# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/58587/text
# Catalogue record: 58587 — Mathematica
# Incipit: (55) Algorithmus figuratus. Sciendum est omnem nostram arithmeticam es
# Date: 1672
# Akademie-Ausgabe: AA VII,1 N. 106
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=58587&katnr=Cc2+699
# AA VII,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 40–45 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 40-45.142-143): 12 pages, canvases 79–90, page ids 00068195:0079 to 00068195:0090
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=79
# Lines: 601 recognised on 12 of 12 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 40r — 00068195:0079
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 41v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 112 lines, status machine
19) Galilaeus in dial. Mech. 1. comparat alnitatem
cum infinito, quia in in finito Numero, tot sunt quadrata
radices, quot quadrata, et cabi p. Ego contra
puto Nuleam seu rero debere compararicum
infinito Nam infinito inquam Numet
omnes unitates possibiles complexo. Nam
non tantum in infinito quadratum est a pumerus
quadratorum est aequalis numero radicum, ut in
unitate radis aequatur quadrato, sed et in in
finito duplum est aequale simplo in quod ita
Ergo summa
ostendo, cum omnisu numerus dut atterius numeri 1  56 manatur alium est infinitu
est par. Omnis numerus tam par quam
impar habet alium ssui duplum, ergo tot
sunt numeri aliorum du numerorum integrorum
dupli, quot sunt numeri integri. Jam tam
impares quam pares. Jam numeri aliorum
numerorum duplis integrorum dupli sunt
pares, Ergo tot sunt numeri pares, quor pares
et imipares simul quod est im possibile.
At eo ipso qui totum parti, quod est
impossibile. At eo ipso quia impossibile
est, ideo verum est in Nullo. Nam:
0+. 0 = 0. et 0-0 = 0. Infinitum
ergo ex omnibus unitatibus conflatum, seu
summa omnium est nihil, de quo scilicet
cnihil potest cogitari aut demonstrari
cuque nulla sunt attributa. At haec obsern
in Analysi quando scilicet
duarum apotomarum Rationes consideram
ut semper cogitemus, an non altera earum vel
utraque Multandum  subtrahendo aequale sit,
aut esse possit, si est necessario aequale est,
fal non nisi falsa erit aequatio rationis
ejus cum alio quocunque, quia ratio O. ratio–
nem ingredi non potest. (quod sefutat senten-
nam Hobhii rationem a differentia aestimantis.
O. enim capax est differentae ab alio, sed non
rationis ad aliud.) quod si esse possit aequale.
in Theoremate vel problemate, seu conclu–
sione computi, casus aequalitatis ex Eipiend
est. Sin esse non possint aequalia, tuk
golusio est. Not Infinitum eodem modo
tractari debere, exemplo tali cormperi. esto
15 i 35 ergo vel saltem aliquid mi-
nime summabile,
(60) ut exscriptum haberi possit tota figu.
ras lineae ita scribendae sunt, ut inde
earum, natura praesens intelligatur
v.g. si suppositum sit lineorm AB.
esse partem lineae AC. scribenda semper
binea A sic; ABC. quaerendus sunt
similia media de omnibus ut si velis desi-
gnare cd. esse perpendiculariter erectam
ab scribendum angulum acd = Lbcd.
linea recta est simplicissimum quod scribi potest
si velim scribere angulum  sciibendum sic.
