# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/45689/text
# Catalogue record: 45689 — Joh. Bernoulli an [Leibniz]
# Incipit: Nuper redux ex thermis
# Date: 1706-09-11
# Sender: Bernoulli, Joh. — Addressee: Leibniz
# Other printings: Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 3 S.796-801. -Leibniz. Matemática-Física-Metafísica, hrsg. von B. Orio de Miguel, Madrid 2025, S. 449-450 (span., teilw.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=45689&katnr=30390
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-3653099
# Title: LBr. 57, 2 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 160–162 (from the shelfmark LBr 57, 2 Bl. 160-162): 6 pages, canvases 319–324, page ids DE-611-HS-3653099:0319 to DE-611-HS-3653099:0324
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-3653099&page=319
# Lines: 259 recognised on 6 of 6 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 160r — DE-611-HS-3653099:0319
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 161v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
sir simpaissime atque Celeberrime
fautor Htondratissime
Nuper redux exthermis responsionem jam paro ad pothenas uas
se guli detas Gaudeo Le tanden animadvertere parvrema suum
circa motum radentem, videtur oitumr habera es eo quod motum allum
cum mot meo repente quodatmodo confunderes: veriffima nunc
sunt qua de Roc altero notu asseris, sed ipsstima etiam qua
jam in artis Augnit anni superioris à me fuscesunt explicata
quaque fundat entum faciunt solutionum mearum phoblenatis
de curvarum transsornatione, cujus rei vero memoriat tibi elapsam
esse facite suspicor. Analysin quam desiderat pro determinandis
cautionibus solutionis rae ejusdem prablematis conunicare
non dehecto: prino qui invenerim thediema illud quod non dis
(F92)
plicuit pro longitudine radum reflesi, ita habe: Erto curva qua
cunque VGX, radius inciders NG, re
flexus GK; punita corradcantia X
u
et K, jam concipe in punitoGc
culum osculatorem FGHC, radio illos
si opus produitos seranteur in Y el H,
concipe etiam duos alios radios quam
poximos incidentem N9 et reflexum
ga, occurrentes arculo in fet k, ita
positis labebis arcus aquales EF, Gti
ut et confgh. adeaque arc. Gt - arc. 1f
C
hoc etta G9- Ff arc. GH- arc. gk
hoc est HCh-G9; unde sequilur Hh +
forro ob kmfricius. X
Ga.f(N.
G9XXK
GK
d
C
quoniam itaqu
ne
G.NFF, ut et XG9, KkH,
NX
deiade etiam GK. XL(A
suma eleaentoru Ah
e
a ip GeKH
etenento hs bis sumto; erit subslitutis valoubus anveli
G4
Fig. L
t2GGi
habet
eg Hh
C

## Folio 160v — DE-611-HS-3653099:0320
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 161r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
G9XNF
GN
2G9, unde elemento G9 utrobiqu per divisinem destruito,
s
emergit aequatio in terminis finitis seuordinanis KHxGN + NFXGK
= 2GNXGL, quae quia KA = GF - Gk, et NF = GF-GN mutatur
in hanc GFXGN = 4GNnGk- GF XGK, adeoque Gk=
GNxGX
4GN - GF
quod ipsum eit theorema quod Tibi perscripseram, ob simplicitatem
exprestionis non parum atile futurum in catoptucis ad catarantticas
fine maguo labore invenierdas; cum aliis formula ordinaria ex
primens radium reflexum ope raii circuli osculaatis multo magis sit
composita, quisse in cejus terminis reperias solida et planasi ava
altiores dicensiones, quando nortia continet dualapat planum et
lireas. Ati pratenea mihi suat modi non mirus elegantes ad pra
dcitam pastiam formulat perveniendi, quorum unus petitur es hac
eat nota proprietate, quod suma angulorum binis radus iicidea
tibus proxiniis, biaitque item reflexis contentorum aequatr suo resperti
ve angulo ad centrum circuli osculatoris bis sumto, nempe N+ k= 2D
svc eit quod tres anguli N, D. K sunt aritametice contnue pro
portionales: Ex quo vel in hansitu concludere potes, radium
reflexum GK pro diversitate Lorum angulorum tribus modis variare
poste; angulus enim N aut minor est rang. D, quo casu Gk erit fi
nita et asprimans id est versus concavam spenili partem sumenda:
aut N aequalis ert 2D, et tunc GK abit in infinitua; aut n major
et 28, id quod reddit GK finitam sed negativam, hoc est sumendam
versus converam seculi partem; ex hisce tribus casibus primus tan
tum est quem adnittit solutio a, quam reliqui duo mutilem et
e
viritam redduat, ob rationea quam ex praecedentibus meis litteris notti–
Ut vero hanc cautionem quo parto dirtinite determinaveron, nunc
aviro quoniam petis edoceam; consideres velim meam formulam
GK.
GKxG
4GN-97 patebit ulique oportere 4GN majorem este quam
GF si velimus ut GK fiat affrimans et finita, alioquin certe aut
regans aut iafinita evaderet; unde jam consat spenitum sphaericum
ut pro transformatione curva alicuss in se redeuntis uti liter adhibero
petit spatae renitudions esse detere, ut es qurocansus cnroai data

