# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/57320/text
# Catalogue record: 57320 — De aequatione quadrato-cubica resolvenda
# Incipit: Sit aequatio cubica data x³ * + ω²/a...
# Date: 1675-10
# Akademie-Ausgabe: AA VII,2 N. 057
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=57320&katnr=Cc2+1008%2F%2B1013
# AA VII,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 265–266 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 265-266.209-210): 4 pages, canvases 529–532, page ids 00068201:0529 to 00068201:0532
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=529
# Lines: 385 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.82
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 265r — 00068201:0529
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 266v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000529.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
a b X + CX2 + d X + e exciletur L Itum
O
b X +2b∞ + 2 + 2bCX
+C +2d, +2ICX
X + p X + qX + + X + sX +X + v
+ 2bc +2d. + 2be + 2ce tide. + e
+ C. + 2d + d2
 4 d. +2de X + e
Ubi manifestum Unum aequationis latus  smistum scilicet esse quadratum, i ergo simstrum quoque tale reddatur, ope aritratictum
b. c. d. e. Conferatur cum alio quadrato, ibi venc in mentem compendium elegans, si successus respondet tum
d
si coincideent, ergo aequantur nulto magii. Si aequantur, ergo (6) a 20D + S  Z(02) Ergo 2OD , quae
aidem Jani superest, ut non tantum aequar, sed coincider quoque ostendamus estatem. Ubi hoc saltem lucramur ut omnes quantitates in quibus
P F X +2f9X +2fghX + 2flX
92  tigh - +2gl X
(its . 2t. 2df. 2es.
+ h. =+ rhlX + l
2b9. 2cg. 2d9. 2eg.
2bh. 2ch. 2dh. reh.
2b1. 2cl. 2d1. 2el
P 40 h c d
+s h
tollantur, adeoque non nisisi
torm
Unde sine calculo statim scribemus: d) +1 - 2 lh - tv + hP
Extem bp 4- f Exem. ult. eriV. C
is
2
  se invirem, statim
N extmll. b4 p. 19 cf ixtem pnit. es t - 2hl. - adl
) 1 X LpX +GX ArX +sN +tX AV B
Jam etiam tres valores ipsius e examinemus, 
 et quoniam perfecte similes sunt ha
tres priores, tribus illis posterioribus, ideo tantum pro pon
faciemus pro a
ponemus 
f
1
9 d
Extem. H bp7 9. 259. 5. 40s e9
posu
2h
Excotlatis duabus prioribus ipsius b. valolibus tieb:
7da 1osn (g pt. 29- us sie cri Ps s9 datos
ex collatis primo et ultimo,
95 - 2529 - 9f - 2d f = 2c95 cs h. - h5 2
2
et c e 9f-2529. 9f 2d f, -ha + hf
295
et duos ipsius C valores aequando fiet:
pf.9  59 -92t 9 f  45 - 2f9(9 5) - 2d f3 ab f + ts
uc dri 95-sg- alit + h53 1s9 +50 +9a - 55
quisqe e istamerntia
et CF SM -13h -v9l + 9B, - F IM + P. L. + hi v -  junvenimus ergo duos ipsatum d. et c. valores. nde duoi noved
vsultabunt aequationes sine ipsis, invenimus ergo b. c. d. e. quaedam calculi satis ordinati specie. Ubi notabile est
Ex tribus valoribus ipsarum b et e. unum esse, quem nec c. nec e ingrediunbum  quod rursus ad calculum contrahendum
magni est momenti rursus ex valiribus ipsarum d. et C, possumus eligere breissimos breviorem. Et ex Termino medio
seu quante habebitur. (1) (+4gh fV, +FVFCa fI et 15 9(-Hsd) -to f g (+ hlS, + Ps 1H ((  rB - gat h (d s Y n
+ a lf (= Vf), 1 Y5 
4
Supersunt jam aequationes duae ex duobus ipsarum d etc. vatoribus, quae duae aequa
tiones inter se simillimae sunt servatis tantum substitutionibus quas dixi, ac primum collatis duobus valoribus ipsius d, fiet.
+152 - hf3 - ho f + hV F 9f 1 25 g1 - alif l(+ hf 1) - pf9 l’ + f5 l +gal  S 1 Et sinliter satis drolus catuibo iestus
literae C, fiet
pf1 - 2f9l3 = ga 1 (+95 BF S1 f - 2Bhf - v9l5 49135) - + Ihf + Prefe etiB - h 15 7 8
Habemus ergo tres aequationes eleganti quadam ratione congruentes; et pro illis resolvendis, quatuor literas indeter-
manatas, f. 9. h. l. Faciamus _ fl n c. et gl 1  A et hf  8. et fiet
veof tAf -hg vf
aco P p9 1 - hg a 1 B et rco2
Grodsi jam ponamus in aequatione abesse terminum
medium  quod semper effici potest interventu
= + a f 11g cor  eeb- a12
2coA..
