# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/49712/text
# Catalogue record: 49712 — Overbeck an Leibniz, Hannover
# Incipit: Adeo foecunda sunt Theoremata Leibnitiana,
# Date: 1709-07-09
# Sender: Overbeck — Addressee: Leibniz
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=49712&katnr=36869
# The Leibniz-Archiv's transcriptions of the letters of 1709 (pre-edition): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-transkriptionen-1709
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-861255
# Title: LBr. 705 · Overbeck
# Folios: Bl. 17–18 (from the shelfmark LBr 705 Bl. 17-18): 4 pages, canvases 33–36, page ids DE-611-HS-861255:0033 to DE-611-HS-861255:0036
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-861255&page=33
# Lines: 235 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.91
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 17r — DE-611-HS-861255:0033
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-861255/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Vir Amplissime, Consultissime
Ideo foecunda sunt Theoremata Let BNC1AM A, ut cum vit
spicilegium superesse credas, integra messis redeat. Postquam semel
confirmatum est. Theorema.
i
generale esse e poni posse (n72 =1. - 1: y - integro si g. sit primu idque
contra, paucis Casibus exceptis (ne sumatur n. divisibile  y. nec
n. ab y. saltem unitate differens) patet Discursum Leibnitianum
de Residuoru certis Periodis ad quevis numerandi modum extendi
sive 100000 etr. intelligatur decadice sive Dyadice sive Tetractyid
etc: Ostensum est in continua divisione 10000 etc. per quemois
Numerum Primitivum vel Compositum, dari certa Periodum Residuorum
quia ubi Residuum uni prionum Residuorum aequale redit, ibi tota
Periodus Qvotoru et Residuorum redit. Non possut autem plura diversa
seu inaequalia Residua poni quam sunt in divisare Unitates cum omne
Residuum sit sumto Divisore minus. Non ergo dantur Periodi majores qua
est Multitudo Unitatum in Divisore sive primus ille sit sive compositus. 
Pnaeterea
ner
test
tum demum redit ipsa aitialis Faries dividendi 10000000 et: 
Ergo Divisor enimitivus sit sive Compositus, Divisio tendet tandem et
1
ut Residuam accipiamus Unitatem sine qua nova periodus incheari
non potest quae tamen tancem inchoari debet p dicta ad Liter. 
en ex jam tensis
n looeo en  deladicit diditait vis
quod tanc initia hovae perici sit postqua toties divisimus quot sunt
in Divisore unitates. Nam prima divisio post residua unitatem etL
initium novae Periodi. per Litera 2. sed Loco n2= est Residua
Unitas Ergo Loco n initium novae Periodi est in Divifore primitivo
Non dico quod non maturius incipere possit, sed illud duo quod praecise
eo Loco semper nova veriodus Residubru d Quotorum incipiatt. sive ja
aliquoties antea recurrerit Deriodus, sive non.
Si vero Divisor sit Compositque dico Periodum esse semper brevi
orem multitudine Unitatum in Divisore. Nam postquam fotice
divisimus quot sunt in Divisore Unitates, aut ibi nova incipiet
Periodus e sic uti ad Liter.. ostensu est Loco Exponetis y-1
Retiduum oportet esse Unitatem, quod est contra naturam
Divisoris Compositi per Theorema nd- L-1,:y = integro pro y. p
aut nova Periodus non incipiet nisi por aliquot loci econ
post qua toties divisimus quot sunt in Divisore Unitates qua
repugnat iis quae ad literam si. ostensa sunt, aut deyie
nova Periodus lincipiet antequa toties divisimus quot sunt
in Divisore Unitates et sic Periodi minores cnut quam
est multitudo unitatum in Divisore, quod erat problandum
I. Jam quoque videndum est quomodo Lex Legarithmica Residuorum
Similis Demon
stratio de (ubo
demonstrari possit: Dico itaque si Residuum habeatur sub
altioribusque pote
statibus fodmani
dato Exponente, Quadratum hujus Residui erit Refiduum
sub dupeo Exponente. Sit Potestas sub dato Exponente
2y. 4p. ita ut Potestas per y. divisa det Residuum p
Erit Potestas tub Exponente duplo ZZyy +2p2y + pp
Sed y. metitur membra 229y +2pFy. Ergo Residuum
potest. pro sub duplo Exponente erit pp. Qvadratum prioris Residui
Ariplo, quintuplo p. quod erat probadum.
l
Non interim negatur fiepi
etri Exponete. posse ut etiam ex (pp) Luadrato illo Divisor y. Sape adhuc
abjici possit. Sufficit nos posse sub duplo. Exponente, Quotum
ita sumere ut evadratum
se exacte pro Residuo obtiacatur.

