# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/55834/text
# Catalogue record: 55834 — [Aufz. zur Zahlentheorie]
# Incipit: vv + a/vv = yy fit yy -vv
# Date: 1713-11-21
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=55834&katnr=35774
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068207
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 15, 5
# Folios: Bl. 50–51 (from the shelfmark LH 35, 15, 5 Bl. 50-51 (=35773)): 4 pages, canvases 99–102, page ids 00068207:0099 to 00068207:0102
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068207&page=99
# Lines: 366 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.82
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 50r — 00068207:0099
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 51v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 120 lines, status machine
ome
Repater
piae stal fatterie expressiones nestras fuisse generalius coneptas quam par erat
itaque
Reverendissime pater
praestat ni fallor, fateri expressiones postas fuisse
et nihilominus X non esse quadratur Nlitereu
generalius conceptas quam par erat. Nempe sic (si bent sint une intelligo) mens lua nunc
mens lua haec fuit cum t sultem
aliquem cum a non potest exacte dividi per X, tunc sila sit numenis aptus
aliquem aliquem saltem dari X, qui sit quadratus; imo
semper un X esse unum ex confactoribus, quorum
alteuter sit cquadratus
Reverendissime pater
Non bene video quomodo expressiones Tuae cum rebus
novissima
conciliari possint. Verba Tua ac sunt: ajo et repeto
cum a non potest exacte divili per X, tunc X semper esse
numerum quadratum. Et tamen concedis, quod objeci, cum a est 73G
ta sicet u no
et Y est 60, tunc a non exacte,
ita aliter. Et itasex cn  Camne suo fore quad patum quod nonest. Exgo alitar
ifall concipiendus est ulnon Tuns, adjiciendaque limitatio t aliquae,
ut manifesta evidetur contradictio. Restringere videris ad
 posito a apto possibitam
aiquem X, qui  quadratus eon exacte dividentem a, qui sit quadratu
Canonem alterum (anon alter erat: cum
X est quadratus integer non exacte dividens ipsum a
tunc a semper esse = 2X +1. Dedi etiam exemplum
in contrarium cum a est 225 et X est 36 Forte
volnissi ditere rem  succedere cum a est a
Hoc limitas nunc ad casum, quo Z
X = WV, et 20
Z- Ao +a
vel -vv+Z
Est autem tibi  x 
GZ latus quadrati quod aequetur y H( + a) tibi est = A(v + a)
vx +Z= Hva) seu yZ + 20yZ = a,
ipte ton est licere esse Z=
Qet utique ft et tunc utique posiso
xeta
+ 2X + 1 ex t fit +, et sit F2M +t = a. sid hoc peri
sid ita tua limitatio sit identica. Nempe a esse 2X + 1
eo casu quo id contingit; neque enim Z aliunde determinatur
praestat festinationem
a te determpratur.
candide fateri quam ita excusare. Ipse tateo
attuleras quae hiluc secundum tuum Canonem (nfringebam
alterum
eu non ferebant. Itaque mera fuit pronurtiandi
festinatio, cujus nos adeo pudere non debet, cum nondum hic publico suibamus
Diperam ego in nuperrimo Epistolio, cum a et X sunt integri
s primi inter se, necesse esse ut a habeat binos confactores
quorum diffecentia sit du plus quadratus ) simplus antim quanhatum
forcx. Ho. non tantum dixi sed et demonstrate F possum
 Subjicis, sine pater. hoc eti etiam semper contig
contingere, licab X t au cum X et a habent
cersur commureu resura a lta sers
in teglum
tamen x non sequataro. Aliter ergo
X primi genium, sed non expliias quem aut cur primogenitum ves voces
Ne hoc Ne hoc quidem  demonstrasti quod sciam
semper
esse
bi sitquaa non exacte dividens
 F+oV 3B + Zvel ob - Z
Hoc
Ino nec rep demonstrari potest, nam ecce instan-
