# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/5671/text
# Catalogue record: 5671 — [Math. Unters.]
# Incipit: Possumus scire qvaenam Raticis datae aeqvitioni satisfacientis sit par
# Date: 1690
# Other printings: Knobloch, Kombinatorik 2, 1976, S. 207-212
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=5671&katnr=39629
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 90–91 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 90-91): 4 pages, canvases 179–182, page ids 00068195:0179 to 00068195:0182
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=179
# Lines: 275 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.80
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 90r — 00068195:0179
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 91v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Ravicis
ossumus scire quae nam parseratialis in data aequatione satis
item quae purs rationalis quadrati,
.Nam habetur
facientis sit pars rationalis.
cubi a liquadrati, surdesolidi etc ejusdem Radicis, iationaliter
b  nos
Assumi instar Hypotheseos, quae videtur possibilis, quod tradix
a radiciluss
na quaque
rationale
datur autems
proposit quaesita sit polynomium, v.g. quod radix aequationis
vinti gradus sit X = l + m +n + p, posito aequationem carere ter
meno secundo, quo casu nullam continebit partem rationalem
eno ubi l, m, etc. Sunt radices surdesolidae
Assumo porro istas radices surde solidas tales esse ut combinatae
per se, aut per suas p potentias non producant rationalem, nisi
 seu aliquid unee extralci possit radii surdesolida, nisi forte uno
casu, cum omnes quatuor ducuntur in se invicem. Itaque extra
une casum, uoportet haberi l, vel lo vel _ Er, vel lo mS, vel
ale aliquid ut prodire possit quantitas rationalis.
tac hypothesi assumta, sequitur quicquid rationale est in X, coinci
Seu inO
ere cum eo quod est rationale in 15 + m +n + pC; et quod est ratio-
114
t10
1o coincidesse cum eo quod est rationale in  l
CM + ex =)) Et quod est rationale in X coincidere cum eo quod est
stuin
male in X
aationale in . m +. lmn 66 et tandem quod est rationale in de seu ia
10 10 110 5C
20 +.. lm +.. lm +.. l mn+. l’mn pe
115
110
seu
coincidere cum eo quod est rationale in
nubi coefficientes vacui relict non expressi quomodo supplendi sint, suo loco dicetur
se qui autem quod dixi ex e hypothesi assumta ex eo patet, quod X
 ECinet V + m +. l’m +. l’mx +. l’mn +. l’mup, sed ex hypothesi nullum horum
o
15
dE paeter l continet aliquid rationale. Idemque argumentum valet de X, X, p
1.
et l’n possunt
erVempe in X. Soli termini
Aissumo jam novam hypothesin, suffecturam adque determinandum
20
de
15
x0
scontiant aliquid hationula
ubrs monxuXi
8, 4
s
est in
ipsis (
ilas l M, n, p; nempe id quod rationale in iptus (C, 8, 6.
aequari ipsis O, D, D, 4
atC seu irrationalea omnia in ipsis
c
d
EX hac ergo hypothesi dantur . C
constat autam Datur autem summa rater ipsorum X ratimaliter cujus quinta pars 1t quod est rationale
la XS, seu  es ( habetuo ergo _O. seu O est quiata pars termini secundi aquationis. Habet. ergo endem modo
ur. habentur ape Tabulac en valore
tp.o flabetur jam B3, et habentum
lm in 5
evanescere sive destrui.
Norum X. ex potito X = L nod e ldit G ip 15 et Pm datishalatur
et D ,e B, et B. sed confficientes istm
rcumdat quod fes
 caetera caburos
poto derivat
punt
3
e
13
2

## Folio 90v — 00068195:0180
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 91r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
10
Hinc dalis d, seu l, et dato D seu l+.. Pm dabitur etiam 1m
8
s
13
10
110
tandem dato E, sen l +..  n +. l m +. l nn +.. l’m’np, dabitur et emin.
