# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/42701/text
# Catalogue record: 42701 — [für die Acta Eruditorum]: De vera proportione Circuli ad Quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa à Gothofredo Gvilielmo Leibnitio.
# Incipit: Proportiones Curvilineorum ad Rectilinea investigare
# Date: 1682-01
# Sender: Leibniz — Addressee: (Acta Eruditorum)
# Other printings: vgl. Acta Erud. 1682 S.41.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=42701&katnr=32247
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-859703
# Title: LBr. 636 · Mencke, O.
# Folios: Bl. 13–14 (from the shelfmark LBr 636 Bl. 13-14 (S.1-3) (=32248)): 4 pages, canvases 25–28, page ids DE-611-HS-859703:0025 to DE-611-HS-859703:0028
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-859703&page=25
# Lines: 336 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 13r — DE-611-HS-859703:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-859703/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
De Vera rat proportione circuli ad
Qu
rationalibus explimenda expressa
aGothofredo Guilielmo Leibuitio
Ia se Proportiones Curvilineorum ad Rectilinea
investigare sum Geometrae ab omni memoria sunt conati
et nunc quoque etiam post Algebram adhibitam, nondum ea res
satis in potestate est, secundum methodos quidem hactenus
blicatas. Sid  sen in t ore len
ad contemplationem adminundurum proprietatum Neque enim
haec problemata ad aequationes re vocari possunt. Et resum tumen puliherrimum
tamen manimum habent inprimis, ubi pulcherrima quaeque
quotidian
 Mechanie rationuli quod illi norunt qui exempli
un nalia si quis figuras quaerat ad purae Geometriae terminos reducenda
revocanda, quod norunt qui talia profundius inspexere, panci
quidem, sed maxime eximii Mathematicorum. Primus Hippocuatis
clius jam ante Archimedem quadravit Luautam Archimedes
quantum constat invenit quae sit ratio sphaerae ad cylindrum
ejusdem inter conum, sphaeram, et cylindrum, ejusdem
altitudinis et basis, nempe qualis est numerorum, 1. 2. 3.
ita ut cylinder sit triptus coni, sesquialter sphaerae. Que
unde sphaeram et cylindrum etiam sepulihuo suo insculpi
jussit. Idem invenit segmentum parabolicum esse
subsesquialterum rectanguli circum scripti. No Aro
seculo repertus est modus metiendi figuras curvilineas
innumerabiles, quando ordinatae sunt in ratione quali
utcunque multiplicata aut submultiplicata abscissatum
directa aut reciproca abscissarum A. Exempli gratia
si effent in AB essent numeri 1. 2. 3. 4. et BC essent
sed circuluthrit enim figura d rectanus ut
circum scriptum Bd, ut numergniationem rationis multiplicatione m
culi 
in duplicata ratione numerorum a
pimen E. ergo erit ABC figura ABCA
asc et b ppis e iu
ad rectunuet
sed circulur
tactenus revocari potuit sub hujusmodi leges; quamvis
peut tertra par
ete
issit AB ex istentibus ut numeris naturalibus
guatia quia in parabola
s ent mmis2B
et
ab omni retro memoria a Geometris exercitus. Nondum
botoia
enim inveniri potuit numeras exprimens rationem circuli A
ad quadratum circumscriptum BC quod est quadratum diametri DE
Nec ratio rcum ferentiae  ad diametrum, quae est quadrupla
rationis quai circuli ad quadratum circum seris
Archimedis quidem polysgona circulo inscribens et circumscribens,
quoniam major. est inscriptis et minor circumscriptis, modum.
exti ostendit exhibendi limites intra quos circulus cadat,
viota
sive exhibendi appropinquationes; esse scilicet rationem
circumferentiae ad diumetrum majorem quam 3 ad 1 seu quam 21 ad 7
sed minorem quam 22 ad 7. Hanc methodum alii sunt prosecuti, itolemaeus Almagestolitio 6. Metius, et
358.