## Folio 161r — DE-611-HS-3653099:0321
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 160v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000321.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
punito sedmatur tangent utriaque terminata in G et F, pars ejus NG qua
pro radio incidente sumitur semper major sit quom GF, secus enim
curvam dataa in se redeuntem in aliam qua duas habebit partes in
infinitum protensas mutaret, quod absonum esset. Ex his sequitur
speculum spharicum lapta magnitudinis esse debere respectu curvae
trantformandae, ut minrima ex omnibus rationitus quam habere possunt
GNad GF tanem adhuc major sit quam subquadrupta, cui conditioni
ut salis fiat, considero prino radum circuli specularis Janquam da
 qua more
tum, et postea quaro generalem expressionemm pro.S
GF
solito differentiata et nihilo aequata dabit cassum pro E minino
GX
hanc deinde porro aequando cum  obtaebis aequationem, ex qua eliu
cies valorem radi circuli specularis pro limite quasito, uutra quem
radium allum diminuere non licet, sed ultra quea auitus multua parumu
semper utiliter adhiberi potest. Sit (Fig. H.) curva data transfor
manda ex. gr. circulus ex B trantieas per centium C circuli specularis
AGD, cujus dianeter ACD transeat per centium ciculiminoris O, ex
cujus puncto quovis indeterminato X duita con
cipiatur tangens FG et utrinque produita adma–
joris circuli peripherian: Si nunc ex centro C de
mista perpendicularis CL. ad langentem FG, vo
cetur X; radius CD, a; et radius OC v: reperiet
GN
F
- =
CErx. XF, ut igitur eva
aax
dat Mirima inventa haec quantitas vel ejus
loco tantum
pexa
aaXx
e
diffeentietur neglectosc.
quod constans est L, ut et sipro radicali res enim
natasaa-gre
eadem recidit, inveneturque YZ
et
est at qaar aaa avr. hoc si aque
a1+ qaaer  avaa arr
 hoc est= lateri trianguli aequilater cuja
altitudo est CB, eo igitur latere tanquam radio descriptus circulus est
ultimus eorum omniam qui mutiles sunt, qulibet quispe circulus eominor
vel ei aequalis reddit catacausicatu circuli CNB infinitatu et asymtoticaa
per consegulas cautilem, quindet vero circulus eodem illo termino major
dabit crculo dato CNB aequalem catacanticati finitat et clausam ad eoque tales
ided e
hoc
cam
2
tur ipsi, prodibit a-
qualis in problenate postutadat. 2. E. 7

## Folio 161v — DE-611-HS-3653099:0322
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 160r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000322.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Haec nonnihil fusius quam pari ed explicata dedi, quad non ferisem nisi
juita desideraset: nunc ad reliqua ltberarum suarum capita pergo;
Lastirio eriorem circa curvaturam radio optici refutatum a Duo Aermana
cum lupis vera solctione substituta, non dubito Tibi nuac visum, ut
pose jan ab aliquo tempore in artis editumi quam miseret soleat
fallucinari lattirius aliena inventa demonstrare volens, ostendit in sua
mechapica ubi tautochionismumu Hugerianum probaburus concludit
tempus detiersus per aploidem ant quendis ejus arcum, este duplustem
poris descertus per dianetium verticalemi circuli generatoris, quod fat
sissimum; tempus enim descersus per curvat eitad tempus descensus per
danenium ut senicirumfereatia ad diametium, adeoque non ut 2ad1.
s
paralogisnum epis dudum in artis aperum Et ego quoque accesi nuper
litteras a Moyorao, cum inclusis litteris Hallai, nuaciaat mihi se ad
1.
me misisse fasciculum aliquem continentem Apollonis terper libellum
de sectionerationis ab Hallao editum, tum etiam Nerotoniani tracta
lus de coloribus latinam versionem, ut et tandemr Cheprai responsio,
nem ad Moyoraei libellum, fatricules autem irte ad merondum per
venit Guidonis Grandii nomen in actis jari aliquoties occurrit, non
videtur magna illuti praectaturum si ex is qua dedif judicandum.
Accepi binas discertationet WolAii, quas ipsemet Auclor mihi misit
cum epirtola Lumanissina, ut verum fatear neque hic satis alte pene
hiasce videtur, comunia et tuta suat quae pertiaitat et quaedam
operosu multo quam opus est; nima in modum se torguet in qua
tranda parabola ordicaria, pro qua plus quam integram paginam
adimplet nec tamen sine paratagismo; nollemautem hoc quod Tibisol
seribo ab Auchore rescisci, ne ferdor ejus quo hac studia prosepii videt
iniquiori ut forte putaret judicio sufflaminetur, quem potius
quoquo laudabili modo imitare convenit; quo fine hasce adpuartas
ad ipsum seripsi. sero ocasionem tibi fore eas porro Lipsiam
millendi.ntate pacios dies litteras recepi a Verigno
mo, ex quitus ena reducea intellesi exthernis sutrio cum funtur
melioris valetubinis; significat missi diem suum obiise Hame
sim secretarium eneritum Acad. scient. Reg. ergo sucestise
aliquem nomine d’Alene Mechanicum atque dunc receptum
este iater Veteranos, quo novam constituant Clase Academi
corum superaua erariorum, et qui non ita stricte teneantur
inter esse congregationibus.
scriptionem hanc nuentis
ed
perdactam interrupit apor nea quae ex improviso et 
termm

