# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/57474/text
# Catalogue record: 57474 — [De reducenda aequatione cubica intractabili ad tractabilem deque radicibus imaginariis]
# Incipit: Sit aequatio cubica x³ * -ahx + a²l ⊓ 0. Ea si per quantitatem x+m mul
# Date: 1675-05
# Akademie-Ausgabe: AA VII,2 N. 029
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=57474&katnr=Cc2+1012
# AA VII,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 211–214 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 211-214): 8 pages, canvases 421–428, page ids 00068201:0421 to 00068201:0428
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=421
# Lines: 718 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 211r — 00068201:0421
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 212v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 117 lines, status machine
 Acquatio Cubica
proveniet aequatio alia
X ahX + ael H0. Sa si per quantitalem X + m multiplicetur.
X + mX -ah X- alim X + ael m p o. Nam si al ulp
Nam si a quod nihilo aequale est, per aliquid mustiplicetur, etiam productum nihilo aequale erit
Hanc aequationem ut resolvamus, comparare e re erit cum alia aequatione quadrato quatratica
Sed ad quadraticam reducibili, producta scilicet ex purgatione aequationis hujus:
X ( Hac +Vac + avat. sive X - Hac  Sac + a tas, sive (X -2 ac X + acppae + atas
sive X = 2Sac X + ac 1 a faf. et ruryus quadrando: X - 4 ac X ( aC X
onferantur jam duae aequationes qquadraticae, uma data
resolvenda X +m X etc. altem factitia resoluta X- 4ac X etc.
ut scilicet appareat, quomod. explicatis  per collationem
arbitrariis m. c. e. f. effici possit ut ostendatur eas coincidere,
+4 nc.. = Wac X
+gaera
ac proinde et ipsam X4+ mX prorsus ut ipsam X +Vac X etC. resolvi posse. Conserendo
Jam singulos terminos unius, cum singulis terminis respondentibus alterius erit aequatio collatitia
p ex cllis terminis secundis mata: m  ac Unde ex terminis tertiis pro ac substituendo
ejus valorem inventum fiet: 6m - 2ae p - ah. sive 6m + .6ah 32aC
sive ac 3m +Bah Quos valores quantitatum ac et ae inventos substituendo
in eorum locum in aequatione ex terminis quartis collatis nascitura, fiet:
Fah im + ael e C e em-(4) ac Hac + ae sac
et multiplicata aequatione per 16. fiet:
(=16 ahm) + 16a l ⊓ C m) + (m + ( h im.
m3 + 1 ah M - 8 ael 10.
un gati
ut quae est aequatio (ubica per
resolubilis, posito datam resolubilem non esse. Nam si peuultimus terminus cubicae
datae, qui est an X est negatias quantitatem cugnitam ati, habet negativam, posito
scilicet h esse quantitalem affirmativam,  seu numerum verum, tunc 12ah quantitas
cognita pemultimi termini imenton aequationis n ete invenda, erit affirmatio ac poinde
aeqratio ipsa resotubilis erit.
Superest ut ex terminis ultiis duarum aequationum Quadrato quadraticarum coincidentium
collatis quaeratur valor ipsius f. explicando scilicet ipsas ac et ae per valores
inventos, et ipsam m pro cognitaer sumendo, quoniam valor eju per aequationem cubicam
resolubilem  nullam aliam incognitam contimentem haberi potest.
af ac - 2 ac ae
5 Im r8al
Itaque fiet
+ aee
om +4al n x 6gati
et multiplicata aequatione per 256. fet seu 1621 6.
= aln
25b, a fH (m - 6m  -16 al ) + (9) mt + (+B) ah m +64 a tiv = 256 al
Adeo qu
af
m +gah m + 16ae h2,  = 64 ae lm
Qui valor ope aequationis cubicae m + 1ah m-gal po. Supra inventae ad huc simplicius
efferni potest: restituta enim aequatione:
et pro m ponendo ejus valorem: 8a l - 12ahm.
64a’ af  m m + Bah m + 16a h - 64 a lm)
Ba l- natim
fret equatio: 64 a af e, (8 a lm2ntim (+ 8ah m) + 16a k- m
sive:
16 a a f  = ah m + 4 a h - 14 a lm. Unde af
Unde a fpi ah m = 14 a  lm + 4 aeti
Quod si porro libeat ex valore iptius f. omnino eliminare vlmip ipsam, hoc ita poterimus: +9a fr94a
M 1 (4 + 14 9 lon + f 14 à lm + 4 a ti - 16 a f  8à l sta hm. unde fiet:
=14a lm  4 aeti m - 16a f m ( 8a lh - (13 a m. et M
et m’i
+ In + Ba f m (p + 14 a Im  34 t + 16a5. adeioque (+ alh)  Vastim ri 349 aem a
adeaque m p
at 56af l - 16 tel-. cujus valoris ope utique ral ipsis  ipsa m tolli potest ex valore
+afn 491
ipsius  af. sed quia ita ipsa f. age assurget ad Cubum. poterimus Ergo imvento
fupra ipsius at hoalbre esse contenti ex oppopta m inventa
X X -alX +ael
X X -alntaelm
puciam
X - ax fal
B rse
Bfiei L 27
FP. ianipp
scribendum potius:
cq uacpsatas
P, s1d
161 - 64 p p - 649
n+l
ina
N. Sac p- m
quod postea in calculo
reliquo non mutar–
dum, nec ponendum
sac H m
Adeoque m - tarm + 8a l 0.
