinationi praesenti (quaternioni) numeri
pocabo combinationem praesentem praecedentis (triani rerum) fit combinatio praesens numeri
et Binionem qua unitatehiffert, praesentis (seu quaternio, quatuor rerum.) Eodem modo
praesentis (quatuor rerum) fit combinatio praesens (ternio)
humeri praesentis (quatuor rerum quaesita Ch. Non recte
tantum sed ex eleganter enuntiassi. Manifestum enim est
una re prioribus accedente novas (exempli causa terniones
praetero terniones rerum praecedentium oriri non posse nisi nova
terniones novam rem continere debent, ergo praeter ipsam binas
adhuc alias, adeoque id toties fieri potest, quot sunt reliquarum biniones
Hinc etiam sequitur ex sequentibus praecedentibus rebus et
combinationibus posse calculo inveniri sequentes, tabulamque condi
quanor res vocabo  si combinatio praecedens (ut binio) numeri praesentis (ut trumrorum
rerum addatur combinationi praesenti (ternioni) numeri
reso rerum praecodentium binionibus sapplicetur. Nam novae
quae continuari queat in infinitum. Hoc modo:
Duomen ( 1 2 3
4
1 6
91 3 6 10 15 2
Nialiones 1
Uniones 0
Biniones
1 4 10 20 35 56 Terniones c
5 15 35 70 126 Quateriones b
1- 6 4 56 16 252 Euiniones 0
1
seniones 0
unus unius Duorum Triam Zuntuor du
4 septeniones
Octoniones 0
Iniones
A idque in tui gratiam insebi, Sed ut ad multiplicationes, nostras redeamus quarum
tres supomers sormula
causa combinationes adduximus manifestum est
si nam
et +a +b +C et + x +y +Z in se invicem continue ducantur
prodire omnes terniones octo rerum quae sunt 56 demtis
sen
primum ternionibus quae oriuntur ex singalis l. m.quarum (cum sint
dua tantum Henis est ase) et ex a. b. c. in se inviceti jomr cntomilati ses
nones duo hii vions sriones bniones Nullius unius Duorum Trium Zuatuor Qoinque sex
Unius 
+
+ uttra G
exempli causa=
reguia h
seu iombinationem de qua agitur
vocabo pracodentem simuue itague
paesentem, et
(qae omnes ren e continere deb
nam puero nostro haec
forte intempestiva sunt
literis
+membrs ejusdem formulce
in se invicem; nempe ex

## Folio 8r — 00067991:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 62 lines, status machine
et ex _ X. y. Z ((quarum ternio est etiam (x yZ) est etiam (1)
demtis item ternionibus quae oriuntur ex frinionibus du literanum
ejusdem fo literarum ejusdem formulae. Sunt autem formusa di
ex lm. binio una, quae ducta in nume cujus numerus 1. ductus innumerum 6
 reliquar sex res a. b. C. X. y. Z dat numerum ternionum (ut lma. Imb. Imc. lm X. lmg. ln Zu)
scilicet
eb binionem ln prohibitarum, qui num erus est (6). Porro trium
rerum a. b. c. sunt etiam 2o biniones tres, quarum numerus 3
numeris;  Pu si  numer termienum si ipsi B (4)  ductus in 5, numerum reliquarum rerum dabit numerum ternonum
prohibitarum (15.) nam quae libet trium rerum a. b. c. aer binio
ut ab ducipo duci potest in quamlibet ex riliquis quinque rebus.
ut 1. m. X. y. 2. et fient totidem, timon terniones prohibitae, ut
abl. abm. abx. aby. abz. et quod de ab idem fieri potest de ac vel bc
habemus ergo hinc 15 terniones prohibitas. Totidem Ex
Eodem modo ex tribus rebus X. y. 3 habemus etiam
(15) terniones prohibitas collectis ergo in unum omnibus
ternionum prohibitarum numeris parenthesib,s inclusis
habebimus. 0. 1. 1. 6. 15. 15 quorum summa est 38.
numerus ternionum prohibitarum in his octo rebus, qui subtractus
a 56 numero omnium ternionum possibilium ex octo rebuis
reliiquit 18. numerum ternionum licitarum, qui est
etiam numerus po term membrorum, supra ex ductu
haerum trium formularum +l +m.  + a + b +c (aX +y + Z
ortorum quia 2. 33 facit 18. A idem et geometrice
p ostendere possemus quomodo scilicet ex pyramide
omnes terniones possibiles repraesentante, solida terniones prohibitas.
Aoat rerum
possibiles repraesentantia sic abscindi possent, ut tandem restaret
solum par alle pepedum ex cujus alt ex 18 unitatibus solidis
constans, cujus una dimensio  longitudo 3, latitudo etiam 3 et li
altitudo 2 esset, quod scilicet trium rerum ductum in se invicem
repraesenta ret. Sed hac inutile est puerum nostrum his
ut hagnoscas quantus possit esse usus combinationum in Algebra
ita enim compendio possumus enuntiare produdum ex duabus tribus,
septem Octo Rerum
oniotes criglitus ut Notetu aptem  quotlibet rerum at duarum unam esse Nultionem, id est si mullies seu nunquam sumantur
formularum seu si mavis rectarum
contemplationibus nunc onerare. Tibi hoc ideo adduxi Eusebi
quatuor aut pluribus formulis
in se invicem; dicendo esse
omnes tot rerum combinationes
(biniones terniones, quaterniores
aut etiam altiores, pro
numero formularum) 
demtis illis, in quibus
mod
plus quam un semel ejusdem unum ejusdem
formulae membrum occurrit
sed et hinc multa memorabilia et in ho plane mirifica ususe
calculo utilia theoremata duci possunt,
De quibus fortasse suo loco dicemus.
Pu. quampim ea de pyramide et solidis ais non satis
intelligam, caetera tamen satis mihi plana videntur. Ch. Credo et
etiam tae Etiam, illa intelliges, cum nonnihil progressus haec
aliquando tecum ipse recoles. Operae pretium tamen est
te jam tum intelligere quomodo dimensiones multiplicationibus
respuadeant,  crgi satis opini eplanata tartim adtum pus est
quod ab ingeniosissimo lascalio
alisque autore Trianguli Ari-
thmetici, aliisque hoc argumen
tum tractantibus non observatum
dogum qpodam

## Folio 8v — 00067991:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
a, 3. et b, 2. et C, 1.
Oagu+ a +b+C aequ. 6.
Ol1. m, 2. Daequ. +m aequ. 3.
OD +pu. 1816
significetur
ductus dimensionis
ut scias, quid per dimensiones intelligam. Est autem dimensio modus
sit in dimentionem, modusa
quo effici potest et quaelibet parforei unius ad quamlibet rei alterius
dat locum
applicardipotest possit; it ut itaque dimensio praestanactu ipso,
O seu
quod multiplicatio praestat intellectu ut si recta + a + b + C appte
Dseu
ducatur in rectam +l+m, ut inde fiat parallelogrammum
OD compositum ex parallelogrammis al bl. cl. am. bm. cm.
patet utique longitudinem C duci in latitudinem). itaque O et D sunt
duae dimensiones, quarum una dicitur longitu alterutia dicitur
longitudo vel latitudo
Pu. Memini pro mihi adhuc
infanti datum fuisse ej parallelogrammum sed mobile, ita
ut posset reddi obliquam valde atque angustum, iisdem licet
manentibus lateribus atque aequalem dstantiam servantibus
aequidistantibus, atque ego quidem tunc valde hoc motu delectabat
aaqu. 121 aequ. 1. am aequ 2esafune quaero an hujus modi ductus de recta an de obliqua
al aqu. 3 1 aequ. 31 blaqu. 2 laequ. 2.
bm aequ 22 aequ. 4. Cmaqueragui. applicatione ipsius +l+m ad ipsam + a + b+c intello a te
9D) aequ. 63 aequ. 18 aqua intelligatur. Ch. pu. Nihil refert quem eligas, modo
+b ama bn eur
Dlequ. al +bl+ cl + am+ bm +Cm
8aqu. + 3 + 2 + 1 + 6
punctis desiguatas
+et lineas per divisionis
puncta loca divisionis
ducas
quem cunue angulum elegeris eum serves, ut si a significet
3 et b sit 2. et C sit 1. et l pit 1. et m sit 2.
rectis a. b. c. 1. m. 1
inearem
reduct omnibus scilicet, in communem mensuram seu unitatem
resolutis totum pa utrumque parallelogrammum eundem
numerum spatiotorum inter se aequalium quae pro mesura
seu unitate superficiali haberi possunt. Solet tamen
plerumque intelligi angulus rectus, quoties nihil aliud exprim
et hujusmodi parallelogrammum solet tune simpliciter dici Rectangulum
junctantiaeae  Atque ita patet
los pa
angulos rect
quomodo ductus lineae in lineam multiplicationi respondeat, et
solum enim figurarum planarum rectilinentum Zrabes ot e sud
neque enim linea per lineam multiplicatur, sed in lineam ducitur
numerus vero exprimens magnitudinem lineae multiplicari intelli
gitur per numerum exprimentem, magnitudinem alterius lineee
eaque multiplicatione ex numerusque productus exprimit magnitudinem
spatii ex ductu linearum facti, modo numerus unitatum magnitu
componentium
ges illa fint sint
spatia  seu mensur a superficialis intelligatur esse spatium
factum ex ductu unitatis in siisant in quam ipsae rectae
lineae resolutae sunt, in sepsam. HEu seb. Miror Rom
MiprHobbium ingeniosissimum virum haec non satis considerasse, et
hana tam manifestam inter numeros et lineas relationem negavisse
exito libro contra Geometras qui Algebita
uns utuntur
Minus mnirabere si cogitabis hoc euim fecisse in flexuatulis
non satis sibi constata ille tunc cum ipsim propositione
celebrem a pythagora inventam negavit, id est tunc tum ob ei
laatat
seuium acumen quidem aliquod ingenii, sed non judicium reliquisset
Contra quam in aliis fieri so Nam errores quos ibi admittit
non sunt ejus Hobbii qui de cive scripsit sed repuerascentis.
quod dicendum admonendum fuit, ne autoritas viri tironibus noceret
minus
P2. Hujus modii
parium in hac scientia versatis noceret.
multiplicationis cum oculos in hoc pavimentum tessellatum conjicio
tunc id ipsum video quod mihi paulo ante demonstrasti. Ecce spatium ABCD
e eujus congitudo AB. tatitd BC vol CD quae, est quanta est longitudo 12
ressellatum et latitudo tanta est quanta est latitudo vel longitudo (quae in tessellis
eadem) duodacim tessellarum sex. Ergo tessellae sunt sexies duodecim seu
septuaninta duae. itaque si sciemus magnitudinem loci sunius tessellae
sciemus numerum tessellarum, quas locus postulat
C sed quid si
B. dir zellus solle alla
gleiis greob sagu.
mensurae linearis, seu
jam si
 ut enim unitas linearis erit
esset pes, essetque a trium
bduorum, C uniu
4b +CC
6ped
+m, 3 pedum, erit,
uc unitas seu mensura
superficialis erit pes quadratus
et erit al trium, bl duorum et
am sex, bin quatuor, en duorum
Et denique () oct oclecim pedum
quadratorum.

