# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/43152/text
# Catalogue record: 43152 — Solutio problematis diu a multis quaesiti de valore redituum in plures vitas
# Incipit: Ponamus experientia constare Hypothesin, qvam [gestr.]
# Date: 1680
# Akademie-Ausgabe: AA IV,4 N. 146
# Other printings: -Parmentier, 1995, N. XIII, S. 339.366 (tlw.). -Knobloch/Schulenburg, 2000, N.III,14, S. 502-519.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=43152&katnr=K+22061
# AA IV,4: its series at Leibniz-Edition Potsdam I (non-commercial use): https://leibnizp1.bbaw.de/de/edition
# In the Akademie-Ausgabe: AA IV,4, p. 819 (PDF, Leibniz-Edition Potsdam I, CC BY-NC 4.0): https://leibniz-potsdam.bbaw.de/fileadmin/Webdateien/bilder/IV4text.pdf#page=819
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068407
# Title: Leibniz-Handschriften zur Jurisprudenz LH 2, 5, 2
# Folios: Bl. 16–17 (from the shelfmark LH 2, 5, 2 Bl. 16-17): 4 pages, canvases 31–34, page ids 00068407:0031 to 00068407:0034
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068407&page=31
# Lines: 386 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 16r — 00068407:0031
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
solutio problematis diu a multis quaesiti de valore redituum in plurs bitas
constare Hypothesin, quam
Ponamus experientia tquodAnstelodamensibus
hp
Chartis  quibus Reditus ad vitam continentur, 
ajunt, ex octaginta hominibus quotannis unum mori et octoginta annis
el apsis mortuos esse omnes inde sequentia magni momenti colligentur
primum, quot o
Fae ponamus  ex horum octoginta numero esse, et nihi in quemotis
vitae ) annum unumharedibus ma nitri unum aureum
promitti, ea lege ut omnes
aureis nunc jus hoc meum caestimar
quaeritur quot aureotu mihi dari degeant. Et quidem cum tantundem
grundo, duos sitertur
apparentiae sit ad habendum aureum unum usoctum
duos, tres vel quatuor, usque ad octaginta, id enim uod
assum ) sequitur me  accipere debere O, +2 +3 +4 +5 _t +80. sunt enim 8 casus
seu 4d in 80,+40 _. seu 40 f aureos, atque ita aes commun exhu Hypotresi, commune
vitae humanae  spatium ponendum esse 40H annorum
Sed quaeritur si octoginta hominibus attribuendi anni vitae octoginta
quot anni sint tribecendi hominibus duobus. Patet liis Duobus hominibus
ascribi posse omnes numerorum 0. 1. 2. 3. 4 etc. usque a 80 combinationes senbiniones
nempe vel eto 6 + 1 vel 0+ 2 vel 0+ 3 vel 0 + 4 erc usque ad  0+ 5D) summa A0 in 81
 vel 1+ 1 vel 1+2 vel 1+3 vel 1+ 4 etc ussue ad
vel 2+2 vel 2 +3 vel 2+4 c susque ad 2+80
vel vyt 3 vel 3 +4 etc usque ad
ad
a
vel 4 +4 etes uK
quaarum omnium combinationum, summa est qu in A
dividenda per numeromno comtunint binionum et reum
binio autem sempem esst X X+I seuhaulora al82, seu 181
ergo dididendo 108t. 8t pe 41 d1 prolibilis 20rsC
primo 1 112.
1+2+3 1t2+3+4 etc usque ad 1+ 2+ 3 erc + 80
40. 81 Triangulmes
se sequamidalis X. XFC XA2 seu 60. 5e 1. 82 ses 40. 2]. 82
Secundo 1.2 +2. 3 +. 3. 4 + 4. F + 5. 6 ete usque ad 80. 81
seu bis 1 +3 +. 6 + 10 + A3 etc usque ad 4d. 81.
Ergo summa omnium cont binatorum est anthex
membrorum seriei talis arithmeticae est puramidalis.
