# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/58670/text
# Catalogue record: 58670 — De progressionibus cubicis
# Incipit: Esto aequatio ad circulum, by - y² ⊓ x² + dx + ea. et alia aequatio ad
# Date: 1674-09
# Akademie-Ausgabe: AA VII,3 N. 037
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=58670&katnr=Cc2+1036
# AA VII,3: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-3
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,3, p. 403 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII3A.pdf#page=403
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 258–259 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 258-259): 4 pages, canvases 515–518, page ids 00068201:0515 to 00068201:0518
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=515
# Lines: 384 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 258r — 00068201:0515
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 259v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000515.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
Esto aequatio ad Circulum,
by - y (X +dX. + ea.
et salia aequatio ad circulum, fy - y ) X + gX + ha proy posterioris ponendo
ejus valorem ex priore fa: nembe X + dX + ea - b9. fier:
srecta X + ha, ideoque yp +d X - ea
fy - by + X + dX + ea 
nd quae aequario est ad Triangu
duobus cinculis solui potest id etiam uno cinculo et linea
recta solvi posse.
+9 + haseu XyYC + C
sed aliter veniamus ad radices attollendae aequationis causa.
faciamusque bus ga ea + d ( N  X + d vel 7 + (M+ d. Imo
et pro y substituamus V+D fet 5 bV + bst - v - 2V1 AV ea + d et
brevius by - y + ca 1) X + d. et alia aequalio eya Y + fa p X
fiet Abg- y t ca  Sey- y + fa + d, ei quadrando utrobiqu
onsyttetur vel
bys - y + ca 1 ey -Y + fa + d + 2d... Multiplicetur atraque aequationis
pars per y + Ergo antequam huc procedatur multipli
aequations pars per Y + g. 0, fiet,
fier. NbV +269V + qby - y- 29V3
per y+g.
u
fiet
Multglicetur utraque
seu radices per fy4agy+
et multiplicetur utraque aequationis pars
y + cay, + gby -91 +gea p ey 17 etc. male
non ita assurgemus ad cubum, ergo sic potius
una aequationum datarum
by - yt LX, + dx + ea  multiplicetur per y +G fiet:
by - y2 - yX + dXY + ea Y + bpy - ∞Y + X + ad X. + ea ) 0. pro X substi.
Auatur ejus valor ejus ex aequatione ad lineam rectam, nempe XM C + Cd
fiet: - . V
..
=2 nto 1
+ b .
+ da.
+cad
= c. ut
=co V
+dd...
+2ndc..
+ea..
+ bc
+eda..
Ergo, b p 2 (n C∞ - d = c m2
+ Cd
+ cdcd
fiet postrema equatio haec: - c to
Esto jam aequatio (ubica pura:
conferenda cujus factitia plana ad cubicam
quo valore ipsi in tertio termino cedente inserto
adeoque d e -  +  n ad C + ea + 2 - cV n
sed notandum est ipsam
_X  Y  + 2(C, +Cd
2 X X 
13. p0.
sublata: fiet c +cd  arx2
=a (+ eC - ema)
substituendo valorem ipsius d in
170
caelera erunt p0.
nondum haberi,
arx
uy
+ C
+cdp, Ho
eoque valore in ultimo termino
inserto, sit.
isus valor in termino ultimo
niserendo
e
mno possumus pergere ut ante
00 + do ejgslocum in aequatione ultima
 -C∞ + 4 MDC + ea C = c n+ c3p, +
+ M2 a2∞
Unde sequeetur ex tot incognitis super c. . M. e omnes demta una sumi posse
pro arbitrio. Quod videtur absurdum sane C non potest sumi pro arbitrio, alioqui
posset cabus ax habere radicem quam libet. Unde sequi An forte tunc sequitur
ipsam C esse radicem imaginariam, et sequeretur in omni aequatione subica simplice
unam esse radicem imaginastiam, sed nihil referret tamen, nam et ope radicum
incpparicnum postent deprsui aequatires ,si coqurisserentu
u

## Folio 258v — 00068201:0516
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 259r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000516.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
Teviori calcule eadem incudam.
y (
pro x substituatur ejus valor: S
sive: +1
fiet:
+ 
 = b +
+ 1 + C
2
+ W,
- dn y + co2
 b n
+ cd..
