# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/58841/text
# Catalogue record: 58841 — [De mutatione praeposotionis tractabilis in intractabilem vel contra I]
# Incipit: g + √ah + √af. ⊓ √...
# Date: 1675-05
# Akademie-Ausgabe: AA VII,2 N. 022
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=58841&katnr=Cc2+998
# AA VII,2: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 231–232 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 231-232.233): 4 pages, canvases 461–464, page ids 00068201:0461 to 00068201:0464
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=461
# Lines: 378 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 231r — 00068201:0461
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 232v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000461.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
(A)
g + Lan + tat.  B ) at tasam. et cmbundo al + aram G + 39 sati + 3g at
taf bgtatis
3gaf
sit g b = sac a(3) e b - ac hac  ibrac b- sac p b  actac b - b sactr ac, + a bac b- vac,
- F 1
b-c babere Hinc fiet: si ponas b sac 5 b+ sac  tacppo
+b7 -DF. bCF C3
467 b5)
V f +ab Y e aaec  b m- n manrmm
+ ad
+man ab
adeoque atC, + ad  m - 2 mn + n, + ab  imneri
+ ad
Videlimus quomudo separari possit hac aequatio in duas: ponamus n  m vurmurn hoc n
jam m- n H + saec adeoque
est nim
sarc
n - m n - mu  a
a ( ma)  saze = m  adm
m-
saec
Habemus ergo etiam sic extractionem radicis reductionem. aequationis quadrato quadinticae
secundo termino carentis ad cubicam, sed quod notabile est secando termino statum
carentem; sed quod notabile est requintur, ut terminus ultimus aequationis ejusmodi
quadrato quadraticae sit negativus, ut possit dici Yac
sit jam aequatio ejusmodi: m 2mn + n + se m- n + ab Y
 adeoque m -n p,  a sn
residua aequatio erit: Lan  +n (mun) a s + e at + ab F
a s -m
 n -Ema +n
acm
Et pro m prncndo a p fier: a sdaa sda, asda -pa Ida + ea Ida + abp, a cp
sed ita oritur aequatio quadeato quadiuticaaens termino penultimo sypleta. Imitli,
scubamus
 qud
m + mn +n ,
sirbamus in rumn + n F
im-n
ac
fiet: m= n ad sed hoc imitile
mvimn +u
du-.. adeoque m -n   Vaec
adeoque    resut aequatio: 4mn + e mon + ab r mon quam muetiplicando
per sive mutriplocando per m.n. fiet: Ama mn +eC m Emn + n t ab m
Aequatio n m-n nt) quae aequatio si multiplicetur per mtn. fiet: Amu  sac + e ac m - n
d. F ab  Yaec  a  C m
Ecee ebyantissimum aequationem qua hic habeturt aequatio ad circulum
uit scribi man
methodo slusiana, nam m-n   Yahc. est aegratio ad circulum. Ino est ad Hyperbolam
ponc jer poni posse + e tac jam ponc m  n +f fiei m e re + 200) +s adeoque
fiet:  (12) + 2as + 5 (n1) F + saec
et ex attra aequatione fier: - 2n = Ens, + sac + e+ sac s + ab + sac o
papra: m  + aed n + ab  sac
e+ Vac
+ faren c f sac
- a
pone esse: de+ sac e ace p abua
+ sa
+ ad
sive a d- 2ade fsac + eac , 13abac
affirmativam
ad - e +Taec, p 4 ab bc
Unde fiet aequatio cubica, quam tractabilem aut intractabe reddere in nostra potestate
est, modo b sit quantitas affirmativa.  si ponamus c esse arbitrariam. Ergo ex data
aequatione cubica affirmativa fieri potest negativa. Ergo vicissim per regressum ex
negativa videtur fieri posse affirmativa. Sed haec iterum. et servere quidem discutrenda
sunt. Ideo autem placent, quia calculo brevi transiguntrr imo cavendum ab errore: habet
aaquatio cubiae omnes habens terminos, quonia et dcntiner c.