si aequationem quadento quadrabiea
LEm X3CM. reduiere velis
ad cubicam fiei (Huddem. Tys
VfLy- ay-Im
caporuo
compendicam
scributum:
-3  hl
tm.-am h
+ hl. =tm
atm.  nd
tm. en
=um-+alm + ag
ti den agliaaluM
us
+ liagm Bhbalaun
= 3hibalo.. 64 213..
-3hat M - 3, tala m
aela.
+ag
ion +2k +X
cacquudiatu ab
13+ ha m- pM
3 af, V30
Cm6 -6It M 1, Calh  +- 6(3 fa
Oropez
F h+ .n - 21gah
e 2h.3afm
+6401e..
2, 8 Alh, 3afM
Ibatim e ael e eri-ond. pat
Enonca ergo reliqua omnia

## Folio 211v — 00068201:0422
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 212r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
X et
Quoniam ergo ostendimus hoc modo aequationes duas quadrato quadratics esse
coincidentes,  explicatis pront coincidentia postulabit, quantitatibus, m, c, e, f.
hinc jum radix unius erit etiam radio alterius, itaque radix aequationis
quadratra quadraticae,  + im X - ati X - ah MX + a m p70. id est si eam
d proposita + al
per X F m dividas, aequationis) X3 X = ah X + alpo) et it eadem cum
radice aequationis
(x constructione:
bac 1. +4ac sac
X - Sac = sac +af f0.
= 2ace 
ac
o quae est
sive erit Xp sac + Saetavas.
et explicando ac, et ae, et af substitutis eorum valoribus, est enim
Sac s 
et ac p, 3m + Bah et  as a   4 a 
et af p Alpn 140 Im t
iola a
atm -14 a lm +4 a tr
16 a
Adeoque X p m + S3m +Ban + AS- atim-14a Im + 4a t
de
sive X ( m + 3m +BAL + 4 s- atim 14a lno + 4ae t. 
Conclusio calculi haec erit:
si dua
et m + 12ah M -9al p70
Si proposiia sit aequatio  cubica, secundo termino carens (: nam ad hanc
oti
omnia problemata solida, aequationesque cubicae aut quadrato- quadraticae aliae, inemis ogatis
dudum artibus reduci possunt:) et ant et contingat ejus genultimum terminum
non possit (tunc scilicet
ot a
 Cartibus resolvi
Problema solidum omne ad aequationem qu Tubicam aud quadrato- quadraticam reduci
potest. Aequatio quadrato- quadratica omnis ad cubicam, invento vietae; Omnis aequationis
Cubicae tolli pot est terminus secundus. Quo factus si Trminus at qturs Terminus penul
timus Ac proinde omne problema solidum reduci potest ad aequationem hujus modi:
X n feli X + al 
X +49 Y + a l 10
Ponendo X esse quantitatem incognitam, et  significare + aut = seu 
Jam si signum = valet  aequatio scubica epismodi semper est resolubilis, invento
to
Scipionis Ferrei. Sin vero + valeat=, tunc aliquando resolvi potest, aliquando, 
notis scilicet huc usque artibus resolvi non potest. Tunc scilicet non habet locum
inventum Scipionis, cum cubus a triente ipuscognitae quantitatis termini penultimi
major est quadrato a semisse termini ultimi, seu cum 9 major quam a
Ego tentatis methodis ultra triginta paulo minus triginta, quae me de luserant omnes,
tandem insistens naturae ac rationi rerum, desperatia jam rei remedium inveni Nam
Cartesium sane constat spem  abjecisse, et pro radicibus cubicis rescio quae alia signa irrationalii
movi generis. Sed ad calculum inepta introducere voluisse, fretum sua illa quam praedicabat
Tm Idque omnibus imposterum documento esse potest ne
pui ingenii modulum, vel etiam alterius quanticunque virii pro mensura habeant intellectus humanis
Regula (nostra qua aequatio cubica intractabilis reducitur ad tractabilem, interventu
extractionis radicis quadraticae haec est. Sit aequatio Cubica proposita intractabilis.
X_ =g X + a l o. Scribatur alia aequatio cubica tractabilis: M  + 12gM l
eaque communi more resoluta habetitur valor ipsius m, per radicis cubicae extractionem.
