# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/570/text
# Catalogue record: 570 — no title
# Incipit: Coelum et terra transibunt verbum HochEdler Insonders Hochgeehrter
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=570&katnr=58147
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068106
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 11
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 8, 11 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068106:0001 to 00068106:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068106&page=1
# Lines: 318 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068106:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068106/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 106 lines, status machine
meme erunt contum
quotiescunque
aeq liberata a fi
affectione
on ad surgit ad quadratum aut ctra aec teraxin semonem ducuntum reci
jam alibi a me dudum demonstratum est, si haberi possit dy: dx per solam
dinis tolum modi (X: y. posse rem reduci ad quadraburas. jam si  in aequ. data haberetur
reperiantur, pe non sic sed dy: dx per y: a et x: a ved tentavi varus modis an rem possem reducere
ad statum priorem.  initio putabam merem posse contequi, si facene
asomerem valorem ipsius g: a per sola forumtam e rationem anter dans forrmulas
in quibus solo sessent v et Z. verbigr. X: a = a vv + 1022 : vZ et y. a = v+ Z. v
sed ita reperi, tam y: a, quam X: a haberi per v: Z, adeoque eri y: a et X: a
HI X ∞x +12 Et haberi inter se adeoque et y et x, quod est contra hypothesin. Multu alia deunde
=0. denturue tentavi, succectu non satis respondente. Inter  caetera hroc: sus  ex assumsi
literas indefinitas tres, ut v,Z, co et per has venib assumo valores
ipsarum x: a et y: a. Hini jam sub sollo adeoque et dy: a, et dy: a
i tollendo ayid Ya et proinde et dy: dx et ita tollendo denu
m, n, p, 4 sup. x: a, g: a, dy: dx habeo aequavem in qua solum erunt v, Z, cd, du, d3, deo
ha l huinc si dive haec divellenda est in duas, ut si vel assumenda
nova aequatio, ob  aliam exlitens, verbi gratia Z super numeratiariam eaque
nova aequatio non debet esse ordinaria inter Z, co et P, alioqui ejus ope intior
stollendo ( a ex vatoribus assumtis x: a, et y: a, per v, Z, co, res rediret
ix ad solam Y et Z, quod fieri non debere jam ostendiums. Itaque aequatio assumendt
est extraordinaria seu involvens differentiales, et quidem talis, ut eam jungento
cum reperta possimus tollere tam co quam deo, alio qui non sufficiet
ad nostrum scopum, qui est halcere aequationem inquasolum extent
d v, Z, av, de. Si in equatione repta, qu continente v, Z co, dv, 3, deo
pars essel coti pars esset continens solum duus citeras cum suls affectionibus
sit Sumamus ergo partem aequabionis hujus repertae, O
continentem duas solum literas earumque affectiones; et hanc faciamus
aequalem nihilo, dabitur verbi grabia Z et co, dz, deo; hanc
ponamus aequalem nihilo, habebitur relatio quadratoria inter Z et co
hujus ope tollendo ed ex aequ. O, habebitur aequatio quidem sine a ex
solis ex solis Z et v, sed non ideo habebitur d Hoc aequalio redacta
ad quadraburas, vel dabit quadraturam adinariam, vel transcendentem
si ordinariam, tunc a habetur ed per Z, solas, aut cum a; si solas
incidimus in absurdum, nam perinde est ac si imtio assumsissemus X et y
per solas Z et v; si co habetur per Z, _ a substiluendo valorem D in leg. C
habetur aequ aque du: dz per Z, v, a, contra intentum. sin aequatio sit
transcendens, tunc s si tractibilis eo res reducetur, ut log. ed, habeatur per
log. 7. vel ut ex se invicem habeantur haec tria co: Z. logue ed, log. 7
sed ita Tollendo cd ex aqu. C, necesse est, ut tandem do: dZe habentur
non polum per v: Z, sed etiam per Eog. Z. et ita itodem non obtinetur
obben futentum. Ergo
Ergo videndum erit an non pars aequationis O assumi
et queat, tatis, ut eam ponendo aequalem nihilo non amplius set
ICd in reliquo. Et pars tamen qua est co con contineat nisi duas
literas nempe aequ. heperta O divellenda est in duas partes D, continente
continentem solum viz, av, dZ. Hoc s
solum co, Z, deo, dz, et 
Itaque videndum an efficiqueat ut
det succedat, habetur quaesitum
ali Ut autem hoc succedat effici poterit si possimus valores
ipsarum literarum X et y assumere tates per Z, V, co, ut subtatis
velit v et co
X, y dx dy, aliqua litera aut ejus a duae quaevam litera vel earum
affectiones non ducantur in se reducta licet aequave, seu subtatis
Ractionibus non ducantur in se invicem aut termini quibus invicem
duverentur evanescerent.
vel etiam si ducerentur in se invice
dem modo efficient des
qu
tone termini omnes in quibus extat v
in quibus extaret co vel ejus affectio, ita divellendo evanesceret V,
csione.