Nlam explicando et proac: ponendo sp. fer et explicando ad, 1+h+ ael. ab at
(Y fier. (4 pa 4 p) (4)
p (4) hx (qura p ael cujus aequationis terminum
(R (7)
(7)
penultimum faciendo negativum
etiam inde producenda subtato
Cumque omnia ejus signa multis adeo modis veliari possint credibile
termino secundo fiet negativus.
cum tamen data fuerit pactabilis, an autem contra cbtractabili ad it tonctabatem regnedi
 
- 3 Mn m -n

## Folio 231v — 00068201:0462
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 232r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000462.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 111 lines, status machine
Resumumus
sit aequatio
y 2  tah
 al
V _ rah V 4 ael po. Multiplicetur per Y +P. fiet:
+alpr 7B.
sive per compendium: y +Py  ad V  alp o.
siuve y =F y Laa FI
et conferendo posterore partem cum quadruto alatere S al 4 e
quod est,
fal + repY F al
sit aequatio V X
+ e
Pa g+ ahy + ael
y + ng y3 +nh y + nlay
ng. 4 pah. + mae ( M
Y + g3
a V+ ng Y=
+rnanga
+ ma
surys + e, () n = y + ingereta + et
lan
eit ers 9+ ma. et er ug tenmarna
 = ah - a l
(nh, tatiu
JEmg  +2g
+ng
Ennigu
mt
+em a2
4an
 + alpr (+ ad
multiplicetur per n y + m. fiet:
Ergo ratix ahu
1. Vorim lar
sive+ahn
+inegr
+2mta
Jami dividendo aequationem pone: -aalix + agegu a nl
residua aequatio erit
hinc n y x F
qenca
2g
am
ea sinl pjma
an 17  l a +lah n m +  coti n
E 1 12 an 1 Xla2
g- gah. residua aequatio ert: Emae av
2gr. aah Zlahrt alin
sed ita ruisis invenietur valor ipsus  qui non nisi unia es quantitas aderque non nisi semel haberi pobest
meque adeo aequationem sic dividere licer:
adeoque:
Aliter pone 2m a   Platitnos +aete m
 in l.  uph n + At mn
residua aequatio est: = a ah f + 2 f9 Mlaei a 1 nY + lah +m. sed hoc quoque mulile
si sit m nhali  et am +an fiah, B maam anla. Dii sed hoc apte non fit
si ponus ngrut sivi nei mg. fiei n   m
sunt duae aequationes
aequatio:   d + at. sit _  ab p az. fiet. ytri
X 1 tul fe ponendo y tah paz. fier: yZ  al. pro Z pone (∞+ ra
fei:  ah p S∞ + ra. et y y alv + alt
v+ 
sint duae aequationes una ad para adeoque
S∞+ ra
V + F
alI B + 2a v+ + a  Lsv +ra= an-ah +
adeoque as  svrasera rab varsura ra
+av + eu l P alt. + 3al va Bt 4 a(3F3
Pahv sattr aa
2sraaliv 2srathtv
r’aahav +raat
siponam S+ alae +shro
si ponendo
Sed hoec nihili
Redeamus ad rem nostram, mutationem sclicet propositionis tructabilis in intractabilem vel contra.
sit aequatio: X ah Y + ael po. multiplicata per y  Pa dabit y Vtah caly 4 1a
sive. y + FY (  + at 1 ( ph
m -emnen + p m- n + ahi  dae 4 al p
+2ma -2 ma
addatur et p
auferatii 
m- n
+ ais
-Emn +n
+h.
pro -a l  ph. ponamus compendi causa a d
et pro y. ponamus m- n. fiet.
Addatur et auferatur 2mn. dissuaturque aequatio adscripto:
imn- 2mn rata, in duas, exquibus una erit;
m.+ 2mn + n  7 alp
sui fict. (+) i - n  p Y+ al Ressidua pratio erit.
mtamm ina sive mtne P Y + al
erit amn + pman tah p da. et multiplicata tata a hac aequatione refidua per m- n. fiet.
CFn
Hor ebut sinbi
substiluatur ejus valor praecedenti aequatione inventus, fiet: (4 Ps + al + p S+ al mon (4) ate t f al p7 da imun
ope hujus aequationis quaeramus valorem ipsius M, et fiet:
per compendium ma O n + 20
Dn +H3.
et fet 87 h ie B 7, 14D
(+)
n ppar  al n (4) alpr al
+dar
lat x z n
C da
OB 5+ al - da
itit
quotiens
+mal
datamtt
ly

## Folio 232r — 00068201:0463
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 231v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000463.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
quo Habetur ergo m. ex data p. et n. ex data m et p.
superest tantum ut invematur
etiam ultina indeterminata P, ope Aequationis   S 2D est a  
est autem 2 D 7 +ah c F Et PS4 al, si + rah p al. Unde radix extrahi debet. Jam vero antea
etiam ex = al debuit radix extrahi potuisse. est ergo quantitas al quantitas affirmativa, ergo ut + +alipal
quantitas affirmotiva esse possit, necessario etiam at quantitas affirmativa esse debet, ut  hic
calculus noster procedat, adeoque aequatio ab initio proposita y X al Y + alpode tractabilis per
regulas sardani. Vidcamus nunc qualis illa futura sit qua indeterminata p quaeritur nempe.