tiam in contrarium. A Esto enim a = 14. I)
numerus est aptus, nam inveniri potest X cum eo satis facie
q nempe 18, quia 18+ 4 = 16d  sed non
nunquam reperie stex satis faciente ne qui sit quadia
possum autem dicere quid sit possibile vel non, cum
etctata
derpetitur integer  a dato int egro petitus
Nemp
ger
Auper enim modum resu
desi
en
 non potest esse bccom poscid cit
tum
intaer est imp
quadratus et et camone, X fore quadratum
imo neC demonstrari poterit, stonm
Rec puto ad e demonstrari posse
aptus, uali nam
nat moturis aliquis potest _ eum a
satispulions nempe 12) nempe fiate
12 +
reperie aad
sed panquam
3
catistae
tem, qui sit quadratus
vo + a = y7
fit gy- ve
siat p -v =
et y+v=
fint 2y = at e y = a+
et a +1 - v = L iseu a+1 -2VV -2
Seu a =. vy+1
p- v = f et ytv - p
Aliter sit
fit 29 = fta : v siuys = ff3 52 Y
f + a = 2γV,. 2
et  et fiets
V
9
2
siet fa - vy v- 940, g
gv
et  9+v= 
 et ta 2
deu 2V
sit vo
Bt
fit
sy
seu 2f = f+ - - 2bp et 

## Folio 50v — 00068207:0100
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 51r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 171 lines, status machine
4
ex tuo Canore, secundum quem a = +20Z + 22
ubifaltorum Z et q + 2VB differentia est du plux
duplus quadratus. Sed tuns Canon non est
pero
universalis, supponit enim X = WV. S ego costendi
posse esse X = bvB et func bv btc
non veta, sed _ bv tC aequabitur quadrato
posito _ a = bc. Et faciles sunt instantiae
sit Sit a, 3. Is numeus est optus, nam X potest
32
esse 8 seu 2. 4 potest etiam esse . stE16
7) 8 + 34 = 49 et 3 + 34 = 529. Et timen
16
punerus 34 non habet duos confactores quorum differentia
sit duplus quadratus, confactores enim non alii surt
quam 34 et 1, item 17 et 2 sed neque 34 - l, neque
17 - 2 sunt dupliquadrati est duplus quadratus
postremo non cen neque canon
tuns est cujus quod a sit - + 2vBZ + ZZ est
uulversalis, ut dixi, neque ubi valet, sifficiens indicium
praebet, jam enim vex objeci int redire ad
redire ad aequationem a -Z =  + 2VB, quae
aeque difficilis est ac proposita, e A a tx = g
neque ostendis in q in responsione, tua ostendis, in quo
auf minus simpeles
etitur etiam
cu estintrur it Xet egli
Equidem absolvi negotium cum
 1700 + 39
1t
us
licet y sit fractus. Ostendo erdm modum
100 2
Hero enim modum u n tentationem quidem desiderantem,
alta epmer
oportet enim sumere omnes quadratos minores quam daba,
nsistentem, si rentae
et videre an  sucidat quadcalus ille, qui si lubet ei
posito il quadcatum esse WV ves succedat faciendo X = V,
lin
vel X = b vD, posito esse a = bc. simi sed
locum X potest esse fractus, non dum determinavimus,
quid sit possibile vel non? Equidem si canon tuus esset
nam oportet _ Y et Z esse minore vV et ZZ esse minores
et sumuntur, tunc enim certum est Zaet Z
it v et sunt integri Equidem cum anon tuus
 et Z esse intagros, sed tu intelligis eum etiam de fractis
a = = 2vyZ +2
nam tibi x est vy, mihi etiam bvB, et  X tamen
potest esse fradus fractus. quo casu, ut jam dixi sotutio
usus hujas Canonis est, aeque difficilis ac solutio problematis
sumatur exemplum omnium simplicissimum, in speciem
scolicet, ponatur scilicet
tuo 1= + 20vZ +Z2. jam C,
et 7 aequa
1. fiet  ex Canone
sa fict differentia inter Z
seu si
1 = 2
2VV. 
in problemate proposito, quar quaeriturit
ito summo
lucranur. Operae jam pretiono erit aut invenipe Xposito a esse 1
aequabis quadrato simplo
aut ostendere impossibilitatem, sed rrigorose, non per suppositiones
 Reverentissime pater,
Haec non potui neus blandiamus)
 g
36 29b
72t 7 V 2b 20
109
2609 1290E
259..
