# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/542/text
# Catalogue record: 542 — [Aufz. zur Differential- u. Integralrechnung]
# Incipit: Algorithmum differentialem exposui in actis Lipsiensibus, quomodo
# Date: 1690
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=542&katnr=58119
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068104
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 9
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 8, 9 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068104:0001 to 00068104:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068104&page=1
# Lines: 217 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.90
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068104:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068104/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
deau huc
in sclediasmale quod dom Baromi Bodeno
eptrehendimus
un
uea
Geomer
canon.
ran
Hic scrupulam ambignitatis sustilimus, quo calculus noster summalorius
Lissiensibus
Algorithmum differentialem exposui in actis, quomodo scilicet
ex aequationib die proposita eruatur aequatio differentialis. Hoc
possl loco regressum explicaro potest, quomodo aequationis propositae
differentialis inveniatur aequatio summatoix. Ubi anelogiam summarum
et differentiarum comparationem cum Potentius et Padicibus dudum
a me notatam considerandu id discriminis reperio. Quod aequationes rudicalis
sunt ambiguae hic veri contra summatrices. Sed ad rem veniamus
Sax = X vel xta
fy V vel v ta posita a constanti quacunque itaque variatis constan
tibus infinita quantitates differentes satis facere possunt ipsi (x hoc
est ipsi summae omnium dy. Polest etiam a esse quantitas falsa seu minor
nihilo, ita ut silte sed posito a = - b fiat  =  b. sed generaliter
igitur faciendum est  X= Y + a sive a sit = 0 si lu bioe +..
modoe set eat constans major nihilo sive constans minor mihilo. Ratio autem
hnius aequationis Pax= X ta haec est, quod ejus quaerendo diffepentialem
redit, identica seu dy = d. Nam d fdx  dx et dx =
Nam
dat
dsix = dx + da
dx = dy + o seu dy- dy.. quia, d a = 0
Sed applicemus ad figuram, ubi triangulum, ABL, alabscisso ex Ae X
s
 AB, abscisae ex AxC X; BL ordinatae ad apem y = X
 triangulum lineae Characteristicum   et
DL dy d. LDL) ubi LD = dx, D(C) = dus hocloco- dx
Ubi fit (dx = phoc est  6B5B + 5BaB + 4B3 Bet = B  BA
et sdy erequ 6L5D + 5L ad + 4L 3d etc. = 6L6 B
14
ad5t
Atque haec quidem locum habent si ambo nempe
X et y simul crescunt, et amba inde a
aihilo incipiunt eo enim casu saus-
si quantitas, cujus differentialis du propo–
sita est inde a nihilo incipiens continue
crescit. r ejncipict, Hoc est suppo
si supponam X deer a nihilo rescere, et sisse y = x, utiq
no
semper
et y se a nihilo continue crescet.
Sed si faciamus y-arx
ut in fig. 2 ubi BL seu y est aequ. AE seu BF seu a, plus FL, seu X
(posito EF = FL) ) nihilominus sit dy = dx, seu D(L) = LD
verbi gratia.  1D2L = IL 1d, et 2D3L = 2L2d. etc.