= ded
= ea
aequatio est ad lirculum by -y- X + dX + ea
fiet by - 5 - Y n 2y na  + de y adeo + Capo
-
7 0. multiplicetur per Y + C 18.
mitetur peo +a  pruntur
nad ponatur f. et pro
a
+ fay +ga 1 0.
s
11
 =dc- ea ponatur, 9.
+ 1 + C
ex
multiplicanda per y + c B0, fiet:
y + fy + gaY, + Cl) + cf Y + cga, 0, et ordinando:
+ f
2
+8a V + cga 7 0 Conferendarum 1 X X + aG BC
+ c f
erit ergo f +c 70. seu ce f. Ergo ga + Cf pjo erit ga - c 70 inde denique
+
a
Ega B C B ag. quod dudum satis sciebamus:
si qua data sit progressio; hujus aequationis c. g. X +fX +  B N.
Numerorum
ita ut nunero terminorum posito X, teri 0 et numerus sito N, sit N
datus quaeratur ut si X ponatur
si (X ponatur 2 erit
1, erit X + fX B 21
et
Bt 40 Xh + fX  48 sed ponatur contra
numerus esse datus et 40 et quaere modum ita formandi progressionem, ut in
eo reperiatur  40. proprediendo semper per numeros progressio nis mithmeticae
et, quaeretur tunc vel unicus ex illis numius aliis numeris majoribus minoribusque, qui tunc
nin ea progressione reperiretur: eo enim habito daretur et dati radix;
exemplum facilius:  X - 3X X  34
sive X + ta _ 12 a  0.
XV + 1000  12000,000 (20.
X, 2
X (7 3
X H 4
N, 2004(
2
suman
X + ga fit: X ~3X A12a
70
NN + 01bX, 009()
N15a25m
1570B
+4.. 
ponatur a, non esse unitas, sed 1000. fiet:
1003 (9o
1005(9) a
100 X1)
0
jam fiat X + 1000 X = N
differentiae
te
10.
Esto jam numerus datus cujus radius seu
X in ea progressione quaentur vel
quod idem est proxime iminor qui
reperitur in aequatu progressione, ita ut
erps non sit multo major mellesima unitatis
ab potio datae seu a, parte seu  a
X 7 5
jam considerandum differentiam inter duos numeros datos; b.g. (5N et (,) N 1000
Numerus aliqusus in cn serie sumtus, ut (5) X, demimatur radio deminuatur unitate
habetur numerus radicis x prosime minoris seu (4X ut X aX = 12 a0 ponatur
X XH ZIL fiet yN 4 d3  ut X + 10baX - 5025( , 0. popatur XZH
in
+
+ 2l L
V +a V, + al fiet ~
pertinere non enim fit aequatio pro termino
v+ 1000l.. + 1000l
Iuo vider hoc nihil adrem
priore, sed manet pror
jum cognito: de quo post
tantum involuta ergo per differentias procedendum, (niei
tantum considero hac arte novam haberi aequationem etsi series in qua numerus
datus reperitur, sit progressionis Arithoneticae, tamen non procedit per nitales, nihi
in serie unitatum reperiatur, quaeritur modus reperiendi intervallum hujus au thmeticae
progessionis. Ponatur cognitum et esse Y V, erit terminus proxime minor X- V
pro

## Folio 259r — 00068201:0517
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 258v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
fiet ergo ejus aequatio
NLVX
a dato seu proxime majore nempe
100ol
+ va
=1oVl
5025(2
(4) N
paa
cujus differentia
seu (5) N, C X + 1000lX = 5ors est utique - 2VN v 1000V et ponendo
v
vel L.
V, 1 1,  ea jam enim video id fieri posse (potest enim + Teuper esse progossionis
intervallum, etsi non sit ejus terminus:) fiet differentia - 2IX   l- 1000 quod
Jam ut pergamus quaerenda etiam differentia inter
(4) N et (3) N. Nam radix seu X ipsius (3) N est X - 2V und fiet:
posito X7S est co0g.