AB + BD a = AD + a. excogitabis
bepes ejusmodi notis, demon Mabimus ipsa
Elementa imo quidvisin Geometria de
mastad
monstrabile Sunit quadrati
61) Mothodus generalis proomnibus figuris investigandis.
b Esto quadrarum quadrans circuli deb. semipa–
 habola, cujus axis ab. radio circuliabed
aequalis, dfb. constat sinum qe esse
ac falsu puto mediam proportionatem inter qF. applica
tam semiparabolae paralletam axi, et cotr=
ab. semidia metrum circuli seu axem parabolae
vel latus quadrati quadranti circumscripii. Possi
nus infinita alia assumere, ut mediam prportionale
inter gf. et gc. inter ge et gh et rursus medias
proportionales inter medias proportionates, item ex
duabus vel tribus vel pluribus mediis proportionalibus
inventis sumere semper aliquam. item pro gf.
poterat assumi alia appliguta ut hyperbolae,
item differentia inter applicatam parabo laeqt Hypeo
bolae etc, sed solidius est, assumi primum figuras
quae sunt in duplicuta altitudinem, postea quae in tripli
progressio fractionum in infinitum. f L Letc. cata, etc. et semper medias proportionales, etme
soit summa ejus _bCd ent acd ch. + abd ete.
seu abed ex. infinities = a + b fc + d etc
sset
abed ek.
infinito esse quasi affectum nihlo sic apsa–
ret. divide omnia per abedete. habebis:
infinitum = a +b +C +d et jam abc atb +er
finitum imo minu unitale. Erit ergo summa Gam
fracdionum infinitum minus unitate circiter
quod est absundum, cam tolu summa possit esse
fimita.. Mith. XII, 2
diarum proportionalium proportionales, et dfferenta
rum, et summatum proportionalas, et duatrm me
diarum proportionalium sumta, et duarum me-
diarum proportionalium differentiae. Sed apex
est geometriae, sguras illas describere posse
quanadmodum parabolam possumus motii aceerato,
et paratulasmum moto accelera toi in duplicata actitu,
dinum, etc. ita possumus invenire quotcunque me–
dias proportionales. Sed est alia difficultas, q
motus acceleoatus non est in mostra, sd tantum nabve
potestate. Ideo ea tantum figuae in nostrae potestate
sunt quae notu aequabili, circulariet recto, ut describuntur
ut sectiones Conica et Cylindiniidu vel Cylindromum, etia
yclali est tiguiaaba anaa
Eice alim invicium, quod infinitum aeq
ingulares mox postamidales etc.
etc. Demonpravictriangulareu u
com numerus comparari debeat 0.
cum de exponantur primuni numeri naturales
ex 2. et poylamidaleatm
2 et niangulo triangu-

## Folio 40v — 00068195:0080
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 41r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
ea
OTTFRED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHI
 
DESBIBLIOTHEK

## Folio 41r — 00068195:0081
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 40v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
ee

## Folio 41v — 00068195:0082
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 40r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Mathematica:
51) Ait Alconitlumus Figuratus. Sciendum est omnem nostra
Arthineticam esse figuratam, nam  centena
no esse quadinta millenario esse cubos,
459823. significat
des unitales, duo denarii, 8 quadrata denarii rum
vem cubi, quinque quadrato quadratar qualuor
denique surdesolida denario. Verissima rationu
56) Telitandum an possit Paralluxis Lunae invenir,
data latitudine loci, lunaque apparente. Ita nobis
promittit Liris. Item an perfici quea ejus cursus
quaelibet aequata habeat lineam peculiare
si termini mutantur
= b = d non est opus incipi de novo.
Sed tamon notari possunt aequaves in
ipsa linea ut postea possint citari.
imo sunt multae aequades potentialita no-
minatie, quas ob vitandas  tantologias
non exprimimus ut hic continetur h= is
cum vero fieri possit, ut haec
aequatio citanda sit, citabimus lineam.
nominabimus aequadem et citabimus li
neam, addita allegave axiomatis, cu
aequalia uni tertio sunt aequalia inter
se, per modum alterius lineae, altioris
scientiae. Ubi aequationes continuae
non capiuntur ves in una linea inchoan
de nova, sed introrsum recedens. Ita
 sepe consequentiam fuma
seu aequationum contama fundata in-
cludenda lineis, ut
Consequentiae sunt aut aequaves continuatae
ut syllogismi figur absoluti, aut sunt
inprimis in prima figura (quae sunt salte
Ellipses aequationum continuatarum) aut
sunt transitus instar syllogismorum
hypotheticorum. Puto tamen oes transitus
esse Ellipses seu reduci posse in continuatos
etiam consequentius in obliquis contra
quam pritabat jungius.