a Tabilis
e
110 10
e
2
tis
Hinc tandim habitis l. Um, emn en datur l siven
sive n, sive p, per aequationem quarti gradus. Ex curus radiu
qualibet extrahendo radicem surdesolidam habetur L, vel m, vel n vel p
ita
Habeturque X seu l+ m + nF p, pure
16
20 
85
36 152
ita haec hypothesis suffint satis facit etiam alterio
semper-
ypothesi quam ratum consentaniam judicavi, ut radix su aequationis
turde solidae sit composita ex trabus quatuor radicibus aequationis
biquadrabicae, sunde solide extractis uti cubia componitur ex
duabus radicibus aequationis quadhatice cubice extractis, aliquid ifficiat rationale
ieu ethesis ridetur valie rationalis ut ip  irma nulla ex l, A
Ex act legitus combinatoriis a me dudum constitutis, 
exquirantum
posito X =  e l calculo expiruantur coefficientes ipsorm
20
(5, 1 m, l, etc. in valoribus XE, X, X, X
ut habeamus
quantitates O D, 0, 8.
Hinc jam ponendo B in n, p, etc = a + b + c + d
habemus a = O, hinc O = E +2 ab O = a + 3 ab +6 abc et
quas aequationes
34- a + 4~b + 6a b + 12 abc + 24 abcd
itas nunc aequationes conjungendo cum priribus .... = d
conju
= et ... = 9, habebitur a seu , et ab seu Vm, et abc seu Vm
et denique  abed seu lmErp
 leren
 In Aequatione cubica X = l + M
ib . sit aequatio X + gX + Y = 0 Cuit in X rationale nihil
In Xx rationale est sum Radices aequationis sunto X, E,  Aabemus X + Y
20
Ex=1
fiet XX = 00 +2 seu Xx = 29
habemus et Z XE seu X3 + xP +E∞ = q
et X3 = 6 + 309 + 6Y ergo X = bY. Erga in XX est rationale 24 seu 4, et
icex quia ergo in XX + ZZ + ∞x = 29, et quoad partem rationalem suam
quaelibet quantitas ex istis trebus, XX, _, xx se habet eodem modo, hinc pars rationalis
posp

## Folio 91r — 00068195:0181
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 90v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
in XX vel in 28, vel in px erit Z4. E pari modo, quia
X3 + E7+ p3 = 6Y  utique pars rationalis in X3, erit 61
seu 2r. Pono janc quod est rationale in X, coincidere
Oseu
ei quod est rationale inca l+ m, imo ei aequari, fiet
pono
13 + m = 2Y similiter, quod est rationale in X6
coincidere ei quod est rationale in D, seu in 16 + me
+.. (3m3. imo ei qua aequari, superest ergo ut quaeratur
coefficiens ipsius (m. Habemus  X = l +6Pm +  l mi
Y413M:
X = 1 - 1 = 0 fiet 0 = 2 - 12 + 2f - 9 et g = 2-12 + 25 = 25- 10
X = 1+ 1 _ fit 64 = 2 + 12 +2f +9 _ seu 9 =50 - 2f. fiet
ergo.50 - 25 = 2f - 10 et fiet 4f =60, et f= 15 et g = 20
seu X = l + 6bm + 15 ( mm + 20(M
at - 12+ 20 - 20
X = 2 - 1. fint 1 =  - 192 + 240  - 150 64 = 2 + 12 +50 + 20
0
5
160 res enso succedit, et habemus X = l, +6lm +15 lmm =20 lm posit
1
= 12 + 60
10
l+
U mt
mb Lms
192
364 itaque = 1 + 20m = ed quod est rationale i  e xo
Est autem id quod rationale in X idem cum secundo termino aquationis, u
habetia X+ X +CA + etc, seu cum a X: X + .X per 3 diviso
X + q L YX = 9qXX. cujus radix sit X, diviso
4X4 YX3
seu idem _  26 + vb + ∞ ,: 3. habemus autem X  + 
B 1 qX + Y
X = GX 
quaeramus ergo X + 26 + .
