# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/4322/text
# Catalogue record: 4322 — Leibniz an Guillaume de L'Hospital
# Incipit: Si j'estois aussi capable d'achever des Methodes, que je suis disposé
# Date: 1693-05-08 (93-04-28)
# Sender: Leibniz — Addressee: L'Hospital
# Akademie-Ausgabe: AA III,5 N. 148
# Other printings: -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 2 S.236-241. -Gerhardt, Leibniz über die Determinanten, 1891, S.409-411 (teilw.). -Melberg, E.J., Teorin för Determinantkalkylen. Helsingfors 1876. S.1-4. -Leibniz: Obras filosóficas y científicas, Vol. 7A: Escritos matemáticos, hrsg. von Mary Sol de Mora Charles, Granada 2014 (teilw., nach III,5), S.79-86.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=4322&katnr=32675
# AA III,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,5, p. 162 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/III5B.pdf#page=162
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-855907
# Title: LBr. 560 · L'Hospital
# Folios: Bl. 40–41 (from the shelfmark LBr 560 Bl. 40-41): 4 pages, canvases 79–82, page ids DE-611-HS-855907:0079 to DE-611-HS-855907:0082
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## Folio 40r — DE-611-HS-855907:0079
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Hanover
28 Aaul 1693
j’estois aussi capible  d’achever des Methodes que je suis
Monsicur et je pourrois remplir vostre
dispose à en projetter, nous irions sans donte bien loin. 
l’avois confere autres fois avec  feu M. Prestet touchant les imaginaires
il ne paroissoit pas disposé c à les ad mettre 
avec vous
donner
je m’en trouve bien; Je crois qu’on ul sçauroit trouver une
aucuye expression des racines des equations cubiques, propre à se passer
des imaginaires vous la preuve que j’en avois croyois pouvoir donner
ou impossibles
Toute racine cubique d’une grandeur possible d’un nombre possible n
à une valeur possible Jn et deux aleurs impossibles 
sçavoir  A 1+ S3 In et 1- S3 In. Donc
ilel eqo soit X la raciue d’une Equation Tubique  qui a trois raes
valeurs possibles, supposons qu’il n’y entre que que la il faut que la valeur
en ait aussi, or
scar puisque tonte racine cubique  sple possible
grandeur possible
tiree d’une mbre, comme n, a trois valeurs In, et
1+ S.3 In et 1 - V-3 In, dont les deuy deraieres sont impossibles
donc si la racine de l’equation ne contenoit, que des raciues cubique
imples possibles, elle n’exprimeroit jamais trois valeurs possibles.
dess grandeurs
une valeur de l’inconnue de
ves
Ce qui est pourtant necessaire, pursus depression ou
l’equation trouuee sans extraction extractionae c actuelle
agine
delEequatian.
doit exprimer toutes les voleurs possibues
ay tronne que  les problemes semblables à ceux de diosante
sont d’une utilite plus grande qu’on ne peuse c’est ce quim’en fait souhaitter
L’invention des quadratures particulieres, lors
qu’elles sont possibles olC est ce qu’il y a de plus sublime dans cotte partie
ou la demonstation de l’impossibilite
uecutonse
la solution.
a de Geometrie. Cependant si j’avors ancur
par les expressions que je sonhiitte on avanceroit foltl
qua asr in cege
Mons. Sschirchans
pretendoit de  conclure. impossibilité de la quadrature particuliere,
ergo ACF. LBEF Gt  lors que la quadialare generile avoit este promnee impossible. Mais
ua
pour luy dhonner une instance contraire e fubriquant dela Lumile
dHippoeate un Triligne  par lalo, une figure par les ordonnees
de la lumule) Hippocrale,  appliquees à une droite, qui n’est
quelques annees apres, s’estant appereû de la verité de mon
objection, il donna un peu le change. difant, qu’il n que lors qu’il y a
une quadenture il est bien vray que la Tumle coupee d’une certane fago
il est bien vray que la lumule, recoit certaines une certaine façon dequadrature
e est
 composee de deux courbes enfermée de deux lignes courbes; et eors
il me
paroist difficile de donne une igpinité de segmens egaux à un seguent donné
une methode propre a trouner
par segmens j’entends une figure
ape courbe 
comprise d’une dioite et d’un  are de sourbe si cela se pouvoit dans la combe
par exemple
o des contbe Arthmeri Algebraiqu.
