# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/48700/text
# Catalogue record: 48700 — [Aufz. zur Differential- und Integralrechnung]
# Incipit: Cum prodiisset atque increbuisset Analysis
# Date: 1695
# Other printings: -Gerhardt, Historia et Origo Calculi, 1846, S.39-50. -Child, Early Mathematical Manuscripts, 1920, S. 145-158 (engl. Übers.). -Leibniz: Variaciones sobre la ciencia general. Textos, Hrsg. B. Orio de Miguel, Madrid 2021, S. 568-580 (span.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=48700&katnr=55593
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068212
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 7, 19
# Folios: Bl. 1–6 (from the shelfmark LH 35, 7, 19 Bl. 1-6): 12 pages, canvases 1–12, page ids 00068212:0001 to 00068212:0012
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068212&page=1
# Lines: 834 recognised on 12 of 12 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068212:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Tolum hoc retracteturdiligentius at publicari possit, omissis
quae aeriora in contradicentes jungatur mea methodus estro
lege gnenurtatis adubita ductu, Linearum ex ubital. item phediasma
od parisios miseram pro ei ut in vulgari exemplo ostenderem
rationem inter nieula poni aliquam, a fudgi
Cum prodiisset atque increbuisset Analysis mea infinitesi.
malis, quae calculum sumnaeue differentiurum et summattum
complectitur, quidam, paaesertim quibus facilus visum esst jndicare
Bes
denta quam aliquid novi de
se proferre, serupulos veleres movere quales Cavallerio nuper oppositi
sunt et Sceptici olim opposerere dogmaticis, ut ex Empirici opere
contra Mathematicos eid est dogmaticos apparet, quet Frauciscus
Sanchez autor libei quod nihil scitur, transmisit Clavio; et cavallenio
ad versarii pere, et per eldethleves Cluverius e
ojcere
et Thomas tobbes in omnes H Geometris omnibus ; nuperque
etiam Archimedi in quadratura parabolae V. Cl. Dethlevus (luverius,
objecere. Iute alo prodet Nominatim contra me publico
scripto insarrexis  Bernatuns Nieurdentiit Batavus qu
doetrina atque ingenio  instrptus sane, sed qui maluit retractando
nostra quam promovendo
nostra
Objecere. Cum ergo Methodus inea
indi infinitesimalium, quae Calculi differentiatum nomine innotuit
tum meis quibusdam spociminibus tum egregiorum fratium
Bernoulliorum, inprimisque illustris viri M ex Gallia Viri
Marchionis Hespitalii elegantibus sed sumen
 nomenat quod nuper quidam, in Mnom Ephemeridibus literatis
sruditus mathematicus nonaene dissistum
revoriensium. carpere hanc methodum carpere visus est
Sed nominatim insurrexit, jam ante in me insarrexerat
Batavis
vus Chuverus B, Bernardus Nieventiit doctrina
in
hactenu
atque ingenio instructus sane, sed qui maluit retractando quam
inaprescere
nostra, quam promovendo inlarescere
Cumque ego intro.
daxissem, differentias non primas tantum sed et secundas, et
tertias, ipsi nassignabiles seu ipsis differentibus in accomparabiles
e
Valiasque ultetiore,
ipse primis contentus se voluit; non considerans easdem
vides videri
esse difficultates in primis, et sequentibus, et ol ubi in
ipsis primis superentur, ets etiam in secundis cessare. Ut taceam
doctissimus inbenis
Quemadmodum  Hermannus Basileensis ostendit
re evitatas ab illo differentias sequentes.
nomine non
sed et in
quo praestito
ipsarum primarum usu legitimo demonstrando, ubi aliquod saltem
operae p suae presium fecisset, nullo saccessu caruit, coactus
de labi in doctrinas absonas, quale illud est quod  infenito aliud
nemine admiteadassi
efficiatur sit multiplicando p, et multiplican m per 2; posterius
est
uam pP
in aliquo casu esse impossibile, in quo cafu possibile sit prius. Item
quod quadratum aut cubus quantitatis sit non quantitas seu nihil.