 ⊓ s23.  id est
+y(
BrC+alp
Y+ al = da
((+)
IPZF aC
 ex + M ap S+ hl quae est aequatio (ubica completa
+(rarati p
secundum commodius tollamus compendii causa ita scribemus:
et faciendo p
explicando p3
fiet: s
+ 73
1Z
+sp + aq P +aer po
3py2 14 yr
-ersque (Z
 +2DS
+ agZ
ags tar
Quam ordinando ita scribemus:
(+ a1 (7
(+ at,
+ ag.
p +BY 1Y  af P +s P + agP raereo
+2SIHbipr Et pro f. a r.
= aq5 sB
Ubi ante omnia patet nos efficere posse ut aequatio producta q etc.
secundo termino carens sit habeat penultimum terminum negativum, tametsi
data y, ex h eum habuerit affirmativum. Posse autem not efficere
Est enim in nostra potestate efficere ut aq. seu cognita quantitas cognita
Pe terminus penultimus aequationis, p c. sit negativus. Superest
tantum inquiramus, an in postra sit potestate ope varictatis signorum arbitrariae,
effioedre ut cc penultii termini aequationis y. sit major senisse quadrati termini
ultimi. Ita enim aequationem datam tractabilem ad aliam intractabilim
reducemus. Quod duplicem habet  usum, unum ut inde per regressum vicissim intractabilem
datam reducamus ad tractabilem quaesitam, de quo postea ubi de successu constiterit alterum ut
aequationes quae per mesolabum  alioquin solvendae sunt, commodique lineari operatiore, per solam anguli
trisectionem resolvamus. Nam ut  quemadmodum aequationem ad Mesolabum, sive solam
rationis sectionem reduxisse, resolvissa est, ita problema ad satm anguli sectionem reduxisse, est
construxisse, quanta per circulum rectamque licet, facilitate
jam qua cubus terentii pemmttini trientis termini perulimi, nempe (2) ab S +3a4. p. -s +9stiq- 27s aq +27 aq
i
et Quadratum semissis termini ultini, nmpe P) à Y= 9 a4S +27 a
ent. asrostaq oster, 181aq   40 6 as saer 17 29a
Ersi qu cubus ille quadratumque componantur fieri debet quantitas negativa, ut dicere possumus. ex quantitale
7294 H 2916
tractabili prodnctam esse aliam intractabilem, reducta utraque ad eundem denominatorem, quod fiet
cubo per 4 multiplicato,  fiet. ((45) et 365 aq  108) aq. s
et destructis destruendis, debet:
(+456 (265 aq + 108 5 är (+81 795) 486 agus +729ar
qrantitus 10 8 s’a r - 27 a 95- 486 a grs + 729 ar + 108 a4, esse negativa
examinemus ergo per partes, et primum pars, - 27aqs est necessario  negativa.  contra
 quatas, rs 729 ar est necessario affirmativa; caetera omma. Quantitas, aq
et per consequens pars 108aq necessario est negativa, quandocunque a9 est majorquam  p
quoniam alioqui quantitas penultima aequationis Z3 et. fieret affirimativa, contra propositum.
