# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/49748/text
# Catalogue record: 49748 — für Hermann: Methodus generalis investigandi divisores formularum rationalium integralium...
# Incipit: Formula vel aequatio data ita transformetur,
# Date: 1708-09-06 (08-09)
# Sender: Leibniz — Addressee: Hermann
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=49748&katnr=45154
# The Leibniz-Archiv's transcriptions of the letters of 1708 (pre-edition): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-transkriptionen-1708
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068571
# Title: Leibniz-Handschriften zur Philosophie LH 4, 2, 11
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 4, 2, 11 Bl. 1): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068571:0001 to 00068571:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068571&page=1
# Lines: 311 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068571:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068571/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 119 lines, status machine
an se prof. Hernaque gossicat. Eaptrati
Methodus generalis investigandi
ivisores formuturum ratio nalium integralium;
msle natur ex datis divisoribus numerorum
rationalium integrorum
dita
Formula vel aequatio ita transformetur, ut omnes ejus
radices siant falsae, adeoque ut omnes termini sint affecti
Siguo +. Talis sit quaecunque p + qu + Y XX + s x L t A
+ VX+ V. R=O quaeritur an et quae formula secundum
eandem x ordinata, hanc eam dividat A. Formula dividentes, si dantur
erbi gra
dinelentes erunt minimun_ duae b + ex + dux + eX + fX = D (b+C +d Xx + Cx+  =)
bet uae tex
et A d , quae in seinvicem ductae producentissem. C. xcepto uno casu quo formuta data quadratica  quadrats
pro X sumatur numerus h integer affirmativus rationalis
major quavis datarum P, 4, Y 5 E, D, . Eoque guostitato in formuta x
resattabH loco X substituto resultabis  numerus
qui vooetur m. cujus exhibeantur divisorest. Horum quilibet
(vejectis tamen quos mox dicemus diridatur per h, et notetur residuus
primus,  quotiensde rursus dividatur per h, et notetur residuus secundus;
Factori
possit, ita altimus quotiens simul ultimus residuorum erit. Itaqueuilibet divitori ascribatur sua re residuorum
atque ita continuetur donec amplius per h dividi pot quoticus non
statim illi rejici possunt, quorum
primus residuus nullus est ex divisoribus termini ultimi formulae datae,
ractoribus
seu facto ribus
Sed ex his divitor ons 
et quorum residuns ultimus residuus pallus est ex divisoribus seu factoribus
series
termini summi formule datae. Conserantur series diversorum
diversae series inter se, patet non nisi eas utites esse posse, quae
d. ita eaque ita inter s congruent,
p
conferendo deries inter se, q oporset ita ut primus residuas duct unius ductus in primum atterius det p, uttimum terminum formulo date,
eu
sibi uulno Ex his seriebus residuorum, si quia un res
succedit aliqua dabit b, C, deet altera B,
ultimus residuus unius ductus in
ultimum alterius detm summam terminum formulae datae
in primum alterias det B, et
hocloco 4
numeri a residuorum duarum serierum congruentium, ode () (nempe .) et ,) d (nempe
FW
 praeterea numerus residuorum unius seriei unitate mi
in unum additi et binario minuti darek debent numerum gradus
formulae datae Quodsi talis consensus non contingat serierum
congruentia non contingat, formula data non tubo pronuntiam
potest formulam datam non esse divisibilem excepto uno casu,
cum est quadratica quo casu formulae dividentes concidunt
formularum
ignosci potest. Conguentia autem e stente tentari divisis potest per unam an cusns
sed casus formulae datae quadraticae aliunde satis
ter
quoci vero consensus concingut plus serierum congruentia
ins residui unius serenum mentiam
120
livisio unaquaque congru formulam ex qualibet congruentia; vel procedatur ad novam hypothesin, novo assumto runeros
intingat plus semel, vel que quavi tentatio tentari divisio potest per
vel nocus assumi h) ubi prodib numeras (A), unde
novus subie supradciet numerus (M). cujus divitores
ea exhibeantur divises et eodem modo tractentur per
actore
dividantur per (h) ut dirjoves ipsius M divisi sunt per hB: 
Factores
aliquibuus
prodibuntus novae series residuorum, ex quibus sola eligentur illae quae coincilunt
prionibus et inter se coincidentes, et inter non erie
seriebus prioris hypotheseos non exclusis consentientes coincidentes
Et vera erit sexes lerierum conjugatio quam
quaevis hypothesis labit quod si nulla talis est, impossibilis
etiam quaesite divisio erit. conjugatio quae semper prodeat
est
etiam quaesita divisio impossibilis erit.