## Folio 9r — 00067991:0017
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 98 lines, status machine
sed Ch. sed quid si idem spatium vel velimus stermere tessellis
duplo majoribus. Pu. Tunc dimidius utique erit tessellarum numerus
ne lerres (h. noli quicquam praecipitanter dicere, ac potius duas
tessellas tibi effinge, quarum altera sit altera duplo longior, easque
inter se compara. Pu.. ita faciam. Papae. video tessellam
duplo tantum longiorem esse quadruplo majorem, adeoque ad idem spatium
partimentum
duplo lougioribus tessellis sternendum sufficiet quarta pars tasse
numeri mai numerus majorum tessellarum qui non dimidia sed
quarta pars sit numeri minorum. Itaque pro 72 tessellis sufficient8
octodecim dimidiae longitudinis, quot et in ipsa figura ABCd satis
conspicuum est. Suis hoc unquam putasset. Ch. scio etiam
artifices peritos, sed Geometriae rudes is hujusmodi considlerationibus
neglectis soepe decipi. Sed hoc tibi imposterum cantionis loco sit,
documento sit, ne quid temere dicas. Pu. Video tessellam triplo
longiorem fore nunem noncuplo majorem; et quadruplo longiorem
fore sedemplo majorem. Est autem bis duo faciunt quatuor, 
quia jar
tertria nonem, et uatquater quatuor faciunt sedecim. Atque ita
porro. Ch. Recte et haec ratio est cur numeri qui facti sunt
ex aliquo numero in seis sum dicantur Quadrati. Si idem numerysterredeat, dicuntur cubid
D
ducte
1 2. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dsc generaliter q. Numerus
4 9 1625 36 49 64- X) 100 121 144 dsc generaliter a quadratus 
generaliter a cubus I
0. 1
B 27 64 175 216243, 512 719 1000 1331 1728 etc
 Ordo autem postulat ut de his dicamus, quemadmodum enim
post additionem +a +b consideravimus posse b coincidere ipsi a,
it
Pu. Quid tum? scribemus enim aa (h Et quidsi tres numeri alx
in se invicem ducendi sunt, sique atque coincidant f. Pu scribemus aaa.
cum a.
Et pro alxv. posito Al. X: x coincidere scribemus: aaaa. 
quanquam fatear id hoc modo scribere fore molestum, praesertim si
repetitio sit crebrior. Ch. recte, itaque hujus taedii evitandi causa
pro aa sinibi solet a, pro uti pro +a + a scibitur 2a
et pro +a+ata scribitur 3a, et pro +a+a +a +a scribitur 4a
at Lonti
ende exargent
potentiae
Cta et quando numerus ut 2 vel 3 vel 4 est incertus scribitur ca vel generalis, ut l
repetitionum
scribi potest generaliter la; ita eodem modo sed pa mutatis
mutandis pro aana aa scribitur a pro aa sin
pro
scribitur
aa
a2
aaa
a
itaque ha est +a +a+a sod
aaaa
nonnullos doctisimos
a
esc 2 generaliter a
etc
a est aaa. Cuseb. Memini
Algebristas paesertim, italos loco aaa scribere a3 numerum
scilicet, simpliciter literae postponendo.  CA. Sed quid si pro litera 2
on ut tufatis simul est supet
 numero 2 vel 3 ad sive exponente vel indice adhibenda sit litera, ut co:
quod ego scribo ac. ipsorum autem more scribendum esset aco
jam
lias significat mntipliationem numerorum a etco
quod tamen, aau non inciu moous est mie a scrigenda mogu
per se invicem. Euseb. Praeclare id quidem admones, sed
videtur hoc rarius contingere, ut pro exponentibus ipsis graduum
exponentibus literas adhibere opus sit. Ch. Fateor id non
algebrae,
intingere quatenus quandiu vulgari atque Geometriae insistitur
esse use cesse
Superest tauira analys sis quedum due qroa atque itadta
oreh aotunotoro
..ad a trorita
Si quater Quad rato quadrati et
quinquies surde solidi
vadeatum +
a surdisolima (5
F paiove modo 3 est
unuerus multis licum
seu coefficiens;
posteriore est
numerus dimensio,
num, seu nummo
int  vel clarius
priore modo 3
Seu in 3atune spunerus additionatm
repetitarum
(qui dicitur multiplicam
vel eoefficias) posce
riore modo seu in
tunc. 3 est numerus multiplica
tionum repetitarum seu
dimensionum, qui etiam
dicitur index vel exponens
grudes

## Folio 9v — 00067991:0018
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 86 lines, status machine
sed qua ipsum Geometriae arcanae fastigium continetur, ubi his
maxime
calculis pta unice opus est. Euseb. Rem miram narras. Ch.
circuli
verissimam tamen usque adeo ut ipsa magnitudo per hujusmodi formulas
ine aequationes exprimi possit, in quibus exponentes literis exprim literis incognitis
sunt literae incognitae. Itaque hujus unius observationis tam facilis
neglectio fecit, ut hactenus in Analysi non satis pregiessi simus.
Guseb. Quid ais
recentiorum quorunda
praesertim Lartesi opera pervenisse. Ajebat enim lactabattamen ille
nihil ultra ab humano ingenio in ea scientia praestari posse;omniaque problemata
revocari ad aequationes, quales ipsi exhibutre Ch. Futtratiu partesus
vi in his disciplinis x, sed falsi s si credilere suum ingenium
egregi
humani mensuram esse. Nisi forte ut erait acntus et glorie cupidis speravire
genus humanum xetis diu inventis  contentum fore, nec nisi forte
ipsorum
post multa secula extiturum aliquem, qui herculeas metas egressus vastum
Oceanum novasque terras monstraret. Itaque sibi glarium absolutae
matheseos satis dinturnam fore? Sed cursquadraturam circuli aliaque hujusmodi
suam inveniendi (majora problemata ad suas aequationes revocare non possunt, A debebunt enim
aut solvere aut demonstrare impossibilitatem. Majus aliquid dicam; ad
aequationes illas non nisi minorum gentium problemata reduci possunt
in quibus scilicet rectae dantur er quaerantur setsi constructio per curbas
per ficienda sit. Sad quando corvilineorum magnitudo datur autquaeritur
nullus aequationibus algebraicis hactenus receptis locus est. Et de quadra-
tura parabolaeut (exemplo facillimo utar) antequam constnctio reperta
sit dici non potest problemane planum pu silidum an sursolidum sit
neli enim ad aequationem hujusmodo revocari incognita potest. Omnes
et ita porro: posito literas a. b. c. de. etc. esse quantitates cognitas
solam y esse incognitam. Quodsi ergo omnia problemata ad tales
aequationes reduci possent, oun perfecta esset Analysis. Sed nihis
est falsius. Nam in problematibus illis  difficilioribus quae a
endenia apsi mediunture exponentem, ut a + b. aequ.o.
me transpe
in quibus cncagnita igrenitur in
tera
yila
proponam
vel a +. y + a + y + d’Cy
exemplum facie ut  intelligar. sit aquatio y + y aequ3o
quaeritur y. F ipsa e Numerus y erit 3. nam 3 +3 aequ. 30.
2
sed quid si sit a + y aequ posito a ese
datam , et y quaesitam? Quid si sint duae aequationes
quia 33 aequ. 27.
(quantitatem
duaeque incognitae (vel plures)
litere
a + b aequ ab et y + Z aequyZ
denturqaerb. quaeranturque ipsae y et Z.  ubi ante omnia opus esset modo tollendi
u
autrur aequationes receptae reducuntur ad has: a+bus aequiod vel:
na
indentia appellantur prodeunt aequationes huviusmodi
a
alterutram incognitarum, y. vel Z Enseb, scio quidem nonnullos
etiam literis usos in exponente, sed alio consitio fructuq. Itau
non mdi, si nemo adhuae Neminem, unquam memini in
0
cula
Geometria huiginodi ad hujusmodi aequationes pervenisse, itaque si usust
nobis Analyseos portam aperies. Ch. Non hos tantum sed et novas
iriet
alios plane novos habeo alculos, qui problematibus Transcendentibus
debentur. Sed de his suo loco. Nondum enim pueri animus his matum
est Nune ad puerum nunc enim pueri hujus captui consulendum est.
Charin. Nihil minus
Enseb. j
F in quo valde decepti
sunt: nam cum ipsu
telicitatem seculo
potius debeant quam sibi
cur seculum post ipsos
natos effoetum putemus
quoniam nullius certi sunt
gradus, id est nec plana
nec solida, nec sursolida
sed omnium graduum simnl
vel etiam gradus indefinit
atque incogniti.
F id est quaeritur numerus
qui in seipsum ductus secundum
seipsum, et auctus se ipso
sit hoi faciat darum uts

## Folio 10r — 00067991:0019
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 65 lines, status machine
Meministi mi puer uod ex ductu lineae in lineam fieri
superficiem, si  sciliceat linea quaelibet tota miglibet alterius
diversa ab AB
parti seu puncto applicetur, sine si BC. moveatur super ipsa Ab.
quod fieri potest non tantum angulo recto, id est utrinque aequali E. VlF
incedat; sed etiam angulo obliquo; quemadmodum supra monnimus,
potest etiam fieri ut linea aliqua sit curva. ut si AB sit arcu
circuli recta BC super ea incedendo (angulo ad planum circuli 
m st s guea ciu ad planum circuli augulo) facit supurficien
idam eut s quea circularis per rectam descendat
inter movendum. mper
cylindri. potest etiam fieri ut recta
crescat vel decreseat, ut: si De incedat per  eodem semper
angulo sed inter descendendum continue decrescat, ita ut cum ED pervenit in M
HK amisisse intelligatur partem Hi, quae sit ad EH in eaproportione
in qua est FG ad sitque residua ik ad tG partem spa rectae
percuriendae residuam KG, ut Ed ad DG. tunc spatium quod A motu
ipsius Ed pecurritur, erit triangulum EdG. ipsa enim Ed ita decrescens in iK
t porro tandem evanescet in punctum G. sdem est si contra
punctum G coescere intelligatur per Ik usque in Ed. Nossumus
etiam casus excogitare in quibus recta mota angulum durante
inmora
in eodem plano
motu mutat. Ut si super recta AB feratur recta mobilis AD
emper Ita se inclinans durante motu ut semper respiciat
punctum C velut acus magnetica polum. ut sis ex AD perveniat
in EF, et deinde in BG. erunt quidem loca ejus AD. EF. BG inter
s+ aequalia productae autem hae rectae omnes concurrent in c.
linea autem quam alterum extremum D percurrit (tantisper
a +bus +cyys aequ. 0. vel a + bys + cyy + dy aequio. vel atbus + eyyt diste equio plum extremum A incedirim recta AB.) dicitur conchoeides
seu conchiformis. Unde patet quae sensudica quomado
ductu lineae in lineam spatia varios varie oriri possint variaeque
etiam lineae rectae vel curvae haec spatia percursa terminantes.
seu quomodo autem duons Epatia ista in mensuram
resolvi et ad uns revotari, queant, ita ut dudtus ad multiplicationem
quanquam
icari
numeris sive calculo ex
revocetur suo loco erit exponendum.
A Atque ita intelliges
quo sensu dicatur ex motu lineae fieri superficiem. Modo scilicet
linea mota no locum ex toto novum acquirat, nam alioqui
fieri potest, ut linea motu non generetur nisi binea, ut si
super recta AB moveatur recta AC coincidens parti ipsia AB
atque inde perveniat in DE ,atque ita pars ipsius DE comm nempe DC
communis sit parti ipsius AC idque fiat semper, et ubiqe Motu lineae AC
nihil aliud quam linea AB describetur. Superest nunc ut
videamus quid fiat ductu lineae in superficiem
pu. Hujus
in fallor jam exemplum habuimus, ut enim ex ductu cirt anus circunferentiae
circularis AB in rectam BC facta est superficies cylindrica, vacua
ita ductu totius circuli DBA (centro D. circum ferentia AB) ductu in rectam BC
sine motu secundum rectam BC vel dE fiet ipse cylindrus plenus sive
Ch. Recte mones. Sad praestat uti rectis quia sunt simpliciores.
pu Ergo loco circuli adhibebo paralle logramnum quo supra ssi
ABC et rectam AD. Quod si ergo parallelagamimumi incedat per rectam,
fier solidum ACD, vel si omnes angulos denominare velimus si sit
parallelopammum ABCE. erit solidum DABCEFGH. quo ch. quot ergo
habet angulos seu apices. Pocto. quos in quam puncta scilicet quae nominavi
item CG. BH. denique EF. Ad. id est duodecim  Quot latera seu facies. Pu. sex
ch. quot latera seu acies  pu. Numembo: AB. BChedra
nempe tria parin aibi opposita: ABCE. DGHF, item BADH. CEFG. denique BCGH. AEFV
l
podu
 pa pitam siuie epipeta oppesita ntute praleli sie