69) Notandum circa O.  seu aquales a se invi-
Cem subtactos, non porcedere transpositio
translationes multiplicationum et divisionum,
quod ut observarem hoc exemplum fecit:
ostenderam q - e,  AD = _ e- h. DB.
hinc infertur: g - e = C- h DB
et g e = DB et ha verissine nisi
q grit e, et iteu g = C = 3. suit aequalia,
hoc casu enim didici in examine per numeros
fallere pheorema tam praeclare, ut, opinabar
demonstratum et ratio haec est. Si 
g = h= e. tunc in aequatione fundamentali
pro AD. vel DB. potes substituere terminos
quoslitet alios et vera manebit aequatio, vi.g.
non tantum. g. = e AD = C - h DB. sed etiam
aliter ut inbebit: g - e E,  (0) = c. he F (0)
9. - C. et C- h. = 0. jam 0. semper ma-
pel 0. quale cunque ei diidens aut multiplicans astu
bas. Ergo cum jam g C siit aeqralia, seque
retur etiam E est. ese ae qualia, quod est
absurdum tum sint pro libitu assumta. Et reveri
8 est non 1. sed 8. et nul est ratio e. Et
 aequal’ est neq
sura ad minula usque horaria.
adus quarto horae nos eprare aliqua
datis adhibito globo.
Htormlosio exrectu suppo
5) conpludines etiam sine
sito cum tumifilura sit quasi endes hocolisi
(8) Circa Aalysin Geometricam, ita pro
vel transversalitur
cedendum, ut non substituatur pro linea A
AB. a. sed ut retineantur ipsa nonina
linearum ex figura. Ita enim ex ipsis termi–
nis dignosii poterit, sitne aequatio vius. inter sphae
ram et cylinorum inter reclangulum et para–
bolam. Ita figurae scribi poterunt, quod hacten
factum non est, nec duplici imafinatione opus
erit. Multiplicatio semper notetur signo AB CD.
Ratio scribatur more divisionis. In rationibus
compositis ita procedendum ut fiat fractio
fracta  vel a at quidsi ratio rationum
a duplex fiat uinca. equatio i scribi pt
AB servalocatinarum
atb=  d deluiple
vel perpendiculariter ut Ronirerte annota nonber

## Folio 42r — 00068195:0083
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 43v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
64) Ad perfectionem Algebrae Geometoicae opus est doctri.
nam quoque de angulis, et proinde tota Elementa ad calatum
revocari, ac demonstrari, non minus ac ea treoremata, quo
ab isto solo: quadratum lateris hypotenusae = etis bas
in segident pos
in rectanguli ex sumima adifferentia laterm
95) Quaerenda est methodus: aequationem datam ita
formare ut si idem ab utroque latere addatur,
Desusdem gradus radix utrobique extrahi queat;
invenireque tum id quod addendum sit, tum quaeradi
extrahi possit, modo id possibile sit, au si im–
possibile est detegere impossibilitatem. Haec
methodo multia theoremata poteruns reduci, quae
alias irreducibilia habentur. Habemus Tabulas
qualescum uisus invenitur, quinam sint dati Nu–
men fatores. Opus est Teoulis, quibus omnes
dati alicujus termini Algebraie factores aequales inae-
qualesque (aequales sunt radices) binitemi, pluresve ordine
exhibeantur. Alio opus est ordine in Terminis calculandi
alio pro disponendis. Pro calculandis procedatur ordine sim.
plicium, ut si ducatur primo a+b in a + b postea in aub
fiet a + b 2ab. portea in a -b fiet a -b et ita
orro. Inde ducatuo talia in terminos. Inde numeri adji.
bintur ducendis, inde in plana fiant ducantur tria
C
in se invicem latra vel latus in planum. ta
Et ita semper cum duo sint fficenies hodem modi
cum plures, rursus per singulos pracedentes easus eundum.