## Folio 17v — DE-611-HS-861255:0034
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 18r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-861255/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 101 lines, status machine
sic itaque ex Residuo dati Exponentis facile colligimus Residuum
Exponentis dupli tripli Luintupli etc. Sed longe plus lucrati e
rimus, si per Regressum sumen licuerit Refiduum Exponentis
dimidii, subtripli, subquintupli etc: quae res multo abstrusior
eit Non enim novimus quoties divisor iteru addendus sit ad
Refiduum dati loci, usque dum expleat Numeru perfecte Qva
dratum, Cubicu etc: ex quo Rudix extrahi possit sub Erpo
nente dimidio, subtriplo subquintuplo etc. Residuita
ponenda.
Illud erci oporterelt vel per Analyfin literalem
vel per Collationem Exemploram. Analysis Lateralis tatis
esset: datur Residuum p. sub Exponente 24. Qvaeri
tur Residuum suo Exponente q. Sit hoc Residuum quasiti
X. sitque Divisor noster y. Ergo XX -
L.= integro. Sit hoc
Integrum Z. Ergo XX - p = yZ. Ergo XX = yZ +  Ergo Pro
blema huc redit Datis y. d p. alterum eorum y ita mol
tiplicare, ut alter p. addibus Produto faciat Numerum
evadratum Oueritur Numerus qui y. ita multiplicare put
neuic quidem Problemati vel centum similia apud Arith
sit
ticos legi sed ea omnia certo aliquo Difficultatis nodo
esu carent a quo praesens Probiema nunquam extricare 
tui. Mea conamina cum hic frustra fuerint, non
tam vanus esse capio ut ea hic apponam lectioni tae
dium factura.
Collationem Exeniplotum hoc partotentavi:
Sumsi Divisorem 27. eumque abjeci ex omnibus ordine Numeris Qua
dratis quoties potui. unde faitum est schema sequens.
Radices. 50. (1) 2. (3) (43 5. 6. (7) 8. (9) (10) (11) (12) 13. 14. 15. (197 17
137. 36. 35. 34 33, 37. 34 30, 29. 28. 27, 26. 25. 24. 22. 21. 20. 19. 18.
Qvadrata 0. 1. 4, 9, 16, 25. 36. 49. 64. 81, 100. 121. 144. 159. 196. 225, 258289324
Residua (.37 - 36 -33 - 28 -21. -12 - 1. 412. 27. 1q. = 14 10 - 4 21. 11 3. -3 27 - 9
vel 0. 1. 4. 9. 16, 83536 -25.( 50. +26. -29 +33, -10-26-34 434. 430, +28.
ido
tam etiam Quadrata ordine locentur, et ita Radices ordine tarbato
comparebunt ut hoc parto eruatur cujus modi leges inter se observent
Conjugenda autem sunt ea quae corrisponcent, hoc est quorum sum
ma aequatur integro Cgilo seu Divisori
37.
Quadvata 1. 36. 14. 33. 1 9, 28. 16. 21. 25. 12]∞. 30127, 10111. 26.1334 02.
Radices. (1. 6.
2. 12. 3. 18 4. 24. 5. 30.
9
(36. 31. 35. 25.34. 18. 33. 13. 32. 7. 28
17. 3. 11. 14. 10. 15, 16.,0. 0.
19)29, 26, 22. 27. 21. 20 37, 37
Hic quaeri posset primo. cur 1. 3, 4. 7. 9. 10. 11. 12. 16. cu suis correspon,
dentibus tanttum fiant voadrata refidua in Cyclo 37. reliqui
vero 6. 2. 5. 6. 8. 13, 14. 15. 17. 18. respuantur 2 Ratio naturalis facile datur, sed fortam
desset
ratso Respectiva ad situm Cycli
Qua in re si alterius Cycli collatio lucem datura est, dabo quoque Cyclusrus,
Quadrata. 1.
Radices (28.
1.
28) 4. 25.) 8. 20. 16. 13. 7.
12.
2.
3.
3.
a. 10.
24
6. 14.
19)27. 24. 26. 22. 25. 19. 23. 15.
Ratio hac videtur In Cgilo 37. ipsi 1. +. 9. 16
65.
B.
21.
23.) Sch24
9.
20.
11.
18.
13.
.Xa
2
29. 29.
 Quadrati ut patet
Ergo et eorum Correspondentes, inter quos est 12. _ 3. metiens ejus
Iem 35.  7. metiens ejg. Item 33 d n. metiens ejgs. Item 30 X 10. meti
ens g. iesum 30, correspondentem 25g. quem jam Qvaoratum esse costa
st Respuntur 2. 5. 6. quia metiutur Qoddratos caeteri respuntur, quia
nullum matiuntur vdratio sed hoc falsum quia 13 metitur 26
culea devolvi posset in Coprespondentem gg 24.
