# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/53921/text
# Catalogue record: 53921 — [Aufz. zur Zahlentheorie]
# Incipit: Sit y = z v = al/z fiet yy + vv = zz + [aall]/zz = 2al
# Date: 1713
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=53921&katnr=35777
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068207
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 15, 5
# Folios: Bl. 53–54 (from the shelfmark LH 35, 15, 5 Bl. 53-54 (=35776)): 4 pages, canvases 105–108, page ids 00068207:0105 to 00068207:0108
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068207&page=105
# Lines: 263 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 53r — 00068207:0105
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 54v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Reverendissime Pater
satis apparet ex Tuis egregiis speciminibus,
quam praeclare etiam in Analysi diophantea
sis versatus, quam ego magis perfici optem.
Hactenus enim admodum limitata est, nec satis
tuto pronuntiare possumus atium sit possibile aliquod
problema vel non. Proposuerat quidam hoc problema parisiis cum ego javenis ibi versarer.
invenire trs numeros tales ut summa et
differentia duorum quorum libet sit quadratus. Petius
Mengolus Mathematicus apud Bononienses suo tempore
Insignis scherum  prosolutione miserat, qua demonstratum a se
contenduat problema in numeris rationalibus impossibile
esse, sed refutatus est ipsorum trium numerorum
excribitione. Equidem non facile aliquis
credo sote solvet problema tale ut X +  sit
quadratus posito n esse datum quemcunque; sed
tamen ex illis quae affers, Reverendissime pater
impossibilitas non infertur.  sed ante omnia
annoto) me non desiderasse ut tam X + n quam
X- in simul sit quadratus, id enim rem edit per se difficilem reddit
difficiliorem, sed sufficere  mihi alterutrum; nempe
inveniyi
dato quocunque numero m, inveniatur X tallss
ut X + mo sit quadratus avel ut x - m sit
quadratus. Desidero onarseu
secundum quam X (inveniri possit inveniri possit
infinitis modis, manente tamen eodem numero
dato m.
cum desideras tam differentiam quam
en
summam quaesitorum numerorum, datum duc
multiplicatione unius in alterum componentium
esse quadratum +, etbene quidem ostendes,
hoc praestari si  quarta pars numerim
sit differentia ducrum suquadratorum. Sed ustquidsi
 possibilitatis. Nam dicertaliquis fortasse,
seu simul X, et X  esse quaddate 3
quemlibet numerum datum m, posse esse quadruplum
differentiae duorum biquadratorum si non integrorum,
saltem fractorum vel certe postulare posset demonstrationem
impossibilitatis
ostendit mihi de. Theobatdus schottet elegantem
Tuam solutionem problematis luneriam quo
desideratatur formulam a gubb saab aequari
quadrato, numer Numeros a et b, inveniri
tales, ut a - gabb - baab esset quadratus;
sed ego p sed fortasse Mveriooni Cluverii
proponentis, Vor Er a) 1015 (qui fuit vir ingeniosus
et mihi per literas notus, intentio fut desiderium
sut,uoa at anti maneri puro alitur assum pesserts
possemus diere
quod ichabere e praestare deberem
si haberemus perfectam Methodum
fiat
a xsam ∞v
axx taam = vVX
sit aam faxy
fiet t aby = ro
- ay: a = am: y
dividatur ae quatio in duas
aa XX +  m( 2aa X tam = VX
aequ vix P 2ax sam
fiet ax =  + a Jam
et o = + 24 sam
oportet m esse quadratum,
ccujus radicis duplum sit
quadratus