Sed sive major sive minor sit, generaliter aut saltem secundum id qund pleriuque fiec fit
utile eritaq fieri negativam; ac proinde e 4 108 aeqesse negativam, quod proinde
hunc quidem supponemus. Quandocunque autem q est negativa, tum vel r vel
tunc f. quantitatem Ys modo affirmativam, modo negativam facere praestat:; affirmativam,
quandi moles quantitatis (486) aq  est mole quantitatis (108) sa; negativam, cum contra majores.
q
os parten
Generaliter ergo utile erit ipsam Y fieri quantum licet parvam. Ac proinde in  aequatione ab initio data y x etc:
debet ipsa al. terminus ultimus, fieri qut u quantitas quantum satis est parva. Id vero semper in nostra potestate
est, multipliratione Scilicet adivisione radicum. Nempe si pro V fiat 1000 V. erit v V. adeoque dividetur radio,
jam puom V H ah 3 + aet 0. ponendo ejus valorem, fier: 1000   100 ah  a lppu. sive V  1 ab + alo
Unde patet pl terminum semper in quantavis ratione minoremum reddi quantitate cognita penultimi. Quoniam
ubi penultimus dividitur per aliquem quadratum, ultimus dividitur per cubum ejusdem lateris, ac proinde tanto magis ininnitur infra
penultimum, quanto latus majus est. Sed hic eaer ulim improcisum in Sane Y. non ideo fiet minor quia continet val. sed r, quique
contenet al. Terminus S. continet hua itoque h. multiplicatur per divisoris ipsius s. Quadraticam radicem.  dividitur per quadratum multiplicatur
per radicem quad ruticam ex cubo, qua sude dubio a major est quadrato, magis itaque multiplicatur quam dividitur terminus s. Attamen denique deplerenditur
tamimn q omnium mnine dimimui. antinr eum sato. at ieo nde pera quod eatim poati candires diaidentis sed per latus tantum
49b
8

## Folio 232v — 00068201:0464
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 231r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000464.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 103 lines, status machine
Tantum illud ergo videndum est si sit  cn ratio
ha fret un
reducendo fractionis, prior ent:  24 stil 2a s rat
Jha
an
agna,
reddi posi quantum libet saria, nempe
adeoque dundendo l per cubum, h per quadratum a g. ponendo g esse multiplicatorem Radicumtad fiet rutio reformata rasa sive
H SM
fer: 24. patet ergo rationem 4 dimimitanto magis quanto numerus arbitrarius co est major a0 proinde quanto
major est divisor tanto majos fieri  in natione ad  majorem fieri quantitatem sin ratione ad q. itaque
illud etiam efficere possimus, ut licet 4. ponatur affirmativa, tamen longe fiat minor, quam  (2 nec
proinde potent Terminus penultimus aequaliont Z3 X erc. ideo fieri affirmatious, quod metui poterat
Utileerit secutitatis summae causa indagari rationes literarum inter se invicem, itaque erit qp 25Y la.. Nam
9) 2arahi 24h.  . et pro l ponendo La. et pro h. ponado. da fict g
HB1 a, h YI
al
3.14h
adeoque (9  (  2)  Hg
9
pono Y ial e+1 La  (V
na ruceri
SNega n R,  N H a N L a. Ergo Y (D La.
Patet ergi Y. esse quantitatem omnium minimam, proximam qmaximum s. et rationes quibus majores excedunt
immores posse reddi quantascunque ob arbitrarium HG numerum, g.
pradict
Jam inventos quantitatum Y. et 4.
valores, ingramus in quantitate quam negativam facere volumus nempe
1085a r - 27a 5- 486 a 9 sr + 729 at2
10854 a - 27a5
2aLa
divisisque omnibus per aes La
-486a5 L a Y f) La
HgY H9
(4 quae sise hestetunt C rit B + ec (2 +)de HgVHg
2 2 486 (718  e1 72977 (27527. adeoque dividendo omnia perntatus
4373)+27 a  a
fier:
c2.2) C
H9 fier: ind fe (108 s = 27as crocus - 486ras  + 329   rogas
B108C89(394
(1.2+)
+ 1292 52 L a + 1084  8 lasta
H9+22s . et pro f La sinibendo L., fiet
as Taf + 325f et pro (piibendo eius vatorem ab vel  H
in cumqe paulo ante posuerimus (1 ) idem cum (3 4) p vel
fici (14) 365 Ae. f) 32ses (A S. ot restilis demit demque (1. 1. 4) 45 + 27 a N+a  fat
adt
g44
quentius d. Saptis suere ergo ut explicemus s
potiassuus aliter procedere, faciendo (3+) 108f2 17  (+ () es or po sed eqesse quantatatem negativami et tunc
(1. 2+) 36 (2. 3 4)34 Ds. faciet  ponento (2 4) est +. sed -70c 5 ponendo (1 f) eset et (3 +) exe et (2 4) esst +
usi facims  (36+) 1085 + () 5r. e esse = erit (34) e + et  (. 4) 1 - quo facto
(1. 2+) 96 + (4 2.3) fier. 2S. fiei sive (1. 2 +) 35 ((. 3 +) 32 dabir: (4) 56 (2+) 22. S. sin
compendui caspos et destrnctionis causa (3 Y)  (1. f) ubi vus. 174 s25 V dessuitur fier (1. 2 4) 36. (1. 2 4)= li Y) 4
punctione arins
valorem
facta oritur matum quodquo i
ingula ret es conten propositum n t itaque evitandae illae quas feci destut
ctiones. porr quoni M (1. 3 =) p - debet esse (3  (1 +). et habeamus 2-108) . faciendu  erit.
