# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/57846/text
# Catalogue record: 57846 — [Tentamina atque solutiones pertinentes ad problema: invenire tres numeros, quorum summa sit quadratus, et summa quadratorum ab ipsis sit quadrato-quadratus: Tentamen septimum.]
# Incipit: Tres numeros reperire, quorum summa quadratus, et summa quadratorum si
# Date: 1674-08
# Akademie-Ausgabe: AA VII,1 N. 047
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=57846&katnr=Cc2+724
# AA VII,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068001
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 4
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 4, 4 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068001:0001 to 00068001:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068001&page=1
# Lines: 370 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068001:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068001/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 120 lines, status machine
Tres Numeros reperire quorum summa
6  --- ac
5) .. . . . . H1. X = ab - ac . - - - - - - - - - - - - - - - X = - 2 ab X + a26
ccundum
(5) summa quaratrum: X + 4X e +6X e + 4 Xe + ea
qui est quadrato quadratus, secundum
alteram conditionem.
X+ - 2ab X + 2a
2ac..
1) Aequatio inter (+ X) + +CX3 +6E X +rab X + REXt C= 2ab
a
. H e
+2ac 1.
=2a bc
patebit via ad solutionem
sed ita generalem atque indefinitam,
ut problema sic concipere liceat:
3n Tres Numeros invenire, quorum summa
nquadratus a latere dato, et summa
(9) si ponetur Qvadratorum quadrato-quadratus ab
(10) item si ponatur, eodem latere dato. Sed ita semper
ab  2XeZ necesse erit unum minimum ex numeris in-
ventis esse nihilo minorem quod cum aliemum
sit a praesenti instituto separatim exequemur.
ratur opatebit etiam via solutionis, sed incideme
inteuigatur er 
rursus in nihilo minores quod etiam
 est a pala ede cc e
1) bpps ex
11) C
X
(15)  Aequatio
Reformata:
jam
2aC
221
e  separatim executi sumus.
C.
1) +
G1 f.
+s X 4 et X +
+tg
2et X ) - +ex = C -6)
+259 ies
Habetitur exitus pervenieturque ad solutionem
omnium maxime indefinitam, problemato
3) scilicet ita concepti: Tre Numeros
3) invenire quorum summa quadratus datus, et
Sed non poterit evitari quin unus mimnum
ex numeris quaesitis fiat minico minor.
potius intel-
de es1
29) dH
summa quadratorum quadrato quadratus datus
Sed nunc quidea
ligantur
et
et XB ex
Jex Hes 15 2054
fa. a2
sive
-4 ex + .6
29 Heq. peform : + 25 v - a d2 V , ( - 6L 5B - 2l5
+2+..
- 6l+V
Bet ex tarv - al v+ B - 6lr
(21) Porro Intelligetur
Quadtatus, et summa quadratorum hac scheda est solutio
sit Qvadrato quadratus.
ab. eL Ejus quadratum
ac
tonatur v H Z. (3 fier: + + 21Z + f 2l ( + 10l X - 1ol. ( + 497 + 4487 4 l9 39.  (a) summ hameroni X. Quadratus,  primam conditinem.
ic
+
+2+
46l+  HgIre
 61 t
) Aequhesom Er V.. al p, 1 -6lr.
-2+2
er
t.
H
(4 1 2)
-4c7
Ex
e
() NumerusL.
(2) Num. HI.
aliter enuntiata
per. (1). (). (
formulam (5) et (6) - 10)
Detetatr
(8) Si hot
et
x
3
 X9
ex -2+
2g2.
fg.11
5
ess
sik
Ad Y.) due sunt suppositiones aliae
determinantes problem
ut cum ut num. 8egu aliae indea
terminatum relinquentes, ut
nm  hic Ticum enim om
numeris sit multiplu cujuslibet
alterius, erit cb, vel ec
aeque indeterminatus
a
ab, vel aC. Priores supp
sitiones ita enuntio; ponatur
posteriores, ita; inte lrgatur
-6∞ p=
er
218)
10
is

## Folio 1v — 00068001:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068001/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
siet ex (x 4lv P 61V. (
24) intelligatur siteq r.
t7V+ fV + f9
olv- 29. 4 alq f argH pp Aula
(21) Aeq. Reforn. 1g2..