## Folio 1v — 00068212:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
in eo tamen laudandus omnino est quod desiderat
Calculum infinitesimalem muniri demonstrationibus rigorosis
dadum a 2
ut scrupulis satisfiat, eamque operam a me  impetrasset facilo
si nluet os expo ue juvare quam rejicere
as et male faudatis et dubitationes, et dubitationes quam capti
culas proponere maluisset si non app obctiorbus quibusdam
dntis aeperuissate nee eare pefectiere nisi ex argutationibus
passim inspersit animus alieniur apparuisset alienior ab eorum
consuetudine, qui veritatem  magis quam
plausum et nomen quaerunt. At
Mihi aliquoties propositum fuit, rigorosis demonstrationibus
firmare calculi nostri fundamenta, et subinde inun fon jam tum
indicavi fantes eo ut animo, ut cui otium sit, occupare hanc
consilio
operam possit. Nondum tamen vidi qui fecent. Nam quod
doctissimus fermanuus coepit agere in scripto contra du–
Nieudentitium pro me edito absolutum nondum esst.
qm Matheu
Est autem mihi praeter calculum, infinite simalem usurpa
ta etiam in Prysicis methodus, q q opecinime olim illustrata
in Novellis Reipublicae literariar; et utrumque complector
Lege continuitatis. a qua ostendi adhibita ostendi Claris.
simorum vir philosoplorum Cartesii et Matebrandhii
diversas inter se, Regulas motus secur pugnare secum ipsi
proposito quocunque
Assumo autem hoc postulatum. aiet i omnituan
tran situ continuo d aliquem Terminum desinente, liceat
ratiocinationem ita instituere, qua cum terminis ceter
communem instituere, qua ultimus terminus comprehendatur
Exempli gr. si duo sunt A et b, et manente B, contin
illud majus hoc minus, et manente B, ponatur continue
diminui A, donec aequalia fiant A et B, licebit ratiocinatione
communi complecti tum casum priores, quibus A erat major
quam casum ultimum quo evanescente differentia A et B
pis si duo corpora
fiunt aequales. Similiter  A s et B sint in
sibi concurrant, ponaturque manente motu eodem ipsius B
6
contiaue imminui velocitatem ipsius A, donec omnino evanescat
en nulla fiat aat ipsius A celeritat, licebit casum hunc
eum casu motus ipsius B, ana ratiocinatione complecti
idem facimus in Geometria, tam casum  duae rectae sunt

## Folio 2r — 00068212:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
9
Interio
utenue pre ductae. 
 VAB
ad hibentur infimne una a positione data, seu semper
eodem situ manens altera BPtransiens per punctum datum 
sed convengens manenteque puncto B, varians situm. Et pi
et primum quidem convergens ipsi rectae A ejqus concurrens
ut BC7
s
in puncto C, deinde si angulus file inclinationis, con-
concurrens eidem
finue minuatur in puncto aliquo remotione (C) donet
per P
non convergit
 ex BD per(B)P perveniatur in BP, ubi recta 
simpossibiamaginar cumqfit punctu
amplius ipsi A, sed ei est parallela, dH
His positis, licebit una aliqua ratiocinatione complecti
tum
tum casus omnes intermedios ut (B) quam ultimum B.
Et hinc etiam fit ut una ratiocinatione complectarum
veluti.
Ellipses  et parabolam, si scilicet consideretur
frcens alterum alli ocum A esse focum unum Ellipseos,
(cujus vertex i datus sattum qui maneat fixus, alter  quemadmodum et
beu
alterum focum C esse mutabilem dum transitur de
Ellipsi in Ellissin, donec tandem (in casu quo recta
Bpintersectione cum recta VA focum fi variabilem
faciens ipse focus C fiat  evanescat, seu fiat
impossibilis, quo casu Ellipsis in parabolam evanescit
is
lae abela Et ita licet ex nostro
postulato Elli parabolam una ratiocinatione cum
Hac methodo etiam Geometrae
Ellipsibus complecti.
in constructionibus uti solent, cum scilicet diversos
casus una constructione, complectuntur, et ductum
generali
 notando in certo casu conversentem rectam
Taliam
abire in parallelam angulo rectae ad rectam evanescente
Ex hoc autem postulato oriuntur quaedam locutiones
quae videntur aliquid continere absurdi, do
commoditatis gratia adhibitae, quae videntur aliquio
continere absurditassed su signisi qua significatione substituta
cessente. Nempe  si dicatur punc de puncto icur
em
Concursus imaginario tanquam de equodam reali loquamur
a uti  in Algebra recepta radices imaginariae adhibentur
Eaclo dicere ssolemuls e Pa Et hinc analogiam
rectae VA
servando dicimus Rectam Dcum in parallelam desinit
habere focum esse convergentem,  ad ipsam, e sive cum
infinite parvum
insigite,
nit vellociratom
ea angulum facere
perinde ac si diceretur corpus quiescens, motum habere, sed
corpuso
infinite parvam et rectamum alteri aequalte esse inaequa
on elle, sed disfereatia infinte peria, et tor att

## Folio 2v — 00068212:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
et parabolam esse Ellipsia ultimam, quae fecum habeat
dato
dato
 i infinite distantem a foco vertici propiore; vel in qua
esive
ratio PA, ad AC sit infinite parva, eangulus BCR.