Iumenta jam M, erit X  m + L3ni t 8G + 4S- m- 14 aelm + ete agt
Termino autem ultimo praefigo signum ambignum  vel  ejus contrarium  quia in aequatione
qualibet signa locorum parium, qualis est in cubica ultimus seu quartus, proarbitrio mutari possunt salvis
raotres quo antea sauant ato rebirca e asimaua ee contraei quod ux Es abe
radices quae cntea suvant ne dativae postea siant affirmativae et contrat. quod mox usum hebebit
perfecta omnium viarum possibilium ad pposit perveniendi enumeratione. Quam imperfectam
faisse eventus ostendit
ergo
significat + aut -.
 significat - sem
aut +. id est undo
significat +tunc  signi
ficat . et contra cum illud
hoc +.
a

## Folio 212r — 00068201:0423
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 211v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000423.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
Sed hic occurrendum est difficultati regentie  in speciem,
ingenti. Erit enim
qui verebitur ne in similem priori diffl impossibilitatem, aliquis quibusdam
saltem casibus revolvamur, quae Scipioni Ferreo obstitit. Quid enim si quantitas
-gm - 14 a lm + 49t, sive ut supra appellabamus  16 af sit
negativa, etiam radix ex ipsa seu 4asaf inexplicabilis erit
et si ponamus
rad concedamus radicem saf. explicabilem esse, potent tamen fieri ut
totum aci asat. seu Opus est ergo ut ostendam in constructione nostra
ipsam quantitatem af, semper aut esse aut reddi posse affirmativam, quod ita
ostendo demonstro:  Inter caeteros ipsius af  valores supra inventos
etiam hic fuit:
af p mtum  +8mahAba h
64 a
64alm
Cujus quantitatissive valoris nominator est affirmativns, super est ut ostendamus emidem deNaiore
AtqNumeratore. Atqui Numerator duas habet partes, ex quilus prior: m +8mah +aeti vel nunc pu
est quadratus abmt a latere m + 4ah ac proinde quantitas affirmativa, nam
in i fa
an ponendo
 I +mg ribgE
omnis quadratus est quantitas affirmativa. Superest ergo ut ostendamus tantum quantitatemitaque ca eni ita
-64 a lm si n sit re aut esse aut reddi posse affirmativam. Equidem videtur
satigno affecta negativo, sed quoniam scilicet aequationem propotitam ita scripseramus
c
initio calculi X - ah X + aF 70. sive X - gt X + ael p0. sed quoniam ut
paulo ante mimudverti calculus enim ostendit signum quantitatis 64 aCm conta
in valore ipsius af contrarium fieri signi al in ipsa aequatione proposita. Sed
quoniam paulo ante animadverti si ob mutabilitatem signorum in locis paribus aequationem
X7 -g2X + a l. itaque
propositam ita  scribi posse: X
ideoque reapse vator ipsius af erit m +gm ah +16a h
 alm
69 a2
Cumque tignum = semper pro nostro arbitrio per aut ex + aut = explicare
possimuss etiam ejus contrarium  semper pro nostro arbitrio habetimus, scilicet prius
et divi
ila explicando, ut contrarium ejus fiat desideratum. Cum ergo efficere possimus
vale
et quantitas  a Im ort signum habeat quale volumus ideo semper
proat sclicet que
efficere poterimus ut quantitas  alm sit affirmativa. Adeoque semper
saf. sit affirmativa. Superest
extrater poss efficere possumus ut quantitas
Adeoque et semper efficere poterimus ut hac tatas sit affi- mativa,
Quoniam omnis impossibilitass venire potest a radicibus;quadraticis,
sit explicabilis nam ae  3m + g. ergo de
(nella aliisve aequalium graduum, (necesse est enim quantitates a quibus extrahi illae possint
potest affirimativas esse) ideo examinanda adhuc superes ipsa radio universalis
nempe. Sac + a taf, seu 3m +89 asaf. Sedeam manifestum et semper
explicari posse nam ac semper est affirmativa, quia ejus valor est 3m +8g cujus duae partes
affirmativae. et ataf etiam semper potest esse affirmativa quoniam radix ipsius af,
tam sumi potest- saf. quam +taf. utra nam alterutia ducta in serpsam 
dat  af. adeoque eligendo taf fiet; utique atraque pars tam ae quam a taf
c
de
affirmativa, adeoque et ac  totum 2m sq tataf fiet ffirmattivum
totum 3m +8g +asaf fiet affinnativum, adeoque capar radicis, nulla
ergo aequatio subica erit cujus non aliqua radio F realis hoc modo inveniri possit.