itaque si sit dy = de non sequitur semper esse y = X, sed
e ut in fig. 1. Sed fieri potest, ut sit y = a + x, ut
in
1g. 2
ium fieri potest clan, ut st dis ex existent
imoidantur ad hui alia explicationes et figura, nam posita
dy = dx fieri potest ut sit y = X -a ut in fig. 3. ubi
rseneis posita enim semper EF = FL. et AE = a, et AB - EF- X
fit BL s sel e, = FL - AE seu y = X - a, et tamen
manet LD = D(L) seu ex = sy. Ubi tamen notandum esst
db X deprescente usque ad 0 sed adeoque infra a, fieri y quantitatem
negativam tunc cum X minor est quam a: seu in locum ipsius
seu uti ex B educebatur BL ad partem red recedentem ab EF, ita nunc
ex B edui B IL, versus EF in partes contrarias  Et
nihilo minus licet y sit quantitas negativas tamen manere
potest, dus quantitas positiva sive enim sit  mator
vel minor nihilo seu siae sit (V vel X -a major vel mino
nihilo, tamen semper dy vel dX-a manet dx ubi tamen
ob servandum est, quando y est negativa, tunc laedu esistente posibba
cudam
taren ut et X et dx positivis tamen BT esse negitivam nec du
tamentet
ad eas partes unie ciescunt ipsae x, sed ad contrarius ut it fig. 4 ducta L2
i ot coogente  dit   esotis B inter A et 1
e

## Folio 1v — 00068104:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068104/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 83 lines, status machine
cujus rec ratio est quod BT = dX Y. du itaque positis dx, dy positiois et
y negativa, utique et BT fit negativa quod si tam y quam dy esset negativa
ad manente du positiva, utique B T maneret positiria et BT esse positi
vam esst duci eam versus A, seu versus punctum uinde crescunt ipsae X,
sduci quando X positrva est Interm
s dus modo dus positva sit, sive posita ex posituva; sin B7
sit negalivaduatur ad partes contrarias.
Interim sive, Y sit
negation sive positiva, modo du sit positiva semper B4 ducitur
 Itaque ostendinus posita dy -x
inde sequi y = X vel x + a vel x - b seu generaliter
a ex dy = x sequit sequi y = X + a posita a
constante arbitraria quacunque.
Similiter si sit dy= - dx
inde sequitur i vel y = - X vel y = + a -x vel
 Nihil autem significat qua quantitatem esse
pegativam quam assumi ad contrarias partes earum secundum quas.
X = - b - x.
eae procedunt quae assuntae pro positivis it in fig. 5. positis BL Ex
BL veli ( y, et AB. vet A(BYX
si)
.
Cet et AF = a
fit  BL = FB = AB - AF seu y = a X - a unde
y fit negatrva quando a ajsr quam Xi
Quando autem
tunc est affirmativa, tunc sumendo LD
seu 
LC
Fid seu dx affirmativam _ (seu producendo AB ad (B) secundum ordinem
qu
us est eeaa
quo in eam plagam in quam sumta X  vel AB ab A, est
positiva) debet D(H) sumi  in eam plagam versus eam
plagam versus quam ex AB educta BL seu y est positiva
 Ex jam Ce Exposuimus hactenus eas tantum figuras
in quibus X asumitur positiva, sed quae fieri pb ut et e
x sit negativa, et partim positiva partim negaliva, hinc rursus
aut
varian possent figurae, et plures exhiberi schematismi sed res
ex dictis patet. Nemde temper unaa ex di Et generaliter
nolandum est, sde seuper in iostro arbitrio esse quam plagam
pro X reu quam plagam pro y velimus assumere  ad progressum
rectius sortasse respon
dentes sibi B et G
comem smul paren
et alia nota
designabium, utrum
accedant ad A,
vel ab eo recedant
an parent hesis
B2A, 1G2G
ita enim contrabia erit ad regressum Nam sumento punctum A inter
actionem condirectricium indefinitarum. AG AB erit
in nostro arbitio intrum si placet, velimus AB seu X, quando position
habent valorem sumere, AB, ita ut A B sit - X, vel contra;
et similiter utrum si placet velimus y sumere A G, ita ut A, G, sint.
an contra. Et tunc udx est B(B) vel (B) B, sed
- dx est  (B) B vel B (B) nempe sumendo literam
can
et q parent hesi
erclusamesse eam seu esse punctum datum, sed sequentem
praepositam esse veam unde incipitur
esse punctum quaesitum seu ope prioris et aequationis deter
minandum, et  literam parenthesi inclusam signare
punctum magis recedens ab A. et literam pleo tectam
signare punctum ad quod ab A tendendo est regressiis
it respundeant aliquanto
. 1B et 1G)
eodem modo ut in x procedendum in y -. ita ut X sit AB
vel A(B) et _ -X sit AB vel A(B). Unde jam
cum B sit= dxy idu facile oetermnaatur determintu
( seu fea seu B18) AG: G1G) facile hatebur modus ducendi.
