# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/58145/text
# Catalogue record: 58145 — Methodus generalis exequendi in numeris aequationem quadraticam quamlibet duarum incognitarum, quae in se non ducuntur
# Incipit: (1) b/l y²+ey-al+fx-x²⊓0
# Date: 1674-09-02
# Akademie-Ausgabe: AA VII,1 N. 123
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=58145&katnr=Cc2+738
# AA VII,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 90–91 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 90-91): 4 pages, canvases 179–182, page ids 00068201:0179 to 00068201:0182
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=179
# Lines: 326 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 90r — 00068201:0179
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 91v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
aea nontim depreh ind
 pontum deprescad
(13)
2duatum incognitectum, quae in se non ducuntur
y + eY - al + fX - 2
Vy) = b y) + coy - al + fX - X
(5) srrst tar (al - al) 1fX L X p o.
X +4 + Xt + ax9 + fX - x 10
e p = bY + co. Erg per (4. (5)
eri = br = b + s + a. Ergo per. (9) (0)
(14) Crj - bx9 - b + xt + a Ergope
(17)
(19
XF, e + b xq + b - a. p 4.
(
bxq  Xt b+ a - e.
X  Xtq + + + ag + f. ex 14. 12
(5
() ∞7r + 1. (So sta coy oristraeral
0 5H Xt (gr +) va
X t
jam quia Cp,- b7 + Cd ex plicando Y et Co,
sit Ea Idem peane calculus
serviet, ad si adsit terminus
VX., est enim yXB X 4 + XI
Unde divisis omnibus per X. i aequalioni
Jungantur Aequationes 12 et 14
es
12 acedet X9 + l. quae sane
nihil turbant, valor enim ipsius
Xg. puus, per meras datas in
ventus, in ejus locum substitui
potest, C. autem est data
Habemus ergo Methodum
Generalem exhibendi
suc pere6) eo) (ai ne aq ( f aqudta
Jungantur inter se aequationes 12. et 14.
utraque ante conjunctionem per arbitrariam
multiplicata:
1 P
in Numeris. Aequationem
quadraticam quamlibet
quodcunque incognitatum,
modo id fieri potest.
Si unius in cognitae esst, semper
sciri potest an fieri queat solutio
per extractionem radicum, si
βxFg + tβ + aqβ + f β- Aβ 7 0, Aequatio 12. per abbitrariam multiplicata
eY + bx + b) = xtY = a) 10 Aequatio 14... . . . .
(22) Cntq Xty + ly a te n-
C) err. bV+ c
Item per 14.
+ p X - f - aq - xt 4 ex ae9. 12.
es b9+cd
divisis omnibus per X
per 14
XEG p X - f - aq - + ex ag. 12.
(22)
quam libet
1 0
70
(12) xtg , t + ag + f - x 1
(2)
C
--
duarum incognitarum colligo
ex datis, semper in numeris possubi
lem esse nisi ipse calculus praesens pluda
quod escib aut fieri queat Ares in cognitae
β X +g + bxgV f xt7 + tB F ag C X β + fβ + C) + b7) + aY 0
aequiparabuntur
Habemus arbitrarias  =B. γ. X. t. q. Numero quinque
unius exhis tribus
F nec aliud jam quaeritur, quam ut inveniatur valor purus ipsius l
Bo Et iptiu X. vel C2 vet 9., quem vlltr quem una tatitum
Cn
ex reliquis duabus ingrediatur.
Caterum it ipa fieri quean com–
dmodius, nec attollantur dinensiones efficiendum est ut sint duae quaedam ex his
 tribus, quae in se invicem non ueantur; quod ut obtineatur termini omnes
E
tnon nisi per arbitrarias assumtas multiplicati in ultima aequatione
destruendi sunt, ponamus ergo:
Enficr
f ( 4 ex + b7 + ) 10.
cY + b7 + a7
et restabit aequatio:
BX +4 + bxqV  X + ) + t B + aq ( = x (3 pit 9  in qua si B. Epi
Ponan  n + 18 4, fiet
 frocus
3
quia cognidae sunt
 Pagr + bX4Y q X + nd + noa (+ 2B , 6 (( age r agB rl
12
e ita potenno onnia divili per X.
(20)
duabus.
aetu destrnetur tam
quam
Ergo

## Folio 90v — 00068201:0180
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 91r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
26) Ponatur t X. et (34 XB
ex
fiet Aeq 25.