Equidem verum est, quae  omnino aequalia sunt
a differentiam habere omnino nullam, et quae parallela
sunt rectae, eas nunquam concurrere, cum distantia ponatur
ubique omnino aequalis; et qu  parabolam non esse
Ellipsia, aliaque id genus; fingi tamen potest ipse status
novip transtus, seu evarescentiae, quo, init nondum
aut paralle lismus.
quidem orta est aequalitas, aut quies, sed tamen in quo
e pus sit
ad eam transitur; et qui tam prope assum potest
ut discrimen sit omni assignabili minus. et hoc fensu
et posita et in hoc statu manebit aliquis Motus, aliqua
commisis, aliquod discrimen, qua per infinitum aut infinite
parvam nempe insinite parva,  aliquod discrialen
aliquo velocitas, aliquis sangulus, sed infinite parva.
distantia puncti concursus seu foci mutabilis, a voco
permanente erit infinita. Etsi sed an talis status
C
et
resc
transitus realis sit quiddam reale an fictum tantum ad
instar radicum imaginariarum, metaphusicae est
disquisitionis, qua Geometrae, non indigent. Sane si res
sepr b1 las
londessiat
intelligatur quantitas. Equidem si
ilum per infi.
nitem intelligitur indefinit nagnum vel pardum, in (seu
per infinitum et losinite simate) intelligatur indefinite magnum
aut iadu indefinite magnum, tam magnum scilicet quam
parum
quis velit, aut tam parvum quamquis a ut error fiat
minor quavis dato, cessat difficultas  sed si quis omnino
velit quantitates etparabola poterit sub homine
celo Muc Ellipsium contineri (quemadmodum et
alia ratione sut nonime Hyperbolarum) contineri, quoniam
tuli quae de tali parabola inveniuntur, ab iis quae 
Hyperbola  rius de parabola rigorose dicta affirmari
possunt assigna discrime aliquod per constructionem
aliquam assignabile non habent. Unde et Cluverii 
quadraturam Parabol idemque habet in locum habet in
omni cupasure
Hinc Cartesius

## Folio 3r — 00068212:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Hinc Cartesins aliquando in Epistolis observavit
Archimedemqui ope talium
nationum sua pleraque ad invenisse videtur, etsi fortasse ad Calculum
4 nostro more non
ope talium notionum sua illa pulcherrima theoremata invenisse
credibile est, quae demonstrationibus ad absurdum deducentibus evicere
t  quas quibus simul et secu ii certitudinem manifestaba
et artem occulebant. Unde eleganter alicubi notavit Cartesius
Archimedem velut Metaphysicam quandam exercuisse inGeomesria
reta Geometriam appellaret) qoinam
  nostris vix quisquam veferum (si quadratricis autores
si id (demtis quadratricum tractatoribus) promovit; nostro tempore
Cavallerius a Methodum Archimedeam resuscitavit, aliisque
longius eundi oceasionem dedit. Et sane ipse Cartesius, cum
Timpatesxcleidis alicubi fiaxit Cyl circulum esse
polygonum regulare infinitorum laterum, eaque ratiocinatione ad
usus est, cum de Cycloide aegeret; et Hugenius, a aliius
ipse  in opere de pendulo, cum soleret sua confirmare rigorosis
demonstrationibus ronnunquam tamen vitandae, prolixitatis causa
nimiae
infinite parva adhibuit; quod etiam nusserrime, Cl. Lahirius fecit
sed interim an status ille transitionismomen
taneae, ab inaequalitate ad aequalitatem, a motu ad quietem, a con-
vergentia ad abo parallelismum, qui sclicet  in sensu rigorosu
vel simili
ac metaphysico lacere cabeat, seu an quantitates infinitae, et
extensiones infinitae atque insi aliae aliis majores aut infinite parvor
aliae aliis minores, sint reales. fateor posse  in dubium
vocari: et  qui haec discutere relit, delabi in controversias
retaphysicas de compositione continui. a qua quibus
veteres seometricas dependere non est necesse. Itaque
sufficit sufficeret ergo pro indefinitis quantitatibus infinite
nise parvis Equidem illud certum est posse aliquo modo concipi
magnis infinite magnis
lineam  interminatam, vseluti si rectam diras locum omnium
ponctorum ita sitorum, ut parse intercepea pun sui ad duo puncta
data situs unicorum; ea recta utique erit  dato interminata
sed an vere unum totum sit, dubitari potest
sedeae et ei si ab una parte interminata sit posse aliquid
sed an sit Recta hujus modi inter  unum totum sit
quale incelendum referri potest, seu an possit refetri
uhinqterminatum adjici.
