# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/42724/text
# Catalogue record: 42724 — Invenire triangulum 29 X_br. 1678.
# Incipit: Ajo id problema
# Date: 1679-01-08 (78-12-29)
# Other printings: Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 7 S.120-125.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=42724&katnr=55571
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068319
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 15
# Folios: Bl. 1–5 (from the shelfmark LH 35, 4, 15 Bl. 1-5): 10 pages, canvases 1–10, page ids 00068319:0001 to 00068319:0010
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068319&page=1
# Lines: 532 recognised on 10 of 10 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068319:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
29X6. 167.
Invenire Triangulum Rectangulum
in numeris cums area sit quaoratus
Aio id problema esse imporsibile.
inter varias demonstrandi rationes hanc reperi
rucherrimam, quiatmultas alias praeclaras proplositiones
aptissimam ducit
Prop. I. Si sint duo triangula similia, et latus
A’unius fit multiplicatione lateris homologi  alterus
per aliquem numerum, (qui dictu a Mono
etiam arca illius fiet ex area hujus per ejusdem
rngu quadratum multiplicata.
Nam areae triangulorum similium
sunt inter se ut quadrata homolo
ctorum laterum, adeoque si latus sit
multiplicatione lateris homologi
per aliquem numprum; fiet quadra
tum lateris multiplicatione quadraet
lateris homologi per quadratum ejus.
dem numeri. Ac proinde, idem
est in areis Triangulorum ipsorum
Prop. TI. Si area trianguli trectanguli primitiv
in numeris integris, quadratus esse non potest; etiam
derivativi in integris, imo et trianguli rectanguli
Cujuscunqu in numeris fractis area non potest
esse quadratus.
primo Nam d Triangulum primo
tivum et derivatinum sunt similia,
ergo per prop. 1. area primitivi fit
ex dinisa areadernitivi per quadratum
numeri derivativum metientis. Ergo
si area deliitivi est quadratus, etiam quod
ea per quadratum divisa fit, nempet
area primitivi erit quadratus. quod
si impossibile ostendatur etiam arsam
dervativi quadratum non esse posse
palet
Trianguli  rectanguli in
numeris rractis latera reducan
tur ad communem denominatorem
umat
decundo

## Folio 1v — 00068319:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
munifestum est tres numeralores fore
tria latera homologa alterius trianguur
similis in integris; et arcam trianguli
n
rectanguli in fractis per quadratum
illis
communis denominatoris ductam dare
aream trianguli homologi in intigris
per prop. 1. Ergo ut ante, si hec
quae si quadratus esse non potest,
neque id, quo in quadratum ducto ipsa
producitur; nempe area triangule
in fractis, quadratus esse poterit.
Prop. TII. Si in Triangulo rectangulo
uit duo latera quaelibet
habeant communem mensuram, tertium
habebit eandem communem mensuram.
Est enim tertium nihil aliud quam latus
summae vel differentiae qvadratorum
a duobus reliquis. Jam et hypothesi
duo ista reliqua latera habent communem
mensuram, ergo et quadratoum eorum
habent communem mensuram, nempe qua,
dratum communis mensurae laterum. Ergo
quadratorum ab ipsis summam vel differen-
tiam metitur communis horum quadratirum
mensura nempe quadratum communis men-
sume laterum. Quod si ergo hoc quadra
tum summam vel differentiam illanm
metitur, etiam latus hujusmeos quadrati
scilicet communis mensura duorum reliquorum
laterum) latus summae illius vel differentiae
metatur, id est
metietur (latus Trianguli
tertium) metietur.

## Folio 2r — 00068319:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Propis si summa et differentia ecrundem
ntegeo
communem
duorum. numerorum habeant eandem mensu
aliam a bingino
ram, ipsi due nunieri habebunt eandem
communem mensuram.
Nam si summa et differentia habent communem
mensuram, otiam summa ex summa et differ
rentia, id est duplum numeri majoris habebit
eandem communem mensuram. Itemque
differentia summae et differentiae, id est duplum
numeri majoris. Iaque duplum numeri
majoris, et duplum numeri minoris ac
mensura sit proinde ipsi duo numei, eandem communem
ario
mensuram habent
In Triauocile
rectangulo
numeris integri Omnibus in supra posotis
Prep
iumiueris seueper aliquod utrumgie
 ut
latus circa rectum, quadratiis esse
non potest
in numeris
in omni triangulo rectangulo Hypotenusa
est summa duorum quadratorum, et aliquod
latus circa rectum est eorundem differentia
quemadmodum ab aliis ostensum est. Ajo
id latus circa rectum non posse esse qua
dratum Nam differentia duorum quadratorum
fit ex summa et differentia _Radicum in
se sinvicem ductis, ut notum est. Omna autam
quadatum fit ex duobus factoribus  ac proinde
haec somma et haec differentia radicum sunt
commensurabiles
rop. Duorum numerorum imparium summa
tadogu
ex ipsis
1
s
a
communis