Imo si X et dx in aequade)
liberata at fractionion
aut radicibus quas se
ipsae ingrediuntur 
habveri solutio
it s aquatio
10, 11, 12 utcun
per y, dy, a.
habetur solutia
pono esse num
us constantes
Haec colliguntu
rex parmae
ultimae
et Ex
  es p
log.X oco log.
sax =fcos
ax= eco. a
simine
velam parter
Tmturaeq
res est in
vade, non
omni demu
redibunt ad
ed sip
ddco entu
et posinde
si hoc sigt
sad video sit
 eraco si
il nida ae
supposita tote
en vinium
fs
dx = ea du
+Co o
Eumduum
madetn
ma n ex

## Folio 1v — 00068106:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068106/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 63 lines, status machine
possemus etiam dbinere intentum si in aequave reperta
)abesset vel deo vel c,  ext
in ea solum Z, ita enim et
habebium uram in qua  alteram vel sine vel cum ea, si sine
psius a
Rectio un
ea, habetur inllntum, seu aequad in qua solum do, dze v, Z. sin cum ea
habemus duas aequ. in fribus illa solu affectio extat, quarum ope
tollendo affectionem, habebitur aequad in qua solum erunt v, Z du, de
Videamus ergo primum an possit oblineri, ut desit deo, extentus
solum Z, dque, V, duco edese s aerit etiam  Et sanc facilius
obtineri pt, ut evanescat deo, quam ut eo, quia non lam alte solet
assurgere deo. Quin, et speciale quiddam est in deo, quod
In aqu. C non oritur, nisi per explicationem ipsius dy: dx non vero
per explicationem ipsius X et y
Hineee genec Hinc
tentari aliquid potest commune, sine alla ratione habita aequavis
datae, utrum nimirum via et xia sic possint assumi per v,  v, Z, cd
seu per v:Z, co: 2, ut dy: dx habeatur per fala sine dco, adeoque
per solas v:Z,  co:Z, avidzue: aliunde autem jam tum
haberi potest dy:dx, ex v: Z et co: Z, si in aequ. data tollamus
via, et x. a. unde hos duos aquanto valores dy: dx aequanto
habetur atique aequatio d inter v: Z, co:Z, dv: dZ. quam
divlllendo utcunque obtinemus obtentum, et quidem squod
nonnihil suspectum successum facit) ninus facile seu infinies
modis,; utcunque scilicet divellamus.
ergo
 Examinemus saltem an possibile sit
facere sumere
, X. a, e= y datur dy. dx  per mas y: a
pempe sit y: a =  per _v: Z, Cor  co: Z
et X: a, similiter
quaeritur an possit dyidque esse sine deo, oportebit tam dus esse sine deo,
quam sit ergoa gra  (da nscd sdco co ea 1  AF
V: a = (d~ ∞. Z W. Z0 + cd. Z0:: c0. Z. V  Cd. Z 
seu y: a =  a m + bn,: cp + g. posito a dari ex c, et M ex Z.B
posito a, b, c, d dari ex co, et M, n, p, q dari ex  Z et v.
fiet dged=
=
padm Hm da deo tex b an Arpn db deo f- a cdpuam pat do - am ed quajuste dlu
eq.... e4......
19 .1. u 29....
ep + eq
r
tantum ergo superest, ut fiat epmda + egmdat cpnabt eqn
= amp de + bupdc + amgde + bngd. e si faciamus a exe
a = Cd 10Cd b = 11 co, C = 12C, e = 1310, et m =  20B + 30Z
n = 21n + 31Z P = 22V+31Z g= 23v + 33Z, habebimus in effectu
in aeq. autem 
arbitrarias sex (etsi 12 videantur haberi)
assurgitur ad terniones quae sunt co, v73, WdV, c0Z CoV, co ZZ
conZ. et termini sunt tollendi seu aequandi sunt 10, cum adsint arbitiariae
tantum 6. Quod non sufficit. Ergo faciamus: 
y: a = a + m :, b+n fiet b +n, da deo + dm = a +m Abaco + du = dy: a
Ergo dabet ut tollatur da fiet bon da = atm ab cs
quod ul praestetur sit a =70_b= et m (eda b ) et  m = 10B + 20Z
et n = 11∞+21Z et , a + m = 7co + 10 4202, et b+ n = c + 1v +21Z
et da =7 da = 7dio et da = 7 et db = deo et db = 1. Ergo uet
pro b+p da = a +m ab fiet (7C0) + 7. 11V + 721Z = (7ad, + 10v +207, sed si
fiet sit 10 = 7 11 et 20 = 721. et y: a = 7 f 7. 11v + 7. 21Z,:3 Co + 11B + 21Z
bquod est contra Hintentum. Ergo haec destructio non procedit.
