# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/5351/text
# Catalogue record: 5351 — Notanda circa Methodum Tangentium inversam, per numerum radicum
# Incipit: Si qvaeratur curva talis, ut grave cadens ab A in B,
# Date: 1688
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=5351&katnr=41191
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068144
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 9, 19
# Folios: Bl. 7 (from the shelfmark LH 35, 9, 19 Bl. 7): 2 pages, canvases 13–14, page ids 00068144:0013 to 00068144:0014
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068144&page=13
# Lines: 162 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 7r — 00068144:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 71 lines, status machine
didendum an problema propositum ita solvi possit ut ponamus nobile
aequabiliter progredi in  exB, Regula Bd ex B reguam autem
C
esse mobilem circa Tentrum B, et ita quidem moveri ut mobile Bvenicas ex D in(D)
descendnt ex C in (C) celeritates quae sint iin subdoplicata ratione altitudinum AC
seu HD) do
Generaliter  sit Bd = v Cerit v0=
vri. et vdy - y dy + Xdx
fiet vao = dus SV∞ -XX + X dx seu dy = vdo - Xdx: YVV - XX. Jam
habuimus axO2x = a dx +adu et O = a dv: b2, fiet
a do X = b ax +b cus Ubi valorem ipsius dy substituendo ut tantum estent du et do
cum sit dy = v do - ~x dodx + x dx = vn - XX, adeoque tandem fiet
2
212
2
sed haec aequatio nihilo est tractulilior priore
e
a
qum
L
du = v do - XdX : S∞B - XX = d dv ax = b2 dX: b
Si DH = e ert ee = dx + dy - +v. Et dy = sec + dv - dx = v dv -x X  vv -x
rursus a do X = (b x + b ee = b2∞) + b av- si jam possemus tollere
tam dx, quam X, ut solum restareut e et v. et du. haberetur desideratum
ile
2
idenmus _ generaliter dus = Vdo - Xdx, : vo - XX et dy = see + du-dx
specialiter in casu nostro dev: D
afiet:
 et
=bsdX  dys: pper aeg. 2 tollendo dus ex aeq. 1 et 3
4)
Wnv- Xx. rect do - cx = vdo - xdx et 
eax do 5) t   E + dr73
bs
b eet di ubiquidem
X ex aeq.  Colleno X opC aeq. 5 nihil agimus quia in aeq. et est etiam ex
et ex aeq. 4 tollendo du ope aequationis si etiam nihil agimqus qua restat
de
nin aeq. 4 est etiam V
paulo itaque e sive D H nihil procest hoc loco. Manet
ergo aequalio D quae ntalo est simplicuor quam Equatio  que et
0
aequatio ) ordinata b pondndo de: ex=  dabit.
e  ∞ = 2b VX  + bv. P20
axr
ax
Videamus tantum auliceat facere
bv= ax v + aX3L0 ut destruatur D
fietque G= v: 2X ex aeq. 6.
jam ex aeg. 7 differentialiter fit: 26v - 2aXVG - av + 3a X20
10
et jungendo aeg. 8. et 9. fiet  bv= axv - avX +3a x= quod deberet consentis
cum aeg. 7. quia vero non consentit, sequitur nec hypothesin7 procedere
Ee
erales sumatic quae per simplicem quadraturam seu summationem in
2
a ictdinariis lineis solvi possunt agnoscendas, v. g sit du=  + bb dx
C
2 si ponitur jam v limX ne sit du Sa +bX + CXX
Observatio superioris peginae inprimis utilis est ad aequationes differen
8a + bx et ve sr+mxtne nx y ( e to+ +
 sir dy =
non potest esse y = 3.. + ∞ C cumenim dus habeat duos valores,haberet valores quatuor
regneriter se nisi in exceptis casibus, ut in radicibus Y si cocurmut vig. La sX et a gb at
s
eo ec ay = n Med B
bas
A+ m X + i l- m 7
:2 demxei  = incoX: 2Vl - mX
ergo y=

## Folio 7v — 00068144:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068144/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 91 lines, status machine
Notanda ciria
Methodum Tangentium inversam, per