=p cost
+a)
N Ng fcel-co292
aequationis cubicae, i explicando incognitam saltem explicatione minori
et Zp cokI sco - vAf
=20. + c0g
+ d.
aeqes.
+ 82 
+v92
=D Hl vel - co ep A2
si item faciamus preterea +V a, quod semper fieri potest p per radicem puram quadrato. subicam, si denique faciamus p, AtA
prisna extubus equationibus novisimis dividi potenit per f4l
exitque acc + p9 - hga p0
sive
-2p2 +13
-qY
pee rsph
+ah
spFho+
teo ig  duabus residuis aequationibus
hvs
phist
et Ap 18, svi 914 Phf
afl +phf -ngerio. erit Ae P Z
Vii  ex Granda him dieruum coripinaum, S ag l +qu paot  ad A 9s et 1 pti = B +t
Explicando jam 9. et l. habebrimus in
sph H+ - it f
eth
Crp
 afl = pht
na
X + pX + + aX + Y X + SN + F X + B 10

## Folio 265v — 00068201:0530
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 266r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000530.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 105 lines, status machine
sit Aequatio cubica X X +ahX + CI B0
Ducatur in X + p F o, fiet, X   +h N 1 X
+pX X si. alelp
sive per compendium generaliter N +pX +X tar X + as  o
ascribendo ab utroque aequationisa latere quadratum arbitrarium
dX + 2dbdX + a b (5) habebimus:
deX + 2abd X + a2 1. (6
X+ +p X3 + agX + ar X + as
+ d.. + 2abd. + ab2
cujus aequationis a ls sinistra, atsiem habet quadraticum
efficiendum est ergo, ut alterctu quoque las extrahibilis reddatur,
ita enim radicem quadraticam extruhendo ubique deprimetur aequatio,
Excitetur quadratum, ex latere oppentitio, X = + pX + sas rab
et prd fiet:
X + pX + 2Fas+ aest X
+ P .. +p saestab X + as
quae formula 8 coincidere debet cum parte dextra aequationis 6.
eritque sa srabus a r F iabd  4a4 + + d - p. quarum duorum
aequationum ope inveniendi sunt valores literarm b. et d. et
aequando primum mnos duas rationales aequationum 9. 10. et ita in
moestigando B, fiet bp) +aqp + + dp - p - dar
quod si jam ita mude adhuc semel investigare vellemus valorem ipsius b,
ex collatis terminis primo et ultimo, vl ipsa d adscenderet ad cubicam
sextiformem. Quod ut evitemque, tentabimus facere-
4a9p - p3 - 8 a r 170 ut fiat b de, 
loco aequationis,11. Exxplicando ergo p 9. et Y ex collatis 3. et 4.
et faciendo p . tunc loco aequationis 12. habebimus hanc:
4 h- P h p - Sal o Quae aequatio
ntulo differt a posita ab mitio 1. si ponas XB p. et co1. 2.
Quid si ponamus dApBC H et explicando aeq. 11. fiet:
bpi 4 d2h + 4 d 2 a - d a - 84 + d 2 h  15a
sed ita venique evaneser b nec quicquoi habebitur
sit Quadrato cubica: d
d X + ac X + ae
X + p X +ag X  + a rX + asX + a t X r ab
2dac 2daee +2ace. +ae
YI d. XY + 2 d ac X3 + 2d ae e X 2
+ a.. + 24 ee X + ate
pars dextra quadratus ut et sit jinistra ex latere:
X + P X? +  + a t nrace X = Saevt ae
2a Y+ ate
N6 + pX + a + + race X + LavtaE X
av+ ae
.... +patexace.. + psarra eX a t X a
ain ate
+a t2gutae ace +4+2
comparandi restant termini tres
4uee
4 av rrane
Jam ut compendio utamum, faciemus: a + + 2ace B at f. et
aV + a e B ag, et Z fei:
ag   a f 9 -t arg +pa f et rujus
419 - + a5 9+ + f 70
Calculus iste suo tempore
Aequatio cubia x + ckX + cot
X +bX + ac. + a a
+bX + X + b coh v. + b l lX2
+aC.. 
+ ac coh.. + ai co lX
in aliam cubicam sumtam.