15 Ec usque ad 40. 81.
ter 1 +3 + 6
.. . - A0. 81 - 1 + 1. 80-
Ergo sXxaqu  S
seu  pyramidalis tuplicatus seu  3. X XFL. XH2, seu X. X+ 1. X+2
suti supra summa omnium nombiorum progressionis arthmetice
semeb assumtirum erat 2. X. X+, seu X. ∞ +1
Numerus autem X. X+ 1. X+2 divisus seu 508.81. 82
dividendus est per nunterum binionum 81 rerum additis tamen hoonqu sy nonusmis ut 1+1
paribus, t quot sunt res numerus binionum et rerum est 81. 82
addantur paes syponguae tot quot res, fit 81. 82 + 81 e id est 8142
Quo numero si dividas summam binatorum fiet 80. 81. 82 seu 40.41
id est 78+ Quod rationi consculaneum non
est subesse etorem. pi. Rumen
non synom, mas. ex. 9. in quat
 Elaue necesse
nam aeque facite  fieri potest ut datis duibus haminibus
Conp Tilio ex Casso habuator 0 Tilius +1 Cajus quam onti a a fiet
erg bis tiangularis a 4, a his pyramidalis Tiangulari, a 4 est
02, +1+1, + 2- F +3+7
+.4.   est bis triangularis a 4 seu 2. x. + +1 seu X. x +1 sc. 20 1
posito X esse 4. His addi ad huc dibiet 0+ a+3 e+ 4bip, seu
adha seut his cr2 + 3 + 4 fic ergo,  2 8 X11 seu 40. sequuntur
roneu  . 2. 3. 4 
His adde bis, 1. 1+2 1+ 2+3
et ist 211 et pusu
ed est poramidatem proximce, a
in ninet id  it tumaquratum, 
A0. St 1 +2. 79
40. 81 = 1 +3. 38
seu 40. ol. C. 4.
A aequ X. xtl.x
Esex aqu 2+ 1 xe
sex ay.
.
es

## Folio 16v — 00068407:0032
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
ponamus experientia constare, quod ex Amstelodamensium Nummulariorum
ajunt et ecriptura sacrre consentaneum
tae humeege
plates aeque fata es videtur quitu  octoginta hominibus attribuendos annos vitae 80,
quaeritu
intelligatur
anno mori ponatur unus; quot anni attribuendi
ita ut quovis
homini
sint duobus hominibus quot hius ex Nam duo homines longius vivunt
quam unus, neque enim probabile est eos simul morituros,
et tamen non duplo longius, nam nec hoc prot duos uno
victuros probabile est; a nec duos uno triplo longius. Nam
cum uni spatium vitaent annorum concesserimus non ideo
duobus de anni concedendi aut tribus 120. quomodo ergo
rem definiemus? nobis revelatum esse
facilior, fingamusque ex quatuor is hominibus quovis anno unum
pr si jam anni quos vivent aureis aestimandi
sint. Manifestum est quatuor hominibus simul dandos
esse quatuor aureos; uni soli seu quovis anno vitae
solvendus sit aureus, unus, placeatque aureum cn esse esse
annuume reditum horum qualuor simul,  patet eos non
certum enim est eo
quatur annorem i sed
anem rei
ponamus uni horum aureum ain quemvis annum
vitam hujus societatis futuram
anno secundo durante accipiatectis se
mortuus nno quarto durante 3, deque
montuus anno quiuto durante, seu quatuor annis completis
accipiare 2
accipiat 4. patet aequalem esse facilitatem accipiendi
D vel 11 vel 2 vel 3 vel 4 aurgos, adeoque 0+ 1+2 +3+
id est bi debere dividi per 4. numerum casuum aeque
facilium ideoque accipiet  4 seu 1t Si vero
constitutus sit noaur aureus in quemvis annum
vitae duorum ex his, liti et laji, ita ut quamdiu unus ex
si quidem caus sit unus ex ipsis sit ille qui vivet annos
quatuor, acceptures esse quatuor aureos, qualis cunque futurus
sit alter. sive ille initio statum, sive auno primo aut secundo
huc fertio aut quarto completo moriatur. Major autem spes est
unum ex duobus victarum esse an illum longaeviorem cadere
inter duos quam cadere inter unum; sed tamen et major
metus est eum ead ere in aequalis metus est eum casupum.
inter reliquos duos, ergo aequalis est apparentia pro habendo
illo homine, et pro non habendo, quae apparentia valet 
 4 aureos; seu 2. Rursus aqualis spes et metus est eum
qui tres annos vivet casurum inter reliquos duos electas,
quam inter duos reliquos, ergu
sint quatuor illi homines A. B. C. D. ex quibus A moriturus
sit aundo primo, B secundo, C tertio, dquarto completo durante
quoniam duo eligendi sunt, et ignoratur quis quo anno moriturus
sit aeque facile eligi potest quaevius combinationum, nempe
AB AC AD A et quidem combinationis valor sumendus est
ab eo qui inter eos dintissime victurue est
altero non computato, itaque valores erunt
numeri subscripti, qui in uneum additi
erunt 1 + 2.2 + 3. 3 seu 1+ 4 +9. sive 14 qui numerus divisus
per numerum combinationum eque facilium, sciliceta per 6.
dabit 3  seu = seu 2+ pro s valore sper duorum.