H termini ita pHi producti dissonantur prosuo
natura, ut intro ii qui ex duobus effite emri lugre
dieulibus et cursus ex duobus, qui primum qui ex duabus par
tibu algebrarcis, deindequi exhbus ide ex 4 C  in su–
sulis prmum pure afformantes, putee negantes
rtd facile aliquis reperiet terminum oblatum
Anguli rursus aut puri aut numeris affecti, s
magnis aud parvis, ubi a. in quibuudam tantum
inde popediendu ad eos g habent tres impediente
ma
et ita porro. Separatum plani separatim solo
Orc. C. Sera Ante omnia plan, quotcunque
dubium an primo plani postea solidi quotcunque
Terminox, an pumo ditermini posten triterminie
curgguni sint gradus. Nota terminus rursus vel
est ejusdem potestatis, vel variorum potestatu
ut in planobitermino a + ab. Nota pro-
ducti illi qui sunt facile reducibiles inspectis ter
mnis non sunt computandi, sed purgandi seupo
liendi. certa regula observanda in Quantitatibus
Algebraicis disponcudis ut semper procedatr
eodem modo in invenietido, et quaestio est,
debeantne jungi miho ejusdem signi, an disslocien
di pro gradibus. Rectius jungendi exple signi. Et in
abidem Erit aliquis dutus, sub planis, triterminis
ubi unus aliquis terminus est duarum ptum, icuu
quaestio anduae diversae at es, ejuder signi) unus affirma–
tionis altus negationis et sunt sex partes algebraicae in
inversu, et Hassasfinntioe D negativae Nota numeri
terminorum imgredientm limitat quodumum do numerum
 esse mnor, hisdalis. Tundem sperificatur, sit neqa tiplicata per quandam quantitatem luerari post
partium algebraicaris, ut non possit esse major pte
dia
diato lineares an hrilineare. Sed hoc si nolis acedure
ad fractiones, sed si ad has quoque iccedas, fater, planu
posse. Reductis semper terminis  partir
Algebraiii ad coem denominatorem, et per eu
Alia erit purs Tabularum composita drdin alcladis.
Nunc ad usum, primo partis dispositio ordine prodricta
rum, non producentium. data mihi est aequatio hitumia
tot potesatu C sperificat quae polini modis comiminibus
amplius non potest. Ea decem v.n modis diversis exprimu
; diversis scildect in specie, non tantum in exemplis 
scilicet sub diversum exemperu Tabulae cadat,
differunt specie senforma quilibet modus separatim exa
d daliud explum pertaiet. Porronecesse est autem d
sunt in uno latre. (uno forte  quando distersae
et sunc medium reductionis, Hipositis aequad sata
graerenda in Tabula, ejusque inquoria di factores. Si ques
regoliitur qui est radio, eo deprimi  si omnes incogui
tales eligi possinit, quorus aliquis non cotineat incognitum
Illo divot latue aequavis cognilorum, alter fecctor eritpro
latre incognitorum. N Non videa nobis ous esse insiduot
factoribus puctis simul. Nota scepe si plurs incogniti
altur sumutur procognito. . si talia non procedant,
procede tu in labuda adjicendo ad quantitatem datam, ut issa
possit, ut nanciscatur tales qualis nominavi gesideravi
taviores radjitindo ita, forte et nonmilla caeteroni explorum
aequationis formandae eoipso eadem opera examinabis.
