# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/42710/text
# Catalogue record: 42710 — [Math. Unters. betr. coefficientes terminorum in potentia polygonii]
# Incipit: Coefficientes terminorum in potentia simplice polynomii sic definiuntu
# Date: 1680
# Other printings: Knobloch, Kombinatorik 2, 1976, S. 200-206, 213-216
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=42710&katnr=39667
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 137–140 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 137-140): 8 pages, canvases 273–280, page ids 00068195:0273 to 00068195:0280
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=273
# Lines: 383 recognised on 6 of 8 pages, mean confidence 0.79
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 137r — 00068195:0273
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 138v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
simplice
coefficientes terminorum in potentia polynomii sic definiuntur: sit
polygonium X = a + b + C + drete Erit X = 4. + 4ab +6 a b + 12 a bc +24 abcd. in
hac potentia, quae est quadru biquadratus ipsius X, sit terminus aebc, quaeritur ejus coefficiens 12
Is est numerus omnium en tranum tabitatum traospositionum diseentium ipsius abe, velut it alac
abc. a d. bac cab. bca. cba. abac. acab. abcadacba, baca. caba. Cum autem hic
inoliri alibi docuimus, ut pro abe sit I2 t, = 12. pro a BC sit 1.2. 3. 45. 6. 2 - 5. 6. 7 = 210
1.2.
1.2. 3. 1.231.2
loefficientes terminorum in potentia combinaoria bolynomii etiam definti possunt ex prioribus,
modo sequenti. Voco autem poientiam combinutoriam velynomi cum aebibe xep 
non solum adhibentur X pro potistomio Va +b+C ret C. sed et y pro binionibis omnibus ab tac +bet et
et Z pro ternionibus omnibus vabet abda acd + bed + ek. e BB pro sxternionibus omnibus, et ita
porro.  Eiit  atb+c+det vel a = X  et qu ∞XX- 2y  vel xx = aa + 29, et
a = X - 3Xy + 3Z. Et ita porri.  ute ritu numerus coefficiens ipsius XyZ, (ex. gr.)
in ab vel X.. Fiet ut 3 numeus dimensionum apparentum ipsus X9Z a 6 nundrum occultarum
q(nim x habet 1, y habet 2, Zhabot 3, quia Y intet ab inti vabet abC) ut 6 mimeris
permatabilitatum apparentium ipsius XyZ, (seu coefficiens ipsius abc in potentia polymmmii
X9Z est 1. 23 6 = 1
simplice) at quaesitum 12. e Itaque coeficient iimar eb pus dimenti a
signum in potentia smiplice est semper + 1. in potentia combinatoria e positu simpade t ter pus dimendi daa 
XK = aa F2ab X = a + 3a b +6abc X= a +44b +6ab + 12 abc + 24 abcd 
ains diberum. Prenius Gnia p a edi dinaeniim t
X= a +5ab+10ab+  +30 a bc +6 abcd + 120 abcde
X = a +64b+15 ab130ab ab,60abc +120abcd + 9 abC,
1c
10a
Brevint qad figuum forma qua abique d di  tstimersidou apparex ts  diff 
a = X
 p 91s 6250b 12 2000
=X- 25973Z. 1.
X=X- EKyt AX Z+ X(- 5XB. 5 y215)
asqrent
=X 4Xy+ 4X22y 242
-X - 6Xy + B XZ +9X ( - 6XB, 6 X - 27 4 6y B13
si a, b,c, et suit 1, fit, X = 12 3 456 y = D, 1, 3, 619,15 20, 0, 1, 4, 10 209 ( = 0,0pe, 1, 5,15 P= 0,0, 0, 0 110 ad vi
si ergo rudices aequationis ponantur esse Data invatioore somme curu omres
+qu YX.3 + etc. Ponendo radices es , suEt 
esse a; vel o pont C, etc. prit a = B et g a ab =  et abC = Y; L habust
ex
 X +eXC
et erit aa = lp - 29 et  = p - 3p9+ 3Y et a = p - 4 ppq. + 4pY + 29)-
porri a = p3 - Sp9+SppYF5p99- Spes - 5qY + 5F. Et ita porro
jerine
, sed ita et ponafattentum adesses 
10
a, to e di
noinvestidaletiat
ntis jam et
Assuno jam instar hypotheseos, quor raclix quaesita aequationis X, sit pelyno-
1s
m P1 4, C, ∞5, B
mium, seu X = le ex quae Lm, etc sunt quantitates itrationales, posito
oeus cuique est aepartu
 sen reliagtnone sato
porro Turpono easdem vel earum potentias conitinationessue quaslunque non dare ali
quid rationale, em, lina, Um, et nisi forte eo cisu quo omnes simul ducuntur in
se invicem. Si itaque nulla talis forma ex ipsis  (exc epta forte illa unica) dat aliqid rationale.