Et certe Archimedem et qui ei praeluxisse videtur Cononem
Caramuel.
teu
sustineri queat
ete
in computum
quam hoc loco disentere non est necesse.

## Folio 3v — 00068212:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
suffecerit itaque cum quata infinite parva
magna (seu strictius infinita) et infinite parva seu  notarum
nobis quantitatum infinitesima) dicimus, intelligi
 sed indefinite pagna, et indefinite magna parva,
id est tam magna quam quis velit, et tam parva quam
quis velit; ut error quem aliquis assignat, sit t minora
quam quem ipse assignavit.  e Et cum generaliter appareat
quoertore utcunque parvo assignato, ostendi posse ad huc mino
isi
nullum, 
rem esse debere, sequitur errorem esse omnino. similifere
argumentandi genere cum eo quo alicubi utuntur Euclides
Theodosius, aliique, qud quod quibus mirificum visum est, tamen
nempe
verissimum negari non poter potuit, ut ex eo ipso quod error
assumitur, infertur error esse nullus. Et ita indefinite
parvum vel magnum, intelligitur nn determinatu
indefinite
utcunque par magnum, vel utcunque parvum, quasi
ut ita se habeal  quoddam genus non
veluti C
aliquod ultimum
Quod si vero quis rigorose ultimum intelli
oc Et si omnino ultimum Aut si omnino altimum aliquod
in eo genere.
dult aut saltem aut saltem rigorose infinitum quis intelligat,
vel
potest hoc facere, ethi controversiam de realitate i exten-
sienum continupsum extensorum aut generatim confinuorum
au
ecidati
infinitrum non desriat, imo
infinitorum aut infinite sanvorum
infnte parvorum non 
etsi talia impossibilia putet; si nimorum suffecerit enim
in carculo, ad hiberi uti imaginarias radices adhibent
ufiliter
magno fructu adhibent Algebristae. Cum semper explicato
Fcompendium ratiocinandi. contineant, quod per Methodum
paedictam sem jam dictam semper rigorose venificari
manifeste constat.
sed placet rem in paulo distinctius ostendere
peo calculo nostro ut Calculi nostri differentialis Algori-
thmus (quem vocant) a me anno 1684 proposituis, verissimus
esse comprobetur.
Et primum quod dicitur Elementur
ipsarum 3, esse , quo sensu intelligi debeat, optime
de
intelligetur adhibita recta ad aliam rectam  AX, tanquam
axem relata linea aliqua AY velut parabola ad aliam
rectam AX tanquam Axem relata. Curva sut AY
sit parabola, et assumtis Axis AX sit tangens verticis
et
parabolae in vertice A. si AX vocetur X
4
voletur y,  et latus rectum sit a

## Folio 4r — 00068212:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
erit aequatio localis ad parabolam  ax  a
XX = ay, quae in quovis ejus puncto obtinet. jam A1X eA 2X
vocentur X et (X) respictive X et (X); itemue s 1X, Y, et 2XY
respectioi vocentur (7) et y y et (9) sam A1X sit X, et 1X Ysit q
et ex puncto NY in majorem outam aliquam ordinatam sequentem
2X2Y, demittatur recta normalis 1Y. D, et q 1X2X, quae
est differentia inter A1X, et A2X vocetur dx; et similiter
p
D2Y quae est differentia inter  1X1Y, et 2X2 Y vocetur dy
Et quia Y = XX: a, erit pari jure y+ dy = XX + xXX dx + dxdx:
s= F2C et demendo ab una parte y, ab altera
XX:a restabit dy: dx = 2X + dx,: a. Ergo in casu
qo quae est regula generalis, exprimens relatio rationem
leter differentia ordinatarum adt abscissaum ad differentiam
jam ex postulato seu producta chorda Y.Y
abscissarum,
(ex  interceptam, inter occursum et atscissamt xrax jam p
axisperte
quia ex postulato nostro licet una ratiocinatione complecti
tum casum quo e    2X magis magisque admorem ipsi x
punctum
tandem ta ipsum rectu ordinata 2X2Y, magis magisque admota ad
in parinanentem 1X. Y tandem in ipsam incidit, patet hoc casu fore
dx aequalem nihilo, seu abjici sebere, adeoque fo patet
(1Y sit tangens
cum
fore dy. dx X: a, cumque eo casu
1X. Y ad i ut 2X ad a.