(26) Aequatio simplex H = lq. 2 j at + + 2l9 - 29 - 12
Quasita: V H
Daterminatio ad
evitandos Nihilo-minores
(27) Num L, ab 1 e
ut vlgertaq
 21 4 10l + 49
1 + + Cv + F eq +CD 1 0
L Hoc obtentum
2o)tmll. ac H + f ev + fCq + e2B H 0
intra num (32)
 tm I1 X atac ) ev - et - relB p0 ind. X (3364)
1) Ponatur
 11 ++N
erit qp
poreq erit fictque ab  e l + Cq
Bnatur G HD erit ab pro. per () sumt ,
. Fiat P p 2. erit X abac p 0 per ()
etit X ab ac por per (2y)
si qua sia prp et X ab ac p
(2) si 20p4 fiet ac pe per (1)
 Har sol, erita + atque 29 - 1 pi Q, sive
multiplicundo per +
C150-  
2t4 (10 21p aetq (49)
solvetur, perinde ac si ita sconceptum esset:
Tres invenire quadatos, quorum summa
quadnatus IHa i summa sit quadrabus
et summa quadra quadratorum sit
quadratus, et summa quadrato-quadra-
ab 
ac H = 5 - 1-
 - ab - ac p  - 1 +3
debebat esse X - ab- ac p, tZ
ponamus 413. eri 1.
fier YH 16 - 18 -1.
Ut ergo tres numeri quaesiti frant affirmatio
ponantur aepuri quadratis, et problema
ab (I. 1 f ) + 3( (1)
ac ⊓ 26 - 3  76 -12
X - ab - ac p 169 f1 - 26
sive in integrs tres pumeri erunt: 
64. 56)
1 - 12+3+13
A13 -3 + 13 HI
169 - a (+ 10 3)- 12, ((1) (1
APne ert 1. 1++ 14n. FB - 41
(1), noque B e + + + + lq N C)() y+ BL
(3) Ego- bil 4 atev +4 biq. 7751 β. sve epatetovos
fiet:-rh el 4 2hB in rk+ hiC arh b
ive appellando l+ 2V  X, fiet rh hh n +rhianti
et HI. aequetur Ato
fiet: hen-htr
Multiplicando omnes per i6 ut in integnis
qui satis faciumd proposito. Nam eorum summa b25
quadratus c imd quadratoqua
23104 X
seu 25 - 4 seu 25 - 1 re ad fractio
nes restucta, posita 2 6. et e p 1. porst
teen- h 5 he 45ted sd H FAd  AS p, Ax +) eAB + B2
Unde A H ha n -her (2+) 8ABF- 4 ( +2EC +C H X. ergd ess 2 , seu  vergo EB ib
Bpahre + ten +hEY (+4) 8AD1 + 495 sive βpa XvdoVcos (B el (2 +) ∞AD1270 409. tmmma 625
explica tam V. exprimente, inseratur,
Qui valor in aequatione numeri (31)= valorem ipsius B. sed posss et XH 
et summa quadratorum ab ipss
_Tie ducend B in Y(+) ys a β
Faciendum. Et quoniam semper potest, obtineri qbatia o quado
Cunque supponatur. 4. limitibus tantum (pro evitandis negrativis) observatis sua
poste; in pelities adtine vis mrereis quamu sinne quones tel famma su duum quarato qua
erutus datus.
4096 a
X. ab. ac H 62G - 16-20, 409
habeantur, dabuntur numeri tres
=2 410 - 12F) 4
acp50 3 e 1
et   hr ahar+ Xs
fiet V, - 6 - 18 - 1
64. 6 152.
ter - Vil ponans Y Aot fiet (3, hrl- Ah
et B  Eer tvl V (+) yC
Ducantur in se terminus primus et secundus
Sadtut. tn1.