aqurgens
lrcditd
elic _ 129.3
1.2. 351
120. 6 - 0
rimm (parium) habit X = a
idem signum cum
38a
3125
sese
q
67
6250
ane
68)
t
628
3125
D
unt

## Folio 137v — 00068195:0274
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 138r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Htinc sequitur quod est rationales in XE) concidere, cum eo quod est rationale in B+ m  nLpS
posito x = 1+ m + utp. Et quod est rationale in XY, coincidere cum eo quod est rntiinale in  et
+ 1 lm3, et quod est rationale in X coinsidere cum ed quod aorationale in jis s
110
10
F.. l m +.. l’rer. Et quod est rationale in X, coincidere caq eo quod est rationale
15
10 10, 110c
(10
in po + lm +
m +.d mne +. lmup
1
10
20
est similiter rationat
et Ia porro, aeia Et quod est rationale in X, est eidem tum eo quod est mahlnale in C
et in p, et in 2. itaque rationalae in X est quarta pais ratibnalis in X + Z +. seu
Itaque ex hyp. quod omne rahionale in X sit in B et omne rationale in  sit in l’eutm
d
et ita porro sciturtiposito l esse rationali, d
ea
s
esse rationale, esc. segortur
110
sequitur  ipsius X rationalis esse le seu (3 haberi e Eodem modo poterit
e
haberi  Bn, et PaW, et Cms.
9
detur incenta, quod aliae nihil
Haec vera es possiat, sed n. hypatenit
lationale produrant.
Examinem Ergo poentias inferites Para Xratiocali
potentis vel conbitatons quia ee datur ralionaliter, consideremus formo
ipsaum K, B1C ut. H prindu quitem possumus habere E, _t X et = ex
p Et ita posset perviniviex hac Hypothesi ad radices aequationum. Sed
solo X
1dcd
posset et alia institu ratio inquivum 1.g.  aequatio sti gradis habet tati.
dem radiceo, larum pseris una potti possumus habere alias per aequationem qti
graons. itaque exprimamus omnes ratu radices quinti gradus ex unardata. Haec
una autem poncitur constara ex irrationalibus quinti guidus. Porro habemus
adhuc aliam modum exprimendi omnes padices, non ponendo quamvis irrationele
lorati gradis habere quatior significationes quinque. E Hic valor novus
quim quatuor radicum conferatur priori et cum debeant, diversi isti valores tandem
coincidere, saltem sublatis ircationa libus exdi ai soribus, videtur hinc haberi principium
Et simpliciter etiam hoc modo ponatur X = Ze + E +g+ Eh. jam Esp habit
quinque significatus, idemque est e raliquis. Pomuus est EC, alter es b= laeteri sunt. quinque tignificationes quatur
aequationis quae prod quarti gratus quae prodit si X- e vel X - HS= 0 dividas per X - H seu per X. VC
inveniondi.
nam probit Xt XH + XH +XH LX =d. Huius quatuor radies, sint quatur significationes, substitutbiles
prose. Et idem est de Hf, et Y9, et Eh. Ita habemus S valores ipsius X, possunt quid carinoeniri mucto plures, quia
ures sunt combinationis. ed an its ita habet eut diversae comnbinades coincidantu an veri suffiet aequivalenlia.
Res tentari meretur in his quae jam habemus. Caelerum expositis quinus valoribus ipsius X, et quidem suntis
eodem modo. Opatet summa omnum esse 0. Deinie combinations harmu Ssynficationum eet rationalem+
nempe terminum tertum Hme et summa (quod jam lum constat luamae quadrulorum ab hes signitcoibus
monalem taone quadat. o ee +1f +g+ Yr habet earquantitate rahoralem. Sane f
o s Alumitur quod rationali in _ F sit idem en ey quod rationale in  E1 sed hac iafine pheta reoperi falsum
sed  + g _ + est rationale, _ et Y  4u +-
ipsinst 23 + 5 +.. quia id fotem est intibnale.