2B) et 2G
tangentem ex inventis valoribus y et dx: dus. Regula
aque = 4 y+ a,
interim manet generalis.
 1 eju  signticut hi palitios aliaeb et e Seusprmi ex seents quantitatis aquatur sumuae ex qvant
hoc lite
thesi imebidemus,
manebit ordo
spuficabitur
numeris 2

## Folio 2r — 00068104:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068104/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 56 lines, status machine
Hinc jam porro progrediamur 
d C= dXy = X dy + ydx Hoc quidem
sit ∞ = Xy, fit dv seu
alQuae quidem aequatio verissima est, sed non ideo datur regressus
sit enim do = X dy + yda non ideo licet dicere v = Xy
nam fieri potest ut sit v = Xy + a, inde enim eodem modo prodibit
de= Xdy + ydx, ea quia da =
sed huc pooque applicemus ad
dts inspiciatur fig. 7. Soi. AB sit X,  AGseu BLy
figuram
ponanturque ambae incipere ab A, et progredi una quaeque in eadem
semper partes, tunc patet te LBB) rectangulum
ex vx; et L G(G) rectangulum esse X du et summam rectan
gulorum LB(3) componere figuram trilineam ABLA, et
summam rectangulorum LG(G) componere comprementum e
tilipei prioris, seu trilineum AG. L A., adeoque ambo tilinea
simul componunt rectanctumn BG, seu ABLG.
Sed dantur alii casus multifarii, ubi id non procedit. ut
fig. 8. ubi AB. quidem incipiunt a nililo, sed A BL incipiunt ab AH
atque inde crescunt crescentibus AB ubi C AB seu X exi stente 0, fit
AG D = AH, et tunc recta Cd sxdus =  trilin. HGLH, et. 1
ydx = quaeriliueo. H A BL H et, adeo. Ixdy + sydx = Xy 
seu HGLH + AABL H = BG seu = ABLG ut aute
Sed quid si condirectrices se mon secent in eodem puncto
itaque nihil matatur ideo quod a et y non simul
quia tamen fieri potest, ut sit spr + Sudus -)X+ ab
ea figura sie exprimere tentemus. Et (fig. 9
sed si crescentibus AB ve x decrescaut AB vel y, seu
uta ut _ y sint 4G), (L G. adeoque ipsi L (L) respondeat (G) G.
tunc, fit d+ A HABLH - HGL H. = ABLG
ses sed quia tunc dus est quantitas negativa,  et y positiva
ad hinc verum manet esse  (ydx +. (xdus = Xy nam
pro du regativa puncudo ejus valorem - d W (ponendo y = W) fiet, utique
itaque etiam nihil turbatur, si
constanter crescentibus X modo crescant y modo decrescant ut infig. 10
y dx - Se y dio = Xy
si
Pieri etiam potest ut s ipsi ipsae X non incipiant a nihla
non magis quam y, ut in fig. I1 et 12 ubi  fse.
fig. 18G
fill estd AFBL in fius. e est
HFBLH est S. yax et HEGLH est BsY u
eb lateo in fig. 11 at - sxdy in fig. 12
 in fig. 1 est AFHE + HEBLH = GCSL H = ABLG
et in fig.ir esst AFHEF, HF BLH = HEGLH = ABL G
poncndo ergo AF = a, et AE = b, fit utrobique ab + sy x + sadus = Xy)
Habemus ergo regulam generalem tianc: si sit  (  X dy ya
Aget ax G)Sax + (Xdy = Xy - ab
A C
seu summa omnium ordinatarum
in respondemi element coordinatae, una cum summa omnium oordinatarum
in respondentia ordinatae, aequatur rectangulo ub pordinata et coordinata,
demto rectangulo quod fit sub prima ordinata in primam coordinatam
ubi notandum est s cum el ordinata vel coordinata vel elementum
fit negalionur, mutari tantum signa; nec ideo minnus salva manet regula
getralis

## Folio 2v — 00068104:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).