Sed quid e novosne adjicere terminos licerea aut terminorum
Jam datorum polestatis, cognitorum. prohis puto. reperes con
tminando m Tabula de terminis at novis dubito, sun
Si possibile est Tabulae partis usum. Datur scilicd alia
mutatio aequationis, non simpliciler quaerendo ejus factores,
sed potius ipsem quantitatem iseu num latis, instar factori
in aliud aut in serpsum, ita dicendo, ut ficit capux epus
mum est. Imo quodlibet praorum variationum exemplom
pherementi capax est, et quidem in infinitum; Et
imniliplicatus poterit ausus per o variaine duvci, et
ralibet variatio nova rursus multiplicari et variaui
ta fortasse fieri pts ut omne problema sit totubile
en fortasse inhillontumoaffert affert haec elhodus en
fortasse regulae dari possint. An fortesse siue Tabil
dicest factores. Quaestro an quantilas mul
bus adlume angmentis. Item si possit; an illi
tabula adjilit, et videndo an adjecti cognito Tantum, effret

## Folio 42v — 00068195:0084
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 43r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
DWILHELM LEIBNIZ BIBL
ASACHSISCHE LANDESBIBLI

## Folio 43r — 00068195:0085
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 42v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
mavodum
not vAcma
A vtmo  ude e AC H. 
et a Binas apoda otq etiv
 24 neeri dgit  b
a 2. L. e t
 ric aua vid ranglet atine 
uo oon sodq ua 
nte sridi
 nmo gdua ne ao
  ne op ad V
am
quo o onal sape ont at on a 
1
 ex
 11
haut aporatu
peut vidum  13and vitim nind a
ceadma 
u
aon
io otsad
d
idem er a  d 12
n
A3

## Folio 43v — 00068195:0086
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 42r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
(61) dubitant quaenum Ligreae fi guraeve sint (Geo
metricae. ego eas  esse puto, quas describere, in
strumentis est in nostra potestate ita circulus,
Recta, Rertilinea omnia, quae fiuul ex rectitineis
circa sua centra actis, quae fiant ex pradtuctis
motorum rectilineo et vel pure vel interim
promotis, quae finut ex pluribus motibus in nostra
potestate existentibus compositis; quae fiunt ex
prodluctis per plana rarie interposita sectis, et
rursus ex sectionibus circa sua centra actis, pro–
ductisque sectis etc. Ut ergo huce figurae
Geometricae videgntur his motis descriti) posse 6)
mota simplici motu composito, (3) sectione, quae
rursus fieri potest, motu, vel simplici velsposido, ut
si ponas conum secari non plano sed superficie
carvilinea, qualis est hemisphaerii. Ad sectionem
erx referendum efiam si quid alio eximatur
aut adimatur, ut si he eo exi matur semiciiculis
quardang quadrato vel ellipsis rehangulo
et potest etiam esse homisphaerium cubo, vel
potius rectangulo  circumscripto, ubi relinquitur
sentella aequalis cono, ut relinquitur lunula
aequalis tigangulo certis ademtionibus. Et qua hac
metrodo desribi possunt, eae figure sunt in potestate
Se quuntur figure physiae quas natura advo–
cala describituus, ut cum Lagitamu motus ostendimus
motus quosdam naturae it accelerationem gravium
Elasticarum se restituentium certas destribere figuras
ita liquida varie impulsa varie circulari in serta
quaedam genera ovalium. Certas quasdam figuras
Oriri, cum inter motum, dum cogitamus aliquid tendi
aut contrahi aut elidi et explicare vel contrahere
sese, aut crsseere e decrecerees, id
est majus spatium occuparem, certo quoda
modo naturali, quo scilice matura utitur.