## Folio 10v — 00067991:0020
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
(ML, C
aequidistantia sunt, hinc solidum hujusmodi dicitur parallele pipedum, quem
ad modum in parallelo grammo grammae sive lineae oppositae sunt parallelae.
quot veri hic sunt dimensiones Ad longitudo. Pr Ad tres: Ad t lorgitudo
AE latitudo. AB profunditas seu altitudo quibus tribus determinatis
etiam caetera determinantur. Ch. Haec nunc ad numeros atque ad
multiplicationem revoca, quemadmodum supra in parallelogcammo
Pu. Treuq ergo dimensionum ex quibus in se ductis factum est hoc solidum
magnitudines in numeris ad unitatem quandam seu mensuram relatis, mihi cognitas
esse oportet. Ch. sit Ad quatuor pedum. AE, duorum. AB etiam duorum.
erit A te ADFE, hodra jacens 4 set AD AE seu 42 seu 8 pedul
ABCE Rsa unum erecta
secundum latitudinem ..... AB AE seu 22 seu 4.......
longitudinem CE. EF seu AB AD seu 24 seu 8..
ABtid seu CEFG hedra erecta secondum
Ch. Sed solidum totum ACD quantum est?
PH. quemadmodum pes quadratus
vel ek
factus est ex ductu mensurae linearis in seipsum. ita credo faciendus erit
seu pedis CTR
pes solidus, ex ductu podis linearis CR. LFNMQP ex ductu pedis linearis
CP in pedem quadratum CRLT vel ex paede lincari ter in se ipsun
vel ex tribus pedibus linearibus CP. CT. CR invicem ductis
Ch. Recte: et
+ Est enim cubus parollepepedum ejusmodi quidem pes dicitur cubir us. Itaque quot ejusmodi pedes
quaeritur
cubici sint in solido nostro. PU. Erunt 164 ob tres dimensiones ADAE AB
seu ob AD ABCE
ga
4a
pedicub.
qa 2a 2a
Ped. ped. ped
Nam si pes sit a, erit pes quad. aa sea a et pescub. erit at
ped. Ped. quod.
Itaque 4a22a22a aequ. 4222 aca seu 16 a. ilem 44 4a est 44 aaa
seu  seu 16a. Idem patet ex figura Eodem modo AB ADFE dat 16a
2a
8aa
idem patet ex figura. Nam ADFE constat ex 8pedibus quadratis, qu quorum quilibe
ut GV5X ducitur in altitudinem (ABveI) CE,  duorum pedum, adeoque cuilibet edi
cubici CRLTNGP et YLVEFS MA
dratum f
figura () continet quater pede
satis mihi nunc ductum ductuum quibus pmulti intelligere
quadrato ut EVSX insistunt duo pedes,
in
es anturoA P
ita cubus lateris duorum pedum pRo idetis quomodo multiplicatio ductibus dimensionum respondeat, modo
orugnspedum
notes, eas eas varietates quas paulo ante in ductu linearum ut inde
oriantur superficies contingere notavi; multo magis in ductu trium
linearum, su se invicem, evenire posse. Neque enim ista nunc persequi
Euseb. Scis eas dimensiones quae uttra solidum assurgunt
a, a) haberi pro imaginariis, quia numeris quidem et proportionibus
non vero figuris exhiberi possunt. Hoc mihi semper mirum visum est,
naturam non posse efficere, quod nos possumus cogitare. Non tamen video quo
modo aliquid in  du in quaelibet cubi puncta duci possit, quod non jam
ante in cubum ipsum incidat, adeoque nihil nulla nova dimensio prodire
potest. Manifestum est etiam praeter longitudinem latitudinem et altitudinem
nihil novum comminisci excogitari posse, nam demonstratum est per unum
punctum non hisi tres rectas inter se perpendiculares transire posse, idem
(h. Fortasse istae dimensiones suprasolidus
assurgentes non sunt tam imaginariae quam putantur. Enseb. Scio
patet ex sectionibus sphaerae.
quidem posse duas (exempli gratia) exhiben rectas, quae sint ut a ad b2
seu ut 16 ad 8i posito a esse 2 et b esse 3. Sed ego quaero ipsam
rem quaturr dimensionibus constantem mihi exhiberi. Ch. Quid si hoc quoque
ausim. Euseb. Eris mihi magnus Apollo. Ch. ubi mentem meam intelle
imedversum, agnoscesque nondum os ute naturam
Videntur sclicet dimensiones in solo situ
quaesivisse, cum locum habeant in omni ductu rei Unius in quamlibet partem alterius
xeris, miraberis hoc aliis uris
dimensionum abiis non an
tadviristin
seu in qualibet exhibitione reali daplicationis mentalis.
Clarissimo rem exemplo
evincam, Videtur tibi folido emilibet puncto selili nihil sit applicari posse;
ego vero applicabo ei gravitatem. sint duo cubi a et b, quorum
lutera seu radices sunt a.  et b. sit t b aequ. 2a. erit b aequ. 84
sit jam unu cuborum nempe major b3 ex auro, alter minor a ex argento,, et quanqu
auqum etlacte
eparre
itaque gravitas
cuiue omnia omnes lnguli, omnia
latera, omnes facies sunt
aequales, quali utuntur
aleatores
à latere
horumocto pedus
Quomadmodum etiam quadratu
1TVX (uan 2a2a aqu. 4a
continet octies cubum OLMNFGH
uniue pedisue, seu eedem cubicum
quia 2912a2a est 8a. Et hi
octo pedes cubici omnes in figura
den to
p27 pesumcubicomigine f.
ilbus

## Folio 11r — 00067991:0021
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
itaque gravitas argenti erit etiam a nempe 1. et auri b nempe 2
cargenti gravitas specifica 
ut suctaur ejius pondust
dibeat in molem seu totum cubum a, itemque pondus b auri gravitas
specificab in totum cubum b3, erit pondus cubi argentei a, et pondus
cubi aurei b+. Euseb. Rem profecto praeclaram dixisti charine
et mirificam. Euce enim quatuor dimensiones in se invicem ductas: longitudinem,
latitudinem, profunditatem, gravitatem specificam. Unde video ethom tuntum
parallelepipeda ut ita dicam quarti gradus a te excogitari posse. video
etiam gravitate specifica ducta in lineam fieri quasi planum; et in superficiem
quasi solidum. Sed potes ne ad ultiores etiam potentias ascendere ps
Ch. possum in infinitum Exempli causa vis percussionis est ad
gravitatem, ut linea ad punctum pone grave descendere ex altus in
terram tempore constat ex hypothesi accelerationis uniformis, 
esse Md (impetum quaesitum tempore AB) ad ACE (impetum quaesitum
loto tempore AC) utAB ad LC. cumergo  ppt trianguli _E applicatae 
CE. Sd repraesentent impetus, quae eaeque applicat ae initio  evanescant in
punctum A. patet fore gravitatem ipsam per se seu impetum primum,
ad percussionem seu impetum quaesitum , ut punctum L ad rectam CE
temis
Itaque quemadmodum superficies (qu etium ad line linea altiors est una
dimensione lineam excedit, quia ad lineam est ut linea ad punctum, ita
percussio excedit gravitatem, adeoque percussio est ad gravitatem ut linea
ad superficiem; itaque uti gravitate in molem ducta fit quadrato quadratum
vel si motigi paata quarte quartus qu ita potentia
quarti gradus; ita percussione ducta in motem fit surdesolidum seu
potentia quinti gradus. Unde etiam investigatio centri percussionis una
quodammodo dimensione, excedit investigationem centri percussionis
gravitatis, quemadmodum apparet ex his qui de pendulis scripsere. Et
quoniam alia atque alia in infinitum dflgi possunt inerement  impetus
hinc nulla non potentia realiter est, quae non realiter exhibita
intelligi possit.
+atque ita habemus
guadrato- quadra
tum reale
F tempore AC
+ itaque si tisdem, ut ante
positis, cubus amens
argenteus deciderit
temporeat a et
cubus aurens tempore
ut b. erit percussio
argentei erit a et
aurei b5, quod ut
clarius oculis subjiciatur,
sit recta a latus vel radix cubi
argenter recta b latus vel
radix cubi aurei, duplo scilicet
major ipsa a. erit cubus auveus
octuplo major argenteo sit Lm
praestatan temp
sitF aumi ipse a repraesentas
e
Sint LF aequla. refrasereus gravitatim argent
vit 
aequalis i a C
pificum
celeritates; et si celeritates essent
eaedem percussiones assent ut
gravitates
seu magnitudin
pari jam scilicet existente mole sed
LG a b...
.  aure
vel CK velex vel EPoride
ut
MD aequ. a. reprasentat B
quonam hic etiam moles diversae sunt componenda
Cd aequ.b .......... .. aura
jancumque i eadem posita mole percissi
fiaut
tantundem spatii occopantem in ration
composita  gravitatum specificanum
MH. et CK. celeritatumque quaesitatu
quaesitarum MD. CE ergo percussio
aur argenti ad percussio
auri paris
spatii, erit uttrectanatu HM ad
rectanus. X CEp, seu ut  MH HD ad
CK CE, id est ut a ad b. seu
ut 1 ad 4. F Cumergo jam
percussio applicanda sit cuilibet puncto
erit ratio percussionum cum ratione molium, ae. b seulads) molis, sitque moles auri ad
 applicandam est percussio ad quamlibet partem
molis,  hc sive ducenda in molem. Ergo a in a dat a Caaa in aa dat acaa a)
et b3 in b dat B5. Et a existente 1.. et b
argenteus et aureus ille un
dum
descensu acquisitam rge
argenti auri ad aequatem partem
=quoniam si gravitates sperificae essent
eaedem percussiones du essent ut
et
a,1. et b32 (2918222
illic songitudine hic duorum aurique gravitas specifica (seu
cadens libere, in nere duplo longiori tempore haerea
itaque et conchudamus, si sit e istie  tu dustomtar inde   se si  e to se ou al areo i notit pti
libus fortion
orte

## Folio 11v — 00067991:0022
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 84 lines, status machine
3 duae partes terta
3 tres dimidiae seu 1+ 
a aequ. +b. seu C
quoddam
quam ab argenteo; sine corpus cuidam quiescensi in quod impingit
quodque motui non resissit (quale est illud quod grave quod in plano
horizontali laevigato motum accipit) trigint bis et tricies celerius
impelles et et cui totum suum mipetum communicat (id est ut
quam, facer et ar sente
impingens postea quiescat) bis et tricies celerius impelletH
Eritque percussio quinque dimensionum, orta ex longitudine latitudine
altitudine, gravitate specifica, et celeritate acquisita cubi; in se
invicem ductis Unde sine percussio Tubi unius ad percussionum
cubi alterius erit in ratione compos exrarum quinque serum
(quae in utroque in utroque rationibus in utroque. Unde etiam
intelligi potest quia a Geometris ratio, composita
appelletur. Quod vellem et puellum nostrum notare.
Du. Quanquam cum Eusebio locutus sis d Domine pleraqui
tamen eorum quae dixisti sic satis intelligere mihi videor.
in primis quod de rationum compositione dixisti. Ch. gandeo te
sit ad aliam
vntert attentum fuisse, ubi notabis etiam si duae resuna inter
ratione
ut Bs quemodundum de percussione auri agentique (pariss
KCEp
sed cum apgento spatii A sed dulo longiore longiori
s
cie
tempore, cadentis ad quanto alioqui aurum argentot gravius est, esse
tanto bugiore
quidem ad percussionem r argenti, in ratione composita gravitatum
1MdN
Cadm et temporum seu celeritatum acquisitatum seu CE adMd, sive esse H KCEP
caequ. 3a seu  3 B seu b + =
baequ. 2a. seu 2C
autem
et M H aequ. MD aiqu a. fiet ratio percussionum t in pari corporum.
magnitudine, ut bb ad b ad a. seu erunt in ratione rectarum
b et a duplicata. Et cubi seu ut rectarum quadrata
(et quidem rectanus. HM D est quo KCEP est quadratum rectae b, et
rectanus. M Dex est quadratum rectae a). quemadmodum cubi 
ex b et a sunt in triplicata rectarum rutione, b et a
 ita bd et a sunt  quadrato-
quadrata isseu in ratione quadsuplicata, A et b et a sunt
ratione, canimrectasim
surde solida rat rectarum seu in ratione quintuplicata. Sed
haec infra clarius intelliges, intempestivum enim videtur, tibi
rationes compositam aturam tradere antequam ipsius rationis
explicare
simplicis naturam intellexeris. PU. imo satis mite naturam
 percipere mihi videor quid sit ratio magnitudinis ad magni
tudinem, ut b ad a ratio est da dupla, quia b aequ. 2a. et ipsius
Ch. Sed quae est ratio
C ad a ratio est tripla, quia c est 3a.
Ch. Haec ratio dicitur etiam
go
subdupta. Quae vero ratio  a ad C.,  quia a est tertia pars
ipsius b seu a aequ.  b. hinc dicemus rationem a ad b esse subtriplam.
credo
ch. Sed quae jam est ratio C ad b. q Pu: quaeremus quantitatem
minor
hinc quaeramus aliquam tertiam ut a quae  in quam resdvi possit
tau b quam c. Jam A quidem bis repetita facit b et  et eadem
a ter repetita facit C. Ch. ita est, et ideo a dici solet communis
mensura ipsarum b et c. quoniam singulas metitur. seu repetendo efficit.
icta
Sed quomodo jam enuntiabis rationem, C ad b sine ulla mentione ipsius a
vel in aqua cui
aequilibratum est
 Habemusque adeo
Surdesolidum reale
Unde etiam notabis eos
qui de centro percussions
scripsere altius, assiugere
dedeissequam qui de
centro grabia)
 est dimidium
pars tertia
Fquanquam alio sensu
Mensuram generaliter dia
nu
per quam velut unitatem caetera
exacte sempi
et de