Ratio autem horum partim ex dictis manifesta, partium est
fa est, partim ut ut relatio serierum conjugatarum inter se;
partim facile reddi potest. S Nempe si tam formulam O quam
formulam D explices, pro X substituendo yt h, vel yth)
vl ultimus terminus formulae ex 0 factae erit p L gh
 rhh + ASh + t h + v h = m, divisibilis per ultimum
terminum formulae ex D factae B b +ch F dhh+ eh =n
idemque est si adhibeas (h) vel Ch)
(ter
(+7+ SxX = E
nam exmmpli a
B, Vd sunt tes
e b, edie sunt
detrahendo 2, proct
 qui est hunceus gradus (nempe + 4 + 3-2 =5)
sit formula rX
1X + 25X  3X + 55X + 71X +91 =
alumpudabet 100 prok, et prodoo 00 000000
e
boc
00 000000
1000000
15
o
122503553191
F utcunque varres h vel (h), vel at), et.
si trumems prodori flise Lmapq
produci potest esse ex ed 3Yd, et 
 8Z, videntum an B0Vod in G0E producat
lomonopo; vel ab ped  in
Boris ioe producit
Ilem si aut au 307d in 08x produrat
leo nae paq pront sciliet pro
h sonis 1
jam sint BVdEDKM GXY
sit fu
si tam pro A sumatur 1000, fint 
m- 12025a28550 21091, quod produci debet.
videndum an hoc
(2 od E0bKoMB in ovE
dato numero m, possibile sit hoc sit, nempe
idque fortasse facillime obtinebitur, si numeri exprimatur
syadice, ui ita enm in multiplicando nunquam transitur
in aliam coluanam

## Folio 1v — 00068571:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068571/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 192 lines, status machine
2630306506
itaque patet fore
PF gha rhh + fa thirk = m di visibilem per b+ ch+ dhtia ek = n
P+ f + nths ) s) + L( B) + V(() = (m)
P +q CstreHl B+ ()+ t (i) +v (i) = (m )
b+C) +d (l) + e(h) = 11)
b +c(.) 1d (tis t ect = (n)
ubi numeris
sunt ergo n divisor respondentium M;  m sunt dati sed numeri n
sunt quaesiti inter plures datos. preterea b est unus ex
ipsius P, et e est anus ex diofonibus ipsius V. Et verus Factor
factoribus
divisor ipsius m, qui sit n quaesitus; si dividatur per h
rpondentem quotiente iterum diviso, et quotientis quotiente
quamdiu licet; dabit residuos, primum b, secundum c
tertium d, ultimum e, posito omnes literas esse quantitates
affirmativas, et h esse divisorem esse majorem quam b, tc
quenvis ex his b, c, de; quod non potest non esse, quia assumtus
est major quovis ex datis p, 4, r, s, t v; quorum maximus.
major est maximo ex ipsis b, c, d e. Nempe eh + dhh + ch +b, : h
= ehh + dh +C + () b (:h) et eth+ db +C et ehh+ dh+c, : h
= eh + d + C(.h) Et eh + d, :h = e + d(:t) et e: h = el: h)
ubi ehh + dh +C, eh+ d, e
sunt quotientes; sed b, c, d, e, sunt
residui. Veri autem residui a erunt, quorum sevies
in quavis hypothesi eadem prodibit. Nam quicunque sint h,
vel (h) vel ch, iidem sunt b, c, d, e.
Exemplum adjicere non inutile erit
formula dividerss. pro X sumatu ponendo h = 10, (fiet  238656 = m
qui numerus sexies dimidiari, semel per 3 dividr potest,
productoque tandem diviso per 1 predit 113, primitivus
sibisorum simplicisimorum
pdu Ex horumc
De  factare
1. 2. 4. 8- 16. 32.
3. 6. 12. 4. 48. 96. 192
11. 22. 44. 88. 116. 352. 704
pradeunt
33. 66. 132 264. 528. 1056. 2112
(3. 26. 457. 4 4. 180 8. 3616. 7277
339 6ro Des 2sp2 1924 15 f8. 21690
Ger5. 39176. 79552
Sibe 19328. 238156
(10 vel 100, vel 1000, nae pe cue taor
seilece pruxime mjor scilicet potestas cenarii proxime
major maximo numero  coefficient formulae catae
dividendae
seriem de quam det Factor, sine ullo calculo agnosci
primo aspectu. sic si divicer Factor ipsius 238656
factor 21696 sit dividendus per 10. patet residuos fore
23,86,56
quaesitum n, esse 2112, ut revera sunt in exemplo
superiore; consequens est, si pro le substituisset 100,
res diviforem ne resultantis (n) factorem responden
tem fore 2tBcO2 2010102 ita enim non aliter prod
bunt iidem residui qui ante. Si pro2112 scribatu
(generaliter BH + hhitah+C, deveble etiam diuuso
major quolinat coefficientium
data sit aequatio 2X + 3X  + B X + 6XN
200000
e
prodeunt Factores Divisores seu Factsr
238656; debebit respondens ipsius o
Bchi) + _ssih) + d (h) + b e itaque operae pretium foret
dispicere duobus dat
an r peririt quasi comma
locum habebunt Hinc cum
F Transformatio aequationis in eam cujus omne
debet producere datam, 2 p + 3+ + 8 X.