## Folio 53v — 00068207:0106
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 54r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
ad ut alteruter, veluti b esset datus.
Hoc enim modo si quis in _ numeris posset
vigalia uriantibus numeris expressis,
quadratas. ut supra- dicta formula esset, quadratum conficeret.
fortasse praemium mereretur ob promotam
scientiam.
(et f utei modum
Utinam, quemadmodum certum habeo inveniendi
commode utrum datus numerus sit primitivus,
modum etiam haberenus, cum apparet non esse
primitivam, eruendo aliquem ejus divisorem, ita
enim numerorum resolutio in suos componentes
Methodus Tua ex dato numerus primitivo sinveniendi
nime sequentem consideratu digna videtur
problema Tuum ita solvi, aaXXL MX = Xagu
li (a mihi hic est unitas, quam quaeritur ut tam XX + mx
quam XX- mX sint quadrati. Assumo a loco unitatis,
t observem legem homogeneorum, et facio aaxxtaamx = XXyy
aAXX = aa mX = XXDV. Ex priore sit X = aam: yy-aa
ex posteriore fit X = aam:, aa -V Tantum ergo gy =- aa =  - v
yy+ v0 = 2aa sit ay = aZ - aa et av = +7 = au
ex aayy taa vo = 2a fiet aa Z Z- 2a Z + a + HlZ Z 2aat Z + a - 2a
respuctis destruendis, factaque divisione per L
= 2a + 2aat,:, Ur aa + H; et proinde 
 raat + a - att,:, aa + H et hunc valorem
Cocuieghat tat ta Chaalet VJ. q. fant)
Sa C Ladu
fiet X = m qu (aa + H): Aat (an H)
sin y substituendo in valore ipsius X, qui erat aam: yy -aa
vel cuboque vel AX +M crto vel biquadrato, equari debent, et ita porro
ciet tandem X = in quaa +H): gat saa- H). Hac similes methodus sucedit quotiescunus
 methodo rem etiam praestare licuisset
LXX F aMX, et lxx amx debuissent
este quadrati, posito et m esse numeros datos,
et a significole unitatem. Ubi foret gy + un = ral
Egocusus video Methodi diosanteae
insignes
ad Geometriam, ubi  non referet referret utrum
namb
supernuis
vo= ta
a canone aliquo quantitas ad
modo qua numerus variabilis, qualisf
verb velut + in novissimo canone, rat extra
vinculum irrationalitatis maneret. Et contentus
forem si tali ratione solvi posset hob hioc problema
invenire X tam aequalem quadrat. Et proinde
) invenire X + bXX + acX aqualem quadrato,
iosilo b et C esse constantes; nec per canonem,
dd haberetur valor ipsius X, vel per t, vel aliam
feram infinitis modis valo variabilem  quae
pineutum irratio posito m, b, e, esse datos,
et a esse unitatem.
firt yg=
gy + vb =  auzZ + aall - 2al = 0
u 17 =0 seu Z=
sit 9 = Z ∞ = al
fiet yy + 00 = Z7 + aall = 2 al
Ergo Z7 + aall - 2al = 0 seu Z =. a
tr, seu Z
ergxo oportet ut at sit quadratus
1y + vV = 2al
y= 28 +e v = ZY+
2299+ 229 +ee = 2al + 22291
ZZP Y + 2Z faf F B,
+22792 t
sit 38421 = fe
seu 7N-428 +e
Lg. 1(c. Z
= h
fiet 3 D + z1 - Bh
numerum datum qvidere in duos quadratos;
7y+00 = ral seu gy tov  270 = 2al  290 = ee
siet 
divellendo da duas sit est _,  y +B = e et yv = ee - ral : 2
et rursus Vy Lve + 2yv 4yu = (e Det ral
fiet  unde redims ad priora
si semel numerus datus divisus sit in duos quadralos,
potent dividi in infinitos alids duosquadratos
um XX  a ZV +B + C
qu = 2al = vv
yy - eet = 2al voy eel
Sd sit rat = ee sit ) el = l. qy = 2al - vB
Huton = al si ha D C 200
ex aburair - xrvo
Acompendiose
axx + abX + qac =
; dividendo cun a quatonem
induas fiet
det = X vV seu DB = ab
et exx taac seu
XX = -ac
aliter sit _X F aaC. VD
et exxtabx, seu
X = - ab: e, et fiet
vo = aec: b ubino
suffieit-ael. b esquadratu
sit ergo X = = ab c C
quadratus e
fadc, = XvV xab
siet X -1-g ,- va
seu cax tat ac-eac
y= Z- a. Eop 7 - Ba frant
aam.

## Folio 54r — 00068207:0107
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 53v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
et 229C + - rul 42i lepp
u b rige 11 tir 1e9. E4
tiet -e ab facaoreb +44 ac -   ro
si Ax+ fad =  19. a fit an
ua
vv- ab +. Ja 
Gatac = orv. ab +G8 Hac
=aretaabharue
si desiderassemus
 X + mXX et X - mXX
esse quadratos, fuisset similiter
auan t at = grn M
2 tan ag tan
94- aa, Van
1e
vy - 4aa88a
gt+ at-racgss, an
qu (Cs + au)
apem= prgy _ et X= a
qusiversen X- a. votam
it foet vo-gy = 2am
aX + aux
nempe summum
me L ex else poratu
diferentiam ipscrum
fieretraam:, yy aa
r= aam:, vetaa
foret y = vB = 2aa
fierd potest yt D = 2B
et y y - v = aa: C
fieret 2y = 23 + (aa: β3)
et 2V = 2B- (aa: B)
yyt gy vv al
 at:, 23+ a qua  - a
   pera
Efficeere ut datus nunerus an sit differentia
ductum quadratorum se avu- vyanfiat
a y + b = β et y - v = an: β
ldux
Efficere ut datus numenis sit, dfsumma horum
ductum oc non ita facile est:
VY F vv = an
y + v -1 = β y - v1 - 1 = an: β
fieret, y = B + an: β
2v L-1 = B - an: B
Hica . et CXn. ), se Aones  intercurant
Jy an vo
si n esse b
imaginariae. Sed si volumus adhibere irra-
tionales, vel si an sit quadratus his non estr
gy = an = W, sit py = tan +  et ayotant
siet 82 + ad = 2dan e unde datur y,
et a san F av:  Gian-qv,: a
itaque in numers facile potest quadratus dividi
unde datur.
in duos quadratos.
yu + ex LH. = an fit 3y eo Frbb = an- bb
at2PC + ee + 4+ 245, s = an
dd si numerus datus semel dividi possit in
d duos quadratos, poterit infinitis modis
dioidi in duos quadratos verb. gr.
yy + vB = am sit. an = ee + A
fiat y -1Zae et v = tZaf, fiet
Y3 + vo = aa22 B2aa Ze F eP + 1FZ- 2laftZ + aaff - an
unde fit aZ Z = 2ft + 2ae,:, aa + Ht
yyton +2ry amt2ry
yy o - an 5NV
un numens an sit divisibilis per
vo eevo = an
er) vo
ponamus an in ec+i esse quadratum
nc si efficimus obtianimus quaesitum
an = (ee +) PY vel S+ rr.
dat Numtrum dividae in duos quadratos
  2d ac + un 17 + . an =0
ece rec= an
Z vy = an -v = an voee
sit an duplum quadrati, = 2ec
fit yy - ed = ee - vv, et res facile proredit
si an esset siplum quadrati, 3ee
fierer yy - ee ec vo te
yy an, si an extribus
compuaretur
quad jatas qau ecberet; sit en
B=8+F. exy- e+e, fieret
otasse res
vtieteet 9 28f 1ff -es CetHrgg,
fieret 1 p42 e + + 2F = g9
et na = pV + 20 + 29
se gescoco +29oC + G + 288 = gg -9
fiet  89-8-
siet 8cdco + 2coC +25 = g+G

## Folio 54v — 00068207:0108
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 53r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).