## Folio 12r — 00067991:0023
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
pu. Dicam C esse triplum dimidi ipsius . vel b esse
sine c esse aqu3  E vel C esse dimidium tripli ipsius b seu caequ. L 23B
nCh. hoc brevius ita scribi solet i c aequ.   seu c esse tres dimidias
ipsius a. Itaque poterimus commode dicere rationem C ad b esse tri plam subduplam vulyd vocant
Pu. Itaque quia b est dimidiu duplum tertiae partis
contra
Subduplam.
ipsius C vel tertia pars dupli ipsius C seu quia, b aequ. = C itaque
erit ratio bade dupla subtripta ipsius C. i si esset poteritae
etiam scribi B aequ. 2 et C aequ. 2 et 3baequ. 2C. Et = b aequ. LC
quae omnia infra clarius patebunt et si ratio
ola
qualis esset ignoraretur, generaliter scribi posset: B sub Cplas nemrem dlferre rationem tri
Sed quid ergo dicemus esse rationem generaliter. Pr. Quid aliud
quam modum exprimendi unam quantitatem per alteram solam
Nam ego quidem potuisti potuissem C exprimere per a, se (cuius triptum est) sed
facil
quia debebam exprimere per b, ut exhiterem rationem c ad b, conctus
sum loco a supnere partem ipsius b ipsi a aequivalentem,
nempe dimidiam b. Et dicerte t L’esse Trest dint Dias ipsius b Euse b. Re
u
putcherrime mihi locutus videtur hic puer.
Ch.F si rem ad xivum
resecemus contradici, potest. quia aliud est aequatio, aliud ratio, et tamen
dancH
in aequatie ista simplex caequZb etiam est talis modus exprimendi.
Deinde si dicas ponamus a esse aequ. 1. erit caequ ba + b aequi 2. et C aequ. 3.
ad HMDK ut CKRE ad e   MH 2MD, sed quia CKequaengub. ergo c aequib +t. Ubi vides C etiam exprimi per solum b etsi fieri
possit ut ratio C ad b ignoretur, licet sciatur excessum ejus supra b esse 1.
Responderi quidem potest ad hanc posteriorem objectionem ipsam unitatem
hic habendam etiam pro litera nempe a. adeoque c non exprimi per b
solam. sed praestat his to loqui adhuc accuratius, ac dicere, Rationem
Cad b esse numerum quo exprimeetur C, posito b esse mensuram
erit  aequ. 3 altus nempe tres dimidia. pam = aqu. 3 at E idem est quod C, seu C
seu unitatem nam si b esset noms. id es
posito b esse aequ. 1. unitus enem non dividit. Quod illustrandi tantum
causa adjicio et in tui gratiam Eusebi. Puero enim Unde apparet
etiam rationem esse rem numero homogendam, eique addi adimique posse
Alioqui enim si rationem definimus per modum vel etiam cum Euclide
per relationem vel habitudinem, non satis apparet, quomodo modus exprimendi, item
vel relatio, sit aliquid capax magnitudinis, quod augeri minui multiplicarique possit instar numen
Euseb. si 2
imo rursus aliam relationem ad aliud habere possit.
vel 2 vel similem aliquam fractionem etiam numerum appellas,
non poteris numerum definire quod sit aggregatum Unitatum. Ch.
Neque ego etiam ita definire soleo, sed numerum ajo esse rem
seu adom Unitatem et numerum esse res
quae inter se relationem habere possunt ut totum et partam vel
unitati homogeneam, sive qua a
antia vel etiam ut compartes ejusdem totius. Unde ipsa etiam unitas
potest numerus intelligi; quamvis numerus per ipsam velut primarium
a, quae aliquoties repetita Quoniam b aliquoties repetita non facit C. sed eam excedit analogatum, ut loquuntur in scholis, definiatur. Quid autem
sit unitas explicare nihil necesse arbitior. PU Hoccine
fractionem vocatis, ut L vel Z. Ch. ita est vocamus et numerum
fractum. Sed hoc tu intelligere non poteris, antequam scias quid divisio
P. An non hoc facile discere possum non utique antequam noris
quid sit subteactio. u Hans ergo quaeso peto mihi quanprimum explicatus
combinationes atque
dnfer cho put mat in peru e mte ie liem a gatiris
espoatteraq
Unde nstatiis hodie phrasi Geo.
plam a ratione triplicata. Exe
plicausa ratio c ad a est
tripsa, quia caequ. 3a sed
ratio a b ad a
est triplicata esse dicitur
rationis B ad a. difse
runt ergo ut 3a ab a
Fpropemodum, sed
+ ut lex homo-
geneorum ser vetu
idmque responderi
poterit si habeatu
baequ a ra

## Folio 12v — 00067991:0024
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 75 lines, status machine
duxeris, subtractione nommitellecta praeterita, quam omnes p
statim additioni postponere solent. CM. An Considerave multiplicationem
ut speciesi additionis; subtractionem vero ut contrarium:  Deindem
velui calculum ostendere? mum perficere sine adhibitione signi
minus semum adhibito solo plus, . ne animus varietate turbaretur
A Subtractio autem signo- indiget Esto enim quantitas
respluum,
a unde subtrahenda sit quantitas b hoc ita scribi solet
+a - b. id est a minus, b. sine a demto b. Et in numeris
3-2  id est 1. potest etiam scribi + a + b = c
sive +3+2.  vel posito + a + b aequd fiet d - c. potest etiam fieri
id est 4
+ d - c = e seu +5 -1 - 3 aequ. 1. vel + 5- 2- 3aequ. 0. Cumus
, + b = b sit aequ. 0.  Hinc + a - b + b erit aequ. a.
adeoque si mero a reddas b quod ei ademisti redibit a. U
Atque hoc est quod dicitur subtractionem esse probationem sive
Qxamen additionis, id est si numerum subtrnctum et residuum addas
redibit is a quo est subtractum. si Numerum Subtractum b, addas
numero residno + a -b. redibit is a quo est subtractum a. 
eris +3 =2 est +1. itaque 2 subtractum adde residuo 1. redibit 3
Colligemus etiam si duo a se
a quo est subtractum.
invicem subtracta nihil relinquant esse inter se aequalia,
ut + a B aequio. sequetur esse a aequab Pu. Haec
mihi facilia videntur. Ch. Imo velim mihi demonstres. Pu.
Quoniam +amb. sunt aequalia nihil, videamus quomodo in de fiat
videamus quomodo ex eo quod +a - b aequ., 0. sequatur a
a aequ. b. seu quomodo posterior, aequatio fiat ex priore. Videamus
uno latere aequationum
ergo primum quomodo ex 0. fiat b. Nempe addendo b ad 0, et
o omittendo, nam +0 + b, dut b aequ. b. Videamus etiamu
quomodo (ex + a - b fiat a. Nempe etiam addendo b ad
ab altero latere
+a - b tunc enim redire a supra ostendisti. Itaque aequalibus
+a -b et 0 addendo aequalia nempe b utrobique, fient aequalia
nempe illic a hic b. Ch. idem et alia via demon-
strare potuisses, utrobique detrahendo a, et habuissemus  B aequ. -a
met
adeoque et a aequ.
quidem intelligo quid sit a -b s
non satis intelligo quid sit = bperse, seu + 0 - b. Quomodo enim
potest
a nihilo aliquid detrahi potest possit. Ch. Hos vocant Nihilo
Minores item negatives, considerant enim signum + ad instar
affirmationis, signum - ad instar negationis. Exemplis tibi
rem declarabo, audistine unquam homines esse qui plus debent
quam habent in bonis. Pu. Nihil frequentius. P Ch. pone
hinigmodi debitoris
ergo omnia eorum bona creditaribus impendi expungendis nominibus contractis
Quid ipsi restabitE Pu. Nihil. imo minus quam nihil, dabet enim utique
discrimen esse inter cum qui tantum habet quantum debet,  et eum
qui minus habet; huic enim utique minus restare debet cum ergo illi
restet nihil, huic utique restabit minus quam nihil. Hoc quidem necessa
rium esse video, sed non satis capio. Ch. Nullum hic mysterium est
sensu est enim pone ipsum de omnibus bonis  solutioni insumtis debere
adhuc centum. Dicemus ipsum in bonis habere: -100. id est quoniam
accipere
generaliter credita,t quae ad a quaequis hubet aut habe debet; significamus
n signo +, et quae quis amittit aut amidare debot signo - si nihil
aliud habe in bonis superest quam = 100, hoc significat, te eum adhuc
centum acquirere debere, ut liber fiat, nihilque vel habeat vel debeat. Unde
ergi usu
n1Spio. incidit
d t
Fline signo minus seux
ita
F sive nihilo
+a- b 1
+a + aequ. 8+ b
t a -b aqu.
 -b. aqu 
d
+ loco Debet et credit
Mercatorum
nam 10d +10, 10

## Folio 13r — 00067991:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
u. Incidit mihi hic ludicrum inter pueros puellasque usurpatum.
quoties
Puella adolescentem, ad se accedere jubet ea conditione; ut ubi duos
i
facie ad pmellam versa,
passus antrorsum fecerit, tres faciat retrorsum; ita ille miser speraus
accedere, tandem cum omnium risu animadvertit, se longius abesse, quam dudum
Nam perinde est ac +2 =3 id est = 1. adeoque perinde est ac si singulis
vicibus unem passu faceret retrorsum. Qui vero sapit sis obedire se
passus
ab ea recener et
quidem puella ait sed contrario modo; nam dorsum ei obvertens duos antrorsum
tres retrorsum facit, ita ad eam accedit, uno p semper passu
quia +3-2 est +1. Unde patet etiam si + a - b sit aequ. + C
tunc fore = a + b aequ. = c. Omnia enim contrario modo eveniunt.
adeoque si sit aequatio aliqua, posse signa ab utraque parte mutari
Ch. pulchre quidem haec omnia notasti,
manente aequalitate.
sed et, quod passus quidem antrorsum ac retrorsum factos altinet, similia
sane
aliquando  venire in Geometria, ut lineam antrorsum ducere cogitans
a invenias denique per analysin, debere te eam in contrariam partem
recte
ducere. Mutatio quoque signorum in aequatione eregie a te comprobata est.
videamus jam quomodo hujumodi formularum, quibus signum - immixtum
est, fiat additio et subtractio. Ut si formulam seu quantitatem
+a - b debeas addere quantitali d. quid facies. PH. si deberem
posuimus
C addere ad d scriberem utique + C + d. jam quia + C aequ. + a - b
tantum loco + C scribam eiuvalorem et fiet +a - b + d. Ch. quid si
ipsi e detrahense
id est C3
formulam + a - b, debeas detrahere ipsi d. Pu. Eodem modo scribam
+ d = C. et loco -c valorem a +b adeaque fiet valorem supra
ostensum - a +b, adeoque habebitur: +d - a + b. Itaque hinc colligo
addere formulam forctae, esse eam ascribere signis
prioribus retentis, subtrahere vero esse eam ascribere signis
mutatis. Ch. Aptissime. Sed quid de multiplicatione
dicemus, et quidem ut facilioribus incipiamus sit quantitas
+a - b. multiplicanda per , 2. utque siet + ut pu. utique fiet
2a -2b. sit enim + a - b aequ. c. ut ante: erit + a aequ. + C+ b
si utrobique addas +b nam + a - b aequ. tc Ergo 2a aequ. 2C + 2b
a X aequ a cb
et utrobique anferendo 2b, fiet 24 - 2 b aequ. 2C nam +a + 24 aequ 2C + 2b
= 2b
-2b
 2a-2b aequ 2c H
Itaque si R cum ergo 2 in C det 2C ideo 2 in valorem ipsius C seu in + a - b rc
dabit valorem ipsius 2C seu dabit 24 -2b. ( itaque cum +2 in ta - b d et
2a -2b, et 12 in +a def , 2a, restat ut +2 in = b det = 2b.
adeoque et contra - b in +2 dabit 2b vel - 2 in + b dabit - 2l
Habemus ergo signa + in + facere + et + in - vel - in +,
Sed quaeritur  adhuc quid fiat,  ex  - in -. PU.
Hic haereo. Sed ecce tamen succurrit nihi modus hoc de prehendendiin
unitas enim nihil mutat in me
+2c
+C per - 1. utique fiet.  ex dictis. est autem = C aequHb -a.
ergo multiplicando a valorem ipsius +C nempe + a - b per - 1. fiet - a + b
id est  q per partes: + a in - 1 dabit = a Aitas et - b in = 1 dabit + b
Egi 8 . i a t 7 Neit ar 3. A peri e idiu sta
F(mam sive +2- 2- 1)
10
(B. quid de determina
tionibus loco aequa.
lionum
ta
+a-b
2a +b
b
2b
+e
+a - b-
1
c =a +b