habemus =
XE = 9 xex = r, fiet utique
X + x6+ =  = d + 6.0t4 + 120 47 + -
 X =  O - 6. 04+6X +,699 - (b 12.04r - 29 + H3rY
per 3
et Xb: 3 = - 29 + 3rr,: 3 et frat l + m +2013 m 3 = - 2 9 + YY et l+ m = - = 9+ Nr. 20)
qria autem l’+ = 2Y, fiet 16+ m + 2( M = 4rr et 16m = 4rr - 2 l m et
fiet 18I3m = a - 3rY - Z8 seu 84 (3m = - grr - 29 et =lm - Grr + 29
et (6 + m6 = 4rr, L 191r + 49 - 416+ B, rr + 48:54 - 234 rr + 49- 12, 17
+m = - 2 99. + rY + 20. 91 + 404 - - 1899 + 27rr + 18orr + 4043: 27
6+ 6 + 2lm = 4rYt (+m = +r - 2lm
6 + n6 + 20(m = - 29 -23 +3NY, : 3 seu (+ M = - 66(3 M - 293 +3YY, : 3, et fint
0
nen sam neu
(2YY - 6l’ m = - 60 (3n - 293 + 3rr, fiet 54 lM3 = - grr - 293
n
X + 3 X + qX + Y = 0 X = lEm X = l+m + 3lmX sit 9 = - 3lm
et (3+ Mh =-Y
y 16+ mo  242: 27 = rr seu ( + m = 293 + 27Yr
S lm = -9: 3 Pn =- 9: 27
t
16+ M + 2l M = rr et b
fiet s 
x++ em
XX +bx
c
ex + b + bb = +b6
Senbb esa i
6+ 29127r7 (3-
49e +4. 27 9t 7 275 + d
4. 27
27
= 0
=

## Folio 91v — 00068195:0182
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 90r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
l+ m = -Y Im = = q.7
 M3
x+l+ m =0
fiet M = - q. 3l
 et 27l + 27Y13 -9= 0 seu 16+ rl - 1=
fint l’+ M = Y
X = - l, m X = - l m FImX, seu X lmX + 
jam X+ gX +r =o fit qu lm. 3 et r 1= m lm = - 9: 3
1+m = Y = lA , B = Y. fiat 2716 - 27r12- 90 seu fiet
2
6- rl - _ =0 1+m.
Pulem Hypothesin sic faciendam ut omne sit non nisi
per 1 m, erc. fine rationale excepto max. seu totali
= X - dm X + lmin XX +. lmap X + lan lm. b
(10
Hinc si 15 contnent aliquod rationalem
necesse est e valorem aliquid rationare
conficere; quod si lnqo ema lmup nihil
deberent. Nam cum  X ex nostra hypothesi, necesse est id solum quod est
in XS rationale, Equari ipsi 15 ut supposuimm sit Im = B Emn - Imup- S
.
D
5
3B8
3yP
eIS
3
Hic ex hypothesi quod rationale in 10 sumi debet ex eo quo rationale est
et in dd XX, et in (5. posito omnia praeter 8 esse nrationalia
sed in fallor res meliis deducitur priore mores ex 
+ 23C
+B3p,
+ βd
u
et in SX
 X= P = Om + Vmm = le mn + l’M + l mun = lMap + ar Cminn. mmnpi
p
=lm + Vmn + B mnn + Cm ap + Pmmnnp + FMA ( m n+ lmnp + l’Nn’H mnp i
m
continerent rationale, etiam ta saltem line tm. lun aliquid rationple confaere
Urum
= X + Bx + yX + ( X + BY X + (3  B X + B2xx +  X +
+M nP + P mnp lX  ubi infaller statum patet in solo 
10 et ln laere ravale quod est in r quia lmnp hic cum aliis non combinatur
sed videndum an secundum hanc hypothesin posito immp esse rationalem conscn
+
tiaut quae du rationalia quae ducuntur ex l = x + BXd etc. Et quae ducuntur
d
ex (10 = (d Bm etc. Nam in priore occurrit B3 cortmens aliquid rationale est
autem B= composita ex Cm  n B et ita resoloendo ad modim ta 1. patet
quad ratiorale in B, non posse secund hn rothesu assumtam esse nisi in BM ita
pidebimus auliceat facere _ d rationalem, seu an ita habeatur consensus.
Un
anes si liceat assamemus prd pro rationali incerta, quae demutur
altinia aequotione deferminabitur modo ibi non occurgal
20
aqualis difficultate cum quaesila, seu 8 +.. d + et
et aequalio
es ois in itio et quiulo gradu prius bene excilcenda est
ex ab ab ab etc. possunt haberi per B, V, S, etc. sed i non tamen plane sine x simplice
est
abC
2aabc7 = 2abX
albc
atcC
jane XX haberi potest per X et aa ab= B aa bb + 2aabc + 2abcd
Hinc mo licut facere ab et abc, et = datis quia sic con passent haberi ab, atE, et sine X
t