## Folio 162r — DE-611-HS-3653099:0323
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000323.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
teminum quem sibi constituerat peperit feliciter filiotam, et
ita me jan sextae protes parenten feut; credo thermas ex quibus
ante aliquot hebtomadas redumus, nonerhit naturasse partum
si
quamvis et puerpera et infaas nihilomians bene Partenus valeant
Deo favente. Vides interim qualia nobis uxoratis regotia faces
in sont facilia notha jan satis numerosa et subinde adhiu accres
centes: nonimiraberis agitur si sendios mathemantiis non eu
amplius qua desideramus assiduitate operam dare possumus,
mille sunt cura et sollicitud nes quae nos occusantaquibus
coelibes sunt liber: habet Matimonina sua comoda et habet
sua inomoda in varus vita gereribus, sed qui litteris se totum
dedere cupit, dircat is prins vitam suam in coelibatu trantigere
quo nomine se relicea reputo. Vale et fage
5
asilea
hris
n
liscimo
abherroulls
ES. Quod ad Du. Hermaraum attinet, oblitus eram dicere, quod in
vocationis negotio nihil adhuc ett confertu praeter id quod a Cu
ratoribus Atrademiae nominatus quidem fuit jam a longo tempore
ut nost; confirmationem autem ab excellent simo senatu ve
reto in hunc usque diem nondum obtinum: C. Fardella lea
Loris hupis curpata rejerit in importunitatem armonim lata
vinas oras ninis molestantu; interim speu fecit, felicis
successus brevi secuturi, ubi belligerantes ex Venetorua terris
exieliat; quos cum nunc moxima parte jan ledemontinam ingresso
et sim Taurianta ab obsidione liberatum audeverimus, videbiau
quousque landem tn. Heimaanis optato sne potiri possit.
Cum in eo esset ut has litteras complicarem, novissima tiae mihi
opportune traduntur; Legi animadversionea Tuani Novellis litterariis
inserendam, placet ea mihi et propositum Tuum suum cuiqu tribuendo
quo Tua Tibi sumno pere viadiceatur ego plane non improbo; potuisses
a 0. 11.

## Folio 162v — DE-611-HS-3653099:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000324.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
tamen etiap hoc non omittere, quod port publicatum Tuum algoritL
mum calculi differentialis, modumque quantitates differentiando ego primus
fuerim qui proprio Marte cogitaria de altera calculi parte qua a dit
fereatus ad sumas regressus quaritur cujus antea nec volap nec vert
giami sive in actis sive alibi videram, quem ideo cum comodus voca
balum resciremr novo nomine calculi integralis nunc passim recepto
insigniebam, et portea negulas plures eodem tempore pro eo calculo à me
inventas partem cum faatie partim cum aliis comunicavi, mihi eam Lum
temporis persuadebam, nemini aate me in mentem vensse cogitationem de
inversione methodi differentiatiuar ejusque inversionis modo et usui ut itaque
ego connanquam et Te et Nervlono sim porterior hihilominus tames
quantum ad calculua integraliua sertat aliquo modo in caventionis
gloria partem jure meuto vobis cum venire posseu.De problemate
curva cateraria quod dicis illud a trata bi fuisae propositum
non addis quod id fecerit ex meo inctinatum, consideratum enim eat curvam
ante fratiem, nescus tame uterque; eandem illam jam a Galilax fuisse
sentatam: in hoc vero problemate solvendo cum ille frustra desudasiet
ego vero primum usum regularum meacum pro calculo integrali feliciter
adhibuistem et solutionem meam Frati ortendiscem, inceperat meas regulas
pluris quam antea actimare et excolere: hoc modo calculus iste pautatim
incremeata nova et perfertiones averit, dum alter alterum deinceps
continuo exerceret. Lutetiam tandem profectus comancavi cum
Hospitalio omnes nostras regulas suplicis calculi differentialium et
integnalium; pro opere autem Hossilaliano portea edito, certe non
tantum fundamenta ut innuis sed materiam ipsam totam ego sus
peditavis un per manuscripta et ltteras bere multas etiamnum aptud
me asservatas alque jam a multis viris doitis et fide dignis sae
visas planissime constat; ut ita non minor sure quod Virgilius olim
de versibas sus ab alio usurpatis, id ego de hoc oprisculo dicere posset
Hunc ego codiculum feci, sulit alter honores
p
Sic Vos non vobis 
Caterum nihil aliud praeterea in schedias nate Tuomoneadum reperio, nisi
ut quanfocus laem videat: illudadn remitto, he litlerarum fasriculus
auto
nimis catumesiat, ejus enim opographum abi superesse non dubito.
num iterum vale.