H9 A Porro b et (6) sunt 1 et Z
C et (C) dui divellendus est numerus
rgo cerit 2 et (C) erit 1 vel contra.
in numeruis 
Ex his sali lineola subducta notati sunt, qui examinari merentur.
his minimi duarum debent esse notarum, quia nicus de n
udiferi nequit, itaque e et C) sint 2 et 3, et divellatur
nuus sit divisibilis per 3 atter per L, id est in ipsos 2 et 3. Ejus
uidens, fveto. gr. B bt e) foret duorum memo terminorum sed divioresbinarum residui hocloco h = 10, residui
nota non esteoq
e e sisil o
austrntasen
Ex hoc exemplo patet, si pro h assumatur
ratar humerus respondentis M
qua Diser aliquis dividatur per h, residuos fore ipsa
notas ipsius divisoris. Execpo aique ita residuorum
incipiendo a e,s, 6
ordine retrogrado 2, 3, 816, 5,6.
u ita ut primus residuus sit 6, secundus 5, M, ultimus.
sed sifuisset dividendus per 100, residui fuissent
issent 238, 656. In
est calculi compendium
030800050b
2030806050b
uli BA d e sunt
mitores quam h, id est quam
onfacodem etiam
pe ms bede in β)S dabo
quasi eundem, nempe B, d
238656; et bocodoe in (070s datit 2030806050b.
08006005006)
imo amplias 600c00d00C in B00Veod dare 20q
et ita porro quantumeunque a
aciefficientes
(loco h, 10 ponendo (h), 100) factorem aliquem esse )
pro uno P, pro altero Bo do
numerorum β3.  b, C,d,e, et β,
sit determinala multiflide
  etiam auter ad factores inveniendos prodet
+5X + 6, prodibit bb) =2
et ((1) sunt vel 1 et 6,
e -6 vet br 9 14) 100
haberi possunt. Nam ut se numerus
 pro inveniendis pro invenendi
in duosquorum unus sit divisibilis per 2
unus sit divisibilis per.
atter percusu
et D) eruit P et
Sed (1) = (d) ergo et (C) = 1
= 2. Ergo (6) = l et b = 2
(X3 + AXX + 1XF Z et CXXL IXF
de sunt factores ipsi
dnvulsiones quas prascribis su
mnr terminori
inintudcaims
avenientis detio
et it divellem
ad b) bt
lininsmed
ut duchis in se invitem emlienum et
otur ani
ila instobetur pereralis ex 24B
arationu
quae sumedet, dabitque
quantitatibus, h. Nam stiuia bx + exx idX t e in (B XX dabed
literae quaesitae, procesiseumm
V
ducta in (b)XX + (ex L
ex cntat
derviet asesti
Conteduit gi
na ser sissi t
tirum conferendi sunt iique apparem primo dspectu, nam quia 
a notae numeri cujasque ex. d si lrb modi praescripto dividas per 10, primus
dus 7, tertius 1. Excluduntur ergo n quorum ultim
a non est dsor ipsius Y hoc loce
residur est 6 Babei pius p hoc loeo sex, ipsius A Fac 1,2, 3
excluduntur etiam quorum primaton
ut duos possint f urc residuos, quia formula dividens n (veluti b + Cx
ipsius L, nempe 1, 2. Mininm etiam
minimam est duorum terminorum. Porro termine uot residu
ro duarum ne
eriot duorum residuorum ex d num
A cum termino qui
um serie quatuor. id est terminus N
je quinque residuorum; series trium
hoc loco per numerus 2 volcoum et num
i sunt numeri
nameri ternarum 11, 12, 22  numeriquinarum ex
m numero quinque noturum et num
binarum notarum, moatus est
quibus unus sover temaore
lo. loco conp
ut rumens terr
1356, 2112,=
ater 113 et 2112
nun cum numeris quaterman  hatie
2712. Habemas ergo tres tentandas conjugationessicita
faciles apparet solam succedere consationem inter 113 et 2112
item inter 113
fistu tentata ieris
seriem residuorum 2, C, 1, 2
seu inter seriem residuorum 3, 1,
t quae etiam succedit, nam formu fiete Bx 8
D =  2X3 + 1X + CX + 2, et 4 = X 1XK + 1X + 3. quae formula in se
quae invicem dactae dant formulam datam O. Nec opus est hoc loco
ad alterius hypotheseos assumtionem loco ipsius 10 quodsitamen ndei merta
exemplo patet assum sissemus alium (h) = 100, tunc m) fuisset 20308060506
sunt 10103 et 2010102, eosdem daturi residuos si per 100 divilas, quos
edist serem
comparatit factoum npe as
itcujus   or  retere, dios per esidtisrum venieritam 
ratie inveniendi cujusq
Sacit Z, haltem eo reducta est
denam 
11 s oh6 atem
s ex quibus conjugationibus duae solume
Aed 201080
et habet Ractores
161 et 2610609
vel 10l03 et 20010
3L. 31. 71. 38
=386. 5b