Sed haesciendum est, cam ipsam signorum variabilitatem ad varias aequationis propositae
quadcato-quadratocae datae radices explicandas inservire. ex cubica in X + in ducta
natie radices explicandas inservire. Ex quibus unam eo ipso constat esse mpo
s- m. quia X p= on. se X + in s0. aequationem hanc dividit. Reliquae ipsi
quadrato- quadratiae atproductae, cum (ubica proposita sunt communes. Sed generalita lutionem tionc reso
loquendo  omnes illae radices sine discrimine exprimuntur valore ipsius X paulo intratabis
ante exhibito Quem tamen nunc valore signorum variabilitate adhubita. ita scibere place. Data sit aequatio) X X-gX a
Ex quibus signum quidem  nulli parenthesi inclusum varietat
sua non mutat aequationis radicem, servit enim tantum ad
absolvendam aequationem quantum opus est, et si mutetur invenitur
 si  t euo n e r . qui f ela 1
un X. Ho. a E, adeia pait aite sotis antuta sisr 1a 2
enim cum utraque
ipsius af valoris
pars sit affirmatium
tntus, s erit affir–
mativus
Scribatur alia quae semper est
tractabilis, m Z + ngX 1 a
et ita inventa rn
per ejus aequa

## Folio 212v — 00068201:0424
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 211r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000424.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
Caebera vero signa, quia eorum varietas ex ipsi radicis surusdam e quadrnti cae hasi
semper extractione oritur; variant radicem aequationis
scripseramus:
X , (+) sac 1=D Naes(+ D saf
Nam ipitio ss
Ex illis tamen
varietatibus omittenda videtur prima (+) sac. itaque rectius senbemus.
X p + sac (+) raestavaf
X FI + in (+) (3m +89(+) 4a s - g m 4 140 im +4g
Nam alioqui X posset si ipsam Hac diversis sigs signo ambigno afficere liceret, posset
aequatio quaeratica habere recto radices, hoc modo autem radices habet non nisi quatuor,
pecessurio inter se diversas: unam: X lac +tac +a saf. alteram xp sac sae tasaf
tertium X  tac + tac o = avas. quartam Xp, sac - Yac - a vaf .. Ex quibus
quatuor radicibus una aequalis est ipsi m.
Perro notandum in omni aequatione per regulas Cardani tractabilis radices inveniri tantum
duas
In omni aequatione lubica, necesse est aut duos tantum radices
uncum tantum haberi raduiem realem, aut tres tratio esta possunt haberitum
duae radiees reales, ut si aequatio videtur debere necessarion sa esse radicesse,
realem, aut omnes nes, non vero duas. Sit enim  radix realis, per eam dividatur aequatio
prodibit aequatio quadratica, ea  st necessario aut duas habet radices reales aut nullam,
ratio est, quia Circulus recta circulum aut nullibi secat aut in duobus punctis secat, vel quod eodem
redit, tangit, quo postremo casu duae radices sunt aequales.
Sed hinc jam alia difficultas,
dividatur aequatio proposita per radicem omagimniam, ultique restabit aequatio cua quadratica,
quae duas habebit radiies unam realem alteram imaginatiam, quod absundum. Ergo vel concedendum
est rectam posse secare circulum in uno puncto tantum, quod rdiculum vel aequationem (ubicam
non posse dividi per radicem imaginariam quando duas habet imaginarias radices et unam realem,
vel necesse erit a vel duas reules aut nam imaginariam aut necesse erit omn Cubicae
radicis valores omnes esse imaginarios vel reales. Videamus tamen, sit aequatio
Haec satis difficilea, e ut obiter videam:
X2 + b X 
F sac. + bs - ac 510
sit aequatio
X + b ducatur in X + Y - ac fiet:
extrahatur inde rodix, fiet:
X2+ b X  b
et fier caoquati Ax  , b. + S- ac 
+ Sac. G+ b Sac I ftebs ac -btac p)b F ac
 .,b - 1 -ac
et destmendontiotius et fiet X  = s - ac. Quo calulo mipor non inveniri ipsam b. Hinc sequitur
Errc mox refulatu
aliquas radices inveniri posse extrahendo quae inveniri possint dividendo nam invent jam
aequatione X + V- ac pjo. per eam dividendo propositam prodibit. X+ bpo. et ita habebitur altira
radix. Quod probe notandum.