## Folio 138r — 00068195:0275
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 137v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
si api habet pec videtur quadiatum alterius habere partem rntionalem, cum quondrationalium product
nem non videntur diversestadices debere distingoi. Quodsi erg ta qu mulbe quad jatum
aulores ipsuis X quadratum eandem continet partem rationalem. Videtur haberi pare rationalis
Conterk in  X; quae erit quinta pars valvis summa ratio alis summa (rationalis) ipsom xoser
aecundu terminais aequationis ia qua pro X, X et habetur X, X, X, et
.sed hinc videtur
everti nostra Hypolhesis p ut combinationet ex l, M, A, etc. nit deut rationale. Nire
Nisi restringamus hypothesin eo, ut niil dem rationale in ipso gradu quinto; quod vietu possible
interea tentemus quid P quales nam praestentur aequationes, primum si faciamus X = 2( +Y6) + ) (a- 16)
et has quidem jam alinade habemus solutas. Nc ita partes ipsius X, sunt radices
sardesolidae ex inis gradibus ex ipsius duarum molcum aequationis quedenticae temino seunu norec. Essi potuissemus
a +Yb = XE -5CX + SCcX = 2a
elim pddlae temnum dicundum + X X= b +m A X_ a - dB.  conf. aequationt X5 + qX + 5X = Y
ca atig-f(C. LH ~bb
radicus
 et b = Y
ZH- L
2s
arb) (2+ ibsin (a- 76)- (2a - bb) =c. fit a = 2t
St sit jant X constans ex partibus, quae suit redice se quationis crbiae quarum summa f, rectam binimes 9
l, n A
et termiones M. _ Hmp H  Bm +X = X5I Itaque (+ m + n f stu f est temimus rdus
equationis cubiae. jam lm + In + mn, dacet dare g. HHinc oportet ut lm, et In et nin sint quantitates
5
ex quibus extrari possit radix suidesolida. Itaque rodices aequationis sudetolid cubicae sic assumi debent, ut factum ex
duobus quibuscunque  sit vel quantitas rationalis sorde solida, val potins s lsi id difficil) vinomium ex quo extrahiC
possit, radix surdesolida binomia; et tria extracta binomia in unam addita debent tollere irrationalitatem
Sed haec hypothesis nondum sustat t trium partium non sufficit ad quamvis aequationem surdeso
lidam solvendam, lum opus sit a quationibus comparititis quatuor, et sint dulae sorum tres +. 3
ubi vitendum an bice sit
possiile in t  fiat quaecunque combinatio ut ln extrahibilis s desolide, quinquam si qulaqua
vel quae exhis pendent itaque opus est facere X = L + m+ nFB;
 radices ejusdem aequationis  bigordinticae videtur verum de omnbus, quod de una combinationes
cum quaevis praequabit subinlellugi possit. Eodem modo efficiendum ut quaevis ternio lnn
si
uodsi hoc facta difficilius videatur. en methodus  p anien ss
nam
sit extrahibilis, sundesolide
l
ut habeatur aequatio in qua sit
Ex valorbus _, a, , le _, tollantur  dhio V p5 po quod si se asturat
e
20
(15
et Z
optevdr
nimit alte, vp ad ponamus jam X assuigene ad p20 vel altius oportet aequationem
solum X cum suis potentis scunque, et s a).i
datam multialicare per arbitiariam. ita etiam assunet ad eundem gradum, et comparando
10
115
habebitur lundem valor ipsorum
2o seu ipsom B, ln l’nn, lnup
 12  neque enim puto ninus alte
posse. Fort utile aut adnberi ad huc aqqu. a Bm et ena e Enine, quo fucilius
Et ita habetur quaesitum via regra sine hypotheso
nicantur tolatur tollantur Tullatur u nam Z facilus tollitur; tollantor y et Z, a X nimis
. sed patem non esse, nam in talibus
eis expensis videtur dicendum redori ad Hypothesin quiud , m, n, p, nit
alte assurgat
sil tode P n et sunt supflaa, qui smnta ix. 