patet etiati fore  TIX ad 1X Y ut a ad 2X. Hinc
intelligitur in omni nostro calculo differentiali non esse opus
ut dieantur aequalia quae discrimen habent  infinite parvum, sed
omnia aequalia posse sumi, quae discrimen habent omnino nullum
Modo ni calculus ponatur fieri generalis, tam pro casu
quo discrimen est nulum aliquod, quam quo nullum; et non
nisi calculo per abjectiones permissas quantum licet purgato
et rationes quantitatum non evanidarum purgato
quantum licet purgato, tumpostremo demum, ubi applicatio
ad casum nallius differentiae ultimum facienda, est,
differentia nulla ponatur
 Similiter si fuisset
s u
X+ 3XXdx +3x dxdx + dxdx dx = aau + addy, seu 3Xxax
+3X dxdx + dxdxdx = aadque, vel, 3XX + 3xdx + dxdx, : aa = dy: dx
pro ratione evan
tFX 1X1X: 1TIX. unde cum diegimen differentia
evanescit fil 3XXad aa x ut 1X. Y ad 1T, X. nim
e
h caend s aequ Eadimqus locum habetunt, siuquis
applicet quodsi jam velimus in calculo petinere dx, et dy
ta ut significent quantitates non evanescentes etiam in ultimi casu,
assumatur pro dx, recta quaecunque assignabilis; et recta quae sit ad x
e
e
ut y  seu 1X1Y ut est ad X. T vocetur (du) ita dy et axassignabiles
dus est erjor in
actis esrudi
torum D. l.
pag. 467.
lin. 10. nesero
quomodo
commissus
nam prove
11
e
poni debe
1
Pu
vel

## Folio 4v — 00068212:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 141 lines, status machine
reprasentans intervallum inter ,X et 2X
ipue itm ipsi intervallo hyic aequetur sve
ei sit proportionalis in ratione quadam
Regulae
Alggritam
constante
tis positis omnes nostri. Aphorism regulae ts
mense octobri aum
in in sect in Actis emuditorum (1684 propositae non magno negotio
demonstrabuntur. Ex puncto curvae . _ Y ad axem AX ducatur ir
axiaccurrens in p, et normalis ad currae tangentem TY
set pro Actione et subtractione, sit
V = y seu 2X Y,  posito Z et K, utcenque
dari per X fiet Zt dZ v- dv = y + du
Ad eundem axem AX  referantur xr
VV yg. quarum ordinatae sin 1X.Y, EXY
 et chordae prod 12t V2V 123Z, productae occurrant
diversa
axi respective in punctis
duatur quaecaque
Lil
tit od da
qu  o, invenianturque
assummturque rectae
ecte dy, dv, du tales
t du vel dexeldZ sit ad dx, ut y vel v vel 3 est ad
(disscit ad culX) ut y seu X. ad 1X, et de sit ad du ut v seu X B
 est ad 1X B, et dZ sit ad dx ul Z seu 1XIZ est ad 1X 5)
differentia inter duas X, (seu 1X2X) vocetur dx, et
vertiae inter duas Y, v,
Y Y, VV
pelm per demontrabuum Ad eundem; AXem AXX, cujus alisa, referantur curvae
tempe X+du
A1X,  (nempe X) et A2X (nempe X+ dX) respon.
deaut ordinatae 1XN (seu _) et 2X2YF + dus) item ordinatae 1XiV
patet ZZ; et ordinadis abscisit
ytdy
(seu V) et 2X IV eu P doe item ordinatae 1X+Z (seu Z) et 2X2E seu
vtdet
jum Chordae _ 1Y2Y, N2V, 1Z2Z poduciae occurrant
9, 51. d sumantur
eleglae acditionis  Asumatur, recta quaecunque du ordinaria dx)
(2+ 27
axi respecte et respective in punctib aptitio
 vari manente x puncto 1X, et puncto 2X ipsi utcunque accedenti
semper permanens et
quae sit ad ipsam (d) fu vto 
alia (x Cd) y
x I quae sit ad 
equtaqe ad an crupiaus inter de ad dx
pre
seuburs, ily
d) quae sit ad (a)X ut
idv, Z restae ordinaria seu assiguabiles
sel Nunc Additio et subtractio ita fiet: sit V -Z= v fiet
∞ ad
ateque cd) X, (d) 3
(G (d)y - (d)Z = (d) v. quod sic demonstro: y + dy - 7- d) = v + dv
uti posito crescente (si ponamus crescente  y crescere etiam Z et v
alioqui in decrescentibus, ut Z, pro dZ poni deberet - dZ  quod semel noto)
cirdo anferente hinc abjiciendo aequalia, nunc y-Z, hinc ep, fiet
 dy-dZ = dv, adeoque et agidu  dz. d  du: x
ddg. d dy- dz: dx
qudx et duidx
ngetut deids
 st uvised equaur i topedite ias
d aequantur respective, ipsis (d)9: (d)X, et (d) Z: (dX, et (_v: dx
simiater
Id) X
iscum eod. era. siet (d)y - (d).
