# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/49062/text
# Catalogue record: 49062 — Exercitium ad promovendam scientiam numerorum
# Incipit: (1) Proponitur problema in rationalibus numeris
# Other printings: Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 7 S.114-119.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=49062&katnr=55570
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068000
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 3
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 4, 3 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068000:0001 to 00068000:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068000&page=1
# Lines: 249 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068000:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
Exercitium ad promovendam
Scientiam Numerorum
(1) proponitur problema in rationalibus Numeris
dato numero a, ex hibere Numerum qui faciat
ut X + = sit quadratus, aut ostendere impossibiltatem
is quadratus sit yu. Et fiet Xx + a = xgy
nam ex aequatione praecedenti est a = xyy - xx. itaque cum a aequetur integro, erit intiger
(2) si s X et y sint integri, etiam a est integer,
(3) si a et y sint integri etiam x est integer.
Esto enim x fractus z: eo, cujus numerator sit Z
et denominator co fractione ad minimos
terminos reducta, seu ita ut Z et co sint primi
inter se. ita ex aequatione Articuli 1. fiet
2ZX acoco = Ze cogus seu 22: c0 = Zyy -aco Ergo
zico est integer, quod est impossibile, cum Z et 10
sint primi inter sei nisi co sit 1 seu nisi X sit
integer. Hic ex supposito fracto concluditur non fractus
(4) sed sicet a et x sint integri, nihil prohibet
saepe V esse fractum; ut mox patebit.
(5) si numeri omnes requirantur integri
necesse est, ad hoc ut priblemque succedat, a esse bc
confactoribus b et C existentibus integris, tatibus
ut brc, sit quadratus, ipse scilicet yque, altem
autem horum confactorum velut b, erit X
Quia enim a = Xyy - XX per artic. 1. Ideo
positis a et y adeoque (per artic. 3) et X, integris;
erit a divisibilis per x. posito ergo a = bc
et b 2X fiet bc = bgu - bb seu b + c = yy
ut asserebatur. Exempli causa si a sit 14
ubi b = 2 et c =7 et b+ 2+7 =g potest esse X = E
nam 2 + 14 = g. potest etiam esse x =7 nam
7 + 14 =9. Nec refert utrum altenter horum
bet C, aegtatur unitati, atter vero ipsi a. verb. grata
a sit 15; quia ergo 15+1 = quadrato 16 ideo potest
X esse 1. nam 1+ 15 = 16 potest etiam X esse 15, nam 15 + B = ∞
(6) si numeri omnes requirantur integri, habetur,
solutio, id est quasitum quodvis possibile vel
impossibilitas. Cim enim dato numeroa integro
bini haberi ni ejus confactores qotiesari possunt patet
int
an et quinam confactore, possint componere
quadratum. Horum jam quilibet potest esse x quaesitus
summa autem confactorum eritquadratus ipse v0. quod si tales confactores non dentur
en
ic.
Et quando a+ est quadratus ideo cum 1 et a sint confactores
problema
impossibile
ipsunque a; X potest esse 1, item a.
(7) si omnes numeri requirantur integu, non alius prinitivas
potest esse a, quam 3. Est enim a primitivus, ergo vini–
confactores non possunt esse alii quam a et 1. Ergo
per artic. 5.) a + 1 = yy seu a = gy = 1 - = y+ 1, y -1.
Ergo + 1 est a, et 67 = 1 est 1. Ergo y = 2 Ero y41 seu a est =3
majo
smine
e Rut 1oed  123 4 4 341  2

## Folio 1v — 00068000:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
(8) si omnes numeri requiruntur integri, et postulentur
a ut x primi inter se, necesse est, ad hoc ut problema sit
possibile datum a unitate auctum facere quadratum, qui
quadhatus arit yus sed X exit 1. Neque enim ductu
numerorum primorum inter se unus nisi sit unitas atterius
Factor esse potest. primos autem inter se vocamus quid
non aliam habent communem mensuram quam a. Unitate.
(9) si soli a ut x requirantur integri, datus :
scilicet et quaesitus, nec referat utrum resultans
gu sit integer vel non; Et y sit v: ce fractione
ad minimos terminos redacta, ut proinde v et co sint
integri primi inter se, co abeunte in 1, eo casu quo y est integer;
ponaturque a = bc, et X = bq ipso b existenti maxima
mensura ipsorum a et Z et abeunte in I eo casu
quo a et x sunt primi inter se. His positis
dico fore X = bcoco. Nam in aequatione articuli 1. pro X substituendo bZ et
prou substituendo vico, fiet bbZZ coco + bccoco = bZvV
seu fiet bZ7 coco + ccoco = Zvv. Hine cum ZVV
dividi possit per coco, sed ve et coco non possint
habere communem mensuramex hypothesi)
necesse est ut Z dividi possit per coco: Rursus quia (eodem argumento) quia CCd: Z est integer, seu
cedeo dividi potest per Z, sed Zcet c, sunt primi inter se
communis rytusura
(alioqui b non esset maxima ipsorm bc et bZ contra hypoth.)