X = a PX + aV 1(3) N. extu diset differentia inter  et (N erit.
+ 1000l .... = 2000V
-2lX + 36 - 1000V et diffecalia in ter du
nempe - 1007. et differentia differentiarum erit 2b.
ponendo V. l. seu differentia differentia differentiarum erit 2. ponendo V e l.
= 502512
Jum disferentia prior, dididatur differentiam differentiarum: LWX + v 100OPC X
a differentia prima seriei differentiarum senultimarum (hoc loco  primarum) substrahatur
ultima, seu quae respondet ipsi (1) N At illam inquies igno ramus faleor
sed quantum ad appropinquationes perinde est ac si haberemus.  et potest sumi
Jam
radix (1) N resse 1.
2YX -3V 1 4
fiet ergo =20X aD + 1000Y = 100 seu
X =E. ontur ergo aequatio identica, ac proinde
aVX - V + 1000V= 1001 W L X -2
cumque semper necesse sit deleri sive destim X. in aequatione quadralica si quia semper differen–
inutilis sed si - 100) poneretur non dari, fieret aequatio:
2
tia est 2, et quae restat tunc est 12, jam vero e dividitur per multiplocatur per
in quadraticis statim habetur terminus primus se (1)N, nempe H radix
V. Imo male non habetur 400) W sed habetur ejus homogenei valor
2 ergo eo casi
seu terminus seriei primus, qui est -W, 4 1000 W  et
aequatur g
a 1 1000lW p  1000+ v -2. Sed haec accuratius expendenda succredunt
sejus
ultima potes apto
quadraticis aut dixi quia differentia quadralorum
est 2 et differeil numerus nadiceque multipli ans in differentia differentiaru
2
etiam 2, cum in cubis differentia sita 6 potestatum sit 6 C multap lus radicis
autem tntum in aequationibus
Sed non iadeo quid ex invento
memorablle comendium
Hinc autem ducitur quod inventa homgenei
IN duci possit nisi quod ad solu nnsi quo theorema sit
in diffenentia differentiarum 2, ud apte
indeducture haberi potest radix ipsius eturm datae aequvationis
rpdice ut) agrationi px 2C X - (a + loc YC - 1 2 = 1000lI f, X L 2
es
at
in qua duae in cognitae, aqudo (quia in cubis x non elimnatur, nec in potestatibus altioribus)
etiam i
N. Geometrile
jungenda est nova, ope ejusdem primee t2 primi homogenequ ut ejus ope altra in
fuic jam
ab initro proposita.
et MA
+ t
venori queat ad aequationem tractabiliorem
+g seu en e C+ 2d + e
Nimirum f  C + d X et h e K
sive X AC+ 3d +3C
St e (et 2d re
e
cad dl
et m pu k
et 3d+3e
seu in  C + 4d + 6e
+C
Nmeri Triangulares
ote c et, et 2 omittendo
Rectius ponendo CF o. et0 l st pod ha van
ponendo scilicei d esse
numerum prinum vel quod idem differentiam primam, e, differentia diffe–
et ponendo de 1001. caetera praeclere procedent.
rentiarum allimam, ex quibus caetera componuntur ip Athodem ergo
modo etiam terminus ultimue ex tribe primis differentiis componi potest in cubicis
C
ut hic ex duobus in quadraticis, et ita de caetris in infinitum Indcubicis et altioribus
hoc quoque considerabile, quod num priore, aequatione differentia ultima, seu aequatio quadra–
tica ipsius W semper inventa sit per consequens W, in posema,  ubi triansul
des nuneri suntus iplam ut elimaari posse, et fieri movam aequationem

## Folio 259v — 00068201:0518
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 258r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000518.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 109 lines, status machine
Y, quoque ruusus est incognita; sed quaeritur an omnis ∞, an vero aliqua tantum
si aliqua non habes quam video cur una prae altra, si omnes ad nulli ad usris ad Geometricas
constructiones. Im sed res ipsi tentanda.
27 sit aequo tro Tubica simstlex
X e IWN C) N e W3 glu. 3T+ V’ol (3P+ 
X B 2W
DD diff. 2 gr.