## Folio 13v — 00067991:0026
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 70 lines, status machine
cum his quae supra dixeramus, additionem signa mutare,
retinere, subtractionem mutare; ita et signum + in priora
ductum ea relirquit; signum vero minus ea in contruria mutat.
nam revera nihil aliud est addere quam formulam per +1. mul-
Hiplicatam ascribere, et subtrahere est ascribere formulam per
-1. multiplicatam. _t (h. Hic modus considerandi
signa cum unitate adhaerente, nobis  suo loco usui erit in
signis illes quantitatum imaginariarum ut Va, s
qu Quod Ensebius animadvertet. Euseb. Qd in-
facstre + hoc quidam ita probant ex eo quod duae negatione, faciunt
affirmationem. His alii respondent neque id in omnibus linguis verum
esse, et subtractionem proprie non esse negationem. Ch.
Subest aliquid veri mod huic argumento, modo recte proponatur
licet enim subtractio non sit negatio, est tamen ut ita dicam causatio
negationis dum enim aliquid tibi ausero, efficio ut recte negetur tibi esse.
et licet quarundam linguarum usus aliter ferat, logice tamen verum.
est negationem negationis esse affirmationem, seu qui non est non -homo,
eum esse hominem. Itaque si tu centum debeas, ego et ego tibi
id est -100 per supsrions hoc debitum adimam, utique tibi centum donavi. Itaque - 100
ademta facient + 100. Neque aliud quicquam Atque hanc solam considera
tonem ad probationem ejus de quo agitur sufficere arbitror
nam dicere te centum debeas, idem est ac bonis tuis 100 ascribere
erent
quemadmodum supra explicuimus. Nec opus est ut probundae rei
in calculo per se consistentis causa ad Geometriam cum nonnullis
confugiamus, licet Geometriae consensus calculum illustret. Quin
imo contra arbitror Geometriam in talibus Arithmeticae sive
lineas
calculo subordinari. Sive enim rectas in se invicem ducas, sive
alias res quantitate praeditas, perinde est ac si numerum
per numerum multiplices, quia quantitas est numerus
partium. Hinc aes fere propositiones, libri secundi Elementorum
AL GB M AB aequ. ALZA + QN N+ ax2 P
A1S LPA A Y ALm ex
si recta LP secotur utcunque
tunc rectangulu sub partibus
rectangulo sub tata eadem
et tota
ita prop. 2    si recta LF aqualis ipsi AL secetur uteunque
in paltes LM. MN. AZ func rectangula  sub tota ALM. MM N. RN Y
sub tota AL A vel aequivalentibus GM. RN.) et partibus ipsius 
LT (id est ipsius AL) aequabuntur to quadrato ipsius totius LT. seu
restangulo ALT nam a a’ aqu aa aequ abt ac +ae
nam at quia ab AB est L. erit quadeatum ABG vet ut
+b+ cte
+ l +M + 2u snan
AG FG GBC 1
+ t M
+d+ 
Fe +M
M
112 +2m trum
F potum
m id est qutactatum, ADFC seu ut
compentio notari solet AF, aequatur quadatis partium dis quadrato ab AB, et FG quadratu ab. EF seu BC
et alobus rectangalis inter
se aequalibus GBC et GE.D, hub prtibus BE seu BG et B C seu GE
Ln. mu t alia recta AL, aequabilatur
seu AL P rectangul ae quale AL M, Z MNX + R N P rectingulis
Et prop. 2. sit a ab tc + e aequ. ab +
prop 4  + Min M aqu.
1G G2
BE
GEt
Euclidis non nisi Calculi corollaria sunt. Ut prop. 1. secudidlem.
a rb + c+ d aequ. ab + ac + ad
secantiElem
AB BC
n
AC

## Folio 14r — 00067991:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 86 lines, status machine
lBE BG
tant in + a aequ +4 4 (2 - 2al
e
in eadem figura producatur A Cin At compleatur rectangulam G BH  pet
eodem modo +a = l in + a - l aequ. 1+ ll - 2ac
BE - BG DF -DE.
GE seum
Epseum
+DC + CK - DAB
= BHK
GF seu mm
Adeoque quadratum sub EF (seu m) differentia rertarum FD (a) et DE(b)
aequatur summae quadratorum  id est quadrato DC (aa) sup majore super
recta majore cum quadrato CH super recta Ck (H) super recta minore
demto bis rectingulae sub major et minore, id est demto rectangulo HBGvel
BHH super majore BHaequ AC et minore HK aequ BG) Eique aequali rectangulo
DAB (super majore DA aequ. AC et minore ABaequ BG) Unde patet
ductu
multa Geometriae theoremata sine ullo linearum per solum
calculum, inveniri ac demonstrari posse. Quoniam calculus noster
non fit in numeris specialibus, sed in literis generalibus, adeoque
non tam inductionis sed demonstrationis vim habet. Sed
unum dabo exemplum prae cateris elegans. Si summa
duarum quantitatum ducatur in earum differentiam quaeritur quid
4.
in de proveniat.
Puer summa est + a + b et
differentia + a -b posito a esse majorem unde multiplicatio
orietur
talis puditur.
at
+aa +ab
+ a4 X = bb
+aa +
+aa X = bb
Unde video Hic profecto rem memorabilem video, nempe evanescere
unum membrum; nam t ac addendo: +aa dat aa, sed +aa
supra lineam dat +aa infra lineam -ab + ab supra lineam facit o id est
dat nihil seu locum vacuum infra lineam; ac denique - bb supra
lineam dat -bb infra lineam ergo ducendo + a +b in + a - b
prodit +aa - bb seu ducendo summam in differentiam prodit
differentia quadratorum Statim videbo an succedat in
numeris, quanquam sane non possit non succedere. Sit
a, 5 et b sit 3. tunc a a + b erit +5 +3 seu 8. et + a - b
erit +5-3 seu 2. ergo +a + b + a - b erit + 8C2 id est
jam + aa = bb seu +25 -9 est etiam 16. Hoc me mirisice
delectat.
Ch.  Ut major tibi exultandi causa sit
fac ut idem in lineis videamus. DU. Vidior mihi superiorem
una
altera
figuram ad huc red retinere posse. Duae sint rectae AC et AB vel CH.
erit earum summura AH (nam AC + CH aequ. AH) differentia BC snam
CA - AB est CB) vel EF velEG vel LD. Rectangulum ergo KLD
seu DL sine BC differentiae in LK seu AH summam) vi ex aminandum est
an sit aequale differentiae inter quadrata AF (ab AC qu recta majore)
et AG (ab AB recta minore) quod verum esse statim video Nam
si ab AF quadrato detrahatur AG quadralum restat LDF + CBG
i es L BF a f FK quia redara la C5 es Fne aequalia sunt. jam 
dipa
hoc contra
(ut tiat Bu equ AC 
et DE
T.
F quem stellula
notavi
A  Ch. Hic obiter
notabis hujus colloca
tionis utilitatem
quam supra dixeram
tibi in progressu
apparituram, nam
si collocasses hoc
modo:
+ a + b
+ a = b
= ab = bb
+aa + ab
non ita apparnisset
destructio, praesertim
in calculis altioribus
magisque compositis
Pu. Bene est. Ego
Interim videbo an
regula haec invenda
succedat

## Folio 14v — 00067991:0028
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 97 lines, status machine
jam LDE+ FK aequale est rectangulo K LD (partes scilicet
simul sumtae suo toti). Ergo si quadratum prajus minus abA P
delcahatur quadrato minori relinquitur rectangulum sub summa et
differentia laterum. Quod erat demonstrandum.
si
Ecce te nunc Geometram mi puer, quando quidem soleure illud
Geometrarum Epiphonema jure pronuntiasti. Enseb.
profecto miror ipse hanc metamo, pueri nostri metamorphosin
puer. Nosse velim an omnes Geometrae sciant hanc artem
inveniendi veritates litels Geometricas per casculum literatem.
Ch. Nonnulli eam ignorant, quidam etiam spernunt, quanquam
fortasse qui eam satis norint, spernere non possint. Puer
Hos ego, si essem Geometra, miris modis circum venire
vellem. Video enim facile mihi fore innumera perpulchra theo
remata, quorum veritatem, in lineis deprehendens, quod non puto
etiam
esse difficile, vellem demonstratio proponere illis demonstratio-
nem linearem multo  illis plus admirationis parituram.
Ch. Hoc factum esse etiam a veteribus noli dubitare. Sed
hodie detecta arte, a peritis haec calliditas irrideretur: quanqua
non desint modi eam. ita lucrustaridi ut vix a quoquam etiamnum
agnosci possint. Sed nos haec famae ancupia hominibus verorum
inventorum egenis relinquamus. Annotare interim placet
quaedam illustria theoremata, quae calculo inveniri facile
inveniuntur, et in sole lineis demonstrari quoque possent, ut
 + aa + ab + bb in + a - p dat + a - b sive si rect
in planum HD + H ducostectani BC habetis solidum aequale diferentiae
A
cuborum. Similiter + aa = ab + bb in +a+b dat + a + b.
imo generaliter: a 1b + abb + b2 in + aB
a + b
aa + ab + bb
a+ dab + alb + b
in +a-b out
a +a btgabbt ab + b4
a - ab + bb
a - ab + ab - a b + b4
aa - bb
Liustato dabit
a - ab + abb - ae b+ aab - ab + p 5
Tabula pro potentiis binomiis
Item sit X aequ. + a +b, erit
erit
Xx aequ a sb pi
X3 aequ 3 ab X + a
X aequ. 4 ab XX + a
-2aabb
X aequ. sab X - 5 aabb X + a
X aequ. 6 abX - 92abb XX + a,
traet
= b3
a
la +b
X aqu. 7 abX - 14 aabb. X +7 a b. x + a
X aequ. 8ab X - 20 aalib X. + 16 ab XX + a
=24
X9 aequ g abX L 17 aabbX + 30 a b x -ga b2
X aequ. 10 abX . 35aabbX + 50a b 5 -25a bX +
Et hiuc apparet continuatio in
infinitum
0
a
ab ca
+rab 24
+Calculo invenire
aa + ab + b
abb
ta
ab a aqu.
ab. X  4a a lbX +, se
2al 3X
ab. 4’ ogu abX. 5ab
Numeri cum signis
25
Fundamentum Tabulae
semper ut habeatur
potentia sequens
per X multiplicatur
praecedens, ex. gr.
quaeritur XI. Ergo
jam Laequ 3 ab t a + B3
Ergo X aequ 3abxx +a x. jam
a+ b in X seu  + b3 in +a+b
aqu a + b + ab q. et
+
per praecedentem
valorem ipsius XX est
a + b aequ x - 2ab
ergo ab a aequ ab ft2
ergo a Xaeqo a tabXx 2a
Egodendque erit colligendo
Xaequ 4abXX + at +BT
raato
45a62
4 a
X vel a+ b Binomium
X. X. esc. Potentiae Binomii