8
sed maxime Ludolphus coloniensis, qui ad hibendo numeros, ut 314159. 265.1979. 323. 84b ec
recimales, ostendit esse circumferentiam ad diametrum, ut ad 100006.000.008.000.000
p sufficiant
sed hujus modi appropinquationes,  etsi in geometrra practica servit
hull uinil accuritum exhibent e in Ggeometita practia seuia dessio hinus nodi, numerorum in infinitum contimm a u reperiatur
 3. +5DB etc. ad AE
e
avid
imen
Multi quidem, ut oro curatum  Tetragonismum professi
sunt ut oronti Nc Cardinalis Cusanus, orontius Finaeus
Josephus scaliger, Thomas Gephyrander, Thomas Hobbes
sed omnes falso partim enim calculis enim Archimedis vel hodie
Ludolphi refellebantur, unde nonnulli contradicere Arctimedi
Sed quoniam ideo multos non satis percestisse quid desideretur
Sciendum est letrago nismum posse intelligi Arithmeticum,
Geometritum lplicem, per calenlum, et per constructionem linearem
adrupiice
accuratum voco Atritimetiam per constructionem accuratam fit,
ea
utrumque vel accurate pangasa
haanc voco Geomotricam; per calculum prope verum dici potest
Appro haccetur Appro pinquatio, per constructionem prope veram,
Metantum spasiaroaioneset taetia aisi puotes
ie hujusode ola 
Sy ay p3
ABC HXY
teris sint ABquad
B
alianve rectilineam figuram
sive conversionem circuli in quadratum, quae
pendet a ratione circuli ad quadratum
diametri, vel diametm ad circumferentiae
ad diametrum;

## Folio 13v — DE-611-HS-859703:0026
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-859703/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 126 lines, status machine
longissince produxit
accurto
accurata haberi potest  non tantum crculum integrum
sed et quemlibet sectorem sia
organi cujusdam motu non minus; qualis scilicet curgis anscende
sin ullo curcilineorum in recta
extensione onganita materiali
cum tamen aeque sint Geopetricae, ac vulgares
dicet algebraicae non sint, nec hoc loco exoe
mota execto ordinato, quarunda istranscontentibus
minus exacto, atque ordinato, quam quo perbola
tt sed cum ea ref novum plane aditum
ror
suvasue illas describendas, quae alioqui Mechanicet
e
seu
per Calculum, sine quadratura Alathmetica 
priascentem malytiam alculum exactum, haec rarsus dispesci potest in
com algebraicas reduci quean certi gradi
reduli queant; suas enim pui
algebraicas tamen
analyticas habent.
resmibitur
 trauscendit,
at
valorem aliquem lteratum sive
tres Analysticam, et Arithmeticam n Ana lytica fit perque ut c opos
ss  accursatum sit
a
Algebrgicum sive transcendeatem ( hoc loco) transcendentem
posterius
quem exhibere possem t quad ratum
1414.
alorem e
Arictius dicta est quae et exhibem mexime
circuli ex actum innumeris conmunibus sine rationadibus
progressione fer ter
qualehoc loco proponam.
(ne nmius fiat
valo
et putores Inveni igitur quadrato diametri existente 2
si lih intu sit   pstima etc.
Mrithmetia Eritus justo majer, 1.
. MOY, 1- 3
rec... major, 1 - 2 +
minor, 1
etc
errore existente infra
etc
Tota ergo series continet omnes appropinquatione
live valores
simul, pront enim oage continuata intelligitur, eut
error minor fractione data, ac proinde et mino data
quavis quantitate Quare exactum, exprimit circul
nutor
Et licet uno numero exprimi non possit,
nalorem.
et infinita sit, quoniam tamen una lege constat, tota
(tota satis mente percipitur. quemadmodum si Nam siqu
ehica magnitudo circulius est non est quadrato commensurabilo
non potest uno numero rationabi exprimi se necessario
alus quam 1. Nam intadiecta inea AB, quae sit p. Erit AC Z et) per seriem rationalem exprumens est, quemadmodum
casiduum (CB) hifecatdo Barebis cD Pragonalis quadratiu sectio extrema et media ratione, quam divinam vocant,
aliaque multae quantitatesirrationales. Et quidem
i Tudolphus potuisset regulam dare, qua in infi-
ib hittnitum continuaretur numeri 315197 magnitudiat
F5o circuli decimaliter exprimentes; dedisset nobis
figuratorum, seu Triangulo Harmonico (Quadlaturam Arithmetrcam exactam in integris qualis optari
posset He igitur ero exhibexni fractis
Multa hc notari possent,  elegantia circa
hanc quadraturam, sed quae nunc perse qui non vacat
unum tamen praeterire non itu otare vola terminos seriei nostrae nempe
ut experienti patebit
. 3. 2. 1. _. esse progressionis harmonicaet
Quin et per saltum.  1 est etiam est etian
series progtenssionis harmonicae; et L. 1. 1. 1 et
(post tudolphinam)
itidem series est harmonice proportionalium. Itaque
cum circulus sit 2 + = + 1 + = ec - - - 1 - 1 - 1 eC
area
quotlum
harmonicae. Et quoniam compe terminorum progressinis
harmonicae summa compendio aliquo iniri potest, hin
nu appropinquationes compendiosae, si opus illis esset,
duci possent.