=7
Et

## Folio 2r — 00068106:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068106/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 63 lines, status machine
Et sane, quia habemus X: a per v: Z et co: Z; ilemque y: a per  2 c
posumus si tollenda est col permd est ac si vollemus etiam tollere co:z, et res
eodem redit, ac si  daretur X ex verco, et y ex V et co, et se vellemus
efficere, ut daretur ay: dx solum per do, quod fieri non potest; ne vix
gitur pulem hoc succedere, ut tollamus al deo
itaque ejus loco ut obtineamus aequationem C, in qua ope
aibitrariarum obtine destruatur deo, vel sola supersit; pots
vel etiam  in qua destuatur Z ce, quod ad huc difficilias,
quaeramtus aequationis Cd divulsionem in duas partes D et e talem,
tio
ut una not D multiplicetur per dae; cl ut una vel careat
quarum una e careat ipsa ded, altera vero D habeat deo, sed ita
ut ponito D =0, evanescat deo, seu ut in D non aliter ingrediatur
ded, quam idum est in formula, quae dividere potest deo. verum
hoc fieri non potest, nisi in casu ubi differentiales altius assurgunt
ultra simplitem gradum pot potestatem, nam si sint simplices
verb. g. 02 deo m + dv n + dzp = 0, ponendo deo m = 0, fiet m = 0.
Ergo sed m constat ex Z. V, co, ergo dabitur relatio inter Z, V, co, rtquae
tamen non tantum non desideratur sed et nocet, ob rationes supra dictas
Vrierram si vero ess aossierent altius differentiales assurgerent ad
deo per se sangulatim
2  ad gradum 2dum, ita tamen utrem succedet
in gradu simplice maneret, ossol dam successus, ut si set
ut si aequatio o sit on dco adum tdco dZe n + due p + d Zg + bZ
0= deo dv m Ce m deo dy +ndco dZ + polv + gdZ + r dudz
vd
quam aequadem divellendo in duas indv + ndque = 0 et pao dZu +rdvaz = 0
posito m, n, p, q,Y dali ex Z1V, co, hinc habemus duidque, bis, et
habebitur rurtus relatio iuter Z, V, co, contra intentum
Itaque superest aequationem  sic esse formatam, 
ut divelli possit in duas, quarum sic ut evanescat, co, remanente
Hoc autem obtineri poterit, si
nisiuno gradu
 in aequ. O reperta,  non asurgat co ultra siluplicem
deo, praeter Z, v, dv, dz.
detet
gradum, vig. si effet O esset o = comdt condv + copdZue
+  rd co + qdv + 5dZ. divellendo in duas mdco + ndv + pdz = 0
et rdcorqdo+ eZ= haberetur intentum. Idem esset una pars
non per  cd aut co, sed per formulam integram ex co, Z v divisa esset
multiplicata esset, sedccd alibi nuspiam extaret in
si praevidere
possemius ad in aequatione C non asserrecturam ultra gradum simplicem
eo ipse intentum haberemus.
Sit aequatio data si in ea sit secundum x, y, dx, dus
constet in ea a fractionibus liberata nuspiam a assurgere ad
potentiam, vel dari Xdx, sed tantum X separatim simplicis gradus
et ex in aliis terminis etiam simplicis gradus, (verbi grabia
esset in data yydx + X ydy + axdy + b byd + cc dy=
poterimus officere ut in ea eo non sit nisi simplicis gradus
nam framus dec y: a = (v: Z et X: a = co: Z, et ideo
dx:a = Edco - codz,: gque. h valoribus praeter in d ipsius X: a et ax: a
in aeg. data substitulis patet co non assurgere ultra simplicem gradum,
sublatis deinde et G: a, et dyia  poterimm divellere arquavemo
Habemus ergo saltem hoc magni
momenti invenbum, ut quotres liferae alteratriqus ambienitas
Itra
in duas, modo desiderato.