neresse est coco dividi posse perz. Hinc cum
pauloante ostensum sit etiam Z dividi posse per coro;
consequens est Z et coco esse numeros inter se aequales,
Et proinde cum posuerimus X esse bZ fiet x = bcoco
(10) iisdem positis necesse est cc esse majorem quam 4bcoco
Nam ex aequatione articuli praecedentis pro Z ponendo oco
fiet bcor +c = DV, seu C = VV - bco seu
C= V + cocrb, v- 10co rb, jam in integris prductum ex duobus unitale majoribus
est majus prodtente quovis. Ergo c est major quam V + coco rb,
item c est major quam V = coco 1b. Ergo et C est major
Cc major est quam Abc) T. Encipitur casus, quo difrrentia inier B v et excessus ipsius _super Cdco sb est mins mitate.
quam horum differentia, quae est 200c0 1b, seu
(11) iisdem positis, et posito praeterona a et X esse
integros prines inter se, X est quadratus nempe coco, nam
cum X sit bcoco per pracedentem artic. P0 casu b abit in 1.
(12) iisdem positis, si a et X sint integri primi inter se,
trabebit a duos confactores d ut e, quorum differentia erit
du plum quadrati et is quadratus erit X. veluti si a sit 33
 et X sit 4, et d sit 3, et e sit 11 erit. 11 - 3 = 8 = 2. 4 =2X
et 4+33 = 49. Nam ex aequatione articuli 9, ubi erat b7Z coco
+Ccoe = ZVD, pro Zponendo coco (per artic. 9) et pro b ponendo 1
(ex hyp. articuli praesentis et praecedentis) et pro c ponerdo a
(nam cum sit bc La, fatiendo b = 1 fit C = a) prodibit ct + a = vB, seu a =. VV - co = v+coco, B - coco
seu a in  = BCd, v. coco. sunt ergo duo confactores
ipsius a, quorum opus minor, nempe d, sit v. coco, alter major nempe e,
nempe jit Dxcoco,  fiet e- d = 2cded, ipso coed existente X, piae praeced.
(13) si ipsorum  et X maxima commenis mensura, b sit
quadratat BB tunc C (quotiem ex a divis ∞ per b) habebit
binos confactores, d et e, quonum differentia divisa
= seu b22t c = V. Cold. Iaz
Zuvicoco est integer, cum sit
aequalis integro b22 + C
Vi seu ipsius YbcoE)

## Folio 2r — 00068000:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 71 lines, status machine
per (3, radicem quadratica ipsius b dabit daplum
quadrati, qui quadratus multiplicatus per b, dabit X.
Epempli causa sit a, 729 potest X esse 36, horum
maxima communis Mensura b est g. B 3 Bl9
jam 729:9 =817t C = de = 3. 27. Fn-d (=27- 3) = 24 et 24:b = 24 :3
ca 243 = 8 22. 4 et 4b ∞4 9 t = 200Cd et cd c = 4
et bc0co = 36-, Et fist 36 + 722 = 225. Nam ex aequictione
articuli 9 pro Z ponendo coco, et prob ponendo BB fit
C~ VD BB_ = P + B- C = eb. BCd T p. F BW, V- (3
C= VN - BB1 = v + βcdd, v- βcdcd. Ergo C habebit
binos confactores d = B - B Co1d, et e = v + Bcoed
et e- d erit = 2βc0c Ergo e-d: B = 2c0co et
ead, : 2B b = bcoco = X. Casus articuli 10vel I1
sub hoc etiam articulo continetur, cum b, adeoque et β est 1
(14) si a datus et X quaesitus requirantur im  rationales
integri in aequatione X+ a =gy, nec referat
utrum y sit integer an fractus, invenipe numerum X
quotest est possibilis aut invenire impossibilitatem, idque
per tentationes numero sefinitas.
primum
dispici potest an a habeat binos confactores, quorum
summa sit quadratus, et habebitur aliqua solutio per artic. 5.
Deinde dispici potest an a divisus exacte per quadratum
(qui etium potest esse 1) det numerum habentem binos
confactores d et e, quorum diferentia diosa per radicem dicti
quadrati, det duplum noviquadrati. ita enim habebitur aliqua
solutio per artic 13. Sed generaliter ut omnis solutio
possibilis aut impossibilitas inveniatur, quaerantur bini
quibis confactores ipsius a, qui vocentur b et C, et pro
Quibusvis b et C, satur sumatur integer cd talis.
ut sit 4bcd4 minor quam cC per artic. 10, tenteturque an
X possit esse bcoco per arsic. g. et cum res sucedit
ut hoc modo fiat x + = vel quod idem est beoco + quadrato
rationali; vel quod eodem redit bco +C ae qualis quadrato
rationali integro, tunc et non aliter habetur quaesitum
quod si nullas cd inter timites praescriptos det X succedentem.
putlema pro numero dato a impossibile est
Ut melius intelligatur praxis hujus solutionis
subjiciemus aliquot exempla, u cum nempe numerus a
datus est interer, et x quaesitos pequiritur integer. a datus sit 19
quaeritur an sit aptus ut inveniri possit sinteger pro aequatione
X +
= yy
X= b
Cd, 2. 4bid
Nempe a posito 19, b est 19 vel 1
ei. non sucrdit
64
X = bco1d)... . .. 4 non sucaed.