In Cyclo 29 suscipuntur 1. 4. 9. 13,5, 6.7
respuuntur 2. 3. 8. 10. H. 1217
sec
XX
= yZ+ p- 1
9Z+ p - 13:, X + 1 = integro
12 + p - 19: X- 1 = intes
quaerantur proxime
radices quadraticae,
+3Z+ P eu
has pet est fiere per log
on ffere
del et Dividere yZ +p:
Xx - p = yZ si psit quadratus
fcet xX = 99 = g
At P. rop. = 9

## Folio 18r — DE-611-HS-861255:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-861255/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Etsi igitur in hor parum certi erui potest, ad tamen certum est,
hifferentias Quadratorum Radicibus ordine manentibus egregiam ser
vare Harmoniam; ut in Cgcle 29.
Radix. 1. 2. 3. 4. 5, 6, 7. 8..9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 118
1. 4. 9. 16. 25, 7, 20, 6, 23, 13, 5, 28, 24. 22. 22. 24 28, 5 etc
doffer. .  n
5. 7. 9. 11. 13, =14. -12. -10. =8. = 6. -4 = 2. -0. + 2 + 4 + 6
evid vero in hoc subsidii sit, mihi pariter ignotum.
Cum itaque constet, locis paribus semper adesse Residua vadrata
possent omnia Residua patibus locis incidentia farte scorsim expon
sed id quoque parum juvat, quia Residua Radicalia sub locis dimi
dais non hncedut  incremeto Arithmetice, sed Geometrico
Residua Cubica si forte desiderentur, ea in Cyclo 29. sic expona
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 14, 15. 16
ub. (0. 1. 8. 27. 6. 9. 13. 24. 19. 4. 14. 26. 17. 22. 18. 11. 7.
vel (0. =. 2y - 21. - 2 - 23- 20. - 16.-5. = 10. -25, -15.-3 =12 - 7 - 11. - 18. = 22
cum simili recursu
Nec parva mihi est suspicio, cum dentur Regulae ultim
Literis Leibnitianis ex dato Residuo divisionis 100000 eti:
per quevis Numerum eruendi proxima Retidua imo de Evotum
Divisionis, etia datum iri Regulas ex dato Residuo
loci Cubiri eruendi Residuum Radicale, vel saltem
evotum locc subtriplo seu Ravicali convenienten
Fieri tamen poteet ut rei natura non admittat evo
lationem istam ob rationes me adhuc fugientes, aveo nulla
plane vestigia a me deprehpersa sut quibus insistere possit ille
cui haec volupe est scrutari.
in dato (omuni divisere Redeundum denique pute ad Leges redentium Percodorum
in qua doctrina distinguendum esset inter Nume vos
primos Periodum nulla habetis sua multitudine Unitatum
minorem
qualis est y. in Potestatibus decadicis. Sutrum in
aliis quoque porestatibus nondum determinaverim) Atque hi rigii
primoprimi dici possent
d inter Primitivos qui habent
badhuc minores Periodos partiales. Credoque haud paroli rem fore
mometi ut Characterem habeamus hoc primitivos a primi
primis discernendi, sicut facile discernimus Nume ros Uno
modo Compositas a pluribus modis Compositos. Certe in Analysi
multum prodesset, nosse quo loco minima Periodus dsinat
Id jam novi Primos qui Unitate differut à pariter pariba
habere Periodos saepissime redentes Etiam simile quid vi in
37. quia metitur ipsum n1. sed num quid Amalogum po
reliquis potestatibus inde concludi possit, adhuc sum invertus
nisi quod nullus dubitem omnes primos qui Unitate differut
a potestatibus Ternari Lornarii etc: habete etiam Perrodos
frequentiores.
Magnam ita seriem, Vir Excelleatissimo
proposui eorum in quibus adhuc me video informandum
gtrum omnia illa inquisitione digna sant ego plane nequer
determinare. Si quid eorum duae Excett. tanti monenti videbeitu
ut lucem Tui Examinis _ Mustrationis sabeat, equidem quicquid
circa haec monitum erit, a
Goelpherb. 9. Julii
1709.
Tua C
grato.  discendi cupidissimo excipiam
acell
b. etiem subjectissimu
Residua
vaor.
Ead. 0

## Folio 18v — DE-611-HS-861255:0036
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-861255/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
Magnifico Amplissimo, lo
sultissimo atque Excelle
Fissimo. Duo Dno y livis
LEtBX 1T10. Consiliario Eu
etorali Intimo Patrono
meo observatea suma devenerando
Tannovem