 ino notandum aliter extrahendo proditurum fuisse
X + b + Y - ac  = b + Y -ac, et ita destrucudo utrobui ntur +Y-ac fier
X 7 - b seu X+ bp0.  Et ita patet falsum esse quod paulo ante dixi praestari per
divisionem quae non praestentur per extractionem, sed hinc jam ptono sequitur aliquas esse aequatio–
si ponas- ac S apaC nes, quae Geometrice nequeant solvi, et solvi tamen possint Analytice; ut est aequatio quadrati a
proposita. Sit jm X2 + bX + bs ac po. fiat: X + bX p - s ack- b Y- ac unde
adrando:   x4  ab X3 ( b2X2 p - ac X -2acb X = b ac sque
 + 2bX + B N +W 2acbX +b ac. o quaestio hic oritur ing cunosa, an hac aequatio
dis
quadrato quadiatieae alias ac plures pi habeat radices quam prior ex qua facta est. Sene
non fuit ducta in seipsam, sed utrumque ejus latus. Quaeritur praeterea an haec aequatro forte per
Karabolam constini possit aut aliam curvam altiorem (et si recipse plana) Quia nequit per crcullum
quaeritur etiam an aequatio ejusmodi quadrnto quadratica in speciemte apse plana, dividi possit
cum tamen non multiplicando per novas radices sit exaltata. sed sciendum praeterea in hejus
productionem esse difficultatem quae videtur omnia turbare posse, ut forte radicem non habeat s- ac. ratio est
quia ipsa illa quantitas incomprehensibilis _ V- ac ducta in serisam v au des -ac an vero det rac
potest disputari Nam videtur dari - ac. ex ea regula, quod radix ducta in se ipsam dat suam
potestalem, ergo radix ex = ac ducta in se ipsam dat -ac. sed videtur et dari Aac ex eo
maiquod, si duae radices in se ducantur, (nihil refert eodem an diversae) factum sit radix ex facto potesta
tum, jn ergo saac s - ac Y, V - ac ac  S + ac. Et si hoc neget hoc mihi aliquis
dicatus regulam intelligi debere, cum non sunt ae quales radices, vel cum sunt affirmativae seque reales tunc ecce
quaeram, quid faciendum si ducendum Y = ac in s- ad. fietne Y + aecd Hoc si concedis ducanus
quia maequale dicom quid si sint duae radices s ac + ac s- ad + af profecto procedimus modo ordinatio
et fieri tumen polent etsi nos ad ignoremus ut suit quantitate, negativae inter se aequales. Et nrbi valde
Interim notabile videtur Y- ac
scasibue centa
aplexdali qua
= ad
cluden
ex fednehiaseo proxnis fontibus demonsrari qura al qundo sint quantitat
maginardae quae
fiet: seu  ac
X4 2bX3+ bY X - 2a cbX b
videndum  an aequatio
ista an prior constrnendo
radices exhibeat desieratas

## Folio 213r — 00068201:0425
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 214v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000425.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
imaginariae quae accurunt per Geometriam inexplicabiles. Caeterum hio obiter disco, quod
si sit qualitas X aequalio X B ab.  non debeat fieri + X p + ab..
sive X + aut = ab fj6.) riam si licet praefigere  ipso X. licebit eodem jure praefigere
ipsi ab et frei +X  +ab. id est x piab. sed dicet aliquis licere diversa
signa praefigi, nempe X  (+) dab. quorum altrum non explicet alterum.
et ita fier quasi posuissemus + XCI tab. sed nescio an hoc liceat. Videndum est
an denonstrari possit contrarium non sunt ista tam facilia quam quis credat. Si non
licet non poterimus ponere Xpi + dac (+) sac )atas sed quid in possemus
Certum enim est, sive viitio ponamus X p + Hac tae + asat. sive ponamus
X + sac + haeataf, sive aliter, omnilus quatuor modis possibilibus
eandem semper provenisse aequationem quadrato-quad raticam: X  =4 sac x etc
eoincidentem cum X+ + in X etc. itaque qu qualibe exs eodem semper opsarum
m. c. e. f. valore prodente. Adeoque necesse est quaulibes ex his aiibs suppositionibus
esse propositae aequationis radicem. His
His autem positis sequitur qualibet extractione radicis Tubice per scipionis ferrei regulas
semper duas noeniri Huddemi methodum, ubi unica tantum opus est radice cubica, inveniri
duas radices aequationis, veras ac reales. Idem est de Scipionis Ferrei methodo
semper tenim una intercedit radicis quadraticae, extractio, in qua profecto signa variare
licet; ut ex quacunque enim facta suppositione semper eadem excitari potest aequatio.
Aliquando tamen in fater ulibi ooservari esse cusus quibus id non liceat. sed illi alias exculiendi
sane si sunt aequationes quaedam methodo Cardam tractabites, ut agunt, in quibus non nisi
nauna est ridiis realis, sequitur isa ista de ambignis cum extratendum est non
procedere. Cujus arcanam necesse est esse causam. Quo posito sequereturtum
Dicere tum demum radicem extrahi posse duperem ex aliqua
quantitate, cum est binomi ut a - 2ab + b pi + a = b vel = a + b. rediculum
demum duas
est, nam si a =2ab +b ponamus p p erit Sp  +p vel - p sive
ipsam p ponamus p a - b. sive ipsam ponamus b -a. qualuor enim venabilitates per sibe c , (a 1
si aequati sit q y3 - pZ = qpo. intractabilis sit regulis (ardami, tunct
Consequentium reducuntu ad duas.