Cd, 3 4bd .. . . .. (324
X = bc01...... 9 succedit
coj4 ab..... 11o24 justo major
et
C est 1 vel 19
itaque cc est 1 vel 361. jum cum best 19 et Cest 1 func
posito Cd, 1, sit A0c0-. 76, cum best
qui numens est major m
ergo, prob i9 et C a1 frustra tentatur
major cd, nam  abeot firt ad huc magis excedens
justa major. pergemns ergo ad b, 1 et C, 19
ent CC, 361. Hinc si ed sit 1, firt 4bc - 4
qui numerus minor est quam 361. Ergo tentetur
an X=bcoco = 1 succedat, sed non succedit
qquia 1+ 13 =20, qui non est quadratus
crEudem modo nes non succedit, cum co sumitur 2, et si enim +b co, fiat 64, minor
quam 361, tamen X =b c0co = 4 non succedit. Sed si sumatur co, 3, tunc 4bco erit 324 minor quam 361
adhur
mina qu et X = bcoc erit 9. jam y + 13 = 100 qui est quadram Ergo hic casus succedit
sed posito cd = 4 fit 4b c, 102 4 justo major seo major quam 361. Ergo frustra assumitur  cor major quam 4
et quia non tantui aii b et C (confactore ipsi 19) quam bb, 9 et C, li vel b, 1 et C, 19; alia sidlutio haberi nequit
a31

## Folio 2v — 00068000:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 64 lines, status machine
sumamus aliud exemplum: postuletur X integer
posito a esse 39 seu quaeritur X + 3 = lgu
cd,1 4bcd
X= bco1....
1
et
Cd2 4ba.....
.. . . . (3)ucesdit. 1 non sucerdit
.. 11 19d justo 37. 64
X2 601. . n mum 4 non succ
1, 3 Ab
........ 34
X = BCV............ ... n 9 non subt
104 4b0
X~ b0
.a1024
.
Cd 4b04.....
0...16 non succ
.. . . . . . . . 2500 justo maj.
itaque non aliter problema succedit, quam si X sit 3, ubi fit
3+ 39 seu 3 + 13 =16
3 postuletur denique X integer posito a esse 42,
siu quantur X + 22 = gy. Et schema operationis eut tale:
o
14
14
24 (12
(17s
4bu  justomupr jylotas. justo nij.
X = bc01................. pyno succ. (6 non fiec, (3 non suce (2 nonsuce 1 non sacc.
cd.
Cd, 2 4b0............ ..... .. . (justo muj. justo maji 192. (128
X ~ b1W .....
Cd3
a
X = bp
1-..
6e
..... .1... .-. .. . -  12 hon suce  non succ (4 non suec
.
.......m.n justo Mas. justo maj. (324
...00... 1  9 non suee.
C0j4 404.......... 1024
X =b1010. a .     -.  1. . . . .. 16 non suec
1.. 11 1. .
m......... .... justo maj.
at x requiritur integer,
itaque cum a est 42 problematis solutio non sucedeetensum est
seeqat etge
superest ut solvendi problematis modum quaeramus, cum a datius estfractus, X autem est intereri
Itemcum a est integer, X autem pst esse fractus hac denique cum a est fractus et X etiam permissus est fractus
rmsu
sed haerc nunc perequi non vacat. Tantum parcis annoture placet, posito a integro, xuntem fracto, posit
posititque intiguis b, c, 9, V, D, fore a = bc X = bv0:gqu y=  B: qu et bv + cg = v p 
et boem ver ita tamen ut b possit esse unitas, sed gerit numens intover unitate major. Erunt autem
Cet V, bet q, Ve 4, D et 4, V et V, primi inter se. Et numeri fracti X et Y, ad minimos terminos
fractionum redacti, non quidem habent communem denominatorem habent tamen denominatores quorum Est
communis divisor. Numclatores autem ipsius X et ipsius y, non possunt habere communem diviso ren,
nisi siquem habent communem cum ipso a. Itique dato numero  integro a = bc, ut haberi
possit X + =gy, quaeruntur integri V et g, primi inter se, et V primus cum C, et 
et oprimuscum b; tales, ut fiat b2 + C que aequulis quadrato cundam VV, nec problema
solvi potest, quin 1 et q quales diximus inveniantur. Sufficeret autem inveniri per
tentationes numero definitas, ut supra articulo 14