sC1 4) aCe
(+) vel (1 +)  adeoque B +) () +. Ergo Se
a
HaD sa rna Ha
sal B
resumendo indeq a N. fier: -8H a ) (+
F9  Z
Quae quantitas multipliceno per ig. fiei
Ha sa
1 d+ 3 A sLg
99e(36S) Cq  (24) rotla jr slla
=8H a (24) 7012 +27 a s . quae quantitas semper fieri potest negativn
Lsga
B= tam nam, ut taceam (2 +) explicari posse per -. generale adest remeditam, supponendo gaesse numerum valde parou, ut
1000,000
de erit 1ga 1 ,00 et fret:  - B a= 8000, ex 1a2 - 70H a + 27a fut. Radices ergo aequationus
La
X et. hoc modo non dividendae sed multiplicandae sunt. Quod si nullus ines error calculo, habemus desideratum.
Uenum superist ut admonea debet an, seu  esse majus F) tah. seu hoc loco qua (quin (2.) explicuiper +) majus
30l
esse debet quam sah. seu alip vah, seu vati , 1. seu tah p 3al. sed contrarium eveniet tunc cum e vulde
parous, ut hoc loeco desuderatur, itaquea opus remedio, nempe aq faemus seu  Za Vati faciemus quantitate negatio-
et non habebimus opus illa dterminatiore seu comparatione tah pr 3al. tantum fier: ( +) p. et (2 f) , +.
adeoque quantitas nostra ulsimo inventa quae negativa esse debet, erit: 8000erc. Ha + 7. HaV 27a 
ubi notandum est, L. sive l. nunc esse quantitatem affirmatrum necessario,.
quia (1+) +. adeoque Y1 + al BSF al. Ergo l. est quantitas affirmation, quod facere semper in nostra potestate est
Ninlum ege Nihil ergo difficultatis superest, nisi ut ab erroribus calculi nos seu immunes prostrtige sciamus
si haec succedunt aequationem quae rationis sectionem id sectione anguli traduximus. Ja ut vero scia an vicissim possium anguli sectuam redelcere
ad rationis sectionem: videndum an aequationi Z et. Explicatis p. s. 1. confemi possit quaevis alia cabica termino seundocarens, quo facto inventae erum
literae h. l. epper hanc collationem, duam aequationum cvincidentiumque eet datae er factitiae. Inventis t. 1. poterit invenori
_ seu m-n. per aequationem datam V X, etc. Patu mun m-n. invemetur et Ergo per aegs. m n  p Y + al invemetur
aequatio in qua in cognitae am n er P.. Acedat aliu aequatio amn nan pa m a) tah man p da ubi pro man. substi-
Miendo valorem inventim. fier aequatio in qua incognita -amn Ejus valor addatur quadrato ab man. fiet quadrutita abm-n.
povalor, is conferatur valiei supra invento pe ipsius m-n. vel ejus quadrati plis ag. y et fier aequatio in qua non nisn meque
2. n neque. n. sed tantum p. non aissumens ultra quadratur. ejque ape ergo habebitur p. modo non forte, tota aequatio per p
 etsi
au sit divisibilis, ut eoamescat p. st Eoa coiletur deber addi alium aequa trodubi mcrivenittio per divisionem squolienti
ditod eri ibi
+ al  .
P etc. ponendo: (13+)V et a H
alis quam ante sensum. et ( (F) et 3 5 d. fer aequatid. P
Bt p +2BH P + ad Lp
paejam aequatio aebia altri uidum plenae oblate compararia est, t ab itragabili ad Hacstatilem recita possim na ndenda erro