reals unam veram, et duas falsas
ait schotengus ex Alberto Guuardo, semper habere tres redices
quarum siomma aequalis ipsi verae. Unde sequitur contra si formula sit Z2, pZ + q
ad et sit intractabilis resulis sardani, tunc tres eodem modo esse radices reales unam
veram et falsam, et duas veras inter se aequales quarum summa aequalis fultae. subjicit
Schotenius si id non contingat, has formutas esse regulis Cardani tractabales tunc non nisi
unicam habere radicem. Ducamus in se invicem radices: X + b,  X + c D x - b
fiet i X2∞ -b X  cb
cum terminus secunius absit in aequatione daba erit una radix fal
aequalas duabus contrariis simul sumtis. erit praeterea quantitas cognita
termini penultimi aequalis quadrato radicum duadum minorum
x + bk + cb X - b
X  BX)G cBX -cb
- b..) =6
quad rectangulo sub dunbus minoribus radicibus demto quadrato ex earum summa. Sed quia hoc
quad ratum semper illo rectangulo majus si quantitates omnes radices omnes sint eeabes. Ideo si radices
omnes reales  erit terminus penultimus necessorio negativus. Quare si affrmativum esse constet
necesse est aliquam ex radicibus esse imaginariam, ergo duae erunt imaginariae, quia semper
tertia aequatur contrario summae duadum. Cumque ita sit in aequatione termino secundo carente
sequitur et in qualibet alia (arbica, au dus unam esse realem, aut tres. Nam aequatio termino
serundo carens ab alia tantum differt eo quod radices aucto vel minutae sunt certa quantitate
Ed jam imaginariae auctae minutaeve non frunt reales, ut ait Cartesius. Sc atitllig capio) sive b2 +3bf 13 f13f
tantatim quomodo ista intelligander sint; intuitum nuhul pro hibet aequationem ex tribus
imaginariis, aut ex una rcali et ibus imaginaris dubuet duabus realibus radicibus produes
sed tunc ipsa imaginatio aequatio quantitates habebit iaginalias, quod est contra hypothesum
supponimus enim aequationem esse naturaliter ortam ex aliquo problem AC Geometrico, alio ve a
natura suppeditato, non vero pro arbitrio fictam. U Illud ergo restat demonstrandum,
quomodo ex ima reali et duabus imaginariis, et ex una imaginaria et dabus ealibus fieri possit
aequatio carens termnis quantitaribus imaginariis aliter verd non possit, ut sit:
 + b X - b + s - ac  X - s - ac. Unde X - bX + b Y- ac  x + b p X X bs= ac X + bS- ac +0
+V-ad. = ac
sed lunc patet ne sic quidem destini i quantitates in explicabiles sa adeoque non in eo rem
osistere. Tantum ergo hoc notandum si quodat rectangulum sub duabus quantitatibus majus est
eorum quadrato summae debet intercedere aliquid furitium, seu si +b + bc + sit quantitas negativa
necesse estu vil quadratorum altentrum esse negativum vel ipsum bc.. sed quoad bc supponi id non potest
quin b. et C. quantitates affirmativae, nisi cum imaginariae, quaeri enim potest an Y-ab sit
quodum a
va. an negativa, et viditur dici posse plysquam negativa, quia etquadintum ejus negation,
qu praeterca non vidlo
tor quaer eit tamestreta
e a l-2a l alah
+b- 2ahb ah 
aer - al
Ergo- C2 4 ael  +atr
conferatu datio
X X ah X + al.
tiot aec-al bc+b
et ae  at.
sive b+ cb +C p ah
sive cppah + cb +67, a l 
adeoque Cp, bat - b +al
=ahb + 2bC +63- a l 1
+b2+ cb com compendii
causa appellando ac,
fier: aequatio haec:
X3 X -ae X- cac
pone jam a  sa
cae ac1 13 ect
15CaC W naec 4c6
videndum an sit quantitas affirma
tuuci, aut reddi possit
ad quamlibet quantitatem,
b. et C. addamus f pro
b. scribendo b +F. pro c scri–
bendo c+ f.  ergo pu
ae fiet: ac + 2bs 1 2F
+c Iac + c
b2 + 2bf +f + cb +cf
+fb + f2, +842ft)
Et pro cac, fier:
cb + c3fb + c2f2
+C2b + cf, + fb+
+f3fb +f2f + fcb
+fcf, sive:
cb2 + fcb + 3f2 +0b
+Cf 4+ fb +3f2b

## Folio 213v — 00068201:0426
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 214r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000426.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
sic arbitior, sed restit explicandum, quomodo idem colconcilietur cum regulis (gddani
Nam in secundum Schotenium Huddenium pau 368. Jonendo b
y  +Z + 4. Bo. fet et Z  X y. fiet y + 4y  + L, p adeoqe
2
y6 + qy + 41 4 + , P. Unde extrahi potest: + y = q 1 (4+) S9 + L p
sive y + 4 ⊓ (7
 Sive y -q (+D  P. Jam prundo cum Huedenio X= y 
fiei X + 4 (7 ) sq + , P r +4.. sive X  (  D 9   p
Rectius erit me mea rem methodo inquirere, sit: aequatio: Z x pZ + qp. Sumatur alia
TB ZY y + x p Unde cabando  ve ZY y + X. et Z3p, v + 27 x + 3yX + X3
sive y + X3 + 2yX y + x. adeoque 24) Z4 - 3yx Z = 3 r0. quam aequationem
2