-2 + 10 - 12
analytile sol et has quoque conditiones adimplere
iq
epsm 2 as. hol 1 tev 9 A C
(33) Nam 1.
fiet b1
Pone 41 =
F 56C50, 3176
64264 40eb
1949 2t0

## Folio 2r — 00068001:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068001/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 96 lines, status machine
65) Ergo (
Num. J. in IHE
or d idlv  ((D. PX+5a
Ergo β7) d v - d 1 - 2d l V (34) 25. 8
conferatur haec aequatio cum aeq. (30).
fiet:  kt  L H + +b 4, d . d1 1810, (3+) 5B
spo + +terl + = hegl- dr  d ( + 2d IV + 7
 aequationiqu.
connescet A, et
summa quatrapn
(Y)) 167281. à  409
194481. et Geadratos
Quadvatus a latere. 2I.
ergo prollemasie
solvi ires divanre
ueros tat
(24) 81, L2 +31Z + 1, (3 +) ( 4316818
h B H A( +) 2A +2
Unde R p h B B 7(5 =) 21 a (4-a 14
sive N  BhlC+) r( -shl
Unde fiet A ⊓ 3h1 (+) n -sehi5=
fier sultet: B = (4) 200 ( 2( - 5)
(1 4) .9213
(+4) (+) 400013
(3+) (2+31615571
Pot ergo obtinuimus Aequationes, quot Valores simplictes primum ipsius β. possea
ipsius A, denique ipsius D. quot initio supposuims conditiones, seu aequationes
fiumdamenrales tres nempe, quia tres numeros aequare volutanus quadrato. Statumque
obtentos aequationibus quae adhibendae restabant inseruimus. Sane primum posidimus
duas aequationes quarum prima dicebat Numtrum primum, secunda Numerum
secundum aequari quadrato: has inter se composuimus atque ita elisimus quadantum
a β. Inde factum ex munero prima in secundum aequabi, et sic incenimus
ipsius ( Restabat inveniendus valor ipsius R.. Hunc ut invenirem novam fecimus suppositionem
ladum ex ipsis Numeris primo et secundo aequari quadrato. Nam si puma suppositio
quod difflieulino numeri primi et secundi aequetur differentiae ducrum quadratorum, ju
primo et secundo aequetur facto ex duobus quadratis.
alde protabile
duos hos numcros esse quadratos. Sed tamen jar
nuneri, nec nisi arte T
peratos. Id est rmio occurg
qui d praestent nac tamen sint quadrati. Ccenum
quemlibet Numerum intelligi posse differentiam duorum quadratolumi
quadratum ex vala ipsius (. Tertia
novae suppositae ope cliditur vntor iptis a Bsed et hac aequatione utinun immperfecte
s) abque ta reperitur duplex valor purus ipsius B
ope sublato β. habetur valor purus ipsius A. p B. 8. 52 Z. Fit nova suppositio
Z. in III. aequari Bto a  p. Ita eliditur n D quadratum ex
Tollitur adtue semel intem ipsius N, ex vatore Esius β. Habetur denni valer a purus, et
254 Em t mndii 64. 441. ita tollitur, et habetur valor purus ipsius d. Quod nesclo an sufficiat, aut
an superfluum fuerit. Si hoc nihul nocet siu non sufficit, altumen vix nec
hesed 7 (4 1 00- ∞ 12
(5+ 20v2 l
suppositio est Numerum III. esse quadratum
Nam si suo quadrati in se ducantur, actus est quadratu uactato, quad culocua
BB h se + d 7l + 3 et
M per (31) X e 2 hf 1(7) Arl - X fil - 5t l.