## Folio 2v — 00068319:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
9 16
7
pus
025, 36, 4
1in
PropHII. Non danturtres quadrati
crae pogsione 1. 27.49
progressionis Aritqus
quia differentia laterum semper minus variat quam
Num sedeventur, possibile essetdantres
differentiae rdim quadratorum, nullae qutam dantm
und etaur qo diferema esset
disfepantiae mius a riaustes
quam tamen
entice aequale cum oe cam contru etiam
nge
cur
proximorum quadratorum (quorum n
continue se sunt tres numeri coitinui) diffe
rentiae crescant serie numerorum imparium
quia ergo
ninque magis a se remotorum dixelentiae
ad huc magis descant, patet propositu
se impossibile
Ill Omnibus ut supra positis
Latus impar circa rectum, et dimidium
lateris paris rra non possunt esse simul
quadrati
vel tam X
price
constat et dudum ab aliis demonstratum
est latera trianguli rectanguli in
numeris integris omnia sic posse
exprimi X-y 2Xy. X + y.
Latera circa
rectum
Hypotenusa
Ajo Xy, et Xy non posse simul esse
quadratas posito triangulum de quo
agitur essei
mitivum. Nam si Xy
est quadnatus, vel X et y nunt commensu
rabiles habebunt communem mensuram 
qud fieri hic non potest, alioqui et duo
omia trianguli latera cina aeum habebunt communem
mensuram couiro quod est contra naturam
manguli primigenii B vel Restat ergo
posterius, ut tam e quam y sint quadrati
Eodem modo si X - y seu X+y in X-y
est quadratus vel ruu et X tunc per proptn
vel X et x.y habent communem mensuram
vel sunt quadrati ambo. prius fierisnon
en
pot est si X+y et X-y, essent commensumoiles
nullam possent aliam habere communem
rect
quam V erit
quad
nisi
mensu
no
sifieripo
E)
go) txi
quatuor
lat
sui
on
s

## Folio 3r — 00068319:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
quam
res
dattr
set
p
diffe
mum
tice
situ
lium
imul
um
nisi x et y etiam commenjurabiles velimus, quod pauto aut eese
mensuram quam binarium per prop. 6.Ysed nec simo
 pro communi mer sc
geui
 habent alioqui maboessent pares, ergo
et factum ex ipsis n. y esset par cum tamen
sit impar per prop.  quippe cum alterum
lato cica rectum 2-c 54
siuu n at
prop. IX. iisdem positis, idem
non possunt esse aequales
sint xy, et  X- y aequales
sifica po sifiet 2XY 4 Xy aqu X + y1 + 2Xy.
Ergo 2X 4 Xy seu factum xe ex
2X 4 y in X erit quad ratus, joum ipsi
quod est absurdum, quia per prop..
e qu nec sunt duo factores s nec sunt
aequales, nec ambo quadrati saltem enim
Ergo itemue LYX y +ex0 aequ X
d imy en
x rit quadralus.
et
X2 - X aequ. e2. Er
duo
quadratus. Ergo CX+, et y (pelx. ya
duogelu et q
em
vel eront equales per prop.  vel erunt aequate
quod esse non potest, vel commensurabiles, quo
facto et X. et y erum commensurus biles contru
dostensa in demonstratione propositionis
praecedentis). vel enunt simul quadrati
Sed illic duos X+Y. et V itemque hic
duos X-V, et Xn
sumnia hosqualuor
imul esse quadratos impossibile est aliogo
 X-Y. X. X+y simull essent quadrati
contra prop. _. Ergo impossibile est.
py et X- Y sivi loco esse aequales
e
in
-
i
habentious.
sunt aequales per prop. 9. nec ambo.
quadrati per prop. B. Ergo factus ex ipsis
non est Aicadratus per prop. 4. ed a er
factus leviris est area trianguli Ergo
ea non est quadratus
enusa
l esse
quo
XY
vens
lud
nem
am
ergo
idrati
 