quod proponebatur eseu
pevatur
i
ub (a) y, (a) Z, e B, para i
Gy () 1L22
qprae regula vereq
 Qeod propo.
qua ein casuc contacties
quae
nom vel subtractionis succedit, sive etiam cum
 tomunsumcoincidit E
repubitibs
itatibes
lit siees lufesunu
ultiplicatio sit a= X
Ed, seu cum
es
e x, etc possimus ess
esia
d
V. D, C
 d (d) 1) = X () V + veIX
ava dy - d. demonstratio: ay + ady = X+ dx, v+ do = xV + xdx + vax + dxdo et abjiciendo
aerinque aqualia au et x fiet adu = xdo +vdx + dxdo, seu adged sa
adb xdue edo   du adus vdv,idx v+d seu
transferendo rem ad rectas nunquam evanescente, quantu it
reltud
alm
+d d fit a ) X ved) V,: (a) X = v + dv.
centium, quia de =0 fiet ac y = V (d∞ + v d X
X+Dsa
. lde muna
p _Z   unde etiam
u scets  puiae
caculi nostr
quamn nem similiteo
constructios
quantunt
assignabi
tamen hinc
ogende
u illis (seu v
itul las
ignabiles
ei modum
lictionist
catu quo (d) X,
euanesa maia
uak reoue
mperaa.
suanlatep assigna (d
tale reales deo
iasu talmus entitina
as
quanquam id o
necesse non ssit
nam semper
dyndx y. 8.
losito igisu
generali salculo
rasum
tvo
osverum erit
escunt a
dx fettem
quia
ut dvidus t
seu ady =  FB
X dx
fiet atjus- ver ut osa
(A)X WX

## Folio 5r — 00068212:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 102 lines, status machine
divisio sit ZF Z: a = gv: Y fiet Z = v - gl1v,: Hist
demonstratio 2+ 4Z: a = v+ deD, y+ dX et sublats fractionibus
(Z+ γdZ F Zdy + dzdi = av + ado, et utrinque auferendo aequalia e
et an, restabit dividendoque residuum per dx, fiet 
adv xdz Zdx,  = dZ adv. XdZ,: dx = Z+ dZ, seu
a (dx - X (4)Z,: 1d) X = Z+ de a ita sola superest quae evanescere
um
(d) Y
avit
b9. dx
et ois se peoporcaitrg 1d 2. D  ax Qa s: XL IE WB rcl = .  us. n l av.  pia simer alius
se
s
es
(elsZ. (X = AZ. deo, lirebi poloriam pngere inftasu evanes celitium du dlesi et at et havere Az. do exar d fictis
unde prodibit uc  av XX, proponebatur
AX
e-t
t
ntates
sed . cc
selentiae autRadices Bodinitaise
sit  =2. X td y: C 1D X =
_ n.y1
siB  n fet X
vatio
a s+X AeX dx + L, C- X dxdx + C. - 1. P-2 pe-
n - C
st fiet
Quod sic paulo fusius quam priora demonstrabo
a
132,3
ita porro per veniatur usque ad e - e seu 0.) aequ. = V +   dus
192
donec
+ non =L p dy dy + 2, n-1, n.2  dydydy, (et ita porro donec
1, 2, 3S
perveniatur ad usque ad n = n seu 0.) auferatur ab una parte
120
X, et ab alterat  y cum sint aequalia, residuum
duas
dividatur per dx, et pro dy: dx ponantur ratione inter, quantitte
n - C, l
a
deinde, c
ratio d)g. _X ei ratio inter, quantitates, quarum una cx semper permanet
duas quae continue imminutaar
duas
eadem, durante imminutione e differentiarum seu accessu ipsius
2X adpermanens punctum 1X et fietque
x + ege l X
Aete. L p
B
nat (d
T) (I)X. BE
+ 1 n∞I y 2. 2 (dy dy + 2, n- 1, n. 2  23 y dydytele + et c.