adeoque si nunc statim sitis faciendum esset pro annis vitae
duoi electorum, solvendi essent adtei h +Z
mortui intelligantur vitae constitui, utique cum a aeque facile, intelligi possit
mori anno primo, secundo tertio mortuus esse durante
agno secundo, primo, secundo, tertio, quarto e si durante
vivere
quanto; et anno primo durante mortuqi
durante anno htio mortuque
la proc
derpus est hon
dinionu
+ ita tamen ut
societas in uno
conservetur
um quadanno
Quanto apno
finiente omnes
seu uno completo
qui non eligentur

## Folio 17r — 00068407:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 117 lines, status machine
sumendae erunt Termiones ABC ABD ACD BCD
quarum valores assumti secundum eum qui in ternione diutissime
victurus est, in unum additi dabunt 2 +3+3 +4 seu 1
qui numerus divrsus per 4 numerum ternionum dat 11 seu 2+3
qui est valor spei duo trium, majoribus
si assum Eodem modo in altiono numeris procedendum
erit inci ut process progressio facilius habeatur.
incipiamus a minimo.  A primum exemplum A
debere mori, et ita quarto anno finito mortuos. esse omnes quaeritur serundum exemplum A
Tertium exemplum A B C. Avel BvelC
0+ 1+2 seu 1
quantum exomgeni
A. B. C. D Avel Bvel eveld
0+ 1+2 +3 seu
Quintum exguplum Unions A. B. C. B. C
A
Avel B
AB vel AC vel BC
+ 2 + 2 seu 3
ABva A C vel d
vel B E vul B. 
una bi
1+2. 2 33 seu 13
una SBinio indefinita
Unio indefinita 0+ 1+2+3+ 4 seu 1
Uniolindefinita e+ 1 2 H 4  seu 1
Diniones AB BE AB 4E vinio in definita
Ormones ABC ABD ABE Ternio in definita
450 E
B5 BCE4
1+ 4 +9 + 16 seu
1.2. +3.3 + b. E seu
ABCE Natermo imnefinita l. 3 +44 seu
ACDE
BcOE
Quaterniones olbet
ABC vel A Bd vel Aedvel Bed
una Ternio
indefinita:
243+313 se 
quatesmn
Quaterniones abed
ABCE ABCF
ABDE AedF
De A53
ABCdE
Quaterm
indefinita
1.3+
ABCdF Quinio inde,
ABCEF
finita
numeri natur ales ordine multiplicentuu
quatua eoli per ps amdre
Ex his confici potest regula
generalis.
sit certus hominum numen
ut 6. Qui mori debent intra
sex annos,  ita ut durant
15(3 anuo pricio primus  unus
secundo alter B, tertio tertius
C, quarto quartus d, quinto
quintus E meri sexto sextus F
mori debeat. Ponamusque
placuisse ut in quemvis vitae annum
conflituatur vel unius, vel duolum
quorundam ex his e duorum electoru
ita quamdiu alteruter ex ipsis
vivit; vel trium electorum,
vel quatuor, vel quinque
constituatur aureus unus; cum
es incertum sit, quot annos victur
n 5(5 sint electi, itaque si ponatur
pro quolibet eorum eaudem esse
apparentiam, ita invenietur quant
nunc sit hoc jus constituturum
in vilam uniue vel duorum vel
Numeri naturales
trium, Bc.
ordine sumantur inte a nulla,
nempe 0. 1. 2. 3. 4. 5. H tot
scilicet quot sunt anni vel persona
Et pro spe unius invenienda exponant
omnes, pro spe duorum invenienda omiti
tur primus dempe 0, prospe trium ino
mienda inveni omittatur primus et sem
lectoru
nempe 0 et 1.
invenienda omitta
u uno pa
homines electi Hi ex
itc porro seu
uam sunt
pr si  uni electus perrecti pe
Rianer
alitates 
dididatur
quinio
sextum
Quim
BCd
et uniones
biniones AB
Bd BE BF
0E AoE
Exemplum un A. B. C.D. E F unio indefinita 0+ 1t2 +3+ 4 +5 seu 13(2
AC Ad AE AF Bimo indefinita 1. 1+ 2. 2 +8. 3 + 4. 413 seu
Temiones ABC ABB ABE ABF Ternio indestrita 1. 2. + 3. 3 + b. 4 +  s
cdE cDF
BCDE
BcbF
BDEF
BBdEF
BCoEF
ABCdEF
Quiniones
Semrio

## Folio 17v — 00068407:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 16r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068407/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
duo aunis 2 V 1. 182. SC
freg innis 2. 12.26 + 282
quadids amuis  4. 76. 54 3. 76
si unus electus per numerum unionum rerum nem hoc loco 6
nempe per 6. si duo electi per numerum binionum sex rerum
de
per 20. et ita porron
Ut jam ad eximplum propositum redeamus sunt 80
homines quorum quili unus intelligitur mori anno primo durante
et honines  annis Y.800 .1 sanus anno secundo durante, unus anno tertro durante
1.Sx 07(et ita porro, ultimus anno octogesimo durante.