Sed ista hic pro dignitate
exponi non possunt
Algebrarius e eum
genumes pro quadratura renerali
(quadratura Analytica, seu per carculum iterum in ires potest
dispesci, in qu Analyticam transcondentem Agebvaitam
et Arithmeticam Analytica hariscendensendias
qui non sunt aequationes guadus indefin
 gu. 0 et quaeratur sii res edia
qudo iedeulo dabimus suo loco. Al Algebraia
ionum communium
quae quidea
se radices aequ
genemli circuli septorisque impossibilis est
in eemeris rati Numero Deus
super est
se put
quadratura
mastare ge
ab initadi vecaesers
onatibus 9
in his parum versatus
Ne quis autem putet seriem exinfinitis Terminis
constantem, non posse aequari circulo, quo est quantitas
finita; sciendum est multarum seriem
esse quantitates finitas
 2+
 +
pinis
tinitia
etc quae facet quae non facit
varsatque residuntu D Disecando habebis D DE,
residuum (EB bijecando habebis EF +C. et ita confinuando
in infinitum nunquam egredieris terminum B
popessionis geo
Neidem in numeris Hactionibus numeri
fieri alias alibi a me ostensum est quae etiam
magnam cum nostra serie pro circulo connexionem
habent.
posteriore senem partialem
a priori subtrarendo

## Folio 14r — DE-611-HS-859703:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-859703/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
gepregios Hugonius alii dedere
optomam decit Ludolphus, Mechanismu Vieta Demonstrationes horum omnium, aliorumque malto
Constructio Geometrica, fe potest per motum queadam majoris momenti, et in praxi Trgonometrica, et
malium
omni calculo utiliffimorum, pecaliari libelto
etiam resolutia
Conseripsi quibus praxis Trigonometrica sine
Tabulis et sane instrumentis, ad quantamlibet
latetur
exactitudinem facile ephiberi pote  perfici potest
peculiari libello, exposui quam comprehensae sunt,
compluribur
quem jam a multis annis affectum habue Nunc
bi hoc id unum adiicere suffecerit, Htam
pressionem in numeris rathogalibus
non facile metiorem in num etegantiorem et
cirat
simpliciorem. Circuli expressionem in numeris
rationalibus exhibitum iri, quod et summis
Geometris visum est, quibus ista communicavi,
pulchram
quorum unus felicem plane hanc quadraturam ari timeticam
praesertim in problemate tit ingeniis exercito;
et theoremas ipsum a me inventum in
omne aevum apud Geometras memorabile futurum
Circuli aream fore: = - 2 + 1 - 1 + - - L +  -  &c. scripsit
nemsa hoc quadratum integrum demta ejus tertia parte additarus, (quia minium detsumu) quiata, demtoqueiterum (quia ninium readiecimus septuma etita porro.