sumna quadratorum
alteri, quod factus 
omnino fortasse
est tales numero
feris hts h Aex 1 A h+, k 2h AB t Ahs(quadrato quadratus datus. S velics quatrat quara factum ex nuntio
quad itum a 25. +4
est 194481 . Quod erat
t datus qualis
blema ita solu
sue Baxuoscos
nempe. h. so d 7 p D (++) 2BC + cd. Ergo D 7 h NV d  a (4) 18 14- 74
Numero 1100
43) jungatur
(2+) 8A B
(2+) et    (ro  (3+) (2+)15812
2seo) A 1 (3 +) 25 al3 (34) 85
ot (41) Factim ex
+(3 4) 25l
ipsius N. pure fiet enim A p, (3+) 28  (= (3 +) 850
 (39) Factum ex
+ +) 15.
an 19 ( rgo per 5a3)  oet + 3. 3l +S el (+) BO rabita
et sublato β.
habetur valor
E-. (10)
1 104 a dpetu s ettu b6
pur is 
nisi rarissime eveniet, numeros esse tales, qui satisfaciant aequationibus
Imo male
sed hoc male.
per illas compositiones factis nec tamen sint quadrat.
issa, quia cum invento valore ipsius D. si voles invenee
quaerere sumes a quomodo sumes 9. an pro arbitrio
Ergo sic agerdum,  quaerendus est valor ipsius q. qui ut inveniatur
nd enr d dur muece
qu H ad
 id est diximus differentian.
et sec
differentiae ducriom
quadratorum

## Folio 2v — 00068001:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068001/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
Restat ut videam pro plena poblenatis propositis solutione possitne effici pot
tam quadrato. quadratus, quam quadratus simul sint dati, quod tiea, si
aequationem hanc V- itq qu +e v  1+ 2l9 - 292 - l
rendemus tatem, ut V pro artituo simita, 4 inveniti.
1+ . l + 1ol + 49.
queat: Fiet + f 2 lV + 1ol v + 4qV p + + 2lq - 25 - 1. poue
V
 et restabet
7 219 - 29. Pone Z5 47.
poterunt omnia dividi per g. et fiet aequatio:
dato
1
1 2l - 29. Esto jam
+ 210
ex  ilem ) ex +) e Namcrg datus, Ent es exempl causa d.
fiet v Xl. per priorem positionem, eoque valore in posteriore substituto, fiet:
(4) X (+) C B d. fier e p X (4) d.  et v
jam vBZ - β., et seu Z H 2 10 Erit 2
hac methado.
Sed hinc jam video rem absolute efficimon
XC
X XI
XC+)d
X()d + 2010I
datus, nisis quia V jam datur Ergo in aequatione initio reperta pen seram
valorem ipsius B. fiet: + F 2xB + 10l X + 4qXl + + 219 X +
s
sive + f2Xt rol x F aqXlp, + F atq L +X ()d
290 
-29.. (4V. 2
f sie. 2qX (+) .9d + + 2lgX (F) +f 21q 5 L+ 2XV + 10V a + CXH)
sive 4 s- 1F . IX q. + O p Ext r 10lX + l X (4) P
5) tra.
1.
(F)4 d
- 2X (+ ) ad
- 2x (4) 2d a erit g+8H S+ DI+ 8.
sunt autem   X et d;  et l. ac per consequens etiam D et C. numeri
dati, quare si 4Dl +. O evenit esse num erum quadratum, tunc effici
potest ut utam quadratus quam quadrato quadratus sunt dati Illud
vero manifestum est, quia in aequatione 8. neque X. neque d. ad quadratum
ascendunt, dinc semper effici posse, ut alterutra earum sit data, item ut datam
ita ut summa eorum sit potestas quaelibet, et summa quadratorum ab
tam summa quadratorum quam summa quadab, udom sit potestas gradu
Videndum tamen superest
habeant rationem inter se. Hinc ettiae posse mani ex hoc uno problemate (16) si ponatur
aTies numeros invenire
ipsis quadrato quadratus. Illud tantum videndum ex an effici queat ut
dati.
Pone ++ 2l  - 10lB p 17 fiet (1
+ +. 1Z  + 101Z + 19Z + 491
10
1+ 2V + 10) + 4 47 + 41
)
4... .
sit
O