2609
269
X+ a = quadrato X = B: Z
8 + aZ = quadrulo
9 + a2Z = quadrato
Z
13
quachalo
38 + a3 28 = juni
= Mnmpo
Zm 8p +aZZ- remnup
Pa = munq
= pnpa
frt manuq + antopqus nmp
LE et mmungus tanntpusq
22Z  c- 24
X+X = XX D_ fit XX +1 = x 19
Genemliter
sit ungqu=
matr+ apprnt
12Z quatulo
condrato
t ad nnd ape salie quam sinfici
aequalis quadrato simpla
et X subima,  quod est simpliia.
ax aequalis quadrato. ique
(et a integrit
In Casu X
exrale
problema nostum tale
L hespicor a non posset
indicai alias quonoto
ec
icam alias ntegros commid
revocentur, qua ration
 prollemati
facilius ad S
qe diu y res mathemaicas porre ornare perge
m dyo  limine stemus
 in lingre stenos es ae B
625 +34 =659
82717=49
5
seu 1
audide prscribere, ne veritat amicae injuriam faciam
sufficientes aut minus probatas.
quasi re absolulasem
16+34 = 50
254 +34 -290
2+24- 36
2+27= 19
M X
59t
a
BBA
259
etsi viam ad hoc videre) sta mn
unversalis sum Cann tuum locum habet, et + signifiait +, seu t
tunc sit a = 2veZ +Z2, ubi facili est tentamentum
Epositis v et Z)
locum habet, facilis res foret posito
a esse.=
Eu
su
ta
=
b  sit v.
c = 9 = 3 =
gu 18 -1 9-2 6-3
=
= +
59.
t v = 2 b= 2
s c = 49
= 17WV +
17 (7V + 2 auquactalus . 81 + 34 = 113
s
156
16
102
72
5274
9
6
14
162
man
258
64.
 s
s6
in 32
XH ax = Xx VY
XX + a =
a L X
LX7
mihi videar

## Folio 51r — 00068207:0101
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 50v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 18 lines, status machine
19)
35 b sit 9, W euut 120,39, 58 77 et
4 5
1 10 11 12 4 13 14 1 16 17 18 (19
4 9 16 25 36 49 64, 81 100 121 144
3
1 4 9 16
58
17
17 6 15
4
38
39
suo
19+1
29F1 31941
b nn. l9 + 4l9 H1 = m. 19 + 2 C
Col . 4 = 19m. _ = coco + 2, Woeo -2

## Folio 51v — 00068207:0102
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 50r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068207/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
a a = MN. I +n = vV
n = vv - n = a. fint nov - nn = a
nn = nvD + Lv = Lp - a
X + d =g9  a = yyx = xX
C. sit  a = bc et X = b coco
fiet X coco +  = yy, At seu fiat
bes gycoco = bct = c sit y  A903
sit y _ g et co = L, e 2gb fiet 234 3e =
fiet 164 3+ = et  3t = C H a = 64
etfict et X , et habemqu
8+ 6+ = 16 id a = buycoco  bbco
sit y = v: co, fiot vx - bco = c
sit v = Y et c0 = 2 et D = 3 fiet 2549- 9  = c -1
sit  et a = 3 et X = 64B. fit 48 + =
461. 16
a = bc X = b co1
bcocd  bc - = v
bed
colo
aoco coco
seu bW +C = vV c = Y v0 - bc si
V sit 7 et b sit 3, et co sit 2, fiet c = 1 et X = 12
seu 1= 49 - 3. 16 et 3. 16+ 1 = 49
et 3. 4 +  = 49 et 3.4 + 34
49
4
sit v = 9 et c0 = 2 e b = 3 et X = 12 et C
erit C = g1 - 48 = 33 et _ a = 9) 48
sit 12 + 97 = 12 + 33 = 8
23
datur et tamen et quadratus salis faccens nempe 49
nam fit 49 + 92 = 2560
49
49
num 4949 +9y = 2500
si 3 sit a, datur quadratus salis faciens 1 -X
N = l vv = 121  b = 1, co = 3, fit 121 = 121 - 81 = 20 = c- a
X = 9 in  9+  28 = 125
b = 3 et co =2 fet 121Z 48 = C = 73 162
b =- 2 c0= 3, e v = 13 _ ex v0 - bc = c
fia 169 = 162 = 7 = C et a = 14 et X = 18
18+ 14 = 18+7 = 169
E non fcedit posito a = 14 non succedit X = 4
thneque enim 4 + 14 = 4 +Z   dat quadrabu
nec sucedit X = 9  negeum 9 + g = 81+ 14 = q5 est
quadratus
bV + c99 = vob X buigque
a
 b00 + C42 1 = bv L Cq = vn
a =, bC
44
X = bv0 : 44
ve
V =
qqui
qquo
v: qu