numerum radicum
si quaeratur curva talis, ut grave cadens ab A in B et inde porro pergens
in curva descendat uniformiter, seu ut tempora descensuum per Bd. sint spatiis BC
per cujus verticem transtr
proportionalia, inventum a me est curvam Bd fore cujus verticem tangit AB,
fore paraboloeidem quadrato cubicam, sic ut  AB in quadratum Cd aequetur cubo, BC
Sin quaer desideretur, ut grave uniformiter plocurrat in latus seu ut  tempora descensum
in Bd sint ipsis BE proportionalia, curva per cujus verticem B transit AB erit parabota
cujus axis AB, latus rectum vero sit quad ruplum ipsius AB
sibi
Sed si quaeratur curvatalis, ut grave in ea descendens aequabiliter
recedat a puncto primo in quo curvam attrugit, seu ut ipsae chordae
nempe Bd, B1d) sitit tempiribus descensuum per arcus Bd, B(37 proportionales
paulo difficilius erit problema. Nam generaliter qualiscunque sit curva, si ponatur
rationes interselementa BC = X, et Cd = y et Elementum temporis  potest intelligi vax = a raxas
sen du = XaX 4 boly: v
jam Bd = sx + y V et diff. Bd seu dYx + est = Xdx +ydy: Sx+ t. Ergo si
a do = b ax 147
fatiamus B proportionalia ipsis diff. BD. seu O- a d sp+ p: b fiet
possione (XNaX dx + y sax dy = b (X +y. dx +du. se ubi si ponamus y = m X et substi
mus et ita tollamus, y et dus, nimis multi oriuntur termini, quam ut destuendo venire
loy. arcus est liceat ad identicam sou se destimentem. Idem vereor, si compositus sit varor rationalis
fea
ipsius y. si scribatur dys: ax = W et reduaur adinetur aequatio
V +2ayX1+ axy 1V2C
+
b22V
post sublatas irrationales, ordinetur fiet
regu va videtur
air
si jam assumatur aequatio inter X et y, in ea y deber minimum ad  se cundum gradum asserus
set  one
Nam saaiia
e
nisi primu vel velinernras o
qua chorbeo valores quod ejus differentialis 1. itaque si ope aequalionis assumtitiae inter X et itollatur
ex C nisi simul evanescat W. (quod an fieri possit  considerandum) patet W per X expressum
1
2
a incen habere duos minimum valores. Imo aequalio ipsius inter X et y debet esse talis
adjuciement ut ejus ope tollendo y ex O in nova aequatione W0 non assuruet ultra 1V atque
ideo videtur aequatio inter y et Y esse talis, ut ex aeque. O eadem
descntid est Mera st et y dollantur) nam si talis aequatio inter y et X assumi nequit, videtur
hinc inferri Curvam quaesitam in ordinariis esse impossibilem adeoque esse debere
e
Tanscendentem. Quod utique pulcherrimum est ratiocinandi genus nulli ad huc usurpatum
Non vacat nunc ipsum problema propositum prosequi. Sed operaepretium fuit
hanc ratiocinandi Methodum, ne forte efflueret, annotasse.
sit y = lX + mX + n X + pX +9X etc. firt y = lX + 2lmx + 2laX + 2lp X ) , lgX
eot
+ mx + 2max + 2mpX
dy = l + 2mX + 3nx + 4 pX +59X etC. et W = ( + 4 limX +6 lux + YIp X3  
praeterea investigari debet yu, et q. sed hoc videtur
+n 20
ani 12umx3 + 16 Mpx eu
+qu ea
e
et
copendiose fieri posse nam (ydus sen syro = L L est Ergo pro yu sumenda Ld dii quae faille
scribitur ob jam inventum valorem est. inventi ist sumendum est quadratum.
inveniemus aequationem curvae nostrae per senem infinita
fuc ethodo
elemextorum
recessus ad
elementa
arcus, erunt
in subdupti.
cata proportione.
altitudinum
seu dit. inter
log. HCc Ay et
aequalis loga
rithmo oini
dio altitudinis
er datam
constantem
miluto
Datio Elementi
recessus ad
Elementum
arcus est ea
vel asficendum est
mentum reces
corculationus, sit
in ratio qua
habetur ex dato
ducta eDn defi. P.
uti
terse