uod est, superfenitas temper,
producant rationate, nisi cum assurgunt ad l, mi nipi. Cittudinis tamen causa
 melhodus pura seu non hypothetica, cum altera hypothetea, comparari
meretur

## Folio 138v — 00068195:0276
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 137r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Calculemus a = X - X +X= Xgy aXyq f B P B+ XXist-
C. XB
+XZ REB- XXGZZ
suppleantur numeri ope negulae supra dictae= XyB
= Xyy B
ubi tollendo Z aq ope aequationis _, habebitur aequatio in qua assurgetur ad ye
V((
quaerata et a, ibi assurgetur ad y3, seu ad Ve sablato Z. Habemus ergo binas ae quationes sine Z
in quarum una est y, in altera y quarum ope tolli poterit y. sed ita nimis alte assurgetura Adhibeamus
10
ergo ad hic aequ ab, et a in qua itidem assuraetur ad y sublato Z; et a abC, ubi itidem assurgetur
Ad v. Denique ad hibeamus a et abSd in quibus assurgitur ad 36 et adeo ad . Et omnes
eus valaes ipsam a ab, a aebc, a abcd vel potus  ponanus l, m, a, p pro a, b cd.
0
Et quendiet ha quantibet ex his aequationibus multipli aultipliemus per fomutam ipsius. ya gy + us, et usue ad
et
p, et componamus done ut evanescat y, habebimus aequationem quae asondet ad Y X
nec otinetat nisi P, end ma Em nep, nam (10 (3, (20 posunt ese hormitolli.
1on
jem aequad
multiplicetur per X . ek. duvec ut ascendatur ad 30 grad pho comparanda priori, tomm
 et hujus comparitionis ope am sunt 25 Teminii comparandi 29 dsteni 30, et literae 25
non vdentur sufee ouaralio ad coparationem a ( ps 5 (45 5 (5m nB.. si assut
un
lap
P7
A B
+
s asturrexissemus solum ad B M d seu (5 sell ad E, seu ad Y3
debriet aequatio N multiplicari
per X+.. et ita habenus comparationes 25, et artitratus totur 20. Et haeremus in eodem incom
modo in abeau fec B multo magis cum habeamus solum tres l
1m emn.
quaso sit aequ. ad Xo p, continens sotum sil B, ln l’ma, lmrip
quid si copuemus _ B = X = Xy + 5XXZ + 5 Xgy  et t = X + qX + rXX + SX
SX
conjungau
et taciamus 15 = t fiet X. 5 +5 XXy 5X
si si fecissenus ( = l et y se. ln =- q
Z seu lun = 5Y
459y
+5C
segXx +rX +s
et β =   (549. 25)= 59: 5
0
Haberenus 13nE per meras X et cognitus net eodem modo (Emn et L m nD
et hacum g sec. quod si jam o his quatuor aeq conjungamus dataim, habentur per et pe
poterit suli x et hab et Et inqualibet habebitur B inS, absolute. sed quia in I5S, valore,
hrabetur XIC, verendum ne dum volumus tollere X, ope aeqq. X, t ne tollatur E. Bmminus
alte V ita hine non habeatur V nisi peraequationem aequalem datae
Omnibs paminatis ergo praestat rediri ad hipotlesu nistra
Aequatio 2ta gradis non habet opustris auxiliis ham tamen huius Hypothescos methadum et ipsi applicemus
sit equalio XdXtq ∞LqX +Y = 0.  X = 8 A  -24 X3= 3Y.  jam X = . Et quicquid rationala
in X nemae 3C = Y devet esse in l3 imo debrt ei aequarii fit ergo lLr. Rursius X = - 243+ ip. et quod rationa
e in X est  =ZAFZrT,. 83. jam t non debet continers rationale aisi in (b+ 2 (3∞ Emra = -eq+rr, it
jem ob B eX erit l= rr 2 d. Ergo pr V’in praecedenti aequatione substituendo valorem, fiet sed hoc non fucce
YF dit quia l  21he = 1Y. Sava si Xm X Y qNI antmplicetur per N 4X Y pet s
XXrXE
gX  9rX
1 r)
rpum
 ex  Y = (+ n qu  g = 3lm 14 = - q = 27 (3 M. m - - 9. 27
= - r - 13. fit 276 + 2r ( = q seu (6+ r(3 = 2G. seu l + r(+ =
=rra =  Sit 13 = -Lr + ( rr + 24, afiet
Y+ (2 tr + 2, 4))  et pari jure mn = (Y (. er +: 37 Ergo tandem fit
 = i C. -E. . 7) + E(. (.... 7) Hino in X3, nihit alius est rationolo quam in B, et sit P. Et videol etiam in X nbhil esse posse
3
adiviradi quam re Sed nine videtur racihare nostra hpothesis nam ba  X - 2934 3rr. Falsum ergo est quod Etia
pers ejus Qvoum X ratio nali sit in  rationale sin quod rationae in quavis potentia cadsis dem. Etm in X3 rationale 3
X 8 + gX nC
est ciptum ejus qud in X ratiorrale. uise erit tres ndices aeqontonibus cubica ex hiben X +Y-0 et getr
des dantur bei xn efict XX + Cx + CC = 0 fit X5 = (- 6 ( 14)  qeu +) 3 Cube+G). Y quod. X perationube, erit
1 C- (2S4 9 eCC 4 ob  seu in  et et in _) 293 A sed in et non crat rationale no
C d et Tuonale
at sunt nveramus Hime vetrotenido siutaei satem quam a  aud adias. terveniemus aded qud est ratibnale in no
Y. hom Erg. in X + B on est catima nist 2 XY Ergo in Z
B
jy
X
es

## Folio 139r — 00068195:0277
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 140v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
sit X = l+ m + n + p 1 etc. u= lm + ln + erc Z - Imn +et B= lmmp + et c. Et itapomo
 quae compendisse scribemus. id est omnes. l. m, n. EH. simul, U idest omnes l rum  etc.