9b.a. 802) Dico unum intelligi vivere annos
pxX. d. 1.E
ob. 29: p essensint o
Sx. a 
duos lieltri vivere annos:
tres intelligivivere annos
Sx x e 20
O.1 + 1. 1. +2. 1 + 3. 1 8C + 78. 1779.1
18
1. 1 + 2. 2 + 3.3 etc + 7879 + 79. 79
 9 80.79
21 1 33416 en + 79.
2. 2+ + 3. 32 + 4. 47 8c + 78. 38.77 +79. 29 78
N s, un git aequ. SN , esua cBO. 81. 8E 80. 79. 78
autem puxer txaraqui  pacine osetes  Mn
aisa is
m
FLa anti.  hagsmmxa insu
liqu  xB 1 29 pg
et ita porro.
2RC + 18 7 3
93 it Ac + 28. 1
 + 29 4 0 5
69.79. 781 27. 76
quibus summis compendio ineundis tantum opus est
I in 1 + 2 in 2 + 3 in 3 + 4 in 4 er
1 in 1 + 2 in 3 + 3 in 6 + 4 in 10 ete
1 in 1 + 2 in 4 + 3 in 10 + 4 in 20 et
quod ex generali mea methodo summas serierum, inte
non difficile est.
ei
habers
e generali
os sld titi
itum est problema quod
Malhemaleos fiustra
sit N erit ets.
gitum
hactem ex eriliit. Hnc
dem generalius set proponi solvique uti
E potest, modo. Ponamus vitam hominis, communem
 esse annorum  A quaeritur quot annorum
E sit vita communis hominum duorum debet
 Y-1. et Y aequ 2A + 1
utila eris in tacibus solutionbus quia tupuo erat   uius n  s 
cogitare de aliqua proba. (qui erit numerus annorum vitae humanae, quibus omnes homine
Nam non possumus eam
conprobare uno experimento
ex ipsa solutione sumto,
moriantur, et ita modi ut quovis eorum inteligatu
intelligi possit mori unus etita si A sit 39+ fiet Y g0
habito autem numero 80. mopul an
ut cinvulgaribus numerorum
perinde est scilicet ac si quovis momento pars aliqua hominis a gend
experientia aliqua (vilam hocimim quasi  unum humogeneum ex totum ex partibus homogeneis)
problemalibus, sed
exttrimseca, non facile sumenda mori intelligatur; ea patione, ut anno quovis moratur octuagesimi
pars hominum 80. etiamsi fingatur non mori unum sed diversas
drversorum honvinum partes in unum conjungi. Et ita sumtis
800 hominibus debent quovis anno moris 10. Et hominum quotcum
in aliqua civitate, existentium quovis anno intelligetur mori
pars doma Ergo si sint 40 homines in civitate, sequimne quovis
liennio mori unum. Verum non ita procedit argumentatio. Nam
nopii theorema generale hoc admis40 homines demum morerentur 80 annis, cum tamen poni possit
eos mori cilius. Au ergo similiter ponere possumus ibo homines vivere longu
quam 80 verum non po licet hoc si semel 80 annos terminum
cortae humanae essumsimus, pro nullis habendo, illos pancissimos, qui
si er experientia inveniatur in e
cum egrediuntur.
civitate a utcunque magna aut parva, circiter, ecmum numerum
hominum mori, et an inde etiam sequitur eo annos esse terminum
it hupmamae
nmlus riuilus
12
i i
sis enios
ie atie sse pavobis  sotiam padem ndo
sueponem  Temium vitae
humana esemmnos 80, et fingendos
quaemlibet hocinem esse aeque
vitalem et quamlibet aetatem
esse aque fatalem tunc
praesumitur divere unus annis . 79. 2
nosto seiodurac
a
seu 26.73
Exsm
8005.430
sX. XX. yr XVCS. l.
posita sempe  eppe 79. 
 
pro preba igitur hoc
loco esset, si idem
inventretur diversis
viis ut factum
est in calculo
numera homiinum (rumerum A noa
excodentium) N erit longaevitas
Socuetatis omnium quae peresumtioa
collegii quod in uno conservatur:
AN - 1 si NexcedeM,
emontratio est pluliui leduti i8