X = + coh X  + cet X
ascton. risdo
+ e... + 3efa. 13efa. +fd
X +  X + (3) ad C5+ S’at pes.
+gbX +.
X+ + b X3
+ 3a0 m. 1. + 3a0 X
 aut 9a - 3c. h
+ ba0... + ba 0X
 sunt aequationes 4. arbitratie vero:
b. c. d. e. f. c
Melius exutatimus ex tubus quadraticis aequa-
+ ec.. + ead X
fpe fdp ed
pnC2 +2ec + c2
fa +fac. + faad ent ) p e trecte
2= ceada
+ga +ga
detet esse fd. quantils
seu squantilas negativa.
2+q +rec +C, +ec
=c ead X = - C fadX A
+ ad ga.. readga. +fadga
in suphiore auter cubica pro c. d. substituam, m. n.
et habebimus 5 aequationes resolvendas, exe quibus
snpr quibus habetuus literas: b. c. d. C. f. g. M. n.
moner 8. tres ergo sunt arbitrariae.
Licebit et aliud adhibere artificum: adhibeatur quadrato.
quadratica, omnium radicum realium, haec ducatur
in quadraticam impossibilem sit quodratia realis, sit
quadrato. quadraticu impossibilis ex parte, seu duarum
tantum radicum possibilium, tunc assumtilia cubica necessario
ert tractabilis sit quairatica impossibilis ex parte,
id est sit cubica ad rem quam redua potest tractabilis
suam semperi factum ex non erit opus ejus resulutione,
constatit enim quad raticam possititem, non contenere nisi
ladices datae
Si aequatio quadrato quad ratica careat secundo termino,
et ultimus terminus sit negativus, et tertius affirmativus
tunc aequatio quadrato-quadraticu non nisi duas habet
radices possibiles, sit enim facta ex his:
excitetur cubus ex latere:
tionem datae similem
+ ECX
XX qu X3

## Folio 266r — 00068201:0531
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 265v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000531.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
X + CX - ad X +ad X
= e.. - p2 .. + ad C X
+af.. +afe.- afd.
X+ YH +4g X + ma X = aen B
patet cigna quia n. negatur, ergo af. et - ad
Signorum oppositorum. sit seu erit af. -ad.
Ergo in   Tertius alltem terminus componitur ex
ex duobus ultimis factricium, et praeterea quadrato
negativo. Ergo si adhuc manet affirmativus, erit
af B e + ad. Ergo af p C. ergo aequatio
X = e X + af Bo. est imipossibilis.
Ergo aequationem X X ag N + ma X - an sio
X + b X  -ado
tag X + ma X3 - aen X 
X + bag 1. +bma .. - baenX
Habemus aequationenscubicam, cujus duo primi termini, et
Ultimus coincidunt superiori. Quaturru tantum aequationum
resolutione opus est. Tantum meniaisse opertet 9 et n. esse
ex terminis tertis ac ag p oh  ac + dco
investigandae autem ante omnia literae b. et d. et n.
si placeat facere d   non erit n. in nommatore.
porro b. et B scivemus ultimo loco
invenire oportet b. v. et duas praeterea alias
literas quas eligere licet Nam Co. negligo
eae duae aliae literae suntus 9. et m. quae minim
Terma
rarius caeteris extant. Y
2 ex tem. X
culque bei
 b 4 7 e + aen V B
egb 0D + aen vb D. et bp, OD
47 - a nrD7 5
unde 0D7 4E - aen D4v
2. 4. 4. 1
si jam coinciderent D. et 2 aequati redita
esset plana vel haberent communem divisoren
vi V. . tunc aequatio reddi
posset plana quod videndum an ope arbitra-
riarum, c. co. l. fieri possit.
multiplicetur per L debet niciter ipsi
D per nat
co3. fiet 
frei nat y at C V + adneV +- Qu at
- dol.  - nduo lag. - ndol . radot quae deter aequai ipsi 4 a lnco V Fo uls hV  ac co
2n
ag  ah + ac + BC2I
a mi col (+ 610 h) + aBn ( b co) - bac = b pco t
Unde ex ag. term. X per: bL
601) acoh B - am ( b0e2 ( b o) + bava (a bioh, biaca v4et
=nco l gh -vcol ac = vcol vcet
demque ex terminis X. fiet aequatio haec,
ccol + +oncoh p - ban, - veo l co  (= vco 1bc )
= vco laon + vcot bC, + vco t bac + B co t b vcl
aquae duae aequationes si resolvi possint oste tot intevenientim
ait possint et inveniri,
b. et V. ose intervemen
tum ab bitrariarum, C. n. Co hrabebitur desideratum
Imo si pruatuus Neque m videtur esse in nostra potestate ipsas
b. et et v pro libitu assumere continent enim radices
quia sunt in aequatione quae determinata intelligi debet, quando-
quidem continet duas ex radicibus datae cubicae.