Sed omnium maximi momenti sunt figurae Oxticae
cum enim racis luais, et ideo umbrae quoque sint linea recte
et omnes fiturae geometrice sint variae linearum
rectarum teminationes, hinc necesse est mustas
figuras per Opticam fieri posse quae alius describi
non queant. dt in genere opticam habeo pro maximo
Quometriae practicae instrumento, saltem nalia
lircuius Proportionum inventus est ad Tublerandam
Teometriam Elementarem, ita oplicae ope perfici
possit geometria practica Conica. Ergo possunt
dpticae ope finurae describi plereque aliorpenrimae
alioquin non nisi imaginabiles. Quod na guimoncenti
Jndico. 9. Figurae Y punctatier sunt quae
vapse non nisi per puncta describi possunt,
tulis est Quadratio Linea Logarithmica, aliaeysimi
les innumerae, mente designabiles, et descripribiles
sed reapse sed non hnisi a DEo Geometia Ete
mentaris est de figuris quadrabilibus, hanc sequita
(2) Problema datis tribus lateribus Trianguli
calculum invenire: santo latera: a. B. C.
et basis esto C. cum enim constet quantitas laterum
utique sciri potes an e possit esse basis, seu au pero
pendicularis in ipsam ex opposito angulo demissa
ladat intra triangulum, nam si maximum tati
sumatur pro basi, necessario altitudo intra trian
gulum cadet. Perpendicularis quaesita esto 1V.
Ejus B. Irq. Detrahatur ab aq. fiet a9- Irq
ejus B4 erit R4aq- irq. segmentum baseos ad crus
C - Aq. a9- 1rq. ceuntum alterum bases ad erus B.
cc +aa - 1rq = ZC Rg ad - 1Yq. seu
Theorema: si quadrata basis et alterige unius
sequuntur figurae indescriptibiles nisi  advocata nalula.
Onventionem duarum mediasrum pro portionalium possumus
pitidem revo care ad Geonutium non Eilementarem
in quantitate determinata; altitudinem per
A... Quod si a basi detrahatur, restabit:
cc +aa - 21 Rg aa - 1 rg. = bb
craris jungantur, a summa quadratum alterius cruris
adimatur, residuum pertbasin dividatur; quotiens
ducatur in se; productum quadratum a quadrato
cruris priotis inferatur residui Radia quadrata
ut sunto latera a. 3. b. 4. b5. et Basi
posita C. 4. quaerami actitudo. Quadratum Dasis
16. et unius cruris a. nempe 9. jungantur fiet, 25
a prodncto detrahatur quadratum aEterius cruris b. nem
25 restabit 0. residuum per duplicatam basm
dinidi nil altinet, manebit enim semper 0
quod adimatur a quadrato prioris cruris q. resta
bit g. Hujus Rg. Q. erit altitudo nempe 3
erit altitudo quaesita. Quod est verissimum, in
proposito enim casu iptum latus a. est altitudo
63) De mntinnis aspropim ationibus praexi suffecturis
rui problemato difficilia sunt. Exempli
causa: R4, C + 7 = 2cy -b, + Bq 6 + Z2 2cZ b = 0
fiet Bgat 4 qe
in iis sat padis quadrato quaduta 
ut tandem postumam illam feadicem auctam
timis, negligere plane possis, ut parvam.
rantur in latqus a. quae rescant ercantur rursus tum

## Folio 44r — 00068195:0087
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 45v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
(7) Utilissimum quilem est si Numerys o. solvi queat in facto (00) Analysis Numerorum imperfectiissima est Veleret
res, ex quibus aliquis non continet nisi cognitis invenere extractionem Radicum, seu factorum multipluantes
ita enim depressi est aquatio latus cognitoram equales dalum numerum prodmentes. Nascalius addiat
aliquid, multiplicantes inaequales continuos, seu unitate
differentis) datum numerum producentes Rectat
invenie numeros inaequale pluvis, in data quadq
ratione inaequales datum producentes (aut si
datus tales non habet axi proxine minorem a
beulem) ut ex riem in invenire duos numeros
datum producentes quorum differentia est. Data
quoties id possibile est, aut ita ut differentiae
numeroum sint in progressione data. Talia
problemata pe Algebram non solountuor. Quis cum
soloret inihi per Algebram hac probiecta datum numeri
multiple radicem. Itam invenire  eneralis tat
Cogica in Eis omnibus, monstratviam. Y
Esto namerus datus, cujus ratio Radix et quaeritur
Erg
-a
quaritur radia ea esto f
Ex his ergo principtis seu ola Analissi nemo credo
Solvet thiorema nisi conshes., seu phaorima
a Geo Gtrithunetca de vel analyticanum
demonsticta adhibeantur. Ergo in Eis rebus ubi
tam multae partes a infuita ob oculos habendae
sent, non est nisi Dei res peranatus sin invenire
honines pus habent Theorematis nonnunquam
per synthesm jam inventis.