B 8 W
B 2  ioli   12  t   
s64W nolu neu, (5dso
1125 W3_
N 216 13
Ex quo pater differentiam primuam
sive sic:
N
C3a
estn
61 291
Ergo da altera differentia data
3lW = 3(W. (3.
da differentia primi gradus dat . . .. 12CW + 6lWV + (3
etc. fingendo tantium W quod
sempe ater valere in 200 2 W, in tertio 3W, etc
8W W =S(W + (5dW= 3LW 6lW2
ponendo l  e  patet altimam
posse a 0. quia tunc. 3 (3
Hini patet demo nstratio cur diffeentiae culvium
1N fiet () N , C+ () N
a jm D Z d, 2 W
Jam differentia prima primi gratus (Termino primo
posito 0) est W3
(1D (4)
quos appellemus
et
(1)N 1 (1)D rC.
 C + d + (d)
ED ed
2N 1 C + (2) D (2C+d) (2) DD ( d +(d) ( (3)D e C+d + da () (1
C + c+d, + c+d, + d +(d),
3C + 3d + (d)
73C + 3d +(d)
(4) N N4C + 6d +4(d)
3 (3DD e, d+ (d), + (d)
(2)D  Crd, ad (), +
= + C 4 3d + 3(d) seu ac +bd + 4(d)
Ila ( N (1 C. (N∞ 2C + d.
(2)N 1 2C + 1d
LWd 0
et ita poni postest primus terminus p0.
64 103 27 2g(W +B alW Z3VW CLW. Jaim terminu (  1) X fit
125 183 48lo2 12 (20 F B ag lo= SI W
qquta Etio sut senarii
(2)D e C)N+ () DD
(.t
 a b
W + L cubice, et
facit 13
prima primigradus
lior+3Nst
15(W 43(u W 6IW
216 (Y375 (W2 +15VW + (.
 (1) D p c.
3)N e
Ni
el
() N n 3c 4 3d + (3)
+d Ad), 
(4) N  4c +6d + 4(d)
vides primum seriem ipsem C. esse numerorum naturatium, seuem
ipsorum  esse triangularium, ipsorus (d) esse pyramidalim, vel
etiam ponendo d B (d) fiet: (1) NB 1c
Est mulem C e W3, et d B6 W3
()N⊓ 2C+ +d
(3)NB 3C + 4d
N (AC +10d.
Et numero ipsorm Na, posito X, constat pyrumide f esse trientem facti ex ducru numeri naturalis
in Triangulum proxine majoris; tum Triangulu progine majoris est X F2WX + W + +W SX
erit pyramis: X + 2va
X = W, ducatur in X + XI
x WX + X + WXC. Eu sed quaeritur postamos numen proxime
migoris numeri
Aer X3+ X I - XWV-
eritus cubus numeri terminorum assumti L
Eritque N
t XI
ergo sic
aquatio
+ X+XL-XW sIl e u 
unde denique a  p sed quia in hac aequatione duae sunt incognitae alia adhuc  opus est aequatione
qualis est data X3p a b. sed tentandum est an alia queat haberi, cujus ope W possis
Nimitum diffhentia postrema  ultimi gradus
deinta prima ejusdem gradus, divisa per
lug
eliminari. sequitu
13 + SX
differentiam  ultimi gradus Veru propositio es W3 identica fit aequatio, nisi differentia 2n
ista ultimus penultim gradus alio quodam valore
 divisione per 1003) hic evanescit
habeatur quem tamen nullum reperio sempererm
quare id unum hineu discimus quod anq maximi
quo d
momienti, quod hinc progressionis nitrus reperiat tato termino aliquo, et cntra
mirabile quadamimitatione verorum; ita enim quanbitis, W erit unitas quadam repraesenta tilia
ata un
id est eodem, plane modo producet terminum dalum, ut unitas cubum totidem locis ab ex dissitum
efficit seu uuic tubus sundo, respondentem efficit. Magni promenti pt esst haec considerat unrtatis
repraseritatitiae sunc est plane nova. Imo rursus vndeo este quoque
ticam eam aequrtionem evincere quod WV semper ponenda p
aequationem pure ider