Ellipse et duns l’Hperbole, je croy qu’ony viendroit à des quadrabures
dans i’Hy peribole les secteurs ont comme les ex centro sont comme les
C es puirquor jatus auat
gandimes lde certaines dioites connees,
AGC+ CGt
CeEt
ABG+AGC =
BG+ GBEF.
go AGC= GBEF
de boute

## Folio 40v — DE-611-HS-855907:0080
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
encor moyen, de comparer les segruens on viendroit bien
souvent à les quadratures absolues en bien des nas en une infunite
des cas particuliers.
datum
es
Mous, de schirnhans me proposa
figurae ordinario selare
un jour segmentum vel semisegmentum datum radu 
secare intratione datax ductu, cuiusam lineae cordinariae seu Algeoraicae
cutusdam bineo argeblarcae seu ordinario secare in ratione data. Sentum
en envoya je luy envoyay a Methode que je erus avoir touvée
pour cla. Mais je ne suis pas ce il y a des methodes
que je souhatterois bien d’avantage par exemple de pouvoir reduire
les quadhatures a la rectifications des sourbes, car il es plus simple et
L Car  la demension de la ligne est plus simple que celle d’un
Espace. Et l est raisonnable de redutre une costructon une question
il est vray que Mons.  de schi
j’anos e des que  la Medicina Mentis de Mons
sya pusieurs De Tchirnhans parut je luy mandayue les difficultes que je trouvois
pensees exellentes à l’egar de ce qu. dit ses def  du denombremement des courbes
et des de terminations de leur tangentes par les filets; et comme je
ejus entrevoir l un moyen generat pour s faugentes par les filets
et sonde tur  une jolie consideration de Mecanius, je luy fis esperer  la
Vraje construction. Mais Mons. Sshiruhans ne repondit point à cette
letre,  ainsi quoyque j’eusse acheve ma construction je ne la donnay
pont, et je fus prevenu par Mouf je ne voulus point l’en importuner
Ly
Vous aves bien compris, Monsieur, que lit e
e
e
pour mener une ligne perpendiculaire à une soite de ignes données
reduire
il faut venir à l’inverse des 6augentes. Si je pouvois redutire
dics verta, viae versa
otes les tangentes inverses ac des tangentes à ce probleme, j’aurois
une nouvelle maniere de les construire jnde pensemment des quairatures
Ayant vu daus le journal des cavans une constructionas
vut
probleme de M.  de Beaune l’en fus, surpris, car je ne connoissoist
alors cersonne en france, qui eut de l’eatree dans le
ce qu’il faut pour cela il je n’estois pas informe alors, qu’une personne
de vostre ceny prenoit plaisir à ces recherches. Maintenant
je surs bien cuse d’apprendre que c’est vous qui l’avés donnée. Si
on  Car enfin. il n’est pas eucor
j’ay esté fortt
mal edific q de quelques mlathematiciens de france
n’ay pas let loisir d’entrer dans le detais des proprietés de cette courbe
et parsus  et d’auta et  d’autot et comme vous et estes venu
a bt a bo a bout de sa rectification
nolim actum agere. e n’est
pesar cepeu’est pas que je me emlle de le pouvoir faire quand je même
je voudroite car puisque vous dites qu’il faut une adresse particuliere pour ce la
je vois asset que la chose ne  sera pas des plus aiséés. Mais comme
vous aves la bonte de ne me pas traiter en estranger dans ces matieres,
jaime uieux d’atendre vos instructions que de tacher pentestre
jantilement de les prevenir i est bou cependant de me pas prostitue
hos Methodes, sur tout à l’egard des gens qui en usent avec un peu
e supercherte, temoin un  sçarant Mathematicien de Paris, qui s’attribua
s
qui voulut prendre part à ma quadrature Apthmetiqus dont il avoit appris la
demons trasion de ons. de Cschir shans loa qui je auvis louminguee
sou en effect
=ce que je dis
aussi sur postre
met hode pour cer.