## Folio 44v — 00068195:0088
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 45r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
RIED WILHELM LEIBNIZ BIE
DESBI

## Folio 45r — 00068195:0089
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 44v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
(lineae)
Idcnsic corcipi potest: Duae sint quantitates datae, et quaeratui
tertia; ita ut rectangulum solidum ex quadrato prime
cum secunda demto aggregato Rectangulorum ex H.
imae cum terlia, er H 3tiaec
Epta secundae, aequetur
cyfribus.
sunto datae in numeris (Z . erit X = 12a f1
ba a x- 2bx = a + abX Er
(=2 (2,12.
Peres ba ax = 22Z = 1 + 12 Error est
aX
ver - ereZ 2bx = a + abx an soluoc.
14
X.
X = 264
i

## Folio 45v — 00068195:0090
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 44r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 125 lines, status machine
(74) Nece M est in applications Miebrae ad Numeros
posse ex ipsis Terminis apparere nos tractaren
terminas esse numeros, vel sallem esse Ratiores. Nam
ratio numero addi adimique pt vel contra. Ratio-
si gradus miner addatur vel subtrahatur majori, vel
contra, vel ei sit aequalis, ut a - b = d
Numeri sunt, (aut Rationes) quae tractantur. Item si
in adimitur aut additur numerus. a A9b E
in numeris rationalibus. a - Rgb = C jum a. et C.
supponantur esse rationales, et non aliter enim opera
tionem ingrediuntur. Et rationalis demto irrationali
vel addito, vel ductus in rationalem, vel per cum
divisus non possit facere rationalem. Ergo etiam
Rqb est rationalis ac proinde b. est numeryst.
Eodem modo efficies un solutio fiat in humeris inlegris,
nam datos supporendo integros, quaesitas erges esse
integrois si non admittes, nisi ea conditione in aequave
addita ut n iego additisaut ab eo subtracti,
aut cum dividentes faciant vel alium datum.
vel aliquem factum ex duobus pluribus ne datis, aut
ex ipso dato replicato vel ex data litera, et alqua
numero cognito. Hac methodo effici potest, ut proble-
ina datum, si possibile est, in integris solvatur.
Eadem melhodo efficies ut problema solvatur
in numeris paribus tantum aut in numeris fractis,
aut in comer termanis aut in triangularibus
Jam cognosci potest ex aequalionibus
 numtus vel ratio, sit minor unitate
si scilicet potestas quaedam est minor rada
vel potestate ejusdem radicis inferiore. adde G6)
(74) Unitalis ope u ex aequatione una fieri
possunt multae novae; et fortasse aliquando
solvi problemata, vide 70. 71. ubi cum
constet Z - = = 1. (3 Z= bZ ab) Hinc
Sequitur ejus B. cubum etc. tum radicis tum
unitali tum inter se esse= les
(36) Ene novam notam numeri, et quidem integri
Si qui exacte Terenin qua Quantitas
Algebraica exacte dividi potest per aliquam
quantitatem Algebraicam, aequivalentem
unitati, ut Z (in Casu 975) Z + est
Numerus et quidem integer, potesteum dividi
exacte per Z- b. e = 1. et ea divisione
producitur 3. Ila tali quantitate unitato
aequivilente ossumta, et ea multiplitata per
aliquem incognilum, sed qui suppontr in teger,
et ut probetur
77 Methodus inveniendi omnes datae
quantitatis divisores quae vulgo praescribi–
tur imperfecta est, subentur quaeri liter
n omnibus partibus extantes, et perhas dividi,
divitores pariter et producti erunt divisores.