Video tamen hac methodo non diminui diniensiones ipsius X
cujus rei ratio est, quia omnes tres incognitae olucuntur in se
sic
quod evitari non potest; nisi eas ad altiores gradus dimen-
sionum attollere velimus; utar ergo artificio, ut arbitror
meliore Orvisionum:
Resumatur Aequatio (22)
ex +9 f BxgY F xt Y + + β + a q - x β + fβ + e) + (76)) +a) p
(2
dividenda per β+ + b7.
extqu +lq ut B +bY + Xt y + a9β- Xβ + f β + ey + a)7
sive rq
2
et +Y + +b)
Jam ut dividatur exacte..
faciamus + eY + aV
+ b7
t)re a t Xt + 24B. n ( +5
(20) Et exacte procedet divisio, fictq
b
extq + CxqY + xt V + tB + aq B- x(3+ fB + e) + b) f a) 
atloco P
(3t + b
nes+ l’a
Quia valor purus est, quoniam omnes -- l. b. e. a. sunt date.
ac proinde tuto ubique in locum ejus quantitatis X9, substitui potest
substituatur ergo in Aeq. 12, fiet
84) e (33 en 1) b - bt- et +at + t + ag + f- X
Substituatur idem valor in aequatione 14
35) ec (3). ella, fier: b + ob at (b(+ est a) C e) (= b + a) + x t ppo quod est absudium
lineus
Neque enim hicin nostra est prletate  palveroque pt parcie inculo
aequales: Quare mulandum est aliquid in suppositione 3
scilicet faciamus et ne possimus iterum deludi, novam adhibeamus
arbitrariam, sciliceto ex
faciamus;
+Y + a4( - x β + fβ +. eY 4 a)
e
jam ut dividatur exacte haec fractio, faciamus
ep  eY + ay = PY Jrea- p,  et 5
Ergo
o
X4 +
b)
+Xt) 1 agB- XB, fB+ p)
qui auctus tipto quadrat
et pedeas, s
ila
num (31)
30) fiet:
(31)
(31)

## Folio 91r — 00068201:0181
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 90v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
empeum Aequitio iid in Numeris impossibreus
seubstituatur hiic valor X9. in aeq. 14. fat sonarum incognitarum Esto   rex e
Undefiet: 2X + 4 ex = C F 0. sive 4X 18 ex pe
(39) Gr) 6) fui bt- et + at +p fiet:
() + l. (t e( ad) p + X t  (+ a)
sive 4X + 8CX + 4e
ergo 2X + 2e F 16. quod in Numoris
exequi impossibile est. Idem semper sciri potest
(=e) (b) (+ e) (a) p( b) + XL (t a) 7 0) quando cunque una ex Enabus incognitis um exsit
(40). Ego Xt p p.
quadrato, et facto rectangulo sub duaebus
incognit
Et quia P pure arbitraria est possumus, facere
XF Xt. substituendo scilicet ab initio XF in
locum iptius p.
Substituatur valor inventus tam ipsius.
Xq quam ipsis p. in aequatione 12, fiet
Z.SV
=bH - etl + a t (+ Xt + Hlb + agb + fl xbl Jam p0
a
Jam pro 44 sub 9. substituamus ejus valorem. l b- Ce + l’ a + XF
bX
reductis q omnibus redibit aequatio quaem initio posueramus, nec
quicquam actum est molimine tanto.. Vde
Videndum est an praevencri possit malum, destunique  ag.
ponendo P, fuisse  -a4, et fier X t -aq
P
-a 9b
) X+.
(43). Erxo loa aequationis (41) fer (C b t e Alra agb (+ AI6 (+ a9bd sbL. X
Ey
Habemus ergo incognitarum valorem desideratum
Erite Esto  arbitraria
Erit X  et Y - atY - f bl
Et q  -X t sive p - e t + at + fb+
1b
ab2
Aequatio autem 37, nihil turbat, quia quae in
ipsa sunt arbitrariae non amplius reliquarum satorem
Yg 9. e  set
p
felicitas. Valoribus ergo estis in aequatione 37. insgrils
+ ea e a( e t at sbt Bt  +   2 et 2- a13. f1t
fiet
+et el  al-
p
1 (at  (t b1 7
l
a
+
BH aBtl- Pet at sbDet 6 at 619501)
aeaqiabpa
= etib B + at b + fb+ B - et bBl + at B B, fb BI + fB l
o
1
= et 1) + at 17 + fb +1) 1170
Patet in tanta
terminorum multitudine vix esse, quae se destruant ac neque 
+y -gl.) neque 13.  uetra tatus assrigerestai
Resolutio autem hujus aequationis utilis est; ad Calculi solationem
m solutio hoc redit. Namem quadrat inverore numem ( pequem aequatio (lex multiplicanda esst, vid. (20) alius
V. consequenter per aeq. (47.) assimetur, multipli caturus aequationem
(14) ande A 1) X 1 C
(21) per (2. 38. 29
(44)
ett0)
27 p (27. 45. 46)
X+ dx +ed ux  rfytg
X+
d
X.