opn
sum
non
quatuo
sumoiles
nem

## Folio 3v — 00068319:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
5. 7 9
13
15 1x
rop) II. Non dantur tres quadrati
caa pr 1. 23
2a
progressionis Arithmebice
quia differentia laterum semper minus variat quam
un soderentur, possibile esseHdari res
differentiae mdium quadratorum, nullae qusam datiiu
q
aamen
pro
vel tam X
quam V erit
quadratus
pri
ornia trianguli
X - Y aego XV.
LX aequ d +Xy +
a +xulequ X42Xp+V
ago Zk ty, x aequ.  x Cal xty
eri quarcaus vel nens en tunc per propin
vel X et x.y habent communem mensuram
vel sunt quadrati ambo. prius fieris non
deu
potest si X+y et X-y, essent commensumviles
nullam possent aliam habere communem
nisi
mensu
latus
sin
in
an
ap
sim
sen
in
du
ner
Ra
non
90
en
S
late
pe.
nu
es
haber
b
sa
C
sun

## Folio 4r — 00068319:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
quam
le
ger
et
ty
op
uam
on
imviles
eu
nisi X et y etiam commenjurabiles velimus, quod pauto aut C LXp
mensuram quam binarium per prop. aYsed nem simus
 pro communi megua gerai
inun habent alioqui mabo essent pares ergo
et factum ex ipsis n. Y esset par cum tamen
sit impar per prop.  quippe cum alterum
latus cica rectum 2xy sit par suerest erp
Restat ergo posterus ut tam xdis quam x
rubo quadrati
sint commet sumbiles. Cumque supra ostenderimus
in praesenti hypothesi etiam X et y. essi
ambos quadratos, habebimus qualuor quadrati
 V. X - y. X. X + y.
sed hoc quoque impossibile est, quia ria
s
pes laberentur quadrati proqassionis
rethmeticae
X aI
 X + y
differentiam v habentes quad ratum
ud est absurdum per prop
a
Ergom
pessibile est latus par impar et dimi
orum interis paris simul esse quadratos
up trea trianguli rectanguli
simitivi in numeris integris quadratus
se non potest
in triangulo rectingulo primitivo quale dixi
duo lacera circa rectum nullam habent commu–
nem mensuram (quia sier prop. 3. tunc etiam tertius
haberet communeur mensuram eundem, atque ita
non foret triangulum primitivum) Ergo etiam latus
unum et alteriu dimidium, multo magis nullam corti–
munem mensuram habebunt. in (nam si dimi–
dium latus eA dividi potest jor divisorem seu mentictam
lateris B multo magis ipsum latus A per eum dividi
porerit) jam ex latere uno circa rectum in alterius
simidium ducto sit area Trianguli dequoasitur
Ergo area tripnguli fit ex duobus numeris, qua
nullara
tnspita paristi
habentibus.
Duo audem isti numeri non
sunt aequales per prop. 9. nec ambo.
quadrati per prop. B. Ergo factus ex ipsis
non est fladratus per prop, 4. sed
factus leviisis est area tianguli
ea non est quavratus
er
Ergo

