# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/44619/text
# Catalogue record: 44619 — [Mathem. Unters.]
# Incipit: Si Linea super alia linea incedat motu radente,
# Date: 1705
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=44619&katnr=45349
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-3653099
# Title: LBr. 57, 2 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 145–146 (from the shelfmark LBr 57, 2 Bl. 145-146): 4 pages, canvases 289–292, page ids DE-611-HS-3653099:0289 to DE-611-HS-3653099:0292
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-3653099&page=289
# Lines: 187 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 145r — DE-611-HS-3653099:0289
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 146v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Motus Lineae super alia ita incedentis, ut eadem recta
in ejus plano designata sit suis semper vestigus paralleta.
si Linea super alia linea incedat matu radente, seu ita ut eam
eodem semper puncto tangat, punctum in perpendiculari rectae
mobilis ad punctum contactas describet lineam basi aequidistantem
Esto basis ABC. punctum curvae mobilis radens L, et
LM pormalis semper ad curvam mobilem in puncto M. id punctu
escribet lineam 1M2M3M, aequidistantem ipsi ABC,
eu IL2C3L. Hinc line Mm constabit ex ipsis iMEM et (2)M3M
quae aequatitur ipsi ABC, et praeterea ex arcu 2M (2M). porro Arus
Angulus 2M B(2M) aequatur angulo ABE v 1L2LIE. per punctum
4L agatur is parallela ipsi A ILOL,  patet angulum _F L3L
aequari omnibus angulis oLiLoE, 1L2LE, 21 L2E. Nam 4L, circa
centrum AL motum ut ipsi L (L) semper maneat parallelum, eosdem
angulos absolvet. Hinc si 4LF sit aequalis recta ipsi LM,
constanti, erit arcus FC aequalis omnibus quales 2M (2M) simul sumtis,
adeoque erit arcus FC, differentia inter basin oL 1L2L3L, et ei paralelam
et majorem oM, M2M ZM. Nam cam sit 4L idem quadq et F sit ot sit
1C
paritlelu ipsi iLoL, et
P J. H par
plano
m
de Eusus oisti tt ino nt
ck
mbois
Linea quae ssisigis ectam super alia
linea ea lege incedit, ut recta quaecunquineq
cus vestigiis semper maneat parallella
ita descripta intelligi potest. sit linea ABC
quiescens, super qua des cribatur moveatur reta
D Linea LN P, ita ut sr recta
quaevis in ejus plano velut LM semper maneat
suis vestigiis parallela. super rectae AB, quae est
3
latus indefinite parvum bases radendo incedat Lrep,  itac
ut LM, sibi maneat radendo parallela, se s et sic trans
feratur 1M. L Ni P in EM 1L IN. P). Eq ponatur
ML esse perpendicularis ad curvam LN p adeoque ad basin ABC, eut
ex Ex B erigatur
BZ normalis ad BC, et essumatur Ntalis ut ex puncto fixo m
angulus (M) BA seu (1M 1L1 A) rectus. 
ad N  jungendo ipsam MN, sit angulus LMN angulo, (.M)(1L) q
sam in trecta (N) (1L) continuata usque ad 2L, ita ut (L.)2L
sit aequalis ipsi (1N) (L) incedat  MEL e ML NP rade do puncto L ita ut
aequalis. Sumatur et
recta LM, maneat  itidem suo par allela vestigiis frause atqe (.M) (it) in
a(ZL, et ob (+) 2L et (1L) (1N) aequalas transibit (N) in (1L) seu in BN, et
GM) (L) (1N) transiit aMIL2N. inde eum rp pocedatur in motu per BC
ut processum est cum MLN, motu per AB. Hoc autem modo efficie
tur ut idem punctum est semper sit in perpediculari ad Basin
Anvero  coneu id necesse est ad motum suis vestigiis semper parali
lumr sane si non quaeramus, ut M cadat in perpendicubarem ad BC
non est necesse ut angulus LM N sit aequalis angulo MBq sit erga punctum N
ut curva RP quodcunque, sufficit in continuata recta sed hoc fieri non potest,
nam cum NN non sit parallela ad curvam in N perpendicularis
Nec poterit esse perpendicularis ad ipsam ABC, ubi curva LNP dam
psi 20
a