tains problemes
tangentes
renversles, que
Vous n’aves
fant esperer

## Folio 41r — DE-611-HS-855907:0081
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Nour vous, Monsieur, si j’avois beaucoup de lumieres e prendiois le
plus grand plaisir du monde ales vous communiquer. Car en y joignant les
vostres, pous pouves porter les choses phart con lles caugentes pent
sinformeraqu
Je vous nnde volontiers de mes methodes.
de
C est pourque
Quant a ec
Juisue vous dites Monsiend que vous
aves de la perice à croire qu’il soit aussi general el aussi commode
de se servir des nombres que des letfres, il faut ques je ne me sois pas
bien explique On  ne sçauoit douter de la generdite en considerant
qu’il est aussi  permis de se servir de 2, 3, et pour des grandeurs
d comme d’a ou de b pour veu qu’on considere que 
ce ne sont pas de nombnes vecitables. Ainsia 2. 3 ne signifie point A6 mais
autait qu’ab. pour voix ce qui est de la commodité,  il y en
audes, ce qui fait que je in en fers souvent, sur tout
à des  tres
dans les calcus difficiles ou il est aise de se trompe. Car outre la commodité
e
de l’epreuve par des nombres, et même par abjection du novenaine
de Analys e d
Analuse
comme c’est une ouuerture aB para  extra
ham
à d’autres mais voicy ce que c’est. Lors qu’on a besoin de beaucoup
di lestres, i est il pas vray que cex lettre n’expriment point
les rapports qu’il y a entre, les grandeurs qu’elles signifieul au
beu que par les noubres  lieu  qu’en me servant des nombres
imagires  je puis approam
tois
deucomues soyent donnet deux squations simpes siles pour
par exemale
troiste
e
  dec
s, a dessen d’oster  ne des inconnués, 
et cela g par un canon generale je suppose  1toX trry
 110. D + 1 B + 1 = O eb 2to 7, + 201. 8 + 200 = 8
10 L 11X + 12Y + = 0 et 20 + 21X + 22y + = 0 et 30 + 31X + 32y +  -0
ou de mode a valeu d’A ou le gombre  feint est aut des deux charactere
le premier me marque dequelle equation u est, le second ne marque à quelle
lettre il appartient. Aiusi en calculant on trouve par tout des harmolies
qui non seulement nons servent de garans, mais encor nous font entrevoir
V abord des regles ou theoremes. Par exemple, en ostant premierement
e aprus tr 23 + A 33X +1. 2 ostant paemiorent y par la premiere et
et par
la seconde Equation nous aurons: +10. 22 + 11. 22 X0
on il est aise de +
12. 20 = 12. 4 ea
la premiere et hoisieme nous aurons t 10. 32 + 11. 32 X ( 0:
-12. 30 = 13, 311’ en ce que le charactere
 le charactere autecedent 2 est changé an carartere autecedent 3
Connortre que ces deux equalions ne different, qu
q
du reste, dans eaque terme d’une même Equatin un même terme d’une
même Equations les characteres auteden sont les mêmes, et les caracteres
il reste maintenant
d’oster la lettre X par les eont la  quatineme et cinquieme Equation
possterieurs font une mêmes somme;
et pour cet effect nous aurons (10. 11 22. 32 = 11. 12, 20. 32
( 801
12. 12, 86. 31
10. 21. 32
1. 22. 30
12. 20.3.
1. 22,31
I1. 20. 32
11. 12.28. 30
46. 12. 21.32
10. 12. 22. 3)
12. 21. 30,
10. 1, 28. 32
12. 12. 21.30
qui est la derniere Equabion deliorce
des inconnues, des deux inconnues qu’on
volllot oster, et qui torte sa preuve
avec soy par les parmonies qui
marquent par tout, et qu’on auroit bien dela peine 
decoruu en est inte fit de domes le floreme renerat
desm

## Folio 41v — DE-611-HS-855907:0082
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à decouvrir en employant des lettres a b, c. sur tout lors que le
nombre des lettres grn et des equations est grand. Une partie
du secret de l’analyte, consiste dans la caracteristique c’est à diré dans l’art
de bien emplayer les notes dont ou se sert; ou et vous voyes Monsceur par
ce petit clhautilion, que Viete et des Cartes n’en ont pas encor  connu
tous les mysteres. En poursoivant tant soit peu ce caleul on viendra à un
Zeoreml generat pour quelque nombre de lettres et d Equation simples
qu’on puisse prendre.