sed quis duto a+ b + 2ab inviniet ejus di
latus quantitus, incognitoram
omnes Rationes sunt numeris homogeneae. sit omnis
nem aut numerum esse necesse est hoc  a
6de
hac methio do ejus divisorem esse a + b. Et
magis, ubi accedit quis divinabit a= b
per tatum factorem dividendo. Sed tamen udles
quoque sunt nonnunquam factores qui in aognitos
cogtinent, si scilicet ab altero latere adhuc
restent incogniti, seu potius si tocum alterum
latus habeat eundem inagnitum facto coefficita
confactorem, ita enim utiumque liberabitur velut
communi mensura. Data sit aequatio:
aet- abx + ax +X- 4b i
2ba - a
stanfestum est, eam difficilem soluti, se difficile
esse reperire quid sit aequale ipsi X. Separemus divers
ipsius X. potestates, fiet : 26X = ba = a - ab x - aX
Erga 2b a = 2bx = 2b a = ba + a27 abx+ a X
Ergo 2ba - 2bX = ba + a + abx + a X. Ergo
a - X = ba + a + abX + a X. Ita habemus
aliquid ab uo latere  esolibile in Tacores, nam
a - X = a +X,  a - x. Tentamque et in altero
latere. Ajo alterum aequationis latus, itidem
resolubile esse in factores, quorum aliquis sit
idem qui in prioret. nam ba a  abta. aequale est
hicbectars ab f a  a + x 2
Ergo A - x, a tx = ab f a  a + x. Ergo
aF a - x = ab + a seu x = a - ab+ a
b
seu x - 20a - ab + a seu X = ab + a2 Ergo
et
26.
calculi
Sroblema ita concipi potest: Datae sint duae quanti
tates (a. b) et quaeratur terlia (X) quae ita sit
comparata, ut rectangulum solidum factum tribus
quantiratibus in se invicem continue dactis, et aliud
ex secnda prima quantitatis datae quadrato in quae
situm ducto, et aliud ex secundae quantitatis 
duplo in quadratum quaesiti ducto, collecta
in unam summam, aequentur rectangulo solido facto
ex quadrato qu priae quantitatis et quantitate
 cois itt onidit  telanum. verle
acendum est an termini da
paditer ac quaesiti vint a se indes cendentes, an necesse
(79) Dato aliquo pr.blem que
sit alterum altero esse majorem, aud minorem, aut
aliquam ad euu habere habitudinem. Quod reperi. potest
vel ex natura rei propositae, ut in Triangulo necesse
est angregatum duorum laleium majus esse certio quo theo
remale usi sumus in solutione probl. propos n. 7
vel ex ipsa aequatione, ut in aequatione proposita
n. 79. necesse est b esse majus quam a.. Nam cum
atere necesse est au
fieri non potest cum in aclem
bq = q2 sit in uno aequationi
aequationis latere sint affirmativa, aut b esse majus
segis quam in fractis
numerum esse nihilo minus, quod
quam a. semper enim lam in
si quadratum est majus to, ettium erit Radim
radice, et ita in caetris (etiam in fracts, ut si siut
jum q est ph
Radic 2. et 3 erunt F  
quam matia nam siauferas  fret L. at 4 est minus qua
deberet enim esse +.) Et ita po se dicendum at c
sed hor laeo tamen d fortasse non magno utiue ad problematis
divisorem esse a + b. item a - b. Haec ergo
Jam de monst cuiantur Tabulis se theorematis solutionem lo imbrsdum alile est d unitacta, cuo si tect
sit cor roempdrie
jam demonstratis opus.