## Folio 145v — DE-611-HS-3653099:0290
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 146r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
3II
ouronm
quiescente seu Basi
Si super polygono  ABCDE, incedat polygonum LN pQ, sic ut
juccessive on omnes Anguli in polygono mobili, applicentur angulis Baseos
vocuer
rest
parallela. id fieri potest hoc modo.
locetur LNPg ita  in loco
iL Nip, Q sic ut iC cadat in A. Quid quidem si polusgonu siat curvae non
nisi ubro modo fieri potest, ita nempe ut curva L apque ipsam ABCdE tangat inA
per L incedat Lrepq, puncto N, per rectam AB, radendo, parallee ita ut ex 
IL1N. P.q transferatur in (15)1N)1 PY19) et (1L) in cidat in B. Ita punctum aliquod
fixum M, in plano mobili, describet lineam 1N(.M) p aequalem et parallelam
ex (in perducatur a
ipsi AB = sed quia oportet ut punctum N perveniat, ad B ides, et simul
LM maneat sibi paralleta nunc (1L) (M) maneat sibi parallela, haek
hoc non pot est seri nisi ci itaque in (1N) (1L) producta usque ad 2L, ita ut (1L) 2L
aequatur ipsi (1X) (1L), incedat puncto L parallele incedat LN 4 LNPG donec
ex  (L) (N) (1P) (.Z) perveniat ad 2L2N2 PEZ, et punctum  ex (1m)
perveniens in 2M describet rectam (1M) (2M) aequalem et parallelam ipsi
(14 2L, vel (1N) 2N seu (1 N) (1L)
Et linea a puncto M descripta
IM (i m) 2M aequatur snl ipsa ABF M (M), et ex ipsa LN = (1 M) M
Eodem modo, si, e 2=A mobilis linea ex 2L2N2P2Z, puncto Nicedens
per BC parallele transferatur in BC) ) (2 p) (2g); et inde puncto
N incedens per 24 (2N) 3N continuatam ipsius pp) (2N) parallele transfer
tur in 3H  3L3N3 P3G, ipsa 3P cadente in C patet punctum
M rursus percurrere rectam 2M (2M) a aequalem et parallelam
ipsi BC et rectam (2m) 3M aequalem et parallelam ipsi et parallelam
ipsi (2N) (2B)  aequalem ipsi Rp. itaque linea polygona X. M2M3M
aequatur lineae polysgonae A ABC, cum linea polygona, LNp. 
sed et n (n) tangens polygoni potest intelligi parillela respondent
baseos tangentia veluti A iM 2M ipsi AB, vel a L  ( IL (IL) cum
L
vco
ucur
seu (Y
dea
jeu.
veni
vuli
aagente
curvarm basis et telutro
atcu besa tum
chrbaresenti germalo
eaque nespectivis locis tum
a aea p sus unam fpersicitum et crpondu sami resedem
uncto notmalile ubique comminem agatur normalis. it
pormaliter
5
ideidicam sc nasientum aequibitur
recta
LM paralle
lismum ad
sua vestigia
servante
Rectae percusae
LL et MM
sunt conguae
non solum aequales
sed et congruae
inter se
siexumo situ 2m, extonnouulas t
tabuente curoa ab altero extemus et a
et
inliadioi diea ae quatur satio sodd

## Folio 146r — DE-611-HS-3653099:0291
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 145v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Modus construndi curum rependo descriptam. Sumta recta
quacunque AB ad datam CD paralleta sumatur in ea pro lubitu punctum L
et ad Ream constituatur LM recta in plano curva dato situi parllela.
e eoque manente feratur  planum L_ Ma puncto L existente super recta AB
dunec curva LNM basi EFG, occurrat, in puncto N, et F. et puncta
N et F erunt quaesita. sed ut Geometrice inveniatur idem, res ed redit
redit ad hoc problema dato sit currae LN M, ita ut LM sit dalae
parallela, datoque situ datis sitibus curvarum LNM et EFG, invenire
rectam datae parall Cd parallelam, minimam quae cendoaead e
interceptarum inter curvas. Et cum Cd assumi possit otcunque
patet eodem calculo infinita puncta correspondentia definiri, adeoque
et infinita puncta lineae LL. Unde intelligitur curvam quaesita
quae a puncto fixo inplano curvae repentis describitur semper
esse Algebraicam modo tales sint ipsae basis et curva tepens
Areus H1L aequatur arcui Basis summ
Arcus a puncto fixo determnato in plano curvae repentis descuptus
E
aequatur summae arcum percusorum rependo cu percursorum utriusque curvae
nempe basis et repentis, seu  IL2L = 1B2B + 1NIB
s quiescenti in plano LMN apparebit curva BB repens super
ipsa LNM quiescente, itaque lineae quae a punctis plani curvae BB
quiescentibus in plano LMN descubi videbuntur, inidem aequales erunt
data linea 1L2L, Linea directio puncti L, seuper basi parallela
ipsis LLi
est in puncto reptionis. itaque data linea it 2L, et linea MA LNM
diituque qui semper est servandus haberi t potest basis. Nam dato situ 1L1NM
ducatuae tangens cnvae LX M parallera jungenti curvae LL ii iL, et
Hinc datis duabus lineis potestdari alia quae differentiae inter ipsarum
quae determinabit punctum, B, basis quaesitum
areus ubique sit aequalis, etsi arcus uterque non sit datus
quadrans HC
si Ellipsis CAd (motu repente feratur super AB quadrante circuli, orit
perva
1d0,
t summae A. RAC
a punctus Rescum
AB, AC essent duo quadrantas Ellipsici congrui ipsa CBforet
dupla. An et portiones quaevis tales sunt. quia ut  refert
qruto quiescat aut repat? S
si a puncto dalo B in cgrva qurescente ducatur minima
BA, ad curvam mobilem inisitu sublimi, et eadem
simil sit perpendicularis utim responderent ea puucta
sed hoc hon est regulare
Rectae Arcui dato AB exhibere aequalem
saper ipsostat tangat eum A in extremo respondente
arcus conguius AC, langens communis EF.
quia utrinque omnim eobem modo ergo tangentes
punctorum extremorum B et C sunt paralleli
rependo Repat AC super AC, Bonet er
E) cadat  C cadet utique (C) cadet in B, quia
(C(A) tangit AB in B Fitu ipsiu AP, C P
parallelo manente ad priorem. Linea ergo
(e) ert AB + AC = bis AB, sumatur
ipsius c(C) dimidia, nempe ex similibudinis lege
quae sit KIH) habebitu aequalis ipsi AB, hac eodem
jam ipsi in E ix K(L) eadem modo poterit inveniri aequalis
Et novae aursus aequalis, et ita porro
e
tac mel
iin
und

## Folio 146v — DE-611-HS-3653099:0292
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 145r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).