pour  osten trois lebtres de quatre
Equations sinples  10+ ux +ny+ OZ=  10+ 4X + 2G+ 23Z = 0
3o 4 dX, 3. γ +33Z= 2, et 40+ 41X + 42y+ 43Z - 0, nous aurons ll
equation suivante deliareo de tates ces trois lettres:
1d to 2 3e A3 eC
+ 22 33 41
10 23 31 42
Le voily comme je l’ay trouvé autres fois,
feints
au In’es plus necessaire de faire mention des nombres
Ce qui saffit pour devonnoir la rgle generall que voicy: I fuit  prendre toutes
binim ternions quaternions l possibles les variations posibles qui se trouvent
no
possibles en observant les conditions soivantes qu’il y aura des  que les
membres te servul des binions ternions quaternions ete se loq qu’il  s’agir g aura, deux
trois, quare etc eguations par regremple lo. 21. 32 est ce ternion, car ly entre
trois nombres 10, 31, et ) secando ca le meptre, c’est commes il y aloie ab
abc secundo chaque membre contient une lleore de chaque aqua tion
seule
pramo chaque membre st une combinaison, contenant une ettre de chaque equation
pxime il faut xprendie toutes les combinaisons possibles, dans les quelles entre
une seule lettrre  coefficiente de claque equati( (manquee icy par un
nembre) de chaq equation
efficiente de chaq equation (cet doefficientes
antita
d
et
ommunement par et quae simplice
Heetadum ecndio
erimo sumendae sunt omnes combinationes possibiles quas ingreditur una tantur
s
sufficientitus ut follendas iters
agredre nte
litera coefficiens uniuscujusque aequationes
ecundo
vationis
tere prodensit
cambinationes opposita
ponantur in latere opposito, quae pro liferis tollendis una,  duabut
tribus quatuor ete retrestine habent respective coefficientes
ejuldem aquationis communes, nullamu unam, duas tres quae habent
tot literas communes, quot tot coefficientes communes, quot sunt unitates
in numero quantitatum doltendama unitate minuto.   ae
Asque haec artificia multo magis ad Et, ces adresses sont encor  bien plas
necessaires pour decounrir des Theoremes qui servent ate
les omnes qui vout, à des lerrée plus touts  On voit aussi par là 
une cole que j’ay remaraue déja dansces occasions c’est que la perfection de
diquée
pasum petnt
e
u
lassion
ion n aves pric ruulu anther nostre questit
r exietrur oster  ettre.
actes point vouln tonetier nostre questrom
Pa
le moyen de deux equations
LXH
dont l’une est,  de d degres et l’autre est simple, je suppose 10 X L + 1X + =0
et 20X + 2∞ 22 ou le caractere anterieur de adu coefficient marque l’equation et
le carastere posterieur marque le degré  dont il est voefficient or
pontées à des degrés remplissant la lcix des homogenes, Ce qui serbat à les obscquer dans tout le progres  
Dans les equations plus hautes pour Mieux s’asseurer du calcul on peut au lieu
prep
du coefficient du termer terme
en prenant X pour qun
carte
un nombre tel que le l’equation donnere
lieu de 10 X3+
ver  n se souvieane que 
X +, 12X + B  poupoit
Epribie c grande
e 10 Xq t  ferem polader q
olia
un
plan on une grandeur de de der dimensions. de megne du ecrira 20X. 400 =0
aiusi en cl ain si le calcul se verifiera tousjours en nombres veritables, et se pourra,
même examiner à tout moment par l’abjection  du novenaire, bu de londera
u pra seu sosimet, se suo
12
ec
En calculant aiusu
datis
Datis aequationibus quatcuno
proiquatione pudeunte
Fcutera habent
eade in signa
dn vuroit 
 jl’avove
qui dans ce cas
 des
 degres.
en aurbit, pentest
decouvert le même
theopeme en
he  srivant que
e lettres à
ordinaire Mais
par
semen
dresses sont eau
tienalus nelesscires
pour decouvrtr des
theo remes qui (erveni
a oster les inconnues
plus hauts
100o
ecrire 10X + IX+