siet l = X Et I = XX - 2y Et ( = x - 3xy + 3741 = x  - 4Xxy 14(Z + 2gy - 4(3
=X3 -5X y +5 XXZ +5Xyy - 5x(3 - 5yZ + 5)
LL2XyZ
=X- 6Xy +6~Z L 9XXyy - 6XX (3 +6X) 6yB +373-6d. Et ita porro en
u
 eit aequaie Hcecalatus casuem sprti set
Modus continuandi hic est: eb efficentes terminorum in potentia polynomii simpliciter
expressa , v. g. X a Bin +EUmm + 12 llnn + 24 lmmp. sic habentur, v. con suro forma abc, est
1.2. 3. 456.7. Ex his jam coefficientees in compinatorie expresso, seu per X, 3, Z, β, etc, seu uniones, biniones
c.n3; 1.2, 12 terniones ita habentur. Sit a v. g. forma ryz (quae in XS vel in ( occurrit) ejus coefficiens est 12
Hunc ita inveniemus ut sit ad coefficientem simplicem forma qualis xyZ. qui eet (seu transpositionem formae ) 6, ut est
numeras dimensionum verarum 6 (nam X est dimensionis 1, y dime sionis Z dimersionis 3, ad apparentem dimensioram 3.
Et sit 12 = 6. (6. 3) Signa autem sic se habent, ut quae forma paricate vel imparitate dimensionum apparentium consentit
cur ipso XC quod ina suivi ve cum dimensione ipsius xe (ubi e revera est numenis dimesionis verae quam forma habet)
habeat idem signum; sin dissentiat diversum. Hinc quia  XiZ habet dimensiones apparentes tres, sed veras 5
 nempe tot quod x et quoad paritatem vel imparitatem dissentiunt 3 et 6, Hinc ipsi xiyZ praefigitur signum
posit in aq. 16 = x -bXy + et ipsi X presigiaignum + et auto nempe Y6 et XyZ esse ab eot
aquationis latere;
porro hic calculus usum habet ad aequationum Analysin, nam ut jam a Vieta observatum est. Si
sit aequatio gradus cujuseunque vel radicum quotcunque  omnesque temmini sumantur pro affirmativrs
ressi
coefficentes termind cognito aequationis st sunt  combinatorii rndicum ejus incognatarum. Nempe termina
= X
. 
6
8
et ila
a
radicum, tertii est summa binionum ex radicibus, et ito poro de quar summa ternionum
et inem
 si
denius ultunts est sma productum padicum. Sint ergo radices ete. Termus
aequationis  ecundque tertis, quartas etc p, 4,Y, S, t, etc. Posita ermina Posito summum terminum
redditum ab solutum seu coeffociente carentem, quod fitdend 
Corficientem. Est ergo p- L  YE, Y =XE
F +GC Et I porrot t = vv VW, Et ila porro
.
D = p- 5p q. + Gppr + 5P99 - 5pN = 5CY + 5 t Ng pntus Xte, vii X tB, vel  , unt Xt, ve n tn, po sutat ese la V vela L 
a Merits cognitis. Eodem modo A =r it _ aggres ato
= = quia et formas  in parte non homoeoptotas, sed in e taua justitiae legem servantes, ut B-..
ad valorem revocare licet per solas p, q,Y, etc.