## Folio 15r — 00067991:0029
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 80 lines, status machine
Haec Tabula exhibet valores potestatum binomii +a + b seu X ope
totius X quam fieri potest compendiosissime expressos, intervenientibus
tantum rectangulo ab ejusque potentiis; et altissimis potestatibus
ipsarum partium. Usum habet tum ad calculi compendium, tum ad sectiones
angulares, nam aequationes quas Vieta invenit pro sectionibus Anguli
coincidunt cum his ipsis. Nam si a sit diameter circusi, et b De quo
suo loco, item quomodo serviat haec Tabula ad inventiones radicum
irrationalium aequationum, similium.. Quodsi Potestates voli
Exemp t causa aequatis Fundamentum Calculi hujus tabulae
ascribam, quia facile est. Scimus ex esse x aequ a Quia ex hypothesi
X aequ a + b. hinc XX aequ aa + bb +2 ab. Quaeritur jam X.
aequationem
e invenietur multiplicando  proxime praecedentem per x nam si aequalia
eodem modo tractentur manet aequalitas, itaque fiet X aequ aa X + 2ab X
Est autem aas X seu aax + bbx idem quod aa + bb a +b sine aa
bb. h
unde fit a + b3 + aab + abb sine a + bZ + ab a rb, sine a + b3+ abx
am
est ergo a a + bb x aequ. ab x + a. adeque X aequ (  (ser abX + a) + 2abX
Ergo colligendo X aequi habX + a.
Eodem modo invenieti
problema de quo magnnsqui egregins po Geometra scripserat et vnbor Atque hoc est, illud theorema, quod Algebristae plerumque in
solido per ipsam, cubi sectionem demonstrare solent nempe (
recta secta utcunque; eubum totius aequari cubis partium, cum triplo
parallele pipedo ex tota in rectangulum partium ab. Sed non aeque commode
in lineis demonstrare poterient sequentia theoremata qu pro quadrato-
quadrato X, surdesolido XS aliisque altioribus. Quae eadem methodo
invenio, exempli gratia quia Xaqo dabX + a, hinc Xo
Hoc schema ita
distincte ideo ascripsi
ut commodam
calculandi formam
tirones discant
praestat enim
omnia majora
licet in spatio
oculis subjecta
habere. Apparet
etiam quomodo
substitutiones commode
Quinque Recta Quini-Rectangulum abede. X itaporro fiant. Et locum habet
illud generale meth
artificium, quod seriem
aliquam rerum ita investigar
habet, ut praecedentia sequentibus,
inventa inveniendis serviant
Hoc enim neglecto eandem
tabulam aliter investigevi
sed calculo multo
prolixiore. Patet
etiam quomodo series
numerorum procedat in
4
infinitum,; eaque differt a numerorum Combinato volum supra inveniorum
tabula in eo tantum differt, quod inea ab unitatibus incipitur, it a vinatus
X
addatur figura pro
sectione
+lineariter
F quod tibi
per etium
in solido
vel etiam
delineatiun
ejus cConsi–
derandum.
relinquo
3ab
X aequ. 3ab XX
l aequ’subaa
a
+a +b
i
e
X aequ.
X
=raabb
+ abxx - 2aabb
b
2aabb

## Folio 15v — 00067991:0030
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
ll
In numeris
sit X aequ. a + b
5 aequ 3+2
X aequ. 3abX + a + b3
1
E
125 aequ (3. 32. 5 +27 + 8
90
Nam ut hoc obiter dicami 3abX ito explico .
ita explico 3. 3. 2.5
3. per 3 (ut numerus in aequatione literali jan repertus ab aliis
discernatur, quod suos aliquando usus habet.) a per 3.
 per 2. X per 5, Jam 3. 3. 2.5. significat hos
quatuor numeros in se continue ducendos esse, ut
enim quando multiplicatur a per b non semper scribo
a b sed potius plerumque ab; ita ut siga se significetur
multiplicari debere 3 per 2 non est necesse
scribere , 32. sed sufficit scribi 3. 2 Punctum
autem inter ponitur ut 3. 2 id est se 6 distinguatur a 32
seu triginta duobus. Quae supra cum de Multiplicatione
minutias hujusmodi
agerem annotare neglexoram maluique quemadmodum et
multa alias exemplis obiter aspergere, ita enim fadilius
praecepta intelliguntur et retinentur
Set
Nolo etiam
praeterere calculum quem paulo ante in schemate ascripsi
alia ratione pancioribus verbis nec minus accurate penagi
solis
posse quanquam tironibus non aeque clare appareat.
X aequ. a + b Ergo  aequi Z dutt XX aequ a + b + 2 ab
1(1)
X aequ. 3ab X + a +b.
Quaeritu XI.
_aequ. 3  X dabit X aequ. 3 ab Xx + a + 63 X. Rorro a + b3X
(4
aqu. a +b a +b pe a (p aqu. 1) aequ. a + b + ab + ab3
(per operationem calculi) ab + ab aqu. ab ad +bb (per oper calc.)
aa + bb aequ. XX - 2ab (per aequ. 2) Ergo ab a a + bb aequ. abX X
=2aa bb (per aequ. 8. et oper. calc.)  aequ. ab + ab3 (per 7 et 9)
 Et a + b X aequ.  ab Xx - 2a abb + a + b 2 ( per 6 et 10)
Et X aequ. 4 ab XX + a + b 2a a bb (per 4 et n). 
quod quaerebatur. Hic autem modus numerandi
aequationes ac citandi mire utilis est facit enim ut
calculus formam demonstrationis habeat, utque aliquando
relegenti non minus calculi ratio apparet quam nunc
ipsi calculanti. Cum alias fieri soleat, ut aliquando ipse
calculator multo post tempore quae egerit non intelligat;
quoniam rationes quas in mente habebat adjicere omisit.
possunt, servata eadem exactitudine, sciunt quae sine
incommodo omiti possint. Exempli causa
non possunt autem adjici compendiosius quam si per remissionem
ad catculum praecedent aequationes praecedentes, qui tamen
brevius
in calculo versati sunt multa compendiosius scribere;
enim
s
aequ. 3. 3. 2
)0 aequ. 3. 3. 2. 5

## Folio 16r — 00067991:0031
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
eundem calculum in meum usum satis clare ac distincte
X aequ a+ b Xx aequ aa + bb + 2ab
cam
X aequ  3abX + a + b. Ergo X equ. 3abXX + + a + b X aequ 3ab XX +
3abxx
a + b a + b (per aequ. 1) aequ. cd + b2+ ab aa +bb
aequ at + b + ab XX - 2ad bb (per aequ. 2)  Ergo X aequ 4 a bXX + a t6 = 2a abb
habxC+
Sed alius modias alio commodior est pro renata, quod facile
dijudicant periti. Tironibus satis esse debet aliquem habere certum
si non optimum, saltem certum.
Antequam autem hinc abeagas utile erit quoedam ex
arte Combinatoria, seu doctrina de formuilis in genere  hoc
repetere formulam ratione ingredienatium sive literarum ex
quibus formatur  aliquando esse homoeoptoton, seu similiter
cadentem, aliquando secus, Exempli causa formula haec:
X + a) + b 3abx est homoeoptotos ratione literarum
suarum omniuu, X. a. b. Nam si X ponere in locum a et contra,
formula maneret eadem. Sed formula habX + a + b homoeoptotos
est non quidem respectu omnium ingredientium, sedtantum respectu
duarum literarum a. b. ex quibus eodem modo fnati conformatur
inter se
Formulas autem absolute homoeoptotos ego solo simpliciter appellare
Formas, ut a+btc. vel a +b+C vel ab + ac + bc
Et harum formadum
vel a b + ac + ab + ac + b c + bc.
tabulam condi operae pretium est (quam et affectam habeo) ut
appareat quid ex ipsis in se invicem multiplicatis prodeat.
soleo autem eas per compendium scribere. Nempe ia significat
mihi a +b vel atb+c vel a + b+c + d et c. et aa. eodem
modo significat a +  + C etc. quotcunque tandem literae sint. et
ab significat mihi aggregatum omnium hujusmodi membrorum possibilium
ex literis quotcunque datis a. b. c. exc. et a b similiter significat
integram formam, seu aggregatum omnium membrorum possibilium
formae. Soleo interdum loco aeb ita scribere ab etiam
aec
dsc
ad aggregatum omnium similium membiorum ex datis, literis significandum
 Hino jam a ab dut ab . Ut autem gussum thecrematum
hungnodi utilitatis quae inde duci possit habeatis, exemplum dabo:
compendiosis calculandi rationibus invenio a ab esse a b + 3abc
et a2 2 ab esse ab + abc et a ab esse a b + a bc
et at ab esse ab + a bc atque ita porro. id est
ut exemplo utar ses t a si (ex. gr.) ata + bb + cc + dd
multiplicetur per ab + ac + ad + bc + bd + cd fiet
prodibit: ab +a + a b + ab + aec + a c + a d + ad + b c + bc3
+ b d + b d + Cd + cd -  a bc + a b d + a cd + abc
+ a b d + b cd + ab C + b cd + bc d + a b d’t acd + bcd quemudmodum experini
quod ego ut dixi paucis sic enuntio a ab aequ. ab + abc
seu ex, quadratis in rectangula prodeunt. Solidolineoria omnia solido linearia (ab
omni
omnibus
dinearia una cum omnibus plano bilinearibus (abe) Nam commodarum
quarum denominationam rationem legen inao soplicato
id est antequam
synthesin formu-
larum, quo quidem
per additionem sub
tractionem 
multiplicationem
et inprinis specien
Ab soluta additione
multiplicatione
subtractione et
multiplicatione
absoluta erit
synthesis formulam
quantitates (rationale
integras  has enim
solas hactenus attigim
exprimentium:
itaque antequam
hinc abeamus
potestis

## Folio 16v — 00067991:0032
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 63 lines, status machine
quidem distinctionum, et Num commoda enuntiationis causa
Membra ita enuntio:
Atque eta Quod praeter alios magnos
a a d a a in calculanda Porro haec compendiosa ccmat
in Tabula
formas exprimendi, et generalia in ipsis theoremata exhibendi ratio
praeteralios usus e magnos, etiam hunc habet, ut appareat quae
formu quibus a quibus sint divisibiles, aut si non sint, quibusnam
additis  vel decrastis tales reddi possint. Ita formula prae-
cedens ex 24 membris composita dividi potest per formulam
ad +bb + ec +dd, item per formulam ab +ac +ad +
bc + bd + cd quoniam ex his duabus in se invicem producitur
Tabulam autem ipsam vera Algebrae Combinatoria ut ita dicam Elementa
continentem mod et adimitabilibus harmoniis plenam, modumque eam
calculandi s separatim exhibebo. Est enim catera
fons autem fous omnium fere pulcherrimorum pleporumque totius Arithme
ticae et Geometriae thecrematum
Memini. Sed et
quantitates
utilissimum est problemata quoad ejus fieri potest reducere ad viteras
homoeoptotos, seu similiter se in problemale habentes eaque arte
magnum sibi Apollinem fore, qui intra trigesimum gradum deprimeret
etiam ego ad Septimum reduxi. Ita enim compendia sese ponte
prodere solent, et constructiones etiam non inelegantes fere offeruntur
Etiam co calculi errores si qui  irressunt fere apparent, rarius
enim circa plures literas similiter erratur.
Porro cir
sive Terminis
Cum autem omnes formulae constent suis membris, eaque sint vel
unius utile erit eaqu ea quoque digerere, et denominare. Et primum membra
sunt vel unius literae, ut aa vel. ut a. ad: a. vel plurium,
ut ab. ab. Et haec plurium quae plurium sunt literarum, ea membra
sunt vel Homoeoptota, vel Heteroptota. Homoeoptota ut ab. abc.
ab. Heteroptota ut ab. Licet enim formula ut ab+ ab sit homoea
ptota, potest tamen fierim potest tamen membrum ejus per se spectatum
ut ab esse heteroptoton. Denique membra vel sunt simplicia, vel
exaltata. Simplicia sunt in quibus nulla literarum, ultra simplicem
gradu dignitatem ad ullam potentiam assurgit ut a. ab. abc. abcd.
et haec voco Rectangula.  Nempe ab binectangula 
Nempe Birectangulum ab. Trirectangulum ab Quadria (seu
Seuterno
rectangulum solidum) abc. Quadrirectangulam abcd (per fictionem
scilicet quasi dimensiones lineares ultra solidum ascendere possent)
Et ad haec quidem Simplicia  caetera omnia utiliter rediguntur
utb positis enim a (seu a+b erc) X et ab (seu ab tac etc) y
et ita porro
et abc (seu ab abd etc) habebimus exempli gratiam, tunc
habebimus ex. gr. a X 3yX + 37(a +b C) seu a aequ X- 39X + 37
seu si dentur cubi quoteunque, tunc summa eorum aequalis erit cubo summae laterum demto
triplo omnium rectangulorum sub lateribus in summam laterum ductorum, addito
triplo omnium solidorum rectangulorum sub lateribus. In quo illud plane
lanorum.
mirificum est, quod mullitudo literarum theoremat endem est semper eadem
prodeunt pro quantacunque multitudine quantitatum, qualia infinita
dare cossum uti putchenriua ita hacdterus iraudita. Exaltata
Exaltata
in Tabua
a
(quotres electionem
incognitarum habemus)
 seu Rectangula
simplidite
+ solido