 C
+7dC
= Lb- Ve + Va F HI D in c probmatum quadratidntus duneum itogui demonstrationem a nalussi non detecta. Sumtro renim quoliter
be 12c) ber 1

## Folio 91v — 00068201:0182
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 90r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 96 lines, status machine
Universaliter loquendo, ac ne ulla fiat suppositio satius
est facere p pagb + m. p Xt. Ita enim
solutionem tam mirandam constantiae imprimis debeo
nisi
non permittendi ut aliqua ex incognitis ad extremum u subi
calculum amplius turbare non potest; descendat in denominatorem
orro Aequatione altiorum dimensionum frequen-
H-97 e rresr
4 ef n 1d-q. ergo
f⊓ 1d- q
4e
+l
l
quaesiti vel d. X. DS
tissime ad quadraticas revocantur, seu X. 9. semper in in tegris habebuntur
Solutio etiam semper in interris fiet, si modo
numerus
ld-q diiide ta numeri dati sint integri,  recta +, tali assumto, ut
pone 1dr Cgl + hH.
fier g1 +h- q e sit multiplus ipsius ba.
Quod si ea. b. ponantur fracti
uon ideo minus res succedet reductis enim ad communem denomina
et h emgltorem fractionibus, poni potest , ejus denominatoris multiplus.
at gl  1d- s Obiter hoc loco exposin Methodum semper destruendi terminos
2m
fer h cmldeli cognitos ope duae duarum aequationm, semper ergo obtineri
Id
nullus
Hoc nilus 2m. potest aequatio, in qua non nisi unus sit cognitus terminus. Idem
est un
1d sit vel quadratus
vel jam summa ducram
tamen facilius fieri potest. Suita duae equationes arte generali, qua
poterumt pro arbitariis effici potest ut quaelibet aequationes proposita unum habeart
quadialorum, quae sumi
e + m
ld- 1 C2
terminum aliquem cauciscatu eundem cum quadam data.
ldqusi quis exprimere velit Analylice quantitatem positivam exprimat
quadratum, aut compositum exquadratis, aut ejus multiplum per numerum
Ergo 10(qea
datum Cognitum pro quadralis exsi aohiberi potest alia potestas, cujus exponers par.
Ergo A (71dff2 Unde et negatiou. anal lice exprimetur, negaido) attirmativum
ai quis exprimere velit Analytice fractum, potest ita facere
et  frai
1d- qu flerqe 4 bl + dL
tent ed294
aequanus quodratosit formula
a lest fier
summa enim ex his duobus est infallibiliter fractus
Mia signatur
cV - qur
db
Sive cl - g, cqusa
2c
qc
integros, sed prrod
q Lgnatura univerhalior
fieri potest ut dividi queat per b.
 qotas si b talis assumatur: 1Xc l. , flg + Cg2
NF1
2es
+c2
- q1u
si imo error: dividi non potest
dl+ 39  sd hoc hbed usum contractim, ut si drta sit formml
2C1
esis modi intellius
Vatar qua libet quanti tate Qvadrato aequanda efficere Aequitio-
nem ex qua Radix quadratica exacte extrahi possit. Esto L4
Fac 2de r l9. fiet C
Estotalq P C + 2d +
c- d p 9l Esto 19 ⊓ 4cd. fiet dp a4. Erit erge. Nt4)C + 19 c. et
Erdd d nal fiet.
Ergo 91- c
Ergo sic quidem
la p c + 1l9 7c
et Radix. 
2qu + q
c
+ lq
et
1
v fiet oppC - l40+
7 0
Esto jan A
qu
6c
Hinc semper quaeratum resariri
um melludo pero posita, cognita incognitave maneat quadratum: sivi duo quarata
intervallum quadrato quadratus, vel cabus; vel summa ex illis. sed ha etaru eantibus 
possit, quod addita subtractam quandate ((2b)
intervalli dai analytice propositi g. in qua duo quadrata invenire quoram
fieri potest
solvi pt quau
ili fractus