litera cum sua affectione sumta assurgit a primum gradum
non
possit tolli haberi solutio
2
23

## Folio 2v — 00068106:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068106/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 86 lines, status machine
Rem agquediamum in exemplo
verbi gratia sit
10 XV dy +1y dx = etQydy + 1 bt, b dy = 0. fuat
caquantitatibus
reducatur  rationes, fiet 10 +
=t2
t + U Y Ax = 12y + 13  fiat y. a = v. q t  
ergo dy = a = dv = a vdz,: ZZ, et X = aZdeo = a codque C
jam valores aequationum 3, 4, 5, 6, substituantur in aeg. 2 et fiet
10c. B + 11 ve. A2dco - aco dqe (7 12B + 13
22 Az a V - AVdZ
divellamus in duas, 10xa D- 11Vco d
evarescet a.
AE AZav.
Unv _Zdco = 12 ~ + 13
EE Bdo qua
et ex aq. 8 fiet: 10Zdv = 1ovdzue 
quam aequationem 7
Ex aeq. 9 fiet: 11 vV Z d + aZvv dZ F 137ZVdZ = 12Z2 V dv + 132 dv
jam per aeq. I1. inveniri potest relatio. Quadratoria  (12) inter Z et v,
ergo ope aeqque 10 et 12, tollendo v et dn ex aeq. 11  habebitur
tandem de per dZe et Z aeq. (13) in qua dco per dz et Z. redeunte
hic a, ex quadraturis. Nempe aq. ur ita derivatur ex aequ. 10,
 sit 10+ 11;  =7 fiet 7dZ. Z = dv: v, seu tbgs 7 log. Z = leg. v +
log. Z = log. V + 7- 1 log. a. seu
8t y= ee v. a
aeterum quia difficile est plerumque efficere utX cum
sua affectione non ascendat ultra  simplicem gradum; videndum
au non hoc saltem efficere liceat, ut formuta ut coefficiens ipsius
 iffigece ed, co, et co ete habeat divisorem communem  qui
differentiales involvat, hunc enino ponendo aequalem nihilo, tolletur ad
Lidetur et alia locum habere reductio,  in diveltenda
si in proposita aequatine non aliter haberetur derivatum aby
quam in yaysers s dus, ydys,  g etc. liceret tantum
facere yc = a fco: Z. nam fieret  d Tr = dr: 2 sr. et si  r= co: Z
fier ar = Zdco - d Z,: ZZ et fict dy = aZd co- codque 17oc0 : 
et ydy = aa Z d ex = codz
itaque si affectiones ipsius y sunt
tantum seuuud si derivatio ab y est, secundi gradus, res itidem succedit.
Et iteo si tabuissemus taulum Et b brevius ad hac
ci desperem
quieve hujus methodi ope ad huc longins iri posse
video gener aliter si unius gradus  sit formatum ex ingredientibus ipsius X
posse gonnaliter obtineri quositum, nam ut si daretur aerx dxt, et ax dx. Hinc
X A sit vel conbneat _, 6
sit  X = 2C0 fiet dx = 2 o: Vec et XX = 
XdX = 1 deo itaque si non detur nisi Xx et XdX itidem reducuntur omnia ad unicum co t
nam deo non curbat.
et generaliter X=
 x= come.
sti laretur XE et X dx et sit - cofiet X- cast dx -G(D dec
nc 
et xe dx = in co de
metne-n tn
si jam debet esse metne-1=
fiet m+n = n: C itaque si e= P1: p seu X = PsCd
siet man =p, adeoque evanescet o in omnibus terninis
ubice et da simul eis servant legem homoge datur 
sanend Menn
adsis ae x
greutatis cum
 velimus esse meine-n
impre siet
homogenea
dx quoad cd
seu e= Sch: Y+5-h at erit et utcunque dato n
 omnis aequatio ubi x auteius affecstio ettonmins ingndirar
m  qin. ne,: e
a et e sunt in aubitrio, sed semel
si xdx debetdare m idem quod
eledta non debent
n urcunque variato
habetur m, aut
sut perse S. retet
enve daton, a
assurgere lode
Si XLc
si n sit =l. sufficite
Si n sit = 2 fit m 41 et X Ex det ed hit Mt = Ep-C
9 metne-n=
Videmur hac arte seaet sres terminos dabos ytinentes, posse reditere stractabiles
in uno evanescat ee, i reliqui vero duo deut cot, seu idem, habers enim duas arvigrarias
gete. Nempe sint tres termini X dx
b
X. Ax. X Ax sumamus X= CoC, fiet C
asvite