conferendo cundata Z A apZu seqs po singulos terminos unius, cum singulis alterius, fiet:
Xpi
= pa
V
et -y=x ag. per priorem aequationem fiet X-pa quem
E
valorem inscrendo in posteriore, fiet - y + p a  a 4. adeoque - y + pa p aeqy vel
17
y + aeqy + a  1 P a + qa. Adeoq f y + a4 (+) as
sive y3 + a9  (4 (
af
(4)
+
27
I
 sive ( r + a9, (D ar P  + 43
sive denique y H - a 4 (+) a sp a + pa vel yp ( - ae g (+D a pat 4’a 
Unde esit X H = erit  15
erit Z
et y
0 + aq (+DasPa, 4 a quiar B ~ + X erits ideo
H 10 =aeq + Dasea-q+
3 1B + 9(4) a rp a +9a
siv Z p2γ = xa 3X pa
y N x
Unde ad con sequimur commodi, ut non nisi unica opus sit radicis extractione cubicae extractione:
Ubi vero illud manifectum est, duplicem intelligi posse valorem ipsius Z. Quid enim prohibet
quin (+)) modo per + modo per = explicemus sisi steritar u vant vatus ameta
elegerint, nam constat communiter explican per +. Progrediar ad alteram Sed ope eagde
ejusdem calculi etiam scipionis Ferrei valor inveriri potest hmoo aliam ingrediendo viam
scilicet post inventum valorem ipsius V tunc inveniri potest X, duobus modis; scilicet vel
per aequationem Va et habetur vator noster, vel per aequationem X2 =y - aeq, et habetur
adt tane  spopera nisi una radicis (ubicae extractome 
id
emos
pro posteriore duabus: Itaque sine dubia prior posteristi praeferenus es a utu autem ita
absolvemus. X - y - a4. Ergo X ⊓  aeq  () a sea
Z
7
qu aq
o
adeoque X p (0 - a4+ D a SParGa. Et quia Z p y+ X. erit
2N 0 - a4 (Y) a (P a +4a + 10. a4 (+) a spa+ qu. Sed
hic jam manifeste apparet cur non nisi unm unicum habeamus valorem ipsius Z
scilicet compendio causa a 4 vocemus β. et a spa + q a vocemus ).  itaque si ipsum
 sign in valore D signum (Y) explicemus per +. fier Z p S - B + Y + 53 = C -Y
et si (=) explicemus per - fiet Z ⊓  - B.  + 1 = ( +V. qui duo valores coincidunt,
cum sint eaedem quantitates transpositae tantum
Videamus an idem exculpi possit ex valore C
ubi l poncnosi et ubi +) explicando per + fier: Z H  s- P+ Y + S
s
sin 1+D expliretur per - fiet. Z. H SB - P - V + 
dr+ β-7
sive Z 7 = S B - 23Y +V48
10 + C. Y
soin deque  fe 7
adeoque Z = 10) P + 2BY+Y + d Qui duo valores quod coincidant, seu quod nhil referat
1B) β+7
quod signam tribuas ipsi V. non quidem ex calculo C cognosci–
tur exco primo aspectu: apparet tamen excalculo
D. unde patet spe magnae artis esse analyticae valorem
aliquem ita in alium transiutare, ut talia appareant quemadmodum supra inveni
valorem cundem certo modo enuntiatum apparere necessario affimiativam, aliter non
apparere, etsi sit. Itaque hoc quoque simpulo liberati sumus.
Methodus pro regulius
iscipionis Ferrei inveniendo
simplicissima.

## Folio 214r — 00068201:0427
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 213v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000427.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
Cum ergo ostenderimus omnem aequationem Cubicam regulis Cardami tractabilem non nisi
unicam habere radicem; reliquas autem quae trisectione anguli perficiuntur radices rales habere tres
ab Alberto Guaido sit animadversum. hinc aequationem (ubicam propositam trium radicum
realium, ad quadraticam attollendo, imypliti plicando scilicet per X +m Habebitur aequatio
quatuor radicum realium, quae inveniantur omnes supposita ipsius m inventioneu
cujus vator realis ope altrius lubicae aequationis unicam radicem realem habentis, habebitur.
Tantum, ubi otium habebimus, excutere operae pretium erit. quid frat si quaeramus valorem ipsius
nn ipsius m Num se novi produentur valores
imaginarigrum
ipsius X, sequetr X plus quam  habere valores, quod cum sit falsum, hinc sequitur debere
Idem quod ante provenire quicunque sumatur valor ipsius n, realis aut amagnarius quo ad tres
illas aequationis utca radices, num quarta accedens, variur, quia est ipsi i
Proposita est aequatio intractabilis
Nunc ad calculi nostitu comprobatio nem veniendum est, o:X X-g X fael0
per quam M regutarum scipionis Ferrei ope inveniatur, fore Xp m (+) S3m  (49E-9 m 4 i a lm gg
assumta aequatine
videamus nunc per rogressum, an ex aequationibus n X 129 m 48aC 10. et valore
roposita
ipsius X praescripto inveniri possit aequatio: X  -g2X f al, p0.
Nempe: E6X - m X( mi  (3 m 59) C+D4 S-gem 4 vt alm + 4gt. et quadando ruvus
x baA = b+m X
 4
16 m) X its
649.. Jogal
dec
F16m).. + (8 m X
F32mg.)
et
n
i
jam m = 129 n 78a l. une 8mrj 3239 im 764a
focunus
(4 
+Ct,
4qgem
ot
1697)
ne absolutis destructionibus, et
divisa aequatione per 64, fier:
X =m X - g X- GMX Falm po.