1d)X
Quod verum est in omni casu, etia etiam etiam cum differentia
CdX
1, 2, 3
sunt assignabiles. Cum ergo (per postulatum) in hac regula
generali comprehendatur et casus  dff
quo differentia fit aequalis suunt nihilo aequales, seu quo puncta
2X, 2Y coincidunt respective ipsis 1X,  1Y, ideo eo
ly =0. fiet eX
a p. 
ut
L -1 n n - 1 (d1y
ponebatu. Est autem lidiX
ans
demons Hac demonstratio locum habet sive diguitates sint potentiae,
sunt numeri et sive sint habe aut
quarum exponentes supt smacti,
nam cum potentu
sive suit radicefero
exponentes rationales, sive sudos. Quiaas
 ex aequatione toller exponentes furdos
utrinque exaltando,
ut aded non C et n non significent sivenii potentias exponen
une
tium rationalium, qui continua subtractione numerorum, 1, 23 etc
tandem ex hagriuntur ne opus sit serce progrediente in infi
tun
nempe
Licetit autem salte per fictionem modo supra explicato, n etiam redum
umC pr
quidrationem itae po
quia haec ficta seu
veritatem
indubitabilem
1, 2, 3
x
ex sasi inspertim ot
ae qualtux pasur ipsprum )
faciendo ut seme
a ete
entiu asu
demonstratus
gorithnus differentiarum
primi gradus, nunc  ostendendum est, eandem
caeteris evanesentibuseu Caus: (dX
reducius potes

## Folio 5v — 00068212:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
Met radum valere et pro differentiis gradus secundi
Pontemu iss ed K  puncto C1X, sumta quaecienqe eques
i differentiis differentiarum et Eum in finem assumatur
assumantur tria pun t curvae puncta  tres ordinatae
XIY 2X2Y 3X3Y, utcunque assumtae, et assumatur
recta atu  ecta. Ex quibus ipsa 1X. Y, permaneat eadem
Sed 2X2Y, et 3 2X 3Y continue ad eam accedant, donec ambae
simul in eam incidant, quod fiet si 2X accedat ad X, ea celenitate
celeritas qua 3X accedit ad 1X, sit 
ad cX
inratione IX3X ad 1X2X.  proAfsuneatur reca (d) X semper
eadem pro quocunque situ ipsius 2X, et 2(d) X semper eadem pro
quocunque situ ipsius 3X semperque F pro  2d) X fiat (d) 
ad (d) X ut DaY ad 1X2X, adeoque (d) y semper manente (d) X semper
=
su
mutabitur donc dum 2X aecedit ad 1X. et similiter fiat 3d) 7 2(d) y
ad 2 14) X ut 2D3Y ad 2X3X seu ut  y + dy (id est 2X2Y) ad
2X2T adeoque 2(d) y manente (d) X  semper mutabitur dum
V
3 accedit ad 1X. Sumatur autem  semper  ipsa recta +X
Variante, 2X 2Y variante, e ut et sit 2X_ aequalis ipsi (d) y, et
similiter sumatur 2ajy in ipsa recta variante 3X3Y, et sit
3X2Cd E aequalis ipsi (2Y 2(d) 1. Ita  dum 2X et 3X
su continue accedunt ad rectam xF 1XIY, etiam, 
2XIC0, et 3X2co continue ad eam accedent, et cum ipsis 2X, 3X
porro in quavis curva ordinata ut
1X. Y notatur punctum quo co incid continue accedens in ipsam
in eam incident.
incidit, quod sit  s2, et erit 1X 2 ipsa ultima  (d) y
quae est ad x (d) X permaneatem, ut ordinata Xis ad subtangea-
al tialem 1 X. Tprosito T.Y curvam YY tangere in 1. F idemque
Cumque id fieri possit, ubicunque in curva assumatur punctum
haberi
Y. patet. Prodituram hoc modo curvam s A quae est
rifferentiatrix curvae YY uti vicissim curva Y
summatrix curvae  S ut facile ostendi potest
si d X ponatur semper eadem seu a,
ext
erit
ex
Nam
(e
utisdx
nova (dd)X manebet assignabiles M
a
e
prodibil aequatio ab iis  rationibus quae evanescere possunt
Et hactenus omnes rectae ad hibis (a ax
X(a)a + ~ 4 2 ( 2d0 + 2(a) dv dx. ddes
aut assiguo
eiunt do
ini et aeuali siet ralis do(v: dasx ita tandem
Quantum licet purgata, cd) ay
a coincudentia
a 
01 +
files
Id)X, y e
quama
idv 20 pdeon
+ 2. e + e 
2X non coinci.