## Folio 4v — 00068319:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ptron
prollaer.
fine peo . nulliu omnino hiangulius
siu trumeise
1) rectanguli antaquadam esse intenris vel
Je
fractis area quadratus esse potest. 
Nam Ner in intigris primitivis perepu
10. praeced. ergo nec in aliis intequa
vel fractis per prop. 2
Corollaria
. E.
invicem producere
ed numeri confinui non possunt aequari
ut
atr
sit qu
rimo: cubus latere multatus non aequatur
quadrato
seu carea triangui Rectangul in numeris et sib
Nam Xhy -Xy (non aequatur quadrato per prop menso
n aresa
sei si y aequalinnitati erit Enbus latere mltato
cundo tres numeri continui me se invicen
ductinon producunt quadratum, nam
C-1, X, X+1. produeunt X-B qui
per coroll. prim. non est quadratus
ertio differentia duorum quadrato quadrata
rum non potest esse quadratus. alioqui
salia
enim aliquando, X si et xy in se invicem
possent facere quadratum, posito scilicet tam
e quam y esse quadratos
tunc enim  foret
quadratus, ergo si X- y etiam quadratus, pro-
ductum quoque exxus in X  foret quadratus, quad
fieri non potest, quia hoc productum trianguli
rectanguli area est. E jam si 
sunt numeri quadrati, verbi gratia 
 X aequ v, et y aequ. cor. fiet loco X=
E quantitas v- cd+ quae proinde quadrato aequa
ri non potest
varto ifferentia duarum fractionum reciprocam
sibi ec ipsis reciprocarum, seu differentia
duorum numerorum qui iin se invicem ducti
aciunt unitatem; non est quadnatus, nam
Khy~ XO3 aequ X 1192 est aequatio impossibilis
olia aream trianguli aequat quadrato. Ergo aquatho
(2 y aequ. CxyZ
iimpossibilis
seu X - V aequ. Z2 est etiam
P
t
+
s
X
s
d
ket
P
ex

## Folio 5r — 00068319:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
inaequates non quadrati;
prop. LV. Duo numeri integri quorum
in se invicem ductu producitur quadratus
habent aliquam commurem mensuram
ut ab b vel ab bc
v
Jan
unde fit ab vel ab
C
Nam alte ter eam vel est multiplus
crjademduali vel non. si non;
necesse est at dum ducitur in atterum
duratu e e seum ut poducat
Nam quivis quadratus producitur ex
factoribus laterum in feuu totem
panle dictis ex quadratis factorum
lateri. Itaque i dividi potest in duos
factores non ns tribus modis, vel enim
omnia quadrato divelluntur, uno latere
hinc, altero illinc manente, et uuo illi
factores sunt aequales nempe radix; vel
nulla quadrata divelluntur, et tunc
aliqua quadrata hinc aliqua illinc
consistunt, et uterque factor est qua
dratus (v.g. a, b
quadrata divellunturs, aliqua non
divelluntur; et tunc latus ejus quod
divellitur, hinc pariter atque illinc
consistit, a d b, bc2) ac pronide
duo factores divellendo facti habent
mensuram nompunem nempe hoc
ipsum latus. Ergo  duo factores
quadrati aqalis sint inaequales
se
et non quadrati habebunt commu
nem mensuram, numerum salicet
aliquem:
rop VI Area Trianguli Rectanguli pri
mitivi in numeris integris quadratus
se
erale dixi.
in triangulo rectangulo primitive duo
0
latera circa rectum nullam habent
communem mensuram (quia per
prop. 3, tunc etiam tertium haberet
communem mensuram eandem, ac
+(u.g. abc, 
esse non potu

## Folio 5v — 00068319:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068319/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
primil
proinde triangulum ipsum non foret primi
tivum)
Ergo etiam latus unum et
alterius dimidium nt maple nullam com
s
st
munem mensuram habebunt (N si dimi
dium latus A. dividi potest per ea divisorem
seu mensuram lateris B. multo madis ipsum
A integrum per eam dividi poterit) jam ex
latere unorcirca rectum in alterius dimidi
un ducto sit area Trianguli. Ergo area
trianguli fit ex duobus numeris (imequalibus
nullam habentibos mensuram habentibuo
communem. Dite autem numeri isti, non
posunt esse ambo quadrati per prop. 5
Ergo arta trianguli se quo agitur fit
ex dubous numeritore in aequalibus non
pet prop
quadratis adeoque inde esse non c
qua non potest esse quadratus. 2. E0.
Prop. V. Omnia latera trianguli rectanguli
primitivi
in inteoris sunt numeri impares praeter
unum latus qu circa rectum, quod semper est
par (S. quidem area est integer)
primum patet omnia latera non posse esse
paris, alioqui triangutum non esset primitioum
quia communis mensura foret binarius. Nec
duo quaelibet possunt esse pares, alioqui et
tertium foret per prop. 3. Ergo si quod est par
erit unicum tantum ex tribus. Est autem semper
aliquod tag e si quidem area est
integer, quia alioqui latere uno in alteria
cirta rectum dimidum ducto non potest prodire
integer.  quid fiat cum area non est integr
non est huus loci, quaerimus emjus aream in
integris quae sit quadratus.