Sed quicdo quaeritur ipsa radix aequationis. Bonamus eam esse (+m etc =. Sit verb. gr
i aequatio X + gX + XX + sx + t =0, et D compet e quatuor partibus, quarum quaevis sit rav
una 
o surdetolida, nempe L, m, n, p. Quodsi possemus invenire A valorem ipsius l, et ipsius (5M, et
cogulit
lnrx
E ipsuis lmnE, et deniue ipsius lnap seu ipsius l’mnp haberemus ex cagnitis per aecquatione
snstates Eudices Surdesolue extractae forent, l, m n p.. Astino autem l, lm, lmd
e, Considero pioero  ese quantitatem rationalem, ut est ostensum. Quod si eadem sit pars rationatis it  et in, et
tentitares rationalesec
 in X, et in = opoitet partem hanc rationalem esse quintum partem valoris ipsuis X inveriti
Asumo porro, l, m, a, P dales esse irrationales surbetoluas, ut nulla earum combinatione (nisi forte cum omnesiavicem iucun
ut in lamo prodeat rationale, nisi forma prorsus assurgat ad sundesiridum, ut in L, em 10 (10 5  13 Vm 
2XZ =  et talibus. Et haec hypothesis est valde rationi consentunea, tantum eatur  assamitur suipejolidas t istas tam
E gentraliter assumtas carere pribilegio particularis alicujus extracibilitatis
ici
vestigenus
 qua s
u
 partem rationalem. Quod discemus, si unam ex istis quinque mibus, X, E, etc. a ponamus inventam et relquas
23 + = 5 dere. A itaque ut habeamus valorem ipsius l’restat ta
Lsoi
ta
Hinc habemus aequationes ut priores e (B  = p v.B = pp - 29 et V = pd epq - ZY. Et = p. App q + ApNt 249
+
10
quatuor Z, _, etc nomineraus D. Habemus ergo duas aequationes unam XE + gX + rXX + (X +t 20 alteram vero
vE290= r_ + se Ft =0, auferamus unam ex altera fiti + V + qu + rvB + SD =0 et hanerquationem dividamus per vi
YXK - S+
od mate aqoaiote al ary e ae sit ver dene it sii tae
a eta
si pati polclo Y Eiisse radicem faigam
Exhac aquate sequilia  esse veras
deu signem curusaue mutanda, foreu   vel
er on cnti 
+2
ne 

## Folio 139v — 00068195:0278
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 140r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
Ubi est enim s Y secundus ternicus hius aequations ordnate secundum B. Ego AX. = v +8, 
Hinc ergo V 1 8+ et  X et Y8 - px +a et vE ∞ X3 + q L Y et ( NLYX + 5 YVC
Hancaequationem dividamus per vx =0, a quid radies, quorum una X, setegatirsae
vx
fiet D + XV + AVVL 3Y + X =0 Hujus aequationis radices sunt v, 8, V, 2, eadem qua , =
 que +gXV tgXX
quarum comma seu  = +x et vB x rG t vi XgX+ Y,
+ Yv+rX ed dem requa erxis voro
 a X, 5x(I) L SXX (X. qu ) SX (X 12Aqu 9q) FCX (x + quXa 15) 5(XKIZ, r HEY)
Hinc patet quicquid est rationale in v, non latereta esse - 5qr, et prieterea rationale quod latet in
L.H sueasusus  X 15 5 5+5))C seu in a x cum ergo rationale in X et  (ob p = 0)
sit  quantitati rationali - 5gr + st et idem sit = rationali in xs unico una cum rationali
in B3. Et rationale in v sit rationale in AX - SqY. Fiet - 59r+ gt = rational. in X + 4(pational. 1. X ) - 59Y
Ergo sit re 5 pational. in p5) = 5t. Ergo tander rational. in XS = t. Sed rationale in X3 est = 
Nunc videamus an etiam investigare licent valorem ipsius ln. is autem habetur invento
Ergo habemstardem 15 + mSt nE + BS = F
X vel conflato et P et 1 ab datam jam l’nam qu..) l +. 2l m= t
s  Hujus aequationis radices sunt priores dennto X, nempe E, X, =, 3c. Sed litera X quae
hanc aequationem ingreditur revera est - X. Nam alioqui  posito v, in aeq.  v.. esse habere radices
priores, producitur ex V +X,  V+ E, X+X, ex. in se imvicem ductis
in Pseu

## Folio 140r — 00068195:0279
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 139v); this page is its right half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 140v — 00068195:0280
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 139r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).