pudibit aequatu in
ax
abject
ois) actax
addx ad dxedx ut addx at
ad) 
1
= sau ut y
(id est 1X. V
ad 1X 1
quia nempe
tune Y et 2Y
coincidunt

## Folio 6r — 00068212:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 114 lines, status machine
pro
Eadem Methodo demonstratur et calculus differentiis
differentiarum quod uno exemplo ostendere satis erit
sit ay = XV quoditur  a ldg Et prememe per
st es eady  xda id ajo esse xav + uxavet
aso addy  in casu differentiae eganescentis fore
 seu
Xddu frax du + vddx
adem Methudo demonstratur et Calculus
pro differentiis differentiarum. Sint sres
guitm
ordinatae sXIY, 2X2Y, 3X3Y, utcu
ytdus, distantes quoum diffecenti distantiae
tdy
Eapiat rect
assignabil quaecunque 1XZX  et 2X 3 X, aptddis
differentiae vero D2Ydyic 2D3 Ydy + ady
afsurantur. juncta chordae He Y et
2Y3Y productae axi occurpant in X et TX
es attulnt (d) X permantente dum quavat
ent ataccedi ad permemens 1X, et volx
et similiter assumta 2ta) X permagente, dum
panctum X accedit etiam ad permanens punctum +X fiat 1) y ad
dX ut dy ad dX seu D2Y ad DX seu X1Y ad F1X; et similiter
fial 25d)  ad 2d X ut  De d9+ ddus ad dx + ddx, seu
ut 2D3Y ad 2D2Y et ipsis  (d)  et 2(d)Y fiant
aequales rectae serpet eignabilis 1X - 2, 2X2S2, quae manent
oignabi assignabiles evanescentibus licet 1XZX, et 2X3X, simul
sum concurrentibus u simul punctis 2X, a 3X, cum puncto 1X H
sit jam exempli causa adu = ay = XV, s
fiet a dy = xdu + vdx + dxdv, per supra ostensa. Ct
addus erit Xdde+ udx +duidva vddx +d et similiter
a d ady+ addus = X + axsev + d dV) + (V+ dv) (X+ddX) + (dx +ddX) (d v+ ddV)
seu ady + addy = Xdy + X ddv + dxde + dxddv. + vdx + vadx + duax + doddx- L
dxdv + dx ddv + ddxdv + ddx ddV, unde et tollendo
ddy =. Xdd y A , vdux + 2 dxdv + 2db ddx + a v 2dXdd + Ax la
a
addx adx
et inter addo, et AddX
a idu A
ubi patet rationem inter ddis et d, velE
adax
aitem inter de dxdx et adax semper posse ex primi relationibus
ddx
recta ratione eca. sed ons rectaram non evanes centiam
)viecax sit  ad constantem aliqu assumtam non evanescentis ad assumtam
q
Supra rectam permaentem (d)X; quam suppostimus per manere, dum
sedsic exprisitur
X ax: ax
 lvlX: dxlx=
) V AX: (d) X
langim ergo assumatut
no cendIxtacisus sit p
6
Iepprimetur ab una parte aayu ab altera xdo + vax + dxdvrestabit utique
jum quia
du ad
i axad
2X accedit ad 1X 2X et 3X accedunt ad tX 2X et 3e accedunt
ad 1X. Itaque etiam () dx erit recta non eranesen cum
ratio nem semper assignabilem habeat ad X utcunque 2X accedat
ad 1X seu utcunque dx differentia abscissarum diminuatur
is nihilo. Eodem
do, et dep
etsi demum desponatur aequale
nodo ad ratio ddv: ddx potert ex primi ratione per rectam d
ind et ratio dudx ad addx
non eoapeset
ad assumtam permanentem dnabile
differentia inter
o
A1X et A2X, seu posi
 de dax ay ddy fiuntu nihilo aequales podibit.
ehcanescente dmum
+ Eaxdo 1 X 2. e + 2, 0. ddx + D eranescen
a
V
ade
a
uvis
infini
supererant
 jam inter (d) y et
2(4) y seu inter 1X M
et 2F Et differentia
est d252
1X2X, et
est adx
inter
AE
Paxad
ut ut axa
d) S militerus cast
X ut 2ut o ad 1XII
 
seu IXI S ad IXC.
Nam dd
e) Ia dx: ax
ergs lintu dxtae
 () pla X. (() XICK
namea
pixcex addx compo
ant pertio
et dxax: a odx = (Ad (d) X Ns recta novastass quae
nescant. cum ergo
ta assumta aetoc
fiet dudx: addx= nocta fo manebit assignabile
+24)
sX
ilnve
si lx etereva
ecta s assignabi
ux a a paderus enimitaque

## Folio 6v — 00068212:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068212/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
quadam
dx, dax de, dav, dy, adque fictione prmanere ponamus, etiam cum
evanescunt, tanquam quantitates infinite parvas qua quia id
id nullo fit periculo, cm semper res ad assignabiles possit quantitates
possit nevocari) prodibit inaasu concurtentium punctorum 1X, et 2X,
aequatio ddqu
dax
X debe e V + 2 dxdv
ad a
addv