lotum
quo vibento
quin et simplici saltu excerpendo, nempe+, + . + + dc. ejus serici infii ta semma
facit = seu  sed si ex hac iterum simplici saltu termminos excerpamus nempe= + + ec ejus
serici infinitae summa erit semicirculus, posito quadratum diametri esse. Quoniam
eadem opera et quatratura Hyperbolae frichmetica habetur, placet totam
oentis subjicere
ante
scheum sumtum ex numerorum sumtum ex figura tractatus mei Tetragonistia)
sit A symplotis AF. AE, sibi normalibus Hyperbolae curva descripta GCH
cujus verlex C. potentia vero Hyperbolo in scripta, sive quadratum quol
rectangulo sub ordinata quacunque Et in suam abscissam AE semper aequale
est sit ABCd. Circa hoc quadratum describatur circulus, et ponatur Hyperbola
it continuata a C usque ad H ut sit AE dupla ipsius AB tunc posito AE esse
unitaem erit AB= et ejus cquadratum ABCd erit  et circulus cujus quadatum nnsc
istam est ABCd elit e seu , erit = + = +L etc. Hyperbolae vero cujus potento
inscriptoo est idem quadratum portio CBEHC qua logarichum ratinus isius AE
ad s B (sive linar rep raescutat Tent 8 + 79+ 1o en
putchernmis regulis
distracto nonom edere
+varie quo minas colum vaecavit
tseriei a me inventae a me inventae (L L + = 8C)
toclere velit volet, is duos proximos +-= ilem +-
item += -1 X ita porro; in unum addeno habebit
seritur novam pro magnitudine circuli nempe = sid est 1--)
(id est + - =) + = (.d est . set et aqu
quairato inscripto existente et
eut Area (irculi
in sunt autem numeri 3. 35.99195. 323. c excerpti per saltum ex sene numerorum quad
is in serde brostra terminos signo affectos
i
R- X+ ~ X er
= etcr
2 + 1
ge
saltum ex serie numerorum quadratorum (4. 9. 1625 anitate minutocum, unde pit serics
1 +1 + +  + 3
R. 228, 323,360.399 &c
+2
3.8. 15. 24. 35. 48. 63. 80.99. 120. 143, 168. 195. 224. 20
ex cujus seriei numeris quartus quisque post primum noster est. Inveni autem (quod
memorabile est serici infinitae
+= +24 359867809 dc. sumniam 4

## Folio 14v — DE-611-HS-859703:0028
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-859703/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Robilisse dac Fautor enice Honoralissime
scepis
quo oleras Tuas excepit accepi to non H in plerumque ego ad sodimas
syluae Hercymiae, ubi terrenissimi princisus nei jussu quaedam curanda haber ita
tiaeoi a schedis meis sitmotus haes quid vobis mitterem quod Actis destuis commi
useu posset; tandem elegi, quod et gratum etsetonstuitro spribata es u
+
an
nagnis voris, et  ex memoria mea facile depromi posseL  sper
illud autem rogo prmum, ab vestro
spero. Deinde ut ejus plagulae quae in qua schediusma hoc meum erit, quinquagnta
insensu unser
mihius mittantur
exemplo ria chaciter in mer gratiam separatim praeto subjiciantur) quo quoum
pretium ego libenter per solvam. Additis qualernis eximplaribus integiorum
la
lactorum. Iaque Et cum schediasma meum per se fere follum impleat, facile affici pote
ut n plagula novissima per modum appendicis solum  extet; sin minus saltem
Impressor effice potest, ut in illis quinqua giuta e
meis lum exprematur
vaus
loco reliquorum vacuo relicto. Adictienda autem Et cum figuras credo aeri m primem
in
icidendas inraturi sitis tisidem exeimpla harum figurarum simul ex cpere spero.
Amplis Nobilissimum Tilelium rogo a mestentes, ejus significes nullas unqua
bleus ab eo ad me pertatas, dequo non parum quam ego jacturam agerime
Ergono eticas racodus est
hic altem delegure possum, differre conqsum matiu. Cometam eundem
vetu
punc et hunc et s qui annis abhine compluit non geminu
atio motus rectilinei satis evincit sive qu cujus projectio optica in circulo
fuisse et un
secuerit
magno est satis evincit. Et cum is circulus viam solis senisset desurss
debuit necessario nunc mane nunc vesperi spartum comparere debuit
otem nunc praecedere nunc sequi Eadem quaestid eademque responsio
da est suit cirea comelam anni in fallor 1065. Observationes crca
perum
comelam mihi ips instituere non licuit vale et fave
Y nobilissimedne
dedtime
deditissimolibe
Lcibnitio
 potuissem qunde ex memoria mittere, sed quia  aliquor
exemplis meulo compribandae essent, quam neque mihi inire vacat, neque hoc locu
2