## Folio 17r — 00067991:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 96 lines, status machine
erbicumbamtule. s. Porro Sed post Terno quadabquadratum sequitur omsso cubo et quadrato eternolatus eundem calculum meum sic satis clare ac distincte
scripsissem hoc modo: xaequ atb xraequ. aa + bb e ab
(4)
X a _ BabX + a = B, Ergo A aaquhabXx+ aF 63X aequ.
3abxx + a + b a +b aequ. 3abxx+ a+a 1b + ab + ab
aequ. 3 abkx + a + b+ ab aaxbb aequ 3 abxx 4 a +b + ab xx - da abb (per aequ. 2)
aq 3. Ergo XY aequ. 4 abXX a 2 + b Naa bb. Sed alius
modus alio commodior est prote nata
Termini
Exaltata. Membra sunt quie ad altiores potentias assurgunt
qui ex quibus quae unius sunt literae primum explicabium hae voccri solent Grads, im dignitates
qua altra latus assugunt, potestates. Numeri ordidem designantes dicuntur Exponnces crfacte
in t notissima vulgo habentur, suntu sed apta nomina ipse ex parte sic assignavi
y praeserti
avel1 unitas. Grads nullus
(e.
a vel a Radix vel Latus vel Gradus primus.
Tabula Potestatum
a vel aa Quadratum. Potentia simpliciter. Gradussecandus item Zensus
a vi
s
3.
6. 5
2.s
cubus potestatius secunda. Gradustertius
5. 5
Quadrati quadratum seu Biquadratum item Zensi- Zensus
Surdesolidum simpliciter item surdesolidum primum
guadrati. Cubus: id est cum cubus quadratice multiplicatur, vel quadratum lubice
23.5
sive cubiquadratum, aut quadrati cubus
surdesolidum secundum vel surdebisolidum
Triguadratum, id est quadrato- quadrato -quadratum
Cubi-Cubus seu Bicubus, id est u cubus cubi
guadrate- surdesolidum. m querdesolidi quadratum vel contra
surdesolidum tertium vel surdetrisolidum
Cubi-biqu adratum
surdesolidum quartum vel surde quadrisolidum
quadrato. surdefolidum secundum surdebisolidum
A. X 22.
2.9
quadriquadratum
Quadrati- bicubus
Bisurdesolidum
Quadrati.cubi-surdesolidum
Bisurdebisolidum
5.55 Trisurdesolidum.
7. 7. 7
a
Trisurdebisolidum.
o
23
2
   id 
Haec denominatio mihi  valde commoda nec inelegans videtur.
fundamentum ejus sumtum est a numerorum exponentium (seu gradum sive
ordinem denominantium) quos etiam indices vocant; primitivis seu
generatoribus, Primitivi inprimis primitivis. primitivi numeri
a
bi-
sunt 1. 2. 3. 5. 7. 11. 13. 17. 19. 23 etc. qui scilicet non nisi per unitatem
vel seipsum dividi potest. Hi ultra culum ternarium ascendentes Et Gradus
potentiae quorum numeri sunt primitivi, et ultra cubum (id est Ternarium)
ascendunt dicuntur. surdesolidi. itaque a est surde solidus simpliciter
a surdesolidum secundum, seu surdebisolidum, quia  e7 est proximus
primitivus post 5. et a est surdetri solidum, quia I1 est tertius primitivus
Numtrorat
a quir quinario. Hino jam re Horum primitivonum potentiae, nempe
quadrata cubi Hi numeri indices potentiarum, ipsimet potentiae aliorum numerorum
esse possunt. itaque si index sit quadratus, ut 4. g.  priefigo Denominationi
potent ae Radicis praefigo Bi. Tri. Huadri Fuini erc.  Nam quia a est quadrabus. a cubus 
Hinc a eriti piquadeatus. ad dicubus. Si idex sit Calus praefigo. t, ut
c
2.3.
1
B 1 7 81
10 104, 1000.. 10000
fiant enim continua multi-
plicatione ejusdem numeri
ut 1. a est a. Et a. a est
a. et a a est a et
et a a est . dsc.
ideo sunt in continua
proportione, estq ut
1 ad a. uta a ad a
et a ad a. item
per intervalla ut 1 ad
a ta a ad a
quia intervallum idem
ibem ut 1 ad a ita
a ad a7.
e
e
o
a
2.

## Folio 17v — 00067991:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 73 lines, status machine
a erit Triquadratus. a Bricubus; quia a quadrabus, a cubus.
ita a erit Bisurdesolidum quia a seu a erit bisurde sobidum
index
potentia
quia a surdesolidum. Si numerus neque sit primitivus, neque potentia
primitivi, tunc potentia ejus denominabitur a potentis primitivorum
Gradus
u gradibus eonum numerorum pr quos denominant numeri primitivi
aut a primitivis in se ductis orti qui indicem ortum denominandum
generant, ut a dicitur Cubo biquadratum seu a cubi-
18 duobus
biquadratum, quia a est cubus, a biquadrabum; ita a variis quidem
2.9.
in 3 et 6 non est in primitivos et eorum potentias, nam sex neque est primitivs
nec potentia primitivi. Sed 2 est primitious et 9 potentia primitivi, ideo
30
2.3.5
a iseu a dicetur quadrati-bicnbus. a seu a est quadra
60
50
 est cubibiquadrati sur desolidum
+.5
2.25 est quadrati bisurdesolidum. Itaque quadrati-
et a seu a
e
un denari
st numeu qualis ille Archimedaeus
de numero arenae qua  enuntiatione brevior distinctiorqs
reperiri non potest. Alii non generatores numerorum, sed
acile
partes in denominando considerant, exempli gratia a vocant
cu Cubo. cubum, quia 6 aequ 3+3; sed praeterquam quod hoc
modo et sur de solidum a appellari posset quadrato-cubus (quia 5 aequ 2+3.)
quod tamen ab omnium consuetudine abest;  et nulla certa hoc
modo haberetur denominatio quia numerus in partes multis, in generatores
paucis tantum modis resolvi potest; non video quomodo cubum 
ipsius cubi appellare possint, so quadiatum cubi cubo cubum
vocant. Itaque ipsi vocant aa cubo cubum,, quod ego
quadrati cubum (est enim quadratum cubi, (2) a) ego vero
pen
cubi -cubum voco (3) a sine
(3(3) a Est enim cubus cubi
Habemus ergo denominationem  Graduum seu potestatum
sine terminorum unius literae; nunc ad denominationem reliquorum
Aerminorum, sive membrorum ex quibus formulae integrae rationales
constant, veniamus. Sed enmmeratio aliqua procedati oportet
E Gradus. a
ZI. aa ab ab
III a. ab abc
IV a. ab ab abc. abcd
Tabula Terminorum seu Membrorum
ex quibus formulae componuntur
sive Formarum
V. 1a. ab. ab. abc. abc. abed. abcde
asu
VI. a. ab. ab. be ab abE abcd. a bc. a b cd. abcde. abcdes
VII. a abb ab Hec verhis ita enumimus ahc. ab. abc. a bcd. abC
aC. aepcd. abcde. a bcd. a b ede. abcdef. abcd efg
Grad. H. Latus lineares
LI.
quadratum rectangulum Teubirectangulum)
HII cabus. Planlatus. Rectang plum solidum (seu tirectangulum)
1
ta
V. Surdesolidum. Biplan lineale. Solido planum. Solido birectangulum
plano- plano. lineare
a primitivo inse ducto ortus 
primntivo n
cubus quadrati
 quadnticabus 
a seu
abc ab
abc a b a bhc

## Folio 18r — 00067991:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 97 lines, status machine
commode
Hi Termini, ita verb
unum solos
simplices
c
prectamue ulum vel bircstangulur abe. Tersnio vel rectangulum solidum veltrite cangulum
Unio a. Unio ab binio  abternio abcd quatermo. abede quinio
esc
Horum potestates a. c. . be quadratum cubus dc vel etiam Bisolus trisplum. vel Bisumo; Trisumo
inic
quadrisolum. ab. a b. a312. a b dc. biternio. tritinio. quadriternio.
abc. ab. 3b3C3. Ternio biternio triternio. abcd. ab ed, ab343.
quaternio biquaternio. triquaternio. esc. prtestates reliu Termini reliqui
ex his in se invicem ductis conpotur generantur, aeb id est ab. a.
. Binunum vel Bino Pinunio Bimunio vel Binosolum. ab. id est ab. aa
vel binoquadiratum. ab id est ab a3. binocubus. aeb  ex seu aeba est
bibintu bibinolatus. a seu ab ae. bibino quadratum. ab. seu aeb a
tribinolatus ab. seu aba trubino quadratum. abcA  seu abca temolatus.
abeseu abca. ternoquadratum. ab c seu aebea biternolatus.
abC seu abca triterno quadratum. ab abc seu abc ab ternobinum
abc seu abe aeb. ternobibinum. abc seu abcaba ternobinolatus. esc
Hinc Gradus, ita enuntiabuntur
Grad. I. Latus.
II. Quadratum Birio
III. Cubus. Binolatus Ternio
ab
abc
abcd.
IV. quadraBiquadmitum. Binoquadratum. Bibinio. Ternolates Quaternio
V. Surde solidum. Binocubus; Bibino later in ternoquadratum. Ternobinum.
qua terne laterum Zuinio.
ab
b
et
I. Quadrato cubus. Bino quadrato quadratum Bibinoquadratum. Tribioio
Ternocubus. Tribinio. Ternabinolatus
vel sic potius a combinati
C
ab3
VI. Quadrati- cubus. Binoquadatio quadratum. Bibino quadratum. Tribinio
aebc
ab
abed
aebico
Ternocubus. Ternobinolatus. Biternio. Quaternoquadratum.  quaternoblaum
abc
ebcdC
des
couinolatus. Senio
a
aeb
ab3
VII. Surdebisolidum. Binosur de solidum. Bibino cubus. Tribinolatus.
asbC
abte
arbcd
Qbcde
Terno quadraliquadratum. Biternolatus. Quaternocubus quinoquadratum
abedet
abede+8
Senolatus. Septenis
Ubi inspicienti attentius apparebit ordinem prioris terminorum in 
aebrede
umoquoque gradu dispositionis nonnihil mutatum esse, exempli gratia humobinum
in sexto supra erat. ab. abC ab. etc. quia tunc in scribendo
eo semper attendebam ut priores in scribendo quoad literet altissimas potestates
servarent, ut paulatim descenderetur. Itaque habens a b sernabam a. resodo deprimentam
solum b2 in bc. Et tum demun descendebam ad Et cum b hoc modo amplius
deprimere non possem descendebam ad depressionem ipsius a. ex ab in a
servato cursum ipso, b quantum liceret altot ssed nunc quia non singale de posteat ad ab. abedd
in enuntiatione quia non singulas literas sed liferarum combinationes.
spectantur praepono terminos duarum tantum literarum  ut ab
Caeterum haec dispositio secundum
terminis trium, ut , abc.
literarum combinationes, suum etiam pulcherrimum ordinem servat
quod apparet inspiciensi exempli gratia ultimum. Incipit a termino
unius literae qui est surdebisolidum. Sequantur termini duarum literarum
qui omnes continent vocem binion incipit Binio, sequitur bibinio, et hanc
tribinio. Binio dat binosurdesolidum seu ab a. Quia bini ch index est 3
a
IV. Biquadratum. Solido lineare. planoplanum planobire fangulum Quadrire tangulu. Surdesolidi 5. jam 2 +5 aequ. 7. qui est nam index gradus. Bibinio dat bibinocubum seu a ba
quia bibinionis charader. est 2 2. 2 seu 4. cui additus 3 (ho index cubi dat 7.
Tribinio dat Tribinolatus seu abea. Nam tribinionis index est 3. 2 seu 6. lateris1.
jam 6 + 1 est 7. Unde patet etiam saltus a binosurde solido ad bibino cubum somisso
quadrato quad rato intermedio) hinc ad tribinolatus Comisso quadrato intermedio)
 sequuntur Terniones, inquibus adhac major est sultus omitturtur erim duo intermedia. Et quidem
ut primus tenminus Himiomum exdt erat binosur desolidum, ita primus Ternionum est temon quodrab quadratum vel abca t
 padie  tu abeum ui
Di quadeatum seru potes pbisubis e.  he Temoti tilinum seu abe aeb et temobinoquata
+ vel binolatus
ab
remolino g
1bC
m. temobibinum
abed, Guaterhotinalat
 quaterno binolatus
depress