ix posteriore aequatione:
b ac co + aen coh V + a Inco v 4
C5(B + a
abccoh +aco tE B + an bv + Co P
adm taIc
+ac1.
quod  videtur prastari posse. Nam: collatis terminis
co ultinis habetur c. et collatis reliquis pemultimis
habetur n. nec opus est lo adhiberi. Ergo
valorem ipsius V. aequationem plana harebimus, modo ea
sit possibilis. Unde sequitur radices aequationis tracta-
bilis datae aequatione plana haberi. Si scilicet
nullus in calculo subest erroz. Illud tantum cause
efficiendum, ut g. et n. sint quantitates affirmativae
unde necesse est esse  ah. at ex calculo
Patet ipsam c esse necestario quantitatem negativam
nam LY Nisi forte non sit necessu na Dr ∞, H.
sed sufficit equari +H.
Sed hoc sine cubicae aequationis
interventu fieri non potest. ut patet
sive n. sive c0. sive C quaerenti
nam Cp
a2 n cob + anCorh
et omita C neglecta fiet: n + hN + L2. p 0. aequatio
date ontrariae si incutcuto
Crrutum  non est, quae aquatio est tractabilis
si data intractabils, et contra. nnsi quod multiplicatur
per  ejus radix per
Talia ergo inutilia.
X + C X + - dd
Xc. + af
ducamus in _
fiet X6

## Folio 266v — 00068201:0532
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 265r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000532.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
X + cX = a d 1
X + e X - a f A
4 + c X - ad X
+C .. + ec .. = ead X
=af - afc, + a dt
X + m X-cohX + c l. + Co lm
mcoh.
mp e+ c. ad  at - coh - ec p, corlm
f
unde af 2 = cohaf = a’ ecf H con1_ + c3 lc
eritque e e 135 ao hras coC
cot + acf
ergo  superest ultima aequatio:
per quam= eaque - afc 7 co l - ecot - ccorh.
coile corte
sive - colc - C a sco l - etih
eaf ccoth
c)
eutque cp ecol s ecot a p iohaf- a le
ecot +af afhar con + aet
ubi poando fp bid aequatio qua quae rerentur fieret plana
et ipsa C. adhuc maneret arbitioria si ponamus e p, 0.
fiei . f cor l
af
asr cohat
conl
Unde cob  2 + ca haf Co - af
sonamus fCd p _8  sin fp 52
ce
et fiet Faciam  aes hae sin
fiet: c si faciamus
= a F c lY  ) a f aftic
Favendo F riaF, fet: FCL a FY ∞Thco,
quae aequatio conicuit datae.
FWH 8. Eg c17 8 + ha 8
co6 r  8 +h 8 cr
aequatio aX - cotX + cot
sit cdX B a. fict: Xp, d a.
et fiet: Wa oh a W -ahco 4
et at =  ah  + co l B. sit  c  8 a
tiei d ag3 = ah f a 1 + a31
et  e 
X + p bX + b s + rX + SX + t4 + P
radix partis posterioris.
PX= +CX + (Y + V
+ b..
cujus quadratum p X +2pX + 2p Sue X
erit c+ Y
+c2 tacsX+ r
+ b. et C r + 2rb + 
r + 2rb + b + Ep sv. V A ais
sive beF p v  b + arb2 + 6b, tarb r
+Ais, r + 2b + b
superest ad huc una aequatio:
r+ 2br + b C p + b 1 sep +
a() r+ b p, P t
1
1 vl
et faciendo Y + Lep d, fiet
et
+4 ps
64p v +dB
16 25
e qp d -RBS + 8es +
veto
site de - +s2 d + _st d - +7
Sp 16
Porest ergo d. haberi pro inventa,
Porio b 1 2Y d- v
et r +4Sd- vr + 4d- 4r, d e, p +2
aut si mavis. P F- r + av- ad n 2r sd- V
sive:
P-
2p ts, 1pt av - 3p 1, +r- rgr 18r d.
+ 16V - 32 nd + 1b d  16r d - 16r
vel compudi causa faciendo r + 4V + h,
pet: p F - P 2pt 21 - 8Yt . + ti - ohd + d p r d. guV
ecste dutendo: et rediucendo d uscendet ad gradum quantum
sed non est,Redo im ngtm polsctate atramque equadimem
simulo implere