+ al.
qua per x= sed deberet loco et
=mx3 esse F mX, ut per
 X + m. dixidendo prodeat X- g X+ a l p0.
Ideoque hic tandem detegitur error, sane insignis: quod scilicet Hac expluni
in calculo per +m cum debuissem explicare per m.
Cui tamen malo remedium inest ut infra dicam.
sit aequatio.
X X - g2X + ae l. ponendo X p  y + a
Unde explicando: V + 3bac V2 + 3baY + a3C3
s g bd
-92bd2.
l. g’ac 2 - 29 acd
3a ld + 3aetd2
b = gb + a l
=g’acd2
=d. mgal b , et 3.9a Y b. -99 b + ralg b
1299
e
V + d
er X
6y + 2bac VpaC
BEV24 3bV +3bd c V ac
y2F 2dy F d et X  y243dy + 3d2y+ 43
7 + 2dy + d
by + ac
by3 + eay +bd Y
+ac.. + 2acd. + acd
+ a Id
Unde Terminus secundus hujus aequatim aequabitur nihilo
Tnminus tertius erit:
+3, 49 b3
1169
2929
9b7 - 6g2 b5 + g b
= 3a 169 .. - 96
+29gib.
99.. . 1969 .. +5 -992b
0 Y + bacxaec
+ d
by ey 1 ae2
+b. +dbaco + daec
ubi tollendo terminum setundum
A ponemu ac p, 29 b- 3 al
3b2
e erit a  a9b- 19 bal 49 p
9b - 6b292 +94
8gd-129b3a l +69b9a- 7 a 13
2762-301, -27691 +96 9t dg
3
2934 19
+a 19b = a 169b + al9

## Folio 214v — 00068201:0428
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 213r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000428.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
avas
(0_ a  + a spa +ea I
b + a Y
pa + l’a
seu b3 cujjabus b+ 2te  + 3b epa 4 3t a
b +R + eas.
et b
sive +b3
23b2c
sive b 3C a
s1 cb
18, 18, Sa
(3 + 36 cAtas + 3bcasc’astas
2536 ras. conteratu binamio vato
12a - 2 acZ 18
2+ 18(...
oc2a6 12
fiei. b  a3 - c,
et sive 2aab- 2acl + Bcs b
3,2, 19 18, a).vorr.
ac D- 8 aac3 + 4a c6 H a - c. Unde ponendo
+72a5.1.yaum
+Xa74
+sasa
ma
+18,852
l mt
aude fier:-ml
g  lad
aad cama d + mae d Fag-  d
Uende fiet: - m’a d’t m’a a d
- M a
+4adm
-4 a mae +4amaead.
=4ant d
+ 4 a
+ eabl
)  d. pei aequalio cubicu pem
unde sublato termino secundo
ponendo 
8a -24a a aC +24a aC
+12, 18 as... 3, 2, 4, 18a a) vvvor.
4ab.
d + pd +agd + ar A
lri e - p. fei:
se
p9 a 7 aq
daqp  1n8 arp (18 du p - 18. 21 apar B a  27 a
Videndum an aequationi cubicae secundo calculo carenti factitiae comparari possit aequatio cubicu
secundo terminoplarens data nempe factitia est Z3X
data est Z2 7na
3x + d m Z+ a
et aequationes duas, itaque tentemus tertiam faccre aequationem, ponendo g
Jam aequatio coempleta exqua facta est Q X  s ext. fastitia erat 7 es
fier H 2sa
YNViC
2eH et ra
asi. 770. data Z2
aqs Habemus arbihrarius tis,
et YF 4. et trtia erit aequatio q   s  L m 13)  
Est autem Si a7 1
et q5 S2s
eritque gp LB 2a
B 91S
3 + aqZue t arr
 +t 1 2, 1 24 t3
XHI m 4 p
Sa L7, ) HB
BY a + 4. itaque necesse erit pro a tesse p 1 4. vel 1(5) . illudcam  ejus magot quadta to seuni
= aq(+ hags
Ueminiutim aequalio muli pircetmr per. 2 fet: 4 P( 2ag + 9a 2 ) 29n unde pro in su aqs tisfilundogia
Ex Z3 X +p er. facieinus testilatido ejus valeer:
+ =a9) - 9ims   ac + gaer ( 9932 ext
+ a6
0+ n a
et 9’7a
eom ust 0
gse
263-9aq +27a
9p2 +27a9 1
Tigua V et d aequivalent, hoc cum discepant Icce casum notabilem, ubi ipsam mnitatem pro arbitria sumere et
valorem cjus ope unitatis invenire icet. su satius ita aq  g
3saag7 gm.
Ut aequationis cujusdam cubicae datase
secu si terminus penultimus subla–
to secundo sit affirmativus detet
ante sublationm semndi
quadratum triens quadentus
esse  terminus pealtimus
esse affirmatious, et triens