## Folio 18v — 00067991:0036
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 99 lines, status machine
milibet enim potestaso simae simplisi sebstitui potunt ut biquam
a
itri p
abc
node, numeri literarum, infra eum )
nam index biternionis 2. 3 seu 6 cum indice lateris 1. facit 7. infra latu
l
autem descendi non potest, ideo nulla datur hio Tritern
Anosrdesolide
Pota
etiam a Binione simplici ad ternionem simplicem seu adBino quadra
a Dinisarde solido ad Temogudabi quadratum ad Binoenbum nullum esse saltum. sed a bibinion ad biternio
abcae
Et loco quad at dinum tne fuinodinum.
nem est saltus  nam nempe a bin bibinocubo ad biternolatus.
Post Terniones sequantur quaterniones, igitur ut prima termo erat
s
bed
Terno quadabi-quadratum, ita prima quaternio est quaterno cubus
seu a abeda sed nulla datur biquaternio, quia ut in  ternionibus
saltus est a cubo ad latus, ita in quaternionibus deberet fieri saltus
adhuc major infra latus, quod fieri nox potest. Sequitur eru
post qvaternocubum, sequitur quino-quadnatum seu abedea Hinc
abedes
snobus Senolatus seu abedeta; denique septenio. a Quoniam
abede ab. Posthaec a bedes
in septimo gradu
autem Biquaternio non datur,  ideo multo minus dabitur Biquinio
Unde patet denominationes istas ita aptas esse, ut cuncta ex
nominibus non minus quam ex numeris deducantur; et facile ordine
termini
scribi naturam, denique cujusgadimembri exacte exprimere. Hinc
formula homveoptotos b
jam si detur ab 4 ab 4 ac +ac + bc + bct. poterimus eam
appellare binot omnia tinolatora triliteralia, po levimus
ab + ab + a cF ac + ad + ad + b c+ bc + b d +bd+ Cd + cd2
eam appellabimus omnia binolatera trilitemt quadriliteralia: ponamus abesse
duos ultimos terminos cd + Cd2. dicemus omnia binolatera ab a. b. c. d. demtis
binolateris a c. d inter se. si abesset solum cd diceremus adesse omnia
binolatera ab aic didento binolatere maj Unde patet literas
a b esse homoeptotos inter se; item c. d. etiam inter seu  et
in quantum habetur homveoptosis in tantum habetur compendium
enuntiandi, et (quae is compendiis enuntiandi majcuntur) theoremata
Imo et singula ennutiari possunt, ut Cd.  vocabo binolaterum
a c. d. sed cd vocabo bitrolaterum a d. c praeposito eo quod e
altius assurgit. Ita abc dicemus Ternobino laterum ab a. b. c sivero
Quid si duae
esset a b3C diceremus terno binolaterum ab b. a. c.
bitrivenit d
termini literae sint aequales, ut abe dicemus biterno laterum ab a.bc
vel ab a. b. c quia nihil refert utrum b an c proponatur. Quod ex ipsa
natura formaet patet. Ita abed exprimemus quatemotemolaterum
naternque
quaterno terno bibinum ab a. b. c. d. nempe abcd abc ab si esset
porro
abc d3 Scriberemus quaterno ternobibinum ab a. d. c. b.
hoc modo etiam exprimi potest quomodo numeri derinativi
a suis primitivis generentur, ex. g a sg sit a,  et b, 3
et C, 5. erant tunc numerus 360 omnium optime sic exprimitur 235
sine est ternobinolaterum a primitivis 2, 3,5. Eaque est ultima et
perfectissima resolutio cujuscunque numeri, ex qua etiam apparent omnes
ejus divisores. Ita 540 est 235 seu temobinolaterum à 3, 2,5.
Caeterum praeter eundum non est easdem formas etiam eo modo
aeb
abi
enuntiari posse quo pribuntur; hoc modo nempe
Grad. 2. Latus. Grad. JI. quadratum. Birio Grad III. Tubus. Quadrato- laterum. Ternio
NV. Diquadratum. Cubelaterum. Bibinio  Quadratobinum. Quaternio
abed abide
V. Surdesolidum Biqdudratolaterum. Cubo  quadratum. Cubobinum. Bibinolaterum. Quadratotemum Quinia
VI. guadraticubus. Surde solidola terum. Biquadrato quaedratum. Diquadratobimum. ribinio cubo quad a
abca
abe
aebcd
alide abedes
tomlaterum. Cubo ternum. B Tribinio, quad Biternio. Bibino binum. Guadrato quatem Senja
Atque ita 360 et seu 235 eut cuboquadralolaterum a 2, 3,5. Nec tmbare
mis debet vox Cubo quadratum et similes, praesertim, quia praeterquam quod cubus proponitur
contra quam fit in expressione potentiarum, dicitur etiam cubo quadratum, non cubi-
quodratum squo tanen omnim id evitare velet sic loqui goterit:
Tubo autem substitui potest 
inolatesuitem ternio (quia
de quaternionibus agitur) habetur
ergua dua ternobinolatus sem duidaba
et quaternotemum abedabe
 vel extoto vel pro parte
 seu termini,
FHic malo quam quadraso.
quadratum, quod tamen alti
quam adhiberi posset
qvia
aliud quam quadrati qua.
dratum
H sic iterum
ubus
nalo quam cubo.
quanquam et sie possim
efferre, quia curdo distiaquati
a cubicubo seu Bicubo

## Folio 19r — 00067991:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 43 lines, status machine
Tu. Sed ego quaro numerum nosorum solum, hunc enim si seirem etiam
nossemnumerum hominum Cha. quomodo ergo tollemus a ut supersittan,
tum n. pu. Hoc facile possumus in locum ipsias a substituendo
ZM quod ei aquivalet, nam duplus numerus hasorum aequivalet numero
aurrum. Cha. Ergo loco aquationii fatn a qu. 600 habebimu
+Znin aequ. 60a pu. ita est. Cha. Sed quid hoc sibi veltentn
sivobis n’et adhuc semel n. Su. Hoc significat ter n. Cha quoniam
bisnita scripsimus: Z n. quomodo scribemus ten. Pu. Scribemus 3n.
Et habetimus 3naequ. 600 Cha. Habemus ita quantum valeat triplum
numeri nasorum. Sed nondum habemus quantum valcat ipse numerynason
rum. Du. Hoo jam facile videtur. Nam simplex memers najorum esttertuo
Pars tripli mimiri nasorum. sertia autem pars pexcentorum sunt duy
centa Ergo duccenti  fuere nasi, adeoque et homines ducenticha.
Quid si numerus tibi dictur non fuisset 30, negue 600. sed alius
quilibet quem generaliter vocbimus . Pu. Eodem mode calculassem
a aequ. 2n. et + atn aegu. . Ergo 2n +n aequ. 2. seu 3n aequ. .
Ergo erit magua tertiae parti
 C.9 Bn
ipsius L. Cha vides ergo hac modo calcu
tandi dum pronumeris etiam cognitis et datis literae adhibenturte
in venisse regulam generalem pro tali quaestione resolvenda quicungue
tandem hidnumerus, datus Q. Tantum errim Sumenta est tertia pars ipsius
O ea erit numerus hominum quaesitur. Vides etiam mimerum tibi
dictum debere dividi posse in tres ( partés aequales sine residuo aliogne
anepptus erit huic otituto, et statim ipse agnoscere poterie an ille qui
tibi quod homines intus essent quaerenti per numerum aurium et nasoru
respondit, te fallere voluerit. Pu. Gutelligo. nam si dixisset decem
simul aures et nasos intus esse falsum dexisset. Nisi aliquemciaut
plares aut sauciores justo nasor aurés que habere poyamys. De quo puto
non esse sermonem, neque enim ullus certus calculus fieri posi set. Cha.
Habes ergo gustum Algebrae. videsque nullam novam veritatem te a
me didicisse sed tantum novos quosdam charateres, novasque ut ita
causa in ventas
Cin ratiocinando adhibu
Nam (quod unum duo aequalia sibisine errore
substitui posse, sille duo aequalia eodem modo tractari posse
respecta quantitates, id ipse animadoertisti, quando Zn substituisti
Pro a, et quando tam ipsius 2H quam ipsius 600 tertiam partem
sumsisti. Et licet has veritates tibi non venissent inmentem nisi
admonente mo, tamen ipse statem per sine probatione terearum
au monnissemeleecc mea ad simplicem earum propositionem v
admonitionem a me factam, ens puisses agniturus certitudinem 
fuisses agniturq

## Folio 19v — 00067991:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067991/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 46 lines, status machine
Atque ad puerum reversus nostine, inquit, mi puelle, quot sint nasi hominum
in hac civitate. Puet rubore suffusus, pato te jocari, domine, neque enim numeravi
charinstaures quot hic reperiantur nosti  Puer non magis. Cha. suntne
pluresaures an potius plures nasi 2 Du. non plures tantum aures, sed et duplo
lures esse scio, pro uno enim naso geminas tibi aures ostendam
e
+
ha. vides igitur etiam circa numeres incertos quadam te certo
cognospere atque hac numerorum incertorum tractatio dicitur
Algebra. Numeris enum incertis imponuntur nomina vel
notae. Exempli causa numeru nasorum vocetur n, et numerqe
autium voctur a igitur etsi nisciamus quis sit numerus
nasorum vel autium, seimus tamen numerum aurium esse
duplum numeri nasorum sete esse a aequalem Z n et tatis
notitia dicitur aequatio. Servire autempotest hac consideratio
ad ignota quaedam invenienda. Ecce enim si tibi quarenti
quod homines sint intue respondeat aliquis. Summam aurium
et nasorum simul sumtam assungere ad triginta, poterisne
divinare quot sint homines? u. quidni. nam aures quidem
erunt viginti, nasi vero decem: Ergo et homines decem.
Cha optime Hic autem mode calculandi dicitur Algebrain
cus. vides igitur te jam quodam modo Algebraicum esse
u Vellem esse paulo magis quam me esse fentio. Nam
Si numeri fuissent majores, non ita facila devinassem
Cha. g vidni. Bonamus enim alium quemlibet numerum
loco numeri triginta fibi fuisse dictum, exempli cauia
segecentos, is numerus (ex hypothesi), est aequalis numero
aurium et numere rrasorum un unum additis. Du. sel quoy
modo hos numeros ignoros in unum addere possum. Nisi forto
vis has duas litera, a et n sibi ascribi ut supora. Chia Hoc
ipsum volo, tantum ascribatur paterea signum avditionis quod est, +.
quod et ita stabit: + a + n, vel quod eodem redit tnta,
vel etiam atn nam plerumque signum + in primo nunco seu
tormino omitti solet. Et hic modus operandi dicitur additio
Algebraica. Duid facilius? Cum ergo dictum tibi sit sumi
mam aurium 8 narium facere 600 quam inde aquationem
habebimus? Du Nempe hanc: Latn aequ. 600 prorebus
sciliet substituendo notas supra. Ma. Aecte
numerus aurium a
num. nasorum n
numeris augium
aequalis duplo num
najorum seu
a aequ. 2n
a+ n = 600
nm