# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/5350/text
# Catalogue record: 5350 — [Problem]
# Incipit: Invenire lineam talis naturae, ut grave in ea descendens aeqvabiliter
# Date: 1688
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=5350&katnr=41190
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068144
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 9, 19
# Folios: Bl. 5–6 (from the shelfmark LH 35, 9, 19 Bl. 5-6 (6 r° v°) (=41189)): 4 pages, canvases 9–12, page ids 00068144:0009 to 00068144:0012
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068144&page=9
# Lines: 196 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 5r — 00068144:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 77 lines, status machine
ei
 sit aequatio differentialis, inter X, y, et dx, dius
AB, X, BC y.. 1CDax D2Cdy.
sit X+y = 7G. et 1CE sit co
L 2C2)
V
est erit ap  dy - dz = co
et XdX + ydy = Z dZ
sit jam aequatio differentialis quaecunque ex numero implicatarm
verbi gratia b XG rdus Xdx +  ydy = X du
id agtu id quaeritur, ut obtineatur aequatio diffferentialis pura
patet tolli posse duas X et y itemque alterntiam ex duabus
dus vel ax. Et prodibit aequatio in qua sole erit
evunt _y, du du, deo. Nam ex aequ
ex aequ. 3 fit Xdx
r
noch
L
2C
K
a+
-qudu dy + y ay
Nam
Ergo
 Nam ex aeg. 1 fit:
(6) l
seu
yy du. Unde ope aequationum 6 et 8
D ait
V
q2 ay = ZZ d72 seu y = Z 1 dy - dz
b
quan aequationem substitureado in aequ. b. sit
ima t +deZ d
bc
ed
ex rav. ex aeg. 3 fit =
3
cXd
= 277 Laty - dze dza + 77 dus (229
l
dy: du eo-dus +du 
id
L
sublatis jam irrationalibus
et mulliplicationib,s vel divisionibus facitis, ponamus aequitionem
Ci
nest
2. et horum
=cua. G.  B etit angulus cti.
2
s
a
potentias arteffcium Tantum opus est artificium tate desiderari
prot
vlile pri
prodires
ut nova assumatur litera unica
e
est
barn da
quae sola ipsis co, et dy
evanescant. verbi gratia sit aequatu
dicis
et
dus simul
dZ + dy a  = DQ a
2a
(2) a
sd a
et si ponamus du esse semper aequalem sibi seu costantem fiet,
Z.2
Q= dn a, seu S -sq = ma. seu SB- sz =
seu posibs y uniformiter crescentibus ausuler i arue circuli seu in constante ordinu
da
ductu, denta area ex Z ipsi basi seu au applicatis aequabitur quadrato psim
 dimidiato. quod si non sit qedus constans sed osunatur pore

## Folio 5v — 00068144:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 51 lines, status machine
C
(
ut o
ex plicace facta, et de posita illa deinie pro conestante
e
prodeant duo tieubra tantum, sic, ut lic ducatur
verbi gratia Z in (7. pernode enim hoc modo est
ac si Z esset litr liter differentio- differentralis
u
in hac methodo latere solvendi modu
einde verdet substituendo pro se invices inventa hoc modo relplionem inter
detue
q et aliud ferbi gintia D, habebitur denique modus et summandi aeu, seu mogmendi)
Vilud in genere poto, uoties g problematis
natura talis e
2C
V it liceat ipsum investigare
per  et nulla habita ratione ipsarum
v. 4que et col
X et y, et ex, dy. semper cesito rem
autem
reduci ad quadraturat.
id ergo n primis
in problematibus sysicis fieri solet, ubi investigatio
ab initio indvari sit prout quenit.
sic si quaeratur
linea ACC talis, ut grave in ea descendens
aequabiliter recedat a puncto A. seu ut ipsaeAC sint
temporibus proportionales e potest quaeri solutio non
considerita perpendiculari et i Et cum respiciendi
pespendicularem et horitontatem perplexa aequaid
to
diferentialis prodecd,  nunc si possit oblneri aequatio
consiverando solum Z et aZ et d. co, vel oda
d
vel f = ca.Z, id est angulum, ita
ut detur aequatio
inter 2, et D et c Z et du et _ manifestum
est
rem revocatam esse ad quadruturam uonim
possumus i
Et, si hoc procedit pro potesit assumi
quali  res genentitem tractari assumendo enum
vancunus reratiinem inter, tempus et ip sapum AC
cum temporibus; ut ita propositur quodcunu
problema tamgentrum possimus revocare ad quadratoras
consederando perinde ac si esset problena  proc
aliquod pro descensu gravium. Taut est problemaa
piuris abstracta reducere a magis concleta
ubi sese ex ipsis adjacensibus aperit via quae
in abstrastis non apparat. itaque non semper itiis abstracto

## Folio 6r — 00068144:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 56 lines, status machine
invenire lineam talis, natura, ut grave in ea descendens aequabiliter
recedat a puncto aliquo A, seu ut chordae AC sint
temporibus proportionales.
AC AB sit X, BC, y. AC, F
+dt = X dx + y dy.
+t = xx + yy
Ex notura autem descensus gravium constat,
velocitatem qua mobile perveniens in e postea perpendiculariter descendere pergenet, esse
eandem qua idem mobile pergem velocitatem perpendiculariter descendendi, acquisitam
eandem esse in B et in C est autem velocitas haec in sabdicplicata ratione
irsius AB, seu X, seu ut sar et Est aitten felben et
temm quo anos descenderet er tempus quo grave ea velecitate perveniret
ex 1B in 2B est in composita ratione spatii 1B2B seu dx directa
et velocitalis e reciproca seu ut dx: sax, sed tempus quo
mobile idem grave hanc velo vim nactum percumit 1c2C sem ic du
ad velocitatem, qua percurreret 1B2B, ut est 1C2C C seu Ydx +di
seu at
ad 1B2B, ergo tempus seu at erit ut Sdx +du: tax.
seu dt = a ax + dus: sax = xdx + ydy: txX + gy
seu
dx + du,  a. XX + yy = X. X ax + ydue
quod ad solutionem non sufficit
seu a) Sax+ dy: tax = IXX + yy
ideamus an lfacilior fiat aditus, si nullam habea mus lavem
pergendicularis ponamus scilicet grave ita moveri in anea
AEC, peunde ac si in regula moveretur aequabilitet moveretur, et ipsus interim
AC vel AEG
regula prout oportet circumiret se rocaretur crca A, quaeritur angulus
modus angulos regulae determinandi seu ipsius 1CE determinatu quaeritur
Quam vocabimus co. Hinc enim facile habetur angulus. Ante omnia ab
initio statim in plano inclinato A1C, cujus angulus ad horizontem est
intite starus descendat mobile, acquisita jum velocitate jam
notabili per se, et ea durante percurrat lineam Elementarem A. C
semper futuram eandem, ergo  eodem tempore, adeoque tempore
s
elementari (primi gradus,) alio ergo oportet, Anguli  AIC adhonzon–
tem non esse infinite parvum, alioqui faeret opus foret tempore ordinario
ad percurrendum AIC adeoque infinito ad descendum incurva. Si pero
ponamus velocitatem initio esse infinite pardam atempore infinito opus foret ad percurrendam ArC
si angulus esset infinile parvus, hinc oportet tangentem curvae in A non esse honfonti paralletam
sumatur jam ipsi AIC aqualis 1E2C, et rectae IC. E atque 1E1C sibi sint parallelae, normales
quaeritur quanta debeat esse ipsa 1C1E et inclinata earum ad honzontem, ut eodem
tempore, quo mobile pervenit ex A in 1C etiam perveniat ex iC in 2C, et eodem modo
quamodo deinde sumi sumta porro 2E3C = 1E2C quomodo sumi debeat quantio
sumi debeat 2C2E, et quis faciendus angulus 2CA3C dato anelo recta A2C
eclaa, quod semper veficitatum ipsarm
ed his dilatis, nune
it ratiocinabor: velocitates quib percurruntur elementa curoae sum in composier ratione temporuus et linearum
sinee EF 1ut renom neaeme ta se d
idem ane sd  positurus in C Generaliter a me in fallor demonstraum est, velocitates
percursuduam lincarum acquisitas e a gravit esse in composita ratione temporum
AC et per ACC, erunt tempora
delocitatibus reciproce lineis proportionalia seu TAC: TVACC:: ACC: AC. jam hic T TVACC sunt ut AC
clinearum, et iopo cum velo citis eade acquoratur fr
Ex hy aoitesti sen tremimom desensu per A ee sunt ab AC. huro vs vies in 4u Aesnt nt pe Cer
tes sed hit dipis hovam incidit consideanti a

## Folio 6v — 00068144:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 12 lines, status machine
arcus ACC sunt ut tempora quibus descenditur per AC chordas. Jam
quo
temprp quius descenditur per chorda AC, est ad tempus quo descenditur per
chadam e altitudinem seu sagilta, Adut AB ad ut AC adAB et tempus
quo descenditur per AB est ut VAB seu ut vax. ergo tempus
quo descenditur per aam et ut chordom Ab, seu ipse areus ACC est ut
lamen dubito an conciliabile sit cum illo supra invento as sarustax
utaque cavendum ne enor subsit in eo quod diusimus velvertates aaquisitas
esse u in composita noc temporum et linearum pcursarum
ta sit ax +dy = e et sX =F. fier de = dt saxrtdx: tax
et rursus , a = saX at quae duoonsentrae hon possunt